南京理工大学复变函数课件2-4
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复变函数课件章节
复变函数(第四版)课件 章节大纲
汇报人：
目录
添加目录标题
01
复变函数的基本概念
02
复变函数的微积分
03
全纯函数与亚纯函数
04
复变函数的积分公式 和全纯函数的性质
05
全纯映射和几何函数 论
06
添加章节标题
复变函数的基本 概念
复数及其几何意义
复数：实数与 虚数的组合
复平面：复数 的几何表示
复数的模：表 示复数的大小
全纯函数的性质
全纯函数是复变函数中的重要概念，具有解析性和连续性
全纯函数在复平面上的解析性，即函数在复平面上的任意点处都可以解析
全纯函数的连续性，即函数在复平面上的任意点处都可以连续
全纯函数的性质还包括其解析性和连续性的关系，即全纯函数在复平面上的解析性和连续性是等价 的
最大模原理和柯西积分公式
亚纯函数的展开 和值分布理论
亚纯函数的展开和米塔-列夫勒理论
展开：将亚纯函数分解为幂 级数的形式
米塔-列夫勒理论：研究亚纯 函数展开的性质和规律
亚纯函数：复变函数中的一 种特殊函数
应用：在解析数论、复动力 系统等领域有广泛应用
值分布理论和皮卡定理
值分布理论：研 究函数在复平面 上的值分布规律
皮卡定理：描述 函数在复平面上 的值分布规律
极值性质：全纯 映射的极值性质， 包括最大值和最 小值
泰勒定理：泰勒 定理的证明和应 用，包括泰勒级 数和泰勒展开式
极值定理：极值 定理的证明和应 用，包括极值点 的存在性和唯一 性
泰勒定理的应用： 泰勒定理在复变 函数中的应用， 包括求解微分方 程和积分方程
几何函数论和单叶函数
几何函数论：研究复变函数在几何上的性质，如解析性、单值性、连续性等 单叶函数：复变函数在某一区域内具有唯一确定的值，且该值与自变量一一对应 单叶函数的性质：解析性、单值性、连续性、可微性等 单叶函数的应用：在工程、物理、化学等领域有广泛应用，如流体力学、电磁学、量子力学等
汇报人：
目录
添加目录标题
01
复变函数的基本概念
02
复变函数的微积分
03
全纯函数与亚纯函数
04
复变函数的积分公式 和全纯函数的性质
05
全纯映射和几何函数 论
06
添加章节标题
复变函数的基本 概念
复数及其几何意义
复数：实数与 虚数的组合
复平面：复数 的几何表示
复数的模：表 示复数的大小
全纯函数的性质
全纯函数是复变函数中的重要概念，具有解析性和连续性
全纯函数在复平面上的解析性，即函数在复平面上的任意点处都可以解析
全纯函数的连续性，即函数在复平面上的任意点处都可以连续
全纯函数的性质还包括其解析性和连续性的关系，即全纯函数在复平面上的解析性和连续性是等价 的
最大模原理和柯西积分公式
亚纯函数的展开 和值分布理论
亚纯函数的展开和米塔-列夫勒理论
展开：将亚纯函数分解为幂 级数的形式
米塔-列夫勒理论：研究亚纯 函数展开的性质和规律
亚纯函数：复变函数中的一 种特殊函数
应用：在解析数论、复动力 系统等领域有广泛应用
值分布理论和皮卡定理
值分布理论：研 究函数在复平面 上的值分布规律
皮卡定理：描述 函数在复平面上 的值分布规律
极值性质：全纯 映射的极值性质， 包括最大值和最 小值
泰勒定理：泰勒 定理的证明和应 用，包括泰勒级 数和泰勒展开式
极值定理：极值 定理的证明和应 用，包括极值点 的存在性和唯一 性
泰勒定理的应用： 泰勒定理在复变 函数中的应用， 包括求解微分方 程和积分方程
几何函数论和单叶函数
