22.1.1 一元二次方程
一元二次方程 海淀区练习册
第二十二章 一元二次方程22.1 一元二次方程(1)学习要求：通过学习感受现实生活和学习环境中方程知识的实际意义、体会建模思想，接受和理解一元二次方程及相关概念，通过交流、辨析，能将方程化为一般形式，认识二次项系数、一次项系数、常数项等概念，并注意系数的符号．做一做： 填空题：1．一元二次方程5x 2＝3x ＋2的一般形式是____________，它的二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是______．2．已知方程(m ＋1)x 2－2mx ＝1是一元二次方程，那么m ≠______． 3．当m ______时，方程223213x x mx =--不是关于x 的一元二次方程．4．已知：方程(m 2－4)x 2－6(m －2)x ＋3m －4＝0，当m ______时，它是一元二次方程，当m ______时，它是一元一次方程． 选择题：5．把方程(2x ＋1)(3x ＋1)＝x 化成一般形式后，一次项系数和常数项分别是( ) (A)4，1 (B)6，1 (C)5，1 (D)1，6 6．下列方程中，一元二次方程是( ) (A)2x 4－5x 2＝0 (B)(2x 2＋7)2－3＝0 (C)012=+xx(D)0312142=++-x x7．把方程(2x －1)(3x ＋2)＝x 2＋2化成一般形式后，二次项系数和常数项分别是( ) (A)5，－4 (B)5，1 (C)5，4(D)1，－4解答题：8．根据题意，列出方程：(1)一个三角形的底比高多2cm ，三角形面积是30cm 2，求这个三角形的底和高．(2)两个连续正整数的平方和是313，求这两个正整数．(3)已知两个数的和为6，积为7，求这两个数．问题探究：已知关于x 的一元二次方程3(x －k )2＋4k －5＝0的常数项等于1，则所得关于k 的一元二次方程的一般形式是什么?22.1 一元二次方程(2)学习要求：进一步理解一元二次方程的概念，灵活掌握二次项系数、一次项系数、常数项，体会一元二次方程与现实生活的关系．做一做： 填空题：1．方程(x ＋1)(x ＋2)＝3化为一般形式是____________．2．两个连续奇数的积是255，求这两个数，若设较小奇数为x ，则根据题意，可得方程为____________．3．一个矩形的长比宽多2cm ，面积为30cm 2，求这个矩形的长与宽，设矩形的长为x cm ，列出方程为____________． 选择题：4．下列各方程中，一定是关于x 的一元二次方程的是( ) (A)mx 2＋8x ＝6x (x －1)－2 (B)ax 2＋bx ＋c ＝0 (C)(m 2＋1)x 2－5x ＋3＝0(D)x1＋5x ＋8＝05．下列各方程中，一定是关于x 的一元二次方程的个数是( )①1232=-x x ；②mx 2＋nx －4＝0；③11-=-x x x ；④x 2－x 2(1＋x 2)－2＝0 (A)4个 (B)3个 (C)2个 (D)1个6．长50cm ，宽30cm 的矩形薄铁片，在四个角截去四个大小相同的正方形，做成底面积为1200cm 2的无盖长方体盒子．设截去的小正方形边长为x cm ，列出的正确方程是( ) (A)(50－2x )(30－2x )＝1200 (B)(50－x )(30－x )＝1200 (C)(50－2x )(30－x )＝1200 (D)50 ³30－4x 2＝1200解答题：根据下列问题，列出方程(不必求解)．7．学校有一块长方形空地，长42米，宽30米，准备在中间开辟花圃，四周修建等宽的林荫小道，使小道的面积和花圃面积相等，求小道的宽．问题探究：根据方程：(50＋x )(40＋x )＝3000，你能结合身边的实际，编一个应用问题吗?试试看．22.2 降次——解一元二次方程(1)学习要求：在进一步理解一元二次方程的有关概念的基础上，结合平方根的意义，初步体会利用开平方可以将一些一元二次方程降次转化为一元一次方程．做一做：填空题： 1．x (x ＋2)＝5(x ＋2)的一般形式是_______，其中二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是______．2．若x ＝2满足方程x 2－12x －m ＝0，则m ＝______． 3．形如方程x 2＝a (a ≥0)的解是______．4．形如方程(x ＋m )2＝n (n ≥0)的解是______． 选择题：5．方程(x ＋2)2＝9的解为( ) (A)x 1＝9，x 2＝－9 (B)x 1＝9，x 2＝0 (C)x 1＝－9，x 2＝0(D)x 1＝1，x 2＝－5 6．方程(x ＋3)2－9＝0的解的情况为( ) (A)x 1＝3，x 2＝－3 (B)x 1＝0，x 2＝－6 (C)x 1＝9，x 2＝－6(D)x 1＝6，x 2＝07．方程4x 2－1＝0的根的情况是( ) (A)x ＝±2(B)0,2121=-=x x(C)21±=x(D)无实根解答题： 8．解下列方程：(1)x 2＝169； (2)5x 2＝125；(3)(x ＋3)2＝16；(4)(6x －7)2－128＝0．问题探究： 若等式24xa ²(a 1－2x )4＝a 9成立，求x 的值．22.2 降次——解一元二次方程(2)学习要求：在掌握了利用求平方根的方法解一元二次方程以后，结合完全平方的特征，体会转化思想：即配方转化降次求解一元二次方程．理解配方法的要领，掌握配方法的基本步骤．做一做： 填空题：1．根据公式a 2±2ab ＋b 2＝(a ±b )2，填充下列各式： (A)x 2＋8x ＋______＝(x ＋______)2 (B)x 2－2x ＋______＝(x －______)2(C)x 2＋x ＋______＝(x ＋______)2(D)x 2－x ＋______＝(x －______)2 选择题：2．用配方法解方程x 2－3x －1＝0时，以下解法中的配方过程正确的是( ) (A)x 2－3x －1＝0 (B)x 2－3x －1＝0x 2－3x ＋9＝9＋1 x 2－3x ＋9＝1(x －3)2＝10 (x －3)2＝1 (C)x 2－3x －1＝0(D)x 2－3x －1＝01494932+=+-x x 1232332+=+-x x413)23(2=-x 25)23(2=-x解答题：3．用配方法解下列方程： (1)x 2－6x ＋4＝0；(2)x 2＋5x －6＝0；(3)x 2＋6x ＋8＝0；(4)x 2＋4x －12＝0；(5)(2x －3)2－3＝0；(6)x 2＋2mx －n 2＝0．