2015届合肥二模数学(理)试题及答案

- 1 - 合肥市2015年高三第二次教学质量检测 数学试题（理） 第Ⅰ卷（满分50分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.复数iiz2143（其中i是虚数单位），则复数z的共轭复数z（ ） A．i21 B. i21 C. i21 D. i21

解析：iiiiiiiiz215105)21)(21()21)(43(2143 ∴共轭复数iz21，选A 2.若集合}11|{xxM，则MCR（ ） A. }1|{xx B. }10|{xx C. }10|{xx D. }1|{xx

解析：011xx或1x ∴}10|{xxMCR，选C

3.双曲线1222yx的离心率是（ ） A. 23 B. 26 C. 3 D. 3

解析：由双曲线方程知22,1ba26c ∴26ace，选B 4.某空间几何体的三视图如图所示（其中俯视图中的弧线为四分之一圆），则该几何体的表面积为（ ） A.45 B.48 C. 125 D. 128 - 2 -

解析：由三视图可知，该几何体是底面为41圆的柱体 1253)4(4222表S，选C

5.“1a”是“直线01:1yaxl与直线05)3(4:2ayaxl平行”的（ ） A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

解析：直线01:1yaxl与直线05)3(4:2ayaxl平行，则aaa51314 解得1a，∴是充要条件，选C

6.等差数列}{na的前n项和为nS，若5326243aaa，则7S（ ） A.28 B.21 C.14 D.7

解析：411112435155)(3)3(2)2(6326adadadadaaaa ∴14a，∴7747aS，选D

7.已知函数xxxfcossin)(，若果存在实数1x，使得对任意的实数x，都有)2015()()(11xfxfxf成立，则的最小正值为（ ）

A.20151 B. 2015 C. 40301 D. 4030 - 3 -

解析：)4sin(2cossin)(xxxxf，∴2T 由题意，)(1xf为最小值，)2015(1xf为最大值 则ZkTk,)21(2015，解得)21(20152k 当0k时，2015，选B

8.如图所示，程序框图的输出结果是（ ） A.7 B.8 C.9 D.10

解析：29log9log6log5log4log385438543aaaaT ∴当10log3T时，2T，此时10n，选D

9.某校开设5门不同的数学选修课，每位同学可以从中任选1门或2门课学习，甲、乙、丙三位同学选择的课没有一门是相同的，则不同的选法共有（ ） A.330种 B.420种 C.510种 D.600种

解析：分三类：①甲、乙、丙三人每人都只选1门，有6035A种； ②三人中一人选2门，另两人选1门，有180232513ACA种； ③三人中一人选1门，另两人选2门，有90241513CCA种。 - 4 -

∴不同的选法共有330种，选A 10.已知ABC的三边长分别为cba,,，且满足acb3，则ac的取值范围为（ ） A.),1( B.)2,0( C.)3,1( D.)3,0(

解析：由三角形边角关系，则abacacabacabbcacbaacba11313 ∴1131abacacab，两式相加得，420ac ∴ac的取值范围为)2,0(，选B 第Ⅱ卷（满分100分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在答题卡的相应位置） 11.甲、乙两位同学5次考试的数学成绩（单位：分），统计结果如下： 学生 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 77 81 83 80 79 乙 89 90 92 91 88 则成绩较为稳定的那位同学成绩的方差为

解析：80甲x，42甲s；90乙x，22乙s ∴成绩较为稳定的那位同学为乙，其方差为2

12.以平面直角坐标系的原点为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系取相同的长度单位。曲线1C的参数方程为atytx2（t为参数），曲线2C的极坐标方程为

cos4

，若1C与2C有两个不同的交点，则实数a的取值范围是

解析：曲线1C为02ayax；曲线2C为4)2(22yx， - 5 -

1C与2C有两个不同的交点，则333321|4|2aaa

13.已知点O是ABC内一点，且OCOBOA。若ABC与OBC的面积之比为3：1，则

解析：如图所示，因为ABC与OBC的面积之比为3：1，则1:3:OEAD ∴EOEDOA2 EBOEOB,ECOEOC ∴EDEOECEBOEOCOB2)( ∴2

14.已知,为钝角，若)sin(2)sin(，则)tan(的最小值是 解析：)sin(2)sin(，展开得 sincos2cossin2sincoscossin

∴tan3tancossinsincos3 ∴tan1tan32tan31tan2tantan1tantan)tan(2

∵,为钝角，则0tan，∴32tan1tan3 ∴0)tan(33，即最小值为33 - 6 -

15.定义：)()(1xfxf，当2n且Nn时，))(()(1xffxfnn。对于函数)(xf定义域内的0x，若存在正整数n是使得00)(xxfn成立的最小正整数，则称n是点0x的最小正周期，

0x称为)(xf的n周期点。已知定义在]1,0[上的函数)(xf的图象如图，对于函数)(xf，

下列说法正确的是 （写出所有正确命题的编号）。 ①0是)(xf的一个5周期点；

②3是点21的最小正周期； ③对于任意正整数n，都有32)32(nf； ④若0x是)(xf的一个2周期点，则]1,21(0x； ⑤若0x是)(xf的2周期点，则)(0xf一定是)(xf的2周期点。

解析：根据函数图象可得]1,21(,22]21,0[,21)(xxxxxf 21)0()0(0)1()0(1)21()0(21)0(21)0(4321ffffffff∴

1)21()0(5ff，①错误；21)))21((())21(()21(123ffffff，②正确；由函数解析式，

显然③正确；由002)(xxf，当]21,0[0x时，即002)21(2xx，解得310x，④错误；当]1,21(0x时，0000221)22()(xxxxf或002)22(2xx，解得

650x或320x，∴32)32(,31)65(,65)31(fff，⑤正确。

∴说法正确的是②③⑤。 - 7 -

三、解答题（本大题共6个小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤） 16.（本小题满分12分）

锐角ABC中，角CBA,,的对边分别为cba,,。已知Bctan是Abtan和Bbtan的等差中项。 （Ⅰ）求角A的大小； （Ⅱ）若)sin,(sinCBm，)cos,(cosCBn，求nm的取值范围。

解析：（Ⅰ）由题意知：BcBbAbtan2tantan ∴BBCBBBAABcossinsin2cossinsincossinsin， 即ACBABAcossin2sincoscossin ∴ACCcossin2sin，即21cosA

又A0，∴3A （Ⅱ）CBCCBBnm2sin212sin21cossincossin

)62sin(23)234sin(212sin21BBB

∵322020CBCB，∴26B ∴2343nm，即nm的取值范围是]23,43( 17.（本小题满分12分） 某商场为回馈大客户，开展摸球中奖活动，规则如下：从一个装有质地和大小完全相同的4个白球和1个红球的摸奖箱中随机摸出一球，若摸出红球，则摸球结束；若摸出白球（不放回），则向摸奖箱中放入一个红球后继续进行下一轮摸球，直到摸到红球结束。若大客户在第

n轮（Nn）摸到红球，则可获得1)21(10000n的奖金（单位：元）。

（Ⅰ）求某位大客户在一次摸球中奖活动中至少获得2500元奖金的概率； （Ⅱ）设随机变量为某位大客户所能获得的奖金，求随机变量的分布列与期望。