几何函数论：研究复变函数在几何上的性质，如解析性、单值性、连续性等 单叶函数：复变函数在某一区域内具有唯一确定的值，且该值与自变量一一对应 单叶函数的性质：解析性、单值性、连续性、可微性等 单叶函数的应用：在工程、物理、化学等领域有广泛应用，如流体力学、电磁学、量子力学等
复变函数 - 南京理工大学
复变函数1 复数及平面点集1.1 复数及几何表示1.1.1 复数在平面上的几何表示1.1.2 复数的运算1.1.3 复球面及无穷大1.2 平面点集1.2.1 初步概念1.2.2 区域，曲线2 复变函数2.1 解析函数2.1.1 函数概念，极限，连续性2.1.2 导数2.1.3 Cauchy-Riemann方程2.2 初等函数2.2.1 指数函数2.2.2 三角函数2.2.3 双曲函数2.2.4 对数函数3 复积分3.1 复变函数积分的概念及其基本性质3.1.1 复变函数积分的概念与基本性质3.1.2 Cauchy定理3.1.3 原函数3.1.4 多连域的Cauchy定理3.2 Cauchy积分公式与高阶导数公式3.2.1 圆盘内的Cauchy积分公式；3.2.2 高阶导数3.2.3 Morera定理4 解析函数的级数展开式4.1级数的基本性质4.1.1 复数项级数4.1.2 复变函数项级数4.1.3 幂级数4.2 Taylor级数4.2.1 ★初等函数的Taylor展式4.2.2 解析函数的零点与唯一性定理4.3 Laurent级数4.3.1 解析函数的Laurent展式4.3.2 解析函数的弧立奇点4.3.3 孤立奇点的三种类型4.3.4 可去奇点4.3.5 极点4.3.6 本性奇点4.3.7 解析函数在无穷远点的性质4.3.8 △整函数与亚纯函数5 留数及其应用5.1 留数及留数定理5.1.1 留数定理5.1.2 留数计算5.2 留数定理在实积分计算上的应用5.2.1 几个引理5.2.2 实积分的计算5.2.3 △亚纯函数的零点与极点的个数6 保形映射6.1 解极映射的若干性质6.1.1 概念6.1.2 导数的几何意义6.2 分式线性函数及其映射性质6.2.1 分式线性函数6.2.2 两个特殊的分式线性函数6.3 保形映射的基本问题6.3.1 Riemann定理6.3.2 边界对应定理6.3.3 最大模原理，Schwarz引理6.3.4 保形映射举例7 解析开拓7.1 解析开拓7.1.1 解析开拓概念7.1.2 对称开拓7.1.3 幂级数开拓7.1.4 完全解析函数7.2 多角形映照公式7.2.1 基本公式7.2.2 实例8 调和函数与Dirichlet问题8.1 调和函数8.1.1 调和函数与解析函数的关系8.1.2 极值原理8.1.3 中值公式与Poisson公式8.2 Dirichlet问题8.2.1 圆盘上的Dirichlet问题8.2.2 上半平面的Dirichlet问题参考书目：钟玉泉《复变函数论》，高等教育出版社。
复变函数 全套课件
不存 . 在
证 (一) 令zxiy, 则f(z) x , x2y2
u(x,y) x , v(x,y)0, x2y2
当 z沿直 y线 kx 趋于, 零时
lim u(x,y)lim x lim x
x0 ykx
x0 ykx
x2y2
x0 x2 (kx)2
29
lim x
1 ,
x0 x2(1k2)
1 k2
随k值的变化而变, 化
2
s i n 2 z c o s 2 z 1 ,但 s i n z ,c o s z 不 是 有 界 函 数 .
n
n
(k 0 ,1 ,2 , ,n 1 ) 在几何 ,n z的 上 n个值就是以原 ,n r点 为为 半中 径 的圆的内 n边 接形 正 n个 的顶. 点
单连通域与多连通域
从几何上看，单连通域就是无洞、无割痕 的域.