问题探究：求证：不论a 、b 取何实数，多项式a 2b 2＋b 2－6ab －4b ＋14的值都不小于1．22.2 降次——解一元二次方程(3)学习要求：在理解了配方法的基本思想和配方过程的基础之上，通过对一般形式的一元二次方程进行配方，从而导出求根公式，对求根公式要在理解的基础上记住它，并能利用它求解一元二次方程．做一做：填空题：1．一元二次方程4x (x ＋3)＝5(x －1)＋2的一般形式是______，其中a ＝______，b ＝______，c ＝______．2．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的判别式为______．3．已知关于x 的一元二次方程s －r ＝sx 2－rx ＋sx －rx 2＋t (s －r ≠0)的一般形式是______，其中a ＝______，b ＝______，c ＝_______． 选择题：4．已知一元二次方程x 2－2x －m ＝0，用配方法解该方程，配方后的方程是( ) (A)(x －1)2＝m 2＋1 (B)(x －1)2＝m －1 (C)(x －1)2＝1－m(D)(x －1)2＝m ＋15．方程x 2＝x ＋1的解是( ) (A)1+=x x(B)251±=x(C)1+±=x x(D)251±-=x6．方程x 2－6x －3＝0的解的情况为( ) (A)有两个相等的实数根 (B)有两个不等的实数根 (C)有一个实数根(D)没有实数根解答题： 7．用公式法解方程： (1)2x 2＋2x ＝1；(2)5x ＋2＝3x 2；(3)x (x ＋8)＝16；(4)(2y ＋1)(3y －2)＝3．问题探究：在方程x 2＋mx ＋n ＝0的两个根中，有一个根为0，另一个根不为0，那么m ，n 应满足( )(A)m ＝0，n ＝0(B)m ≠0，n ≠0 (C)m ≠0，n ＝0(D)m ＝0，n ≠022.2 降次——解一元二次方程(4)学习要求：在理解配方法和掌握求根公式之后，应能准确认识公式中的a ，b ，c ．结合实际应用它．应用公式法求解一元二次方程．要养成认真踏实的学习习惯，提高运算的正确率． 做一做： 填空题：1．方程x 2＋x －3＝0的两根是____________． 2．方程x (x ＋1)＝2的根为____________．3．两个连续奇数之积是143，设其中较小的奇数为y ＋1，则可得关于y 的一元二次方程的一般形式是________________________． 选择题：4．已知px 2－3x ＋p 2－p ＝0是关于x 的一元二次方程，则( ) (A)p ＝1(B)p ＞0(C)p ≠0 (D)p 为任意实数5．已知x 2－3x ＋1＝0，则xx 1+的值为( )(A)3 (B)－3 (C)23 (D)16．下列方程中，两实根之和等于零的是( )(A)9x 2＋4＝0 (B)(2x ＋3)2＝0 (C)(x －1)2＝4 (D)5x 2＝6 解答题： 7．解下列方程： (1)x 2＋3x －4＝0； (2)x 2－x －1＝0；(3)－2x 2＝5x －3；(4)3x 2＋2x ＝4．问题探究：一根长36cm 的铁丝剪成相等的两段，一段弯成矩形，另一段弯成有一边长为5cm 的等腰三角形．如果弯成的矩形和等腰三角形的面积相等，求矩形的长与宽．22.2 降次——解一元二次方程(5)学习要求：在理解了利用求平方根的思想来达到降次求解一元二次的方程之后，因式分解又是一种转化的思想，来实现将一元二次方程降次为一元一次方程求解．做一做： 填空题：1．当x ＝3时，(x －3)(x ＋3)的值为____________． 2．方程x (x －3)＝0的根为______________．3．方程x 2＝x 的右边化为零后变为________，左边分解因式后化为______，原方程的解为______选择题：4．关于x 的方程(m 2－m )x 2＋mx ＋n ＝0是一元二次方程的条件是( ) (A)m ≠0 (B)m ≠1 (C)m ≠0或m ≠1 (D)m ≠0且m ≠1 5．方程x 2＝2x 的解是( ) (A)x ＝0(B)x ＝2(C)x ＝0或x ＝2 (D)x ＝±2 6．方程(x －3)2＝3－x 的解是( ) (A)x ＝3 (B)x ＝2或x ＝3 (C)x ＝2(D)x ＝4解答题：7．用因式分解法解方程： (1)(x －1)(x －2)＝0；(2)x 2－3x ＝0；(3)x2－4x＋4＝0；(4)x2－5x＋4＝0．问题探究：若等腰三角形的两边长分别是方程x2－9x＋14＝0的两根．那么这个等腰三角形的周长是多少?22.2 降次——解一元二次方程(6)学习要求：进一步体会利用因式分解法降次的基本思想，掌握因式分解法求解一元二次方程．做一做：填空题：1．分解因式：2x2＋5x－3＝____________．2．用因式分解法解方程x2－5x＝6，得方程的根为____________．3．方程2(x＋3)2－5(x＋3)＝0的解为______．最简便的解法是____________．4．若代数式x2＋6x的值为零，则x的值为______．选择题：5．已知(x＋y)(x＋y＋2)＝15，则x＋y的值为( )(A)3或5 (B)3或－5(C)－3或5 (D)－3或－56．下列方程：①x2－5x－6＝0；②x2－6x－5＝0；③x2＋5x＋6＝0；④x2＋6x＋5＝0．适宜用因式分解求解的是( )(A)①、②、③、④(B)①、③、④(C)①、②、③(D)②、③、④解答题：7．解下列方程：(1)9(x－3)2＝25；(2)6x2－x＝1；(3)x2＋4x－96＝0；(4)x(x－1)＝2；(5)4(2x－1)2＝9(x－2)2；(6)(2x－3)2－2(3－2x)＝8．问题探究：当k是什么整数时，方程(k2－1)x2－6(3k－1)x＋72＝0只有正整数根?22.2 降次——解一元二次方程(7)学习要求：在掌握了配方法、公式法及因式分解法求解一次二次方程之后，同学们应注意灵活地应用这些知识．做一做：填空题： 1．方程0)75.0)(5.0()43(2=--+-x x x 的较小根是____________．2．已知单项式xx ba 3222-与4221b a -是同类项，则x 的值是__________．3．++x x 222______＝(x ＋______)2．4．4x 2－______＋9＝(______－3)2．选择题： 5．