高等数学教学大纲

高等数学教学大纲课内学时数：136适用的专业范围及层次：全日制专科计算机应用技术及现代教育技术。

考核方式：考试说明一、教学目的和要求高等数学课程是高等学校工科本科各专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量建设人才服务的。

通过本课程的学习，要使学生获得：1．一元函数微积分学， 2．向量代数和空间解析几何， 3．多元函数微积分学， 4．无穷级数 5．常微分方程 等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。

在课程的教学过程中，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，并注意培养学生的数学建模能力和用所学理论解决简单应用问题的能力，培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。

本大纲采用我国法定计量单位。

二、课程内容和学时分配根据教学计划规定的学时数，理论课136学时（包括考试学时），具体学时分配如下表，供参考。

课程内容和学时分配表三、教学建议原则上教师应该遵照教学大纲的要求，以及大纲所确定的基本内容完成教学任务，但对教学内容的顺序安排，教学时数的分配等方面，可根据实际情况灵活处理。

凡注上*号的内容，可作为学生自学内容或任课教师根据情况自行选择讲授。

教学内容第一章函数极限与连续教学目的和要求：理解函数的概念，了解函数的几种常用表示法，了解函数的基本性质（有界性、单调性、奇偶性和周期性）。

理解复合函数、反函数的概念。

掌握基本初等函数的性质及其图形。

会建立简单实际问题中的函数关系式。

理解极限的概念，理解极限的基本性质，掌握极限四则运算法则及两个极限存在法则（夹逼准则和单调有界准则），掌握用两个重要极限求极限的方法。

理解无穷小和无穷大的概念，理解无穷小的阶的概念及无穷小与函数极限的关系，了解无穷小与无穷大的关系，会用等价无穷小求极限。

理解函数在一点连续的概念，了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。

第一节函数一、邻域二、函数特性第二节初等函数一、基本初等函数二、复合函数第三节极限的概念一、数列的极限二、函数的极限三、极限的性质第四节极限的运算一、极限的运算法则二、极限存在准则三、两个重要极限第五节无穷小与无穷大一、无穷小二、无穷大三、无穷小的比较第六节函数的连续性一、连续函数的概念二、左连续与右连续三、连续函数与连续区间四、函数的间断点五、初等函数的连续性教学重点与难点：函数的概念，复合函数的概念，极限的概念，极限的四则运算法则，两个重要极限，函数连续的概念。

难点：极限的运算。

第二章导数与微分教学目的和要求：理解导数的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。

会用导数描述一些物理量。

掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。

理解微分的概念，理解导数与微分的关系。

了解微分的四则运算法则，理解一阶微分的形式不变性，会用微分进行简单的近似计算。

了解高阶导数的概念．掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。

第一节导数的概念一、引例二、导数定义三、左、右导数四、用定义计算导数五、导数的几何意义六、函数的可导性与连续性的关系第二节函数的求导法则一、导数的四则运算二、复合函数的求导法则三、初等函数的求导公式四、隐函数的导数五、对数求导法六、高阶导数第三节函数的微分一、微分的定义二、函数可微的条件三、微分的几何意义四、基本初等函数的微分公式与微分运算法则教学重点与难点：导数和微分的概念，导数的四则运算法则及复合函数求导法则，基本初等函数求导公式，一阶、二阶求导方法。

难点：复合函数求导法则。

第三章导数的应用教学目的和要求：理解罗尔（Rolle）定理和拉格朗日(Lagrange)定理，掌握这两个定理的简单应用。

了解柯西(Cauchy)定理。

理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。

会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘函数的图形（包括水平、铅直渐近线）。

掌握较简单的最大值和最小值的应用问题的求解方法。

掌握用洛必达法则（L'Hospital）求不定式的极限的方法。

第一节中值定理一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理第二节洛必达法则一、0型与∞∞型未定式二、其它类型的未定式第三节函数的单调性、凸凹性与极值一、函数的单调性二、曲线的凸凹性三、极限第五节函数图形的描绘一、渐近线二、函数图形的描绘教学重点及难点：罗尔定理、拉格朗日定理，函数极值概念，用导数判断函数的单调性及求极值，洛必达法则。

难点：两个中值定理，洛必达法则求极限。

第四章不定积分教学目的和要求：理解原函数与不定积分的概念及性质。

掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的换元法和分部积分法。

会求有理函数、三角函数的有理式及简单的无理函数的积分第一节不定积分的概念与性质一、原函数的概念二、不定积分的概念三、不定积分的性质四、基本积分表第二节换元积分法一、第一类换元积分法二、第二类换积分法第三节分部积分法教学重点与难点：不定积分的概念，不定积分的基本公式，不定积分的换元法与分部积分法。

难点：不定积分的换元与分部积分法。

第五章定积分教学目的和要求：理解定积分的概念及性质。

掌握定积分的换元法和分部积分法。

理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理，掌握牛顿（Newton）莱布尼兹（eibniz）公式。