5
复变函数的概念
复变w与 函 自数 变 z之 量 间的 wf(关 z) 系 相当于两 : 个关系式
《复变函数》
第一讲 复数及其代数运算
两复数相等当且仅当它们的实部和虚 部分别相等.
复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚部 同时等于0. 说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的 大小, 如果不全是实数, 就不能比较大小, 也就 是说, 复数不能比较大小.
2
辐角的主值
在 z ( 0 )的,辐 把 角 π 满 0 π 中 的 足 0 称 A z 为 的 r,g 记 主 0 作 a 值 z .rg
设 zxiy,
x y 2 ii x y 2 i,化简后得 yx.
(2)Im(iz)4
设 zxiy,
i z x ( 1 y )i,Ii m z ) 1 ( y 4 ,
证 (一) 令zxiy, 则f(z) x , x2y2
u(x,y) x , v(x,y)0, x2y2
当 z沿直 y线 kx 趋于, 零时
lim u(x,y)lim x lim x
x0 ykx
x0 ykx
x2y2
x0 x2 (kx)2
29
lim x
1 ,
x0 x2(1k2)
1 k2
随k值的变化而变, 化
2
s i n 2 z c o s 2 z 1 ,但 s i n z ,c o s z 不 是 有 界 函 数 .
n
n
(k 0 ,1 ,2 , ,n 1 ) 在几何 ,n z的 上 n个值就是以原 ,n r点 为为 半中 径 的圆的内 n边 接形 正 n个 的顶. 点
单连通域与多连通域
从几何上看，单连通域就是无洞、无割痕 的域.
5
复变函数的概念
复变w与 函 自数 变 z之 量 间的 wf(关 z) 系 相当于两 : 个关系式
《复变函数》
第一讲 复数及其代数运算
两复数相等当且仅当它们的实部和虚 部分别相等.
复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚部 同时等于0. 说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的 大小, 如果不全是实数, 就不能比较大小, 也就 是说, 复数不能比较大小.
2
辐角的主值
在 z ( 0 )的,辐 把 角 π 满 0 π 中 的 足 0 称 A z 为 的 r,g 记 主 0 作 a 值 z .rg
设 zxiy,
x y 2 ii x y 2 i,化简后得 yx.
(2)Im(iz)4
设 zxiy,
i z x ( 1 y )i,Ii m z ) 1 ( y 4 ,
南大复变函数与积分变换课件(PPT版)1 复变函数复习
主要内容 复 变 函 数 与 积 分 变 换 复 习
四、计算定积分
2. I
P( x) Q( x )
-
dx
要求 (1) P(x) , Q(x) 为多项式，
(2) 分母 Q(x) 的次数比分子 P(x) 的次数至少高二次 ,
(3) 分母 Q(x) 无实零点。 方法 设 R( z )
P(z) Q( z ) ,
3
主要内容 复 一、构造解析函数 变 偏积分法 ( 仅考虑已知实部 u 的情形 ) 函 方法 数 u (1) 由u及C-R方程 v , (A) 与 y x 得到待定函数 v 积 分 的两个偏导数： v - u . (B) 变 x y 换 复 (2) 将 (A) 式的两边对变量 y 进行(偏)积分得： 习
z i
i 0
w e
z - z0 z - z0
.