方程x (x 2＋1)＝0的实数根的个数是( ) (A)0(B)1(C)2(D)36．下列方程中，两根分别为－1＋3和－1－3的是( ) (A)0)31)(31(=--++x x (B)0)31)(31(=+--+x x (C)0)31)(31(=--+-x x(D)0)31)(31(=++-+x x解答题： 7．解下列方程 (1)x 2－6x ＋4＝0；(2)x 2－22x －3＝0；(3)2y (y ＋2)＝(y ＋2)； (4)(2x －1)2－4＝0；(5)3y 2＋1＝23y ；(6)(2x －1)(x －2)＝－1．问题探究：小明养了一群鸽子，小亮问小明养了几只鸽子，小明说：“如果你给我一只鸽子，那么鸽子总数的平方是鸽子总数的9倍．”你知道小明现在有几只鸽子吗?阅读与思考——一元二次方程的近似解与连分数学习要求：将一些具体值代入所要解的一元二次方程，大致估计出一元二次方程解的范围，再在这个范围内逐步加细赋值，逐步估计出一元二次方程的近似解．这就是求一元二次方程近似解的基本要领．下面介绍另外一种估计一元二次方程近似解的方法．方程：x 2－3x －1＝0，因为x ≠0，所以先将其变形为x ＝x13+，用x13+代替x ，得xxx 131313++=+=反复若干次用x13+代替x ，就得到x x +++++++=3131313131313形如上式右边的式子称为连分数．可以猜想，随着替代次数的不断增加，右式最后的x1对整个式子的值的影响将越来越小，因此可以根据需要，在适当的时候把x1忽略不计，例如，当忽略x ＝x13+中的x1时，就得到x ＝3，当忽略xx 1313++=的x1时，就得到313+=x ；如此等等．于是就可以得到一系列分数：,,3131313,31313,313,3 ++++++即： .30303.333109,3.31033,333.3310,3 ===可以发现它们越来越趋于方程x 2－3x －1＝0的正根．同学们不妨利用此方法求一求方程x 2－5x －1＝0的近似解．22.3 实际问题与一元二次方程(1)学习要求：在学习一元二次方程的解法的过程中，同学们应注意与实际问题相联系，逐步培养用方程的思想与知识解决实际问题的能力，培养学数学用数学的意识． 做一做： 填空题：1．某公司10月份产值为a 万元，比5月份增长20％，则5月份产值为____________． 2．一个六位数，低位上的三个数字组成的三位数是a ，高位上的三个数字组成的三位数是b ，现将a ，b 互换，则得到的六位数是____________ 3．一项工程，甲班干完需m 天，乙班干完需(m ＋2)天，甲、乙两班合干，完成工程需__________________天．选择题：4．甲走20天的路程乙走30天，已知乙每天走15千米，问甲每天走多少千米?在下列几种设未知数的写法中，正确的是( ) (A)设甲每天走x (B)设甲速为x 千米 (C)设甲走x 千米(D)设甲每天走x 千米5．一件工作，甲独做4天完成，乙独做6天完成，则二人合做( )天完成． (A)6(B)5(C)512(D)2解答题：6．列方程解应用题：(1)两个数的差为4，它们的积为45，求这两个数．(2)一个直角三角形的三条边的长是三个连续的整数，求三条边的长．(3)某林场第一年造林200亩，第一年到第三年共造林728亩，求后两年造林面积的平均增长率．问题探究：我国古代数学家杨辉所著的《田亩比类乘除捷法》中有这样一题：直田积(矩形面积) 八百六十四步(平方前)，只云长阔(长与宽)共六十步，问阔及长各几步?22.3 实际问题与一元二次方程(2)学习要求：进一步运用方程解决实际问题，逐步培养逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力． 做一做： 填空题：1．某公司今年的年产值是1000万元，若以后每年的平均增长率为10％，则两年后该公司的年产值是______万元．2．制造某种产品，原来每件的成本是100元，由于连续两次降低成本，现在的成本是每件81元，则平均每次降低成本的百分率是______．3．一块长方形硬纸片，在它的四个角上截去四个小正方形，折成一个没有盖子的长方体盒子，已知纸片的长为40cm，宽为32cm，要使盒子的底面积为768cm2，则截去的小正方形边长应为______cm．解答题：4．有一个两位数恰等于其个位与十位上的两个数字乘积的3倍，已知十位上的数字比个位上的数字小2，求这个两位数．5．某电冰箱厂今年每个月的产量都比上个月增长同样的百分数．已知该厂今年4月份的电冰箱产量为5万台，6月份比5月份多生产了12000台，求该厂今年产量的月增长率．6．某养鸡场的矩形鸡舍一边靠墙，另三边用竹篱笆围成，现有材料可制作竹篱笆13m，若欲围成20m2的鸡舍，鸡舍的长、宽应各是多少?问题探究：第6题中，利用13m的竹篱笆，能围成21m2的鸡舍吗?能围成22m2的鸡舍吗?若能围成，求出鸡舍的长和宽，若不能围成，说明理由．22.3 实际问题与一元二次方程(3)学习要求：通过应用一元二次方程解决一些实际问题，进一步体会学数学用数学的意识，培养分析问题和解决问题的能力．做一做：选择题：1．已知两个连续奇数的积为63，求这两个数．设其中一个数为x，甲、乙、丙三同学分别列出方程①x(x＋2)＝63 ②x(x－2)＝63 ③(x－1)(x＋1)＝63其中正确的是( )(A)只有①(B)只有②(C)只有①②(D)①②③都正确2．某机床厂今年一月份生产机床500台，三月份生产机床720台，求二，三月份平均每月的增长率，设平均每月增长的百分率为x，则列出方程正确的是( )(A)500＋500x＝720 (B)500(1＋x)2＝720(C)500＋500x2＝720 (D)(500＋x)2＝7203．生物兴趣小组的同学，将自己采集到的标本向本组其他组员各赠送一件，全组共互赠了182件，全组共有多少名同学?设全组有x 名同学，则根据题意列出的方程是( ) (A)x (x ＋1)＝182 (B)x (x －1)＝182 (C)x 21(x ＋1)＝182(D)x 21(x －1)＝1824．某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值175亿元，问二月、三月平均每月的增长率是多少．设每月的平均增长率为x ，根据题意列方程为( ) (A)50(1＋x )2＝175(B)50＋50(1＋x )2＝175(C)50(1＋x )＋50(1＋x )2＝175 (D)50＋50(1＋x )＋50(1＋x )2＝175解答题：5．