线性代数之第2章.矩阵

2）将第1个方程乘-2,-3,-5，并分别加到第2,3,4个方程上
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2.1 高斯消元法
高斯消元法 3）将第2个方程乘-2，并分别加到第3,4个方程上
3x4 1 x1 x2 x2 2 x3 2 x4 0 x4 0 3x3 9 x4 3
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2.1 高斯消元法
矩阵举例 与原方程组同解，得
x1 1 k1 7 k2 x2 k1 x3 2 4k 2 x 1 3k 2 4 x5 k 2
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2.1 高斯消元法
矩阵举例 当线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b1 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
的常数项b1=b2=...=bm=0时，我们称它为齐次线性方程组， 否则称为非齐次线性方程组。齐次线性方程组的解法与 前面一样。
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2.1 高斯消元法
矩阵举例 例3：解线性方程组
x1 x2 x3 1 x1 2 x2 5 x3 2 2 x 3 x 4 x 5 2 3 1
3x4 1 x1 x2 2 x x 2 x 4 x 2 1 2 3 4 3x1 x2 4 x3 4 x4 3 5 x1 3x2 x3 20 x4 2 3x4 1 x1 x2 x2 2 x3 2 x4 0 2 x2 4 x3 5 x4 0 2 x2 x3 5 x4 3
am 2 amn
其中aij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)表示第i个方程第j个未知变 量xj的系数。这样，高斯消元过程就可以在这张数表上 进行操作，这张数表就称之为矩阵(matrix)。
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2.1 高斯消元法
矩阵的定义 定义：数域F中的m×n个元素aij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)排 列成m行n列，并括以圆括号（或方括弧）的数表
1 1 0 3 1 2 1 2 4 2 3 1 4 5 3 1 1 1 8 2
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2.1 高斯消元法
矩阵举例 将第2行乘-2，分别加到第3,4行上，得
1 1 1 0 3 1 0 0 1 2 2 0 ( A, b ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 9 3 1 2 2 0 1 3 1 0 0 0 0 3
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crr
2.1 高斯消元法
线性方程组的解 该行简化阶梯矩阵所对应的线性方程组与原方程组是同 解方程组，因此线性方程组有解的充要条件是dr+1=0， 在有解的情况下： 1）当r=n时，有唯一解
x1 d1 x d 2 2 xn d n
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2.1 高斯消元法
此方程组和原方程组是同解的，我们把形如这样的方程 称为阶梯线性方程组，因此易得
x1 1 x2 2 x3 1 x4 0
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2.1 高斯消元法
高斯消元法 任意一个线性方程组都可以用高斯消元法将其化为容易 求解的、同解的阶梯形线性方程组。所谓消元，就是将 元的系数化为0。 为了使消元过程书写简便，我们可以把线性方程组
第2章 矩阵
第2章 矩阵
高斯消元法 矩阵的加法、数量乘法、乘法 矩阵的转置、对称矩阵 可逆矩阵的逆矩阵 矩阵的初等变换和初等矩阵 分块矩阵
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2.1 高斯消元法
高斯消元法 消元法的基本思想是通过变形把方程组化成容易求解的 同解方程。在解未知量较多的方程组时，需要使消元步 骤规范而又简便。 例1：解线性方程组
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2.1 高斯消元法
线性方程组的解 对于一般的线性方程组，通过消元步骤，可以将其增广 矩阵化为如下所示的行简化阶梯矩阵：
c11 0 0 ( A, b ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 c1, r 1 c1n c2, r 1 c2 n 0 0 0 0 0 0 cr , r 1 crn c22 d1 d2 dr d r 1 0 0
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b1 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
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高斯消元法
高斯消元法 对应的系数按顺序排成一张矩形数表
a11 a 21 am1 a12 a22 a1n a2 n b1 b2 bm