(由附加条件确定 0 , z0 )
15
主要内容 复 六、求解常微分方程(组) 变 (n) n n-1 n-2 (n-1) [ f (t ) ] s F ( s) - s f (0) - s f ( 0 ) - - f (0) . 函 工具 数 与 步骤 (1) 将微分方程(组)化为象函数的代数方程(组)； 积 (2) 求解代数方程得到象函数； 分 变 (3) 求 Laplace 逆变换得到微分方程(组)的解。 换 复 得到象函数 微分方程(组) 习 解 Laplace Laplace 求
Q ( z 0 )
法则 若 z 0 为 f ( z ) 的可去奇点，则 Res [ f ( z ) , z 0 ] 0 . 若 z 0 为 f (z ) 的本性奇点，则在 z 0 的邻域内展开为洛朗级数。 7
复变函数课件第一章第二至四节复变函数
内区域
光滑曲线:
光滑曲线：如果Rez(t)和Imz(t)都在闭区 间[a,b]上连续，且有连续的导函数，在 [a,b]上，其导函数恒不为零，则称此曲线
为一条光滑曲线；类似地，可以定义分段 光滑曲线。
区域的连通性:
设D是一个区域，在复平面C上，如果D内
任何简单闭曲线所围成的内区域中每一点
都属于D，则称D是单连通区域; 否则称D是多连通区域。
1 复变函数的概念
设在复平面C上以给点集E。如果 有一个法则f，使得，
z x iy E, w u iv C
同它对应，则称f为在E上定义了一个复变数函 数，简称为复变函数，记为w=f(z)。
注1、同样可以定义函数的定义域与值域； 注2、我们也称这样的函数为单复变函数，即
对E中的每个z，唯一存在一个复数w和它对
函数f也称为从E到C上的一个映射或 映照。把集合E表示在一个复平面上，称 为z-平面；把相应的函数值表示在另一个 复平面上，称为w-平面。从集合论的观
点，令
A { f (z) | z E},
记作A=f(E)，我们称映射w=f(z)把任意的z0 E
映射成为 w0 f (z0) A.
函数的几何意义:
例1:集合
{z | (1 i)z (1 i)z 0}
为半平面，它是一个单连通无界区域，其边 界为直线：
(1 i)z (1 i)z 0
x y 0
例2、集合
{z | 2 Re z 3}
为一个垂直带形，它是一个单连通无界 区域，其边界为两条直线：
Re z 2
Re z 3
例3、集合
{z | 2 arg(z i) 3}
v(x,
y)
v0
即当0 (x x0 )2 ( y y0 )2 时，有
光滑曲线:
光滑曲线：如果Rez(t)和Imz(t)都在闭区 间[a,b]上连续，且有连续的导函数，在 [a,b]上，其导函数恒不为零，则称此曲线
为一条光滑曲线；类似地，可以定义分段 光滑曲线。
区域的连通性:
设D是一个区域，在复平面C上，如果D内
任何简单闭曲线所围成的内区域中每一点
都属于D，则称D是单连通区域; 否则称D是多连通区域。
1 复变函数的概念
设在复平面C上以给点集E。如果 有一个法则f，使得，
z x iy E, w u iv C
同它对应，则称f为在E上定义了一个复变数函 数，简称为复变函数，记为w=f(z)。
注1、同样可以定义函数的定义域与值域； 注2、我们也称这样的函数为单复变函数，即
对E中的每个z，唯一存在一个复数w和它对
函数f也称为从E到C上的一个映射或 映照。把集合E表示在一个复平面上，称 为z-平面；把相应的函数值表示在另一个 复平面上，称为w-平面。从集合论的观
点，令
A { f (z) | z E},
记作A=f(E)，我们称映射w=f(z)把任意的z0 E
映射成为 w0 f (z0) A.
函数的几何意义:
例1:集合
{z | (1 i)z (1 i)z 0}
为半平面，它是一个单连通无界区域，其边 界为直线：
(1 i)z (1 i)z 0
x y 0
例2、集合
{z | 2 Re z 3}
为一个垂直带形，它是一个单连通无界 区域，其边界为两条直线：
Re z 2
Re z 3
例3、集合
{z | 2 arg(z i) 3}
v(x,
y)
v0
即当0 (x x0 )2 ( y y0 )2 时，有
课02-第一章复变函数2-PPT精品.ppt
5
3. 两个特殊的映射:
(1)函数 wz构成的 . 映射
将 z平面 z a 上 i映 b的 w 射 平 点 成 面
的 w 点 a i.b
y
A
B z123i
C
o
x
z212i
C A
v
3i
z1w1, z2w2, A B A B C C .
6
如果把z平面和w平面 重叠在一,不 起难看w出z 是关于实轴的一个 映对 射. 称
当反函数为单值函数时, z[f(z)]z ,G .