为响应国家“退耕还林”的号召，改变某省水土流失严重的现状，2004年某省退耕还林1600公顷，到2006年全年退耕还林1936公顷，问这两年平均每年退耕还林的增长率是多少?6．某人用1000元人民币购买一年期的甲种债券，到期后兑换人民币并将所得利息购买一年期的乙种债券，若乙种债券的年利率比甲种债券的年利率高2个百分点，到期后，此人将乙种债券兑换人民币共得本息和112元，求甲种债券的年利率．问题探究：在长为a 的线段AB 上有一点C ，且AC 是AB 和BC 的比例中项，试求线段AC 的长．观察与猜想——一元二次方程根与系数的关系学习要求：一元二次方程根与系数的关系作为观察与猜想提供给同学们，同学们还是应认真研究，交流体会，它能更深入地认识和理解一元二次方程．学有余力的同学还可以学习它在其它方面的应用．做一做： 填空题：1．如果x 1，x 2是方程2x 2＋4x －1＝0的两根，那么x 1＋x 2＝______，x 1²x 2＝______． 2．若α ，β 是一元二次方程x 2－3x －2＝0的两个实数根，则=+βα11______．3．若α ，β 是方程x 2－3x ＝5的两根，则α 2＋β 2－α β 的值是______．4．若x 1，x 2是方程2x 2＋ax －c ＝0的两个根，则x 1＋x 2－2x 1x 2等于______(结果用a ，c 表示)．选择题： 5．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是零的条件是( ) (A)b 2－4ac ＝0 (B)b ＝0 (C)c ＝0 (D)c ≠06．若α ，β 是方程2x 2＋3x －4＝0的两根，则α ＋α β ＋β 的值是( ) (A)－7(B)213-(C)21-(D)77．已知一元二次方程5x 2＋kx －6＝0的一个根是2，则方程的另一个根为( ) (A)53 (B)53-(C)－3(D)38．已知一元二次方程2x 2－3x ＋3＝0，下列说法中正确的是( ) (A)两个实数根的和为23- (B)两个实数根的和为23(C)两个实数根的积为23(D)以上说法都不正确解答题：9．设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两个根，利用根与系数的关系计算下列各式的值：(1);221221x x x x +(2)(x 1－x 2)2．10．若关于x 的方程2x 2＋(k ＋1)x ＋k ＋2＝0的一个根是2，求它的另一个根．问题探究：已知关于x 的方程x 2－2(m －2)x ＋m 2＝0．问：是否存在实数m ，使方程的两个实数根的平方和等于56．若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．数学活动(1)学习要求：通过合作、交流、归纳与探索，挖掘一元二次方程两根与一些二次三项式的分解因式之间的内在联系，认识二次三项式的因式分解，并进一步理解一元二次方程的根．做一做：我们已经学过一些特殊的二次三项式的因式分解，如3x 2－2x ＝x (3x －2) x 2－9＝(x ＋3)(x －3)x 2＋4x ＋4＝(x ＋2)2但对于一般的二次三项式ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，你能把它分解因式吗? 观察下列各式，你能发现什么呢?通过上面的计算、观察，你能得到什么结论呢?设方程ax ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实数根为x 1，x 2，则二次三项式分解因式为ax 2＋bx ＋c ＝_________________________．你能说说其中的道理吗?根据你们得到的结论，试一试将下列因式分解． (1)x 2＋20x －69； (2)24x 2－2x －35；(3)x 2－x －1；(4)2x 2－6x ＋3．数学活动(2)学习要求：通过合作、交流利用方程的知识解决一些实际问题，体会建立数学模型、学数学用数学的意识，提高学习基本素养．做一做：1．如果与水平面成45°角向斜上方投掷标枪，那么标枪飞行的水平距离S (单位：m)与标枪出手的速度v (单位：m/s)之间大致有如下关系：28.92+=vS ．某同学按这种要求投掷标枪，标枪飞行的水平距离为42m ，求标枪出手时的速度(结果精确到0.1m/s)．2．某商场销售一批名牌衬衫，现在平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果这种衬衫的售价每降低1元，那么商场平均每天可多售出2件．商场若要平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元?3．小明将勤工俭学挣得的500元钱按一年定期存入银行，到期后取出50元用来购买学习用品，剩下的450元连同应得税后利息又全部按一年定期存入银行．如果存款的年利率保持不变，且到期后可得税后本息约461元，那么这种存款的年利率大约是多少?(利息税为利息的20％，结果精确到0.01％)．数学活动(3)学习要求：通过合作、交流、实践与探索，初步学习把现实世界的问题化为纯数学的问题，即建立数学模型，培养创新精神与实践能力．课题：洗衣服的数学问题．现在衣物已打好了肥皂，揉搓得很充分了，再拧一拧，当然不可能完全把水拧干，设衣服上还残留含有污物的水1斤，用20斤清水来漂洗，怎样才能漂得更干净?(1)如果把衣服一下放到20斤清水里，那么连同衣服上那1斤水，一共21斤水，污物均匀分布在这21斤水里，拧干后，衣服上还有1斤水，所以污物残存量是原来的⋅211如何洗，效果更佳呢?(2)如果衣服上残存水量是1.5斤或2斤，洗衣用水量是37斤，那么又该怎么洗法?复 习学习要求：通过复习，全面认识和理解一元二次方程的有关概念，掌握用公式法、因式分解法求解一元二次方程．理解配方法原理及这一思想的含意，会用方程的思想解决一些实际问题，认识根与系数之间的关系．做一做： 填空题：1．方程(2x －1)(3x ＋2)＝x 2＋2化为一般形式后，a ＝______，b ＝______，c ＝______． 2．y 2－4y ＋______＝(y －______)2． 3．+-x x 252______＝(x －______)2．4．如果关于x 的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根是x 1＝1，x 2＝3，那么这个一元二次方程是______． 