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2.1 高斯消元法
矩阵举例 解：线性方程的增广矩阵为
1 2 ( A, b ) 3 1
将第1行分别乘以-2,-3,-1，并依次加到第2,3,4行上，消 去后三个方程中的x1（此时也消去了x2 ），得
1 1 1 0 0 1 ( A, b ) 0 0 2 0 0 2 1 2 2 0 4 4 0 1 5 3 0 3
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2.1 高斯消元法
矩阵的定义 线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b1 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
对应的矩阵
a11 a 21 am1 a12 a22 a1n a2 n b1 b2 bm
将第3个方程乘-1，第4个方程乘-1/3，并交换第3,4个方 程的位置
3x4 1 x1 x2 x2 2 x3 2 x4 0 x3 3x4 1 x4 0
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2.1 高斯消元法
高斯消元法
3x4 1 x1 x2 x2 2 x3 2 x4 0 x3 3x4 1 x4 0
1 6 1 6 3 0 7 0 1 6 1 0 0 2 1
第3行表示
0 x1 0 x2 0 x3 2
是无解的，故原方程组无解。
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2.1 高斯消元法
矩阵举例 这种含有矛盾方程而无解的方程组称为不相容方程组， 有解的方程组称为相容方程组。 在行简化阶梯矩阵中，全0的行表示的方程称为多余方 程；在行简化阶梯矩阵中，如果某行未知量系数全为0， 而对应的常数量不为0，则此行表示的方程为矛盾方程。 在高斯消元法的消元过程中，在增广矩阵上会清楚地揭 示出方程组中的多余方程和矛盾方程。
如果齐次线性方程组中方程的个数m小于未知量个数n， 则必有无穷多个非0解。
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2.1 高斯消元法
线性方程组的解 还需指出：用不同的消元步骤，将增广矩阵化为阶梯矩 阵时，阶梯矩阵的形式不是唯一的，但阶梯矩阵的非0 行数是唯一确定的，当线性方程组有解时，这表明解中 任意常数的个数是相同的，但是解的表示式不是唯一的， 然而每一种解的表示式中包含的无穷多个解的集合又是 相等的。 这些重要的结论，将在后面研究了矩阵的秩和向量的线 性相关性的理论，才能得以严格的论证。
线性方程组的解 2）当r<n时，有无穷多解，把每行第一个非0元素cii所 在列对应的未知量（这里是x1, x2, ... , xr）取为基本未知 量，其余未知量（这里是xr+1, xr+2, ... , xn）取为自由未 知量，并令自由未知量依次取任意常数k1, k2, ... , kn-r，即 可求得 x1 d1 c1, r 1k1 c1n k n r
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2.1 高斯消元法
矩阵的定义 其中aij称为矩阵A的第i行第j列元素，当aij ∈R(实数域) 时，A称为实矩阵；当aij ∈C(复数域)时，A称为复矩阵。 m×n个元素全为0的矩阵称为零矩阵，记做0。
当m=n时，称A为n阶矩阵（或n阶方阵）。
数域F上的全体m×n矩阵组成的集合，记做Fm×n 或 M m×n(F)；全体n×n实矩阵（或n阶实矩阵）组成的集 合，记做Rn×n 或M n(R)。
a11 a 21 am1 a12 a22 am 2 a1n a2 n amn
称为数域F中的m×n矩阵，通常用大写字母记做A或 Am×n，有时也记做
A (aij )mn (i 1, 2,, m; j 1, 2, , n)
矩阵举例 用消元法解线性方程组的消元步骤可以在增广矩阵上实 现，下面举例说明 例2：求解线性方程组
3x5 1 x1 x2 x3 2 x1 2 x2 x3 2 x4 4 x5 2 3 x1 3 x2 x3 4 x4 5 x5 3 x1 x2 x3 x4 8 x5 2
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2.1 高斯消元法
矩阵举例 解：
1 1 1 ( A, b) 1 2 5 2 3 4 1 1 0 1 3 2 ( 1) 0 0
1 1 1 2 1 ( 1) 2 0 1 3 1 ( 2) 0 1 5 1 1 1 1 2( 1) 6 1 0 0 0 2
x2 d 2 c2, r 1k1 c2 n k n r xr d r cr , r 1k1 crn kn r xr 1 k1 xn kn r
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2.1 高斯消元法
线性方程组的解 齐次线性方程组总是有解的，这是因为d1=...=dr=dr+1=0。 1）当r=n时，只有0解； 2）当r<n时，有无穷多解。
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第4行乘-1/3，并和第3行交换，得
1 1 1 0 0 1 ( A, b ) 0 0 0 0 0 0
2.1 高斯消元法
矩阵举例 此阶梯形增广矩阵所对应的线性方程组与原线性方程组 是同解的，为了在求解时省去回代的步骤，我们把每一 行第一个非0元素所在的列的其余元素全化为0，即