如果函 (映数射 )wf(z)与它的反函数
(逆映)射 z(w)都是单,值 那的 末称(函 映数
射)wf(z)是一一对 .也 应可 的称G 集与合集 合G*是一一对 . 应的
今后不再区别函数与映射.
14
5. 复合函数的定义:
设函数 wf(h)的定义域为 D 1，函数 h(z)的 定义域为 D 2 ，值域 GD1 .若对任一 zD2，
4 0r 2映射为
w z2
0π,04,
2
仍是扇形域.
18
例2 对于 w z映 1,求 射 圆 z2的 周 . 象 z
解 令 z x i,y w u i,v
映射w z 1 z
1
2.单(多)值函数的定义: 如果 z的一个值对w应 的着 值 ,那一 末个
我们称f函 (z)是 数单.值的 如果 z的一个值对应两着个两以个上或
w的值 ,那末我们称 f(z)函 是数 多值 . 的
3.定义集合和函数值集合: 集G 合 称f为 (z)的定(义 定集 义 ); 合 域 对应 G中 于所 z的 有一 w值 切所成G* 的 , 集 称为函数 . 值集合
y
zz3 1o z 2
3. 两个特殊的映射:
(1)函数 wz构成的 . 映射
将 z平面 z a 上 i映 b的 w 射 平 点 成 面
的 w 点 a i.b
y
A
B z123i
C
o
x
z212i
C A
v
3i
z1w1, z2w2, A B A B C C .
6
如果把z平面和w平面 重叠在一,不 起难看w出z 是关于实轴的一个 映对 射. 称
当反函数为单值函数时, z[f(z)]z ,G .
如果函 (映数射 )wf(z)与它的反函数
(逆映)射 z(w)都是单,值 那的 末称(函 映数
射)wf(z)是一一对 .也 应可 的称G 集与合集 合G*是一一对 . 应的
今后不再区别函数与映射.
14
5. 复合函数的定义:
设函数 wf(h)的定义域为 D 1，函数 h(z)的 定义域为 D 2 ，值域 GD1 .若对任一 zD2，
4 0r 2映射为
w z2
0π,04,
2
仍是扇形域.
18
例2 对于 w z映 1,求 射 圆 z2的 周 . 象 z
解 令 z x i,y w u i,v
映射w z 1 z
1
2.单(多)值函数的定义: 如果 z的一个值对w应 的着 值 ,那一 末个
我们称f函 (z)是 数单.值的 如果 z的一个值对应两着个两以个上或
w的值 ,那末我们称 f(z)函 是数 多值 . 的
3.定义集合和函数值集合: 集G 合 称f为 (z)的定(义 定集 义 ); 合 域 对应 G中 于所 z的 有一 w值 切所成G* 的 , 集 称为函数 . 值集合
y
zz3 1o z 2
复变函数PPT第二章
(3) w z Re z.
解: (1) w z 2 x2 y2 , u x2 y2 , v 0,
u 2x, u 2 y, v 0, v 0.
x
y
x
y
z 偏导数在复平面上处处连续，但只在 =0满足C－R方程，
故函数 w z 2仅在 z 0 处可导, 且 f (z) 0．
在复平面内处处不解析.
x x y y 故 u v u v 0,
x y y x 所以 u 常数, v 常数,
因此 f (z) 在区域 D内为一常数.
参照以上例题可进一步证明:
如果 f (z) 在区域 D内解析, 则以下条件彼此等价.
(1) f (z)为常数;
(2) f (z) 0;
(3) f (z) 常数;
(2) f (z) e x (cos y i sin y) 指数函数 u e x cos y, v e x sin y,
u e x cos y, u e x sin y,
x
y
四个偏导数均连续
v e x sin y, v e x cos y,
x
y
且 u v , u v . x y y x
(4) f (z)解析;
(5) Re[ f (z)] 常数; (6) Im[ f (z)] 常数;
(7) v u2;
(8) arg f (z) 常数.