5．等腰△ABC 两边的长分别是一元二次方程x 2－5x ＋6＝0的两个解，则这个等腰三角形的周长是______．选择题： 6．①,542=-x ②xy ＝1，③2122=+xx④0312=x，以上方程中，是一元二次方程的有( )(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个 7．x 2－3＝3x 化为一般式后，a ，b ，c 的值分别为( ) (A)0，－3，－3 (B)1，－3，3 (C)1，3，－3 (D)1，－3，－3 8．解方程3x 2＋27＝0得( ) (A)x ＝±3 (B)x ＝3(C)x ＝－3(D)无实根9．方程0)21()21(2=--+x x 的解是( )(A)332,021-==x x (B)223,121-==x x (C)322,021-==x x(D)x 1＝0，x 2＝110．下面是李刚同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是( )(A)若x 2－8＝0，则22=x (B)方程x (2x －1)＝2x －1的解为x ＝1(C)若方程x 2＋2x ＋k ＝0有一个根是－3，则k ＝－3 (D)若分式1232-+-x x x 的值等于零，则x ＝1或2解答题：11．用适当的方法解下列方程：(1);17.052=+x(2)4x 2＋3x ＝0；(3)x 2－25x ＋144＝0； (4)(3y －2)2－5(3y －2)＝14；(5)x 2－6x ＋6＝0； (6)(x ＋6)(x －7)＝14．12．一个两位数的两个数字之和为9，把个位数与十位数字互换后所得的新数乘以原数，积为1458，求这个两位数．13．有一个两位数等于其各位数字之和的4倍，其中十位数字比个位数字小2，求此两位数．14．已知关于x 的方程x 2－bx －a ＝0有两等根，且一次函数y ＝ax ＋b 的图像如图所示，又a 、b 满足5||2=--b a b ，求a 2＋b 2的值．图115．爱华中学从2003年到2006年四年内师生共植树2008棵，已知该校2003年植树353棵，2004年植树500棵，如果2005年和2006年植树棵数的年增长率相同，那么该校2006年植树多少棵?第二十二章 一元二次方程测试题填空题(每题6分，满分36分)1．一元二次方程的一般形式是________________，当一次项系数为零时，其形式为_______ _________．2．方程2x 2＝9的二次项系数是________________，一次项系数是________________常数项是________________选择题：3．方程①5x 2－38＝x ，②4x 2－5y ＋9＝0，032=x ③，0312=+-xx ④中，是一元二次方程的有( )(A)①② (B)①(C)①③④ (D)①③ 4．把方程x 2＋3＝4x 配方，得( ) (A)(x －2)2＝7 (B)(x ＋2)2＝1 (C)(x －2)2＝1(D)(x ＋2)2＝25．方程x 3＝3x 的所有的解为( ) (A)0(B)0，3(C)3,3- (D)3,3,0-6．方程(x ＋m )2＝n 2的解为( ) (A)x ＝－m ± n (B)x ＝m ±n(C)x ＝m ＋n(D)x ＝－m ＋n解答题：7．解下列方程：(每题6分，满分36分)(1)x 2－3x ＋2＝0；(2)(y －2)2＝3；(3)(2x ＋1)2＋3(2x ＋1)＝0； (4)x 2－4x ＝8；(5)6x 2－4＝2x ；(6)3x 2＋5(2x ＋1)＝0．8．(9分)一个两位数，它的十位数字比个位数字小3，而它的个位数字的平方恰好等于这个两位数，求这个两位数．9．(9分)某发电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过akWh ，那么这个月这户居民只要交10元电费．如果超过akWh ，则这个月除仍要交10元电费外，超过部分还要按100a 元/kWh 交费．下表是一户居民3月和4月的用电情况及交费情况：10．(10分)一次函数y ＝x ＋b 与反比例函数xk y 3+=图象的交点为A (m ，n )，且m 、n (m ＜n )是关于x 的一元二次方程kx 2＋(2k －7)x ＋k ＋3＝0的两个不相等的实数根，其中k 为非负整数，m 、n 为常数．(1)求k 的值；(2)求点A 的坐标与一次函数、反比例函数的解析式．参考答案第二十二章 一元二次方程22.1 一元二次方程(1)1．5x 2－3x －2＝0，5，－3，－2． 2．－1 3．＝3 4．≠±2， ＝－2 5．A 6．D 7．A 8．(1)设宽为x cm ，x (x ＋2)＝15 (2)设两个连续的整数分别为x ，x ＋1．x 2＋(x ＋1)2＝313．(3)设一个数为x ．x (6－x )＝7问题探究：3k 2＋4k －6＝022.1 一元二次方程(2)1．x 2＋3x －1＝0 2．x (x ＋2)＝255 3．x (x －2)＝30 4．C 5．D 6．A 7．设小道的宽为x 米．(42－2x )(30－2x )＝304221⨯⨯ 问题探究：略22.2 降次——解一元二次方程(1)1．x 2－3x －10＝0，1， －3， －10 2．－20 3．a x ±= 4．n m x ±-= 5．D6．B 7．C 8．(1)x ＝±13 (2)x ＝±5 (3)x 1＝1，x 2＝－7 (4)6287±=x 问题探究：25或21-22.2 降次——解一元二次方程(2)1．(A)16，4 (B)1，1 (C)21,41 (D).21,41 2．C 3．(1),531+=x 532-=x(2)x 1＝1，x 2＝－6 (3)x 1＝－2，x 2＝－4 (4)x 1＝2，x 2＝－6 (5)233±=x (6)22n m m +±- 问题探究．提示：将a 2b 2＋b 2－6ab －4b ＋14进行配方为a 2b 2－6ab＋9＋b 2－4b ＋4＋1＝(ab －3)2＋(b －2)2＋1，可证22.2 降次——解一元二次方程(3)1．4x 2＋7x ＋3＝0，4，7，3 2．b 2－4ac 3．(s －r )x 2＋(s －r )x －s ＋r ＋t ＝0，s －r ，s －r ， －s ＋r ＋t 4．D 5．B 6．B 7．(1)231±-=x (2)2,3121=-=x x ，(3)x244±-= (4)65,121-==y y 问题探究：C22.2 降次——解一元二次方程(4)1．