理解广义积分的概念。

掌握广义积分的基本收敛准则，会计算简单广义积分。

了解定积分的近似计算法（矩形法、梯形法和抛物线法）。

掌握定积分元素法，掌握用元素法求平面图形的面积、平面曲线的弧长和旋转体的体积的方法。

掌握利用元素法计算功、压力、引力等物理量的方法。

第一节定积分概念一、引例二、定积分的定义三、定积分的近似计算四、定积分的性质第二节微积分基本公式一、引例二、积分上限的函数及其导数三、牛顿—莱布尼兹公式第三节定积分的换元积分法和分部积分法一、定积分换元积分法二、定积分的分部积分法第五节广义积分一、无穷限的广义积分第五节定积分的几何应用一、定积分的微元法二、平面图形的面积教学重点与难点：定积分的概念与性质，变上限函数及求导定理，牛顿莱不尼兹公式，定积分的换元及分部积分法。

难点：变上限函数及求导定理。

第六章空间解析几何与向量代数教学目的和要求：理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。

掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积），了解向量的混合积及其几何意义，掌握两个向量垂直、平行的条件，掌握单位向量、方向余弦、两向量的夹角、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法。

掌握平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。

理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的图形及其投影，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面的方程。

了解空间曲线的参数方程和一般方程。

了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。

第一节向量及其线性运算一、向量的概念二、向量的线性运算第二节空间直角坐标系向量的坐标一、空间直角坐标第二、空间两点间的距离三、向量的坐标表示四、向量的代数运算五、向量的模与方向余弦六、向量在轴上的投影第三节向量的数量积与向量积一、两向量的数量积二、两向量的向量积第四节空间曲面与曲线一、曲面方程的概念二、旋转曲面三、柱面四、二次曲面五、空间曲线及其方程第五节空间平面与直线一、平面及其方程二、空间直线及其方程教学重点与难点：空间直角坐标系，向量及其线性运算，向量的坐标形式，向量数量积、向量积，曲面及其方程，平面及其方程，空间直线及其方程。

难点：向量及其线性运算，向量的坐标形式，向量数量积、向量积，曲面及其方程，空间曲线及其方程，平面及其方程，空间直线及其方程,二次曲面及其方程。

第七章多元函数微积分教学目的和要求：理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义；理解多元函数偏导数和全微分的概念；理解多元函极值的概念。

掌握多元函数偏导数的求法，会求全微分、会求隐函数（包括由方程确定的隐函数）的偏导数。

会求二元函数极值；理解二重积分，掌握二重积分（直角坐标、极坐标）计算方法。

第一节多元函数的基本概念一、平面区域的概念二、多元函数的概念三、二元函数的极限四、二元函数的连续性第二节偏导数一、偏导数的定义及其计算方法二、高阶偏导数第三节全微分第四节复合函数微分法与隐函数微分法一、多元复合函数微分法二、隐函数微分法三、微分法在几何上的应用第五节多元函数的极值一、二元函数极值的概念二、条件极值拉格朗日乘数法第六节二重积分的概念与性质一、二重积分的概念二、二重积分的性质第七节二重积分的计算（一）一、在直角坐标系下二重积分的计算二、利用对称性和奇偶性化简二重积分的计算第八节二重积分的计算（二）一、在极坐标系下二重积分的计算二、二重积分的应用教学重点与难点：多元函数的概念，偏导数与全微分的概念及求法，多元复合函数求导法则，隐函数求导公式，多元函数极值与求法。

二重积分的概念与性质，二重积分的计算，二重积分在几何方面应用。

难点：偏导数及全微分的概念，多元复合函数求导法则，隐函数求导公式，极值求法。

二重积分的概念与性质，二重积分的计算，二重积分在几何方面应用。

第八章无穷级数教学目的和要求：理解常数项级数收敛的概念；掌握级数收敛的基本性质及正项级数、交错级数收敛的判别方法；理解绝对收敛与条件收敛；了解幂级数的一些性质，掌握能将函数展开成幂级数第一节常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念二、收敛级数的基本性质第二节常数项级数的判别方法一、正项级数的收敛判别方法二、交错级数的收敛性判别方法三、绝对收敛与条件收敛 第三节 幂级数 一、幂级数及其收敛性 二、幂级数的运算性质 三、函数展开成幂级数教学重点与难点：常数项级数的概念、性质及审敛法，幂级数的收敛半径与收敛区间的求法。

难点：常数项级数的审敛法，泰勒级数泰勒公式。

第九章 常微分方程教学目的和要求：理解线性微分方程的概念，掌握变量可分离的方程及一阶线性方程；掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法；会用降阶法解下列三种方程。

第一节 微分方程的基本概念 第二节 一阶微分方程一、可分离变量的微分方程 二、一阶线性微分方程第三节 可降阶的二阶微分方程 一、()y f x ''=型 二、(),y f x y '''=型 三、(),y f y y '''=型第四节 二阶常系数线性微分方程 一、二阶线性微分方程解的结构 二、二阶常系数齐次线性微分方程 三、二阶常系数非齐次线性微分方程教学重点与难点：可分离变量的方程及一阶线性微分方程的解法，二阶线性微分方程解的结构，二阶常系数齐次线性微分方程的解法。