(9) au bv c（a，b，c为不全为零的实常数）.
思考题
(1)复变函数 f (z) 在点z0 可导与在z0 解析有无区别? (2)用柯西－黎曼条件判断f (z) u( x, y) iv( x, y) 解析时应注意什么?
6z6 10z4 z2 6z 1 . (z2 1)2
《复变函数》课件
设 ①B是 由
C
C1
C
2
C
所
n
围
成
的
有界多连通区域.且B D, ②f (z)在D内解析,则
f (z)dz 0 (1)
n
或
f (z)dz
f (z)dz (2)
c
其中:闭C
D
,
i 1
C1 , C
ci
2 ,
C
是
n
在C的内部
的
简
单
闭曲线(互不包含也不相交), 每一条曲线C及Ci
是逆时针,
C
i
c
c1
ck
f ( z)dz f ( z)dz
此式说c明一个解析c1 函 数沿闭曲线的积分， 不因闭曲线在区域内 作连续变形而改变它 的积分值，只要在变 形过程中曲线不经过 的f(z)的不解析点. —闭路变形原理
D
CCC1 11
C
例2 计 算
2z 1 z2 z dz
: 包 含 圆 周z 1在 内 的
1 z2
1)
1 z
1 2
z
1
i
1 2
z
1
i
由柯西-古萨基本定理有
y
11
C
dz 0,
C1 2 z i
1 1 dz 0,
C1 2 z i
C2
•i
C1
1
11
O
x
dz 0, dz 0,
C2 z
C2 2 z i
• i
22
1
1
1
C
z(z2
dz 1)
C1
dz z
C2
2( z
i)
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2t
解
s s1 1 2 2 2 2 2 2 ( s 2 s 2) [( s 1) 1] [( s 1) 1]
-8-
s1 t ] e cos t ℒ [ 2 ( s 1) 1
1 1
第四节
卷积
第 二 章 拉 普 拉 斯 变 换
1 ] e t sin t ℒ [ 2 ( s 1) 1
例1 求 sin at sin at
解
sin at sin a cos a d cos at sin a sin a d
t t 0 0
sin at sin at sin a sin a( t )d
t 0
1 1 cos at sin 2at 3 sin at t cos at 2a 2 4a 1 t sin at cos at 2a 2
e cos e ( t ) sin( t )d
t 0
-9-
第四节
t
卷积
e sin e ( t ) sin( t )d
0
e
第 二 章 拉 普 拉 斯 变 换
t
cos sin(t )d e sin sin(t )d
t
( t 0)
f ( t ) g( t ) f ( ) g( t )d
0
(2.4.1)
卷积有如下的性质 （1） f1 ( t ) f 2 ( t ) f 2 (t ) f1 (t )
（交换律）
（2） f1 ( t ) ( f 2 ( t ) f 3 (t )) f1 (t ) f 2 (t ) f1 (t ) f 3 (t ) （分配律）
-2-
t
第四节
卷积
f ( ) g( t )d
t 0
定义
第 二 章 拉 普 拉 斯 变 换
设函数 f ( t )与g( t ) 在 t 0 时有定义，称积
分 为函数 f ( t )与g( t ) 的卷积， 记为 f ( t ) g ( t ), 即
t
0
f ( ) g( t )d
卷积
第 二 章 拉 普 拉 斯 变 换
0
f ( )d
g( t )e st dt
在里面的积分中令 u t
0
f ( )d
0
g( u)e s ( u )du
0
0
f ( )e d
s
1
g( u)e
su
-4-
第四节
卷积
二
卷积定理
定理 设函数 f ( t )、g( t ) 满足拉氏变换存在定理
第 二 章 拉 普 拉 斯 变 换
且 的条件， ℒ [ f ( t )] F ( s ), ℒ [ g ( t )] G ( s ) 则 ℒ [ f ( t ) g( t )] F ( s )G ( s ) 或
解
由于ℒ
1
1 [ 2] t s
-7-
ℒ
1
1 [ ] e 2t s2
第四节
卷积
ℒ
1