2131,213121--=+-=x x 2．x 1＝－2，x 2＝1 3．y 2＋4y －140＝0 4．C5．A 6．D 7．(1)x 1＝1，x 2＝－4 (2)251,25121-=+=x x (3)211=x ，x 2＝－3(4)3131,313121--=+-=x x 问题探究：长：cm 2219+宽cm 2219-，或长cm 2339+宽cm 2339-22.2 降次——解一元二次方程(5)1．0 2．x 1＝0，x 2＝3 3．x 2－x ＝0，x (x －1)＝0，x 1＝0，x 2＝1 4．D 5．C 6．B 7．(1)x 1＝1，x 2＝2 (2)x 1＝0，x 2＝3 (3)x 1＝x 2＝2 (4)x 1＝4，x 2＝1 问题探究：1622.2 降次——解一元二次方程(6)1．(2x －1)(x ＋3) 2．x 1＝6，x 2＝－1 3．－3，21- 因式分解 4．0或－6 5．B 6．B7．(1)34,31421==x x (2)31,2121-==x x (3)x 1＝8，x 2＝－12 (4)x 1＝2，x 2＝－1(5)78,421=-=x x (6)25,2121=-=x x 问题探究：1，2，3．提示：分两种情况讨论：(1)当k 2－1＝0，即k ＝±1，检验当k ＝1时，x ＝6，k ＝－1时，x ＝－3(不合题意舍去) (2)k 2－1≠0时，用因式分解法可得,16,11221-=+=k x k x 因k 为整数，要使x 1，x 2，都为整数，只有k ＝2，k ＝3，综上所述k ＝1，2，322.2 降次——解一元二次方程(7)1．852．4或－1 3．2,2 4．12x ，2x 5．B 6．D 7．(1)53,5321-=+=x x(2)52,5221-=+=x x (3)21,221=-=y y (4)23,2121=-=x x(5)3321==y y (6)1,2321==x x 问题探究：8只 22.3 实际问题与一元二次方程(1)1．a 65万元 2．1000a ＋b 3．22)2(++m m m 4．D 5．C 6．(1)5，9或－5，－9 (2)3，4，5 (3)20％ 问题探究：阔为24步，长为36步22.3 实际问题与一元二次方程(2)1．1210 2．10％ 3．4 4．24 5．20％ 6．长8m ，宽2.5m 或长5m ，宽4 m ．问题探究：能围成21m 2的，长为7m ，宽为3m ，也可为长6m ，宽3.5m ，不能围成22m 2的22.3 实际问题与一元二次方程(3)1．C 2．B 3．B 4．D 5．10％ 6．10％ 问题探究：a 215-观察与猜想——一元二次方程根与系数的关系1．－2，21- 2．23-3．24 4．c a +-25．C 6．B 7．B 8．D 9．(1)29(2)3 10．21-问题探究：m ＝－2，提示：由,562221=+x x ，即(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝56，所以有[2(m －2)]2－2m 2＝56 解之m 1＝－2，m ＝10，检验可知m ＝10不合题意数学活动(1)(1)(x －3)(x ＋23) (2)(6x ＋7)(4x －5) (3))251)(251(--+-x x(4))233)(233(2--+-x x数学活动(2)1．标枪出手时的速度约为19.8m/s ． 2．每件衬衫应降价20元 3．这种存款的年利率大约为1.44％数学活动(3)略复 习1．5，1， －4 2．4，2 3．45,1625 4．x 2－4x ＋3＝0 5．7或8 6．B 7．D 8．D9．C 10．C 11．(1)26±=x (2)43,021-==x x (3)x 1＝9，x 2＝16 (4)y 1＝0，y 2＝3 (5)33±=x (6)x 1＝－7，x 2＝8 12．18或81 13．24 14．45 15．605棵第二十二章 一元二次方程测试题1．ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，ax 2＋c ＝0(a ≠0) 2．2，0， －9 3．D 4．C 5．D 6．A7．(1)x 1＝1，x 2＝2 (2)32,3221-=+=y y (3)211-=x ，x 2＝－2(4)x 1＝,322+ 3222-=x (5)321-=x ，x 2＝1 (6)3105,310521--=+-=x x8．25或36 9．a ＝50(kWh) 10．(1)k ＝1，(2)A (1，4)，y ＝x ＋3，x y 4=。
华东师大版九年级上册 数学 教案 22.1 一元二次方程
22.1 一元二次方程
教学目标：
知识与技能：1、知道一元二次方程的定义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式（≠0），能分清一元二次方程的二次项及系数、一次项及系数、常数项。
2、会用试验的方法估计一元二次方程的解。
数学思考及问题解决：
通过观察，归纳一元二次方程的概念。
情感态度：
在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。
重点
一元二次方程的概念及一般形式
难点：
1．会正确识别一般式中的“项”及“系数”和列一元二次方程。
2．理解用试验的方法估计一元二次方程的解的合理性。
教学过程：
教学环节教学内容教师活动
学生活
动
设计意
图
情1．问题一
绿苑小区住宅设计，准备在每
两幢楼房之间，开辟面积为900平
方米的一块长方形绿地，并且长比
宽多10米，那么绿地的长和宽各
为多少？
2．问题二
学校图书馆去年年底有图书5
分析：对于问题一，设长
方形绿地的宽为x米，不难列出
方程x(x＋10)＝900
整理可得x2＋10x－900=0.（1）
对于问题二，设这两年的年
平均增长率为x，我们知道，去
年年底的图书数是5万册，则今
年年底的图书数是5（1＋x）万
册；同样，明年年底的图书数又
让学生
通过列
方程，感
受到有a
.。
22.1 一元二次方程 课件7(人教版九年级上册)
问题 (1) 要设计一座高 2m 的人体雕像 , 使雕像的 上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比 ,等于下部 与全部的高度比 , 求雕像的下部应设计为高多少 A 米? 2-x 分析: 雕像上部的高度AC,下部的高度BC
应有如下关系:
C
?
AC BC 2 2 AC 即 BC BC 2
设雕像下部高xm,于是得方程
学习目标
• 1、了解一元二次方程的概念； • 2、一般式ax2+bx+c=0（a≠0） 及其派生的概念； • 3、会应用一元二次方程概念解 决一些简单题目
自学指导
自学教材P25-26内容，进一步体验数学建模思想 1、理解一元二次方程的概念。 2、掌握一元二次方程的一般形式（二次项、一 次项、常数项指什么？包括符号吗？）。 3、会将一个一元二次方程化为一般形式，并说 明其中各项。 能正确处理27页练习题 • 10分钟后看谁能达到目标，正确解答+ c = 0 (a ≠ 0)
二次项系数
一次项系数
检测题一
下列方程中哪些是一元二次方程？ 2 2 (1) x 2 x 5 0 (2)4 x 3 y 1 0
(3)ax bx c 0
2
2
(4) x( x 1) 2 0
1 2 (6)(m 2) 1 (5)a 0 a (1) ( 4) (6) 是一元二次方程的有：
• 3. 将下列方程化为一般形式，并 分别指出它们的二次项、一次项和 常数项及它们的系数：
⑴ 6y y
2
⑵ ⑶
( x 2)(x 3) 8
(2 3 x)(2 3 x) ( x 3)
2
?
练习：
•P27 1、2
一元二次方程第一课时
x 22．1 一元二次方程（1）问题1 要设计一座2m 高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，雕像的下部应设计为多高？分析：设雕像下部高x m ，则上部高________,得方程_____________________________整理得_____________________________ ①问题2 如图，有一块长方形铁皮，长100cm ，宽50cm ，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。
如果要制作的无盖方盒的底面积为3600c ㎡，那么铁皮各角应切去多大的正方形？分析：设切去的正方形的边长为x cm ，则盒底的长为________________,宽为_____________.得方程_____________________________整理得_____________________________ ②问题3 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场。
根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？分析：全部比赛的场数为___________设应邀请x 个队参赛,每个队要与其他_________个队各赛1场，所以全部比赛共_________________场。
列方程____________________________化简整理得 ____________________________ ③请口答下面问题：（1）方程①②③中未知数的个数各是多少？___________（2）它们最高次数分别是几次？___________方程①②③的共同特点是： 这些方程的两边都是_________，只含有_______未知数（一元），并且未知数的最高次数是_____（二次）的方程.1.一元二次方程:_______________________________________________________________________________________________________.2. 一元二次方程的一般形式:____________________________一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax 2是____________，_____是二次项系数；bx 是__________,_____是一次项系数；_____是常数项。
一元二次双向细目表
3.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．
4.掌握用因式分解法解一元二次方程.
22．2降次———一元二次方程
1、用配方法解方程.
√
2.用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况.
3.ห้องสมุดไป่ตู้式法解一元二次方程．
4.因式分解法解一元二次方程.
九年级（上）数学第22章一元二次方程——知识双向细目表（人教版）
章
新课程
内容标准
节
考点
知识水平
能力
了解
理解
应用
第22章
一
元
二
方
程
了解一元二次方程的概念及其一般式；应用一元二次方程概念解决一些简单题目．
22．1一元二次方程
1、一元二次方程的概念及其一般形式
√
2、用一元二次方程概念解决一些简单题目．
√
1.理解通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．
√
√
√
1.掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题．
2.掌握建立数学模型以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题．
3.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．
4.掌握运用速度、时间、路程三者的关系建立数学模型并解决实际问题．
22．3实际问题与一元二次方程
1、用“倍数关系”建立数学模型
√
2、全面地比较几个对象的变化状况
√
3、根据面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型．
√
√
4.用速度、时间、路程三者的关系建立数学模型
22.1一元二次方程(一)
原 方 程
5x 1 4 x
2 2
一 般 形 式
5x 4 x 1 0
二次 一次 常 项系 项系 数 数 数 项
5 －4 －1 4 0 －81 4 8 －25 3 －7 1
4 x 2 81
4x x 2 25
4 x 2 81 0
4 x 2 8x 25 0
1 2 (6)(m 2) 1 (5)a 0 a (1) ( 4) (6) 是一元二次方程的有：
例题2
将方程（3x-2）(x+1)=8x-3 化为一 元二次方程的一般形式，并写出二次项 系数、一次项系数及常数项。 解：去括号，得 3x2+3x-2x-2=8x-3 移项，合并同类项得 3x2-7x+1=0
一元二次方程的概念
• 像这样的等号两边都是整式, 只含有 一个未知数(一元)，并且未知数的最 高次数是2(二次)的方程叫做一元二次 方程(quadratic equation in one unknown) 1 10 x 900 0 是一元二次方程吗？ 2 x
一元二次方程的一般形式 一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以 化为 ax 2 bx 的形式 ,我们把 c 0 ax 2 bx c 0 (a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。 想一想
知识要点
一元二次方程的一般形式 二次项系数 a≠0 一次项系数
2 ax +
二次项
bx +c = 0
一次项 常数项
a2 =
9 4
x2 ＋ 2x = 255 x2 － 11x = － 30
2x2 － 2x = 0 x2－18x＋45 = 0
……
华师大版-数学-九年级上册-22.1 一元二次方程 教学设计
22.1一元二次方程教学目的：掌握一元二次方程的概念和一元二次方程的一般形式；正确认识一元二次方程中二次项系数、一次项系数，常数项；教学重点：一元二次方程的一般形式；教学难点：正确认识一元二次方程中二次项系数、一次项系数，常数项；教学过程：一、问题导入：问题一：绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？现设长方形绿地的宽为x 米，则长为米，可列方程整理得【答案】现设长方形绿地的宽为x 米，可列方程x (x ＋10)＝900整理可得x 2＋10x －900=0.问题二：学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7．2万册．求这两年的年平均增长率．设这两年的年平均增长率为x ．已知去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是万册；同样，明年年底的图书数又是今年年底的万册．可列得方程整理可得【答案】设这两年的年平均增长率为x ，可列得方程5（1＋x ）2=7.2,整理可得 5x 2＋10x －2.2=0.二、一元一次方程：问题三：前面我们已经认识了一元一次方程，那么方程和是一元一次方程吗？答案显而易见，不是.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？0900102=-+x x 02.21052=-+x x【答案】方程，中都只含有1个未知数，并且未知数的最高次数都是2，这样的整式方程叫做一个一元二次方程．一元二次方程的一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0(a 、b 、c 是已知数，a ≠0)其中a 叫做二次项系数、b 叫一次项系数，c 叫常数项.三、例题讲解例：把方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数，常数项.【答案】原方程可化为：3x 2－5x －12＝0∴二次项系数是3，一次项系数是－5，常数项是－12.四、巩固练习：五、课堂小结这节课你学会了什么？六、作业：备课资料：A 组：1.填空：⑴下列有8个方程：①② ③④⑤⑥ ⑦⑧其中是一元二次方程的有；⑵将方程化为一元二次方程的一般形式为； ⑶一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项之和为.