t 1 2t [ 2 ] t e e 2( t )d 0 s ( s 2) 2t
e
第 二 章 拉 普 拉 斯 变 换t来自0 e 2 d
t 2 t 1 2 t 1 e [ e e ] 2 4 4 1 2t [e 2t 1] 4 s 1 ] 例4 求 ℒ [ 2 2 ( s 2 s 2)
t 0 的定义是无关的， 因此如果规定：当 t 0 时， f ( t ) g ( t ) 0, 则当 t 0 时，有
f ( t ) g( t )
0
f ( ) g( t )d
t 0
f ( ) g( t )d f ( ) g( t )d f ( ) g( t )d
t t t 0 0
1 t 1 t e t sin t e (sin t t cos t ) 2 2 et ( t sin t t cos t sin t ) 2
- 10 -
第四节
卷积
第四节
第 二 章 拉 普 拉 斯 变 换
卷积
一 卷积的概念
二 卷积定理
-1-
第四节
卷积
一
卷积的概念
在第一章中定义了函数 f ( t )与g( t ) 的卷积
第 二 章 拉 普 拉 斯 变 换
f ( t ) g( t )
f ( ) g( t )d
在拉氏变换中一个函数 f ( t ) 的拉氏变换与 f ( t ) 在
du
证毕
F ( s )G ( s )
例2 解
求ℒ
1 [ 2 ] 2 ( s 4)
2 由于 ℒ [sin 2t ] 2 s 4
-6-
第四节
卷积
第 二 章 拉 普 拉 斯 变 换
1 1 2 2 ] 原式 ℒ [ 2 2 s 4 s 4 4 1 sin 2t sin 2t 4 1 t sin 2 sin 2( t )d 4 0 1 t sin 2t cos 2t 16 8 1 1 ] 例3 求 ℒ [ 2 s ( s 2)
-3-
第四节
卷积
第 二 章 拉 普 拉 斯 变 换
（3） ( f1 ( t ) f 2 ( t )) f 3 ( t ) f1 ( t ) ( f 2 ( t ) f 3 (t )) （结合律） （4） | f1 ( t ) f 2 ( t ) || f1 ( t ) | | f 2 ( t ) |
所以
s s1 1 ]ℒ [ 2 ] ℒ [ 2 2 2 ( s 2 s 2) ( s 2 s 2) 1 ℒ 1 [ ] 2 2 ( s 2 s 2)
1
(e t cos t ) (e t sin t ) (e t sin t ) (e t sin t )
(2.4.2)
ℒ
1
[F ( s)G( s)] f (t ) g(t )
st
[证]
ℒ [ f ( t ) g( t )] 0 f ( t ) g( t )e dt
t
e dt f ( ) g( t )d
st t 0 0
-5-
t
第四节
解
s s1 1 2 2 2 2 2 2 ( s 2 s 2) [( s 1) 1] [( s 1) 1]
-8-
s1 t ] e cos t ℒ [ 2 ( s 1) 1
1 1
第四节
卷积
第 二 章 拉 普 拉 斯 变 换
1 ] e t sin t ℒ [ 2 ( s 1) 1
例1 求 sin at sin at
解
sin at sin a cos a d cos at sin a sin a d
t t 0 0
sin at sin at sin a sin a( t )d
t 0
1 1 cos at sin 2at 3 sin at t cos at 2a 2 4a 1 t sin at cos at 2a 2
e cos e ( t ) sin( t )d
t 0
-9-
第四节
t
卷积
e sin e ( t ) sin( t )d
0
e
第 二 章 拉 普 拉 斯 变 换
t
cos sin(t )d e sin sin(t )d
t
( t 0)
f ( t ) g( t ) f ( ) g( t )d
0
(2.4.1)
卷积有如下的性质 （1） f1 ( t ) f 2 ( t ) f 2 (t ) f1 (t )
（交换律）
（2） f1 ( t ) ( f 2 ( t ) f 3 (t )) f1 (t ) f 2 (t ) f1 (t ) f 3 (t ) （分配律）
-2-
t
第四节
卷积
f ( ) g( t )d