⑷如果一元二次方程的系数满足，那么方程必有一个0900102=-+x x 02.21052=-+x x 82213++=-)()(x x x 23123x x =+5=+y y 0322=-+x y 012=+++x n m mnx )(04322=+-x x 0312=++y y 22143)(-==+y y y )(002≠=++p m qx px 2532+=x x 01422=-+x x )(002≠=++a c bx ax 0=++c b a根为.【答案】⑴①⑤⑧；⑵3x 2-5x -2=0 ；⑶5；⑷12.将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）；（2）（3）；（4）【答案】（1）6x 2+7x -3=0；二次项系数6、一次项系数7和常数项-3（2）5x 2-26x +5=0二次项系数5、一次项系数-26和常数项5（3）3x 2-5x =0；二次项系数3、一次项系数-5和常数项0（4）5y 2+36y -32=0二次项系数5、一次项系数36和常数项-32B 组：1.写出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）（ （2）（ 【答案】（1）（二次项系数ab 、一次项系数c 和常数项d（2）（二次项系数（m -n ）、一次项系数m 和常数项n 2.把方程 (化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项.【答案】（m +n ）x 2+(m -n )x +p -q =0 (二次项系数m +n 、一次项系数m -n 常数项p -q .3.试判断关于x 的方程是不是一元二次方程，如果是，指出其二次项系数、一次项系数及常数项.【答案】（1-2k ）x 2+（k 2-k -1）x =0.当1-2k ≠0时是一元二次方程；二次项系数1-2k 、一次项系数k 2-k -1常数项0x x 7362-=x x 26552=+42213-+=-)()(x x x 223423)()(-=+y y 02=++d cx abx )0≠ab ()02=++-n m x n m )n m ≠02=++d cx abx )0≠ab ()02=++-n m x n m )n m ≠p q nx mx nx mx -=++-22)0≠+n m )0≠+n m x k x kx x =+--)(122。
(好)第22章_一元二次方程_全章学案
第二十二章一元二次方程一、教材内容一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题．二、课标要求1、以分析实际问题中的等量关系并求解其中的未知数为背景,认识一元二次方程及其有关概念.2、根据化归思想,抓住降次这一策略,掌握配方法,公式法和因式分解法等一元二次方程的基本解法.3、经历分析和解决实际问题的过程,体会一元二次方程的数学模型作用,进一步提高在实际问题中运用这种重要数学工具的基本能力.三、教学目标1．知识与技能了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题．2．过程与方法（1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．•根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念．（2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等．（3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，•导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程．（4）通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b2－4ac>0，b2－4ac=0，b2－4ac<0．（5）通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它．（6）提出、分析问题，建立一元二次方程数学模型，并用解决实际问题．3．情感、态度与价值观经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣．四、教学重点与难点教学重点:1. 一元二次方程及其它有关的概念.2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程．3. 利用实际问题建立一元二次方程的数学模型,并解决这个问题.教学难点:1．一元二次方程配方法解题．2．用公式法解一元二次方程时的讨论．3．建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别．五、课时划分本单元教学时间约需13课时，具体分配如下：22．1 一元二次方程2课时22．2 降次──解一元二次方程5课时22．3 实际问题与一元二次方程3课时教学活动、习题课、小结3课时22.1.1 《一元二次方程（1）》学案学习目标：1、进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型；2、正确理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式，并能将一元二次方程转化为一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项。
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城关中学九年级数学学练稿
班级 姓名________
第 周 星期 设计者 执教者
课 题
22.1.1 一元二次方程
审 核 数学组
学习目标：
了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0（a≠0）及其派生的概念；•
应用一元二次方程概念解决一些简单题目．
1．通过设置问题，建立数学模型，•模仿一元一次方程概念给一元二次方
程下定义．
2．一元二次方程的一般形式及其有关概念．
重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概
念解决问题．
难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，•再由一元一次方程的概
念迁移到一元二次方程的概念．
学习过程：
一、自学导航
自学课本25页问题1、2、3（列方程、整理后与课本对照），并完成下列各
题：
问题1可列方程 整理得 ○1
问题2可列方程 整理得 ○2
问题3可列方程 整理得 ○3
二、互动冲浪
请口答下面问题：
（1）方程①②③中未知数的个数各是多少？___________
（2）它们最高次数分别是几次？___________
方程①②③的共同特点是： 这些方程的两边都是_________，只含有_______未
知数（一元），并且未知数的最高次数是_____的方程.
1.一元二次方程:_____________________________________________
2. 一元二次方程的一般形式:____________________________
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式
ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是
____________，_____是二次项系数；bx是__________,_____是一次项系数；_____
是常数项。（注意：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号。
二次项系数0a是一个重要条件，不能漏掉。）
3、练一练：将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写
出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．
三、当堂检测
1、下列列方程中，哪些是关于x 的一元二次方程？
（1）250x （2）223xxx （3）21230xx
（4）330xx （5）230xxy
2、把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数
项：
(1) 2351xx (2) (2)(1)6xx (3) 2470x
（4）4x2=81 （5）4x(x+2)=25 （6）(3x-2)(x+1)=8x-3
四、学练感悟
1、本节课都学习了什么内容？2、还有哪些不懂？3、学习一元二次方程应注意什么？
4、做错的题目有：
原因：
五、课后作业
1、下列方程中，是关于X的一元二次方程的是（ ）
A.213x B.2221xxx C.20axbxc D.23(1)2(1)xx
2、方程2(1)4(1)xxx的一次项是（ ）
A. 2x B. 4x C. 6 D. 6x
3、将方程2(21)(3)(21)6xxx化成一般形式为___________,它的二次项系
数为_____，一次项系数为_____，常数项为______。
4、当a_______时，关于X的方程（a－1）x2+3x－5=0是一元二次方程。
5、把方程pqnxmxnxmx22 ()0nm化成一元二次方程的一般形
式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项。
6、要使02)1()1(1xkxkk是一元二次方程，则k=_______.