t 0
定义
第 二 章 拉 普 拉 斯 变 换
设函数 f ( t )与g( t ) 在 t 0 时有定义，称积
分 为函数 f ( t )与g( t ) 的卷积， 记为 f ( t ) g ( t ), 即
t
0
f ( ) g( t )d
卷积
第 二 章 拉 普 拉 斯 变 换
0
f ( )d
g( t )e st dt
在里面的积分中令 u t
0
f ( )d
0
g( u)e s ( u )du
0
0
f ( )e d
s
1
g( u)e
su
-4-
第四节
卷积
二
卷积定理
定理 设函数 f ( t )、g( t ) 满足拉氏变换存在定理
第 二 章 拉 普 拉 斯 变 换
且 的条件， ℒ [ f ( t )] F ( s ), ℒ [ g ( t )] G ( s ) 则 ℒ [ f ( t ) g( t )] F ( s )G ( s ) 或
解
由于ℒ
1
1 [ 2] t s
-7-
ℒ
1
1 [ ] e 2t s2
第四节
卷积
ℒ
1
t 1 2t [ 2 ] t e e 2( t )d 0 s ( s 2) 2t
e
第 二 章 拉 普 拉 斯 变 换t来自0 e 2 d
t 2 t 1 2 t 1 e [ e e ] 2 4 4 1 2t [e 2t 1] 4 s 1 ] 例4 求 ℒ [ 2 2 ( s 2 s 2)
t 0 的定义是无关的， 因此如果规定：当 t 0 时， f ( t ) g ( t ) 0, 则当 t 0 时，有
f ( t ) g( t )
0
f ( ) g( t )d
t 0
f ( ) g( t )d f ( ) g( t )d f ( ) g( t )d
t t t 0 0
1 t 1 t e t sin t e (sin t t cos t ) 2 2 et ( t sin t t cos t sin t ) 2
- 10 -
第四节
卷积
第四节
第 二 章 拉 普 拉 斯 变 换
卷积
一 卷积的概念
二 卷积定理
-1-
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卷积
一
卷积的概念
在第一章中定义了函数 f ( t )与g( t ) 的卷积
第 二 章 拉 普 拉 斯 变 换
f ( t ) g( t )
f ( ) g( t )d
在拉氏变换中一个函数 f ( t ) 的拉氏变换与 f ( t ) 在
du
证毕
F ( s )G ( s )
例2 解
求ℒ
1 [ 2 ] 2 ( s 4)
2 由于 ℒ [sin 2t ] 2 s 4
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卷积
第 二 章 拉 普 拉 斯 变 换
1 1 2 2 ] 原式 ℒ [ 2 2 s 4 s 4 4 1 sin 2t sin 2t 4 1 t sin 2 sin 2( t )d 4 0 1 t sin 2t cos 2t 16 8 1 1 ] 例3 求 ℒ [ 2 s ( s 2)
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第 二 章 拉 普 拉 斯 变 换
（3） ( f1 ( t ) f 2 ( t )) f 3 ( t ) f1 ( t ) ( f 2 ( t ) f 3 (t )) （结合律） （4） | f1 ( t ) f 2 ( t ) || f1 ( t ) | | f 2 ( t ) |
所以
s s1 1 ]ℒ [ 2 ] ℒ [ 2 2 2 ( s 2 s 2) ( s 2 s 2) 1 ℒ 1 [ ] 2 2 ( s 2 s 2)
1
(e t cos t ) (e t sin t ) (e t sin t ) (e t sin t )
(2.4.2)
ℒ
1
[F ( s)G( s)] f (t ) g(t )
st
[证]
ℒ [ f ( t ) g( t )] 0 f ( t ) g( t )e dt
t
e dt f ( ) g( t )d
st t 0 0
-5-
t
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