复杂一元二次方程专题练习及解答
一元二次方程100道计算题练习(含答案)
一元二次方程100道计算题练习(含答案)1、(x+4)=5(x+4)解：将等式两边展开，得到x+4=5x+20，移项化简得4x=-16，因此x=-4.2、(x+1)=4x解：将等式两边展开，得到x+1=4x，移项化简得3x=1，因此x=1/3.3、(x+3)=(1-2x)2解：将等式两边展开，得到x+3=1-4x+4x2，移项化简得4x2-4x-2=0，因此x=1+√3或x=1-√3.4、2x2-10x=3解：将等式两边移项化简，得到2x2-10x-3=0，利用求根公式得到x=(5+√37)/2或x=(5-√37)/2.5、(x+5)2=16解：将等式两边展开，得到x2+10x+25=16，移项化简得x2+10x+9=0，因此x=-1或x=-9.6、2(2x-1)-x(1-2x)=0解：将等式两边展开，得到4x-2-x+2x2=0，移项化简得2x2+3x-2=0，因此x=1/2或x=-2.7、x2+6x-5=0解：利用求根公式得到x=(-6±√56)/2，化简得到x=-3+√14或x=-3-√14.8、5x2-2/5=0解：将等式两边乘以5，得到25x2-2=0，移项化简得到x=±√(2/25)=±2/5.9、8(3-x)2-72=0解：将等式两边移项化简，得到8(3-x)2=72，化简得到(3-x)2=9，因此x=0或x=6.10、3x(x+2)=5(x+2)解：将等式两边移项化简，得到3x(x+2)-5(x+2)=0，因此(3x-5)(x+2)=0，因此x=5/3或x=-2.11、(1-3y)2+2(3y-1)=0解：将等式展开化简，得到9y2-18y+9+6y-2=0，移项化简得到9y2-12y+7=0，利用求根公式得到y=(6±√12)/9.12、x2+2x+3=0解：利用求根公式得到x=(-2±√(-8))/2，因为无实数解，所以方程无解。
50道一元二次方程带解题过程
(1)x(x-2)+x-2=0；
(2)5x²-2x- =x²-2x+ .
解：(1)因式分解，得
(2)移项、合并同类项，得
(x-2)(x+1)=0.
于是得
x-2＝0或x+1=0，
4x²-1=0
因式分解，得 (2x＋1)(2x-1)=0.
即
2x＋1=0或2x-1=0，
解得
解得
x1=2，x2=-1.
用配方法解下列方程：
解：(1)移项，得
x2+10x=-9.
(1)x²+10x+9＝0 ;
配方，得
x2+10x+5²=-9+5²，
(2)x²+6x-4＝0;
(3)x²+4x+9＝2x+11.
(x+5)²=16.
由此可得
x+5=±4,
x1=-1，x2=-9.
随堂练习
用配方法解下列方程：
解：(2)移项，得
(3)3x²-6x=-3；
因式分解，得
(4)4x²-121=0；
( x-4-5 + 2x )( x-4 + 5-2x ) = 0.
(5)3x(2x+1)=4x+2；
则有 3x-9 = 0 或 1-x = 0 ，
(6)(x-4)²=(5-2x)².
x1 = 3， x2 = 1.
练习
快速回答：下列各方程的根分别是多少？
之间有什么关系?
( )²
4.x²+px+____=(x+__)²
.
一元二次方程综合培优(难度大-含参考答案)
一元二次方程拓展提高题1、已知x25x20000，则x2 3xx 1 21的值是.22、已知a22004a10，则 2a 24007 a2004_________ .a 213、若ab1，且5a 22005a70 ，7b 22005b 5 0 ，则a_________ . b4、已知方程2x 22ax3a40没有实数根，则代数式a28a16 2 a_____.5、已知y 2 x6x ，则 y 的最大值为.6、已知a b c0， abc2， c0 ，则（）A、 ab 0B、 a b 2C、 a b3D、 a b47、已知a b8 ， ab c2160，则 a b c________ .8、已知m2m10 ，则m3 2 m22006________ .9、已知a b4， ab c 240 ，则 a b________ .10、若方程x 2px q0 的二根为 x1， x2，且 x1 1 ， p q30，则 x2 ()A、小于 1B、等于 1C、大于 1 D 、不能确定是方程 x 213 1 的值为11、已知x0 的一个根，则3.412、若3x2x 1 ，则 9 x 412x 32x 27x2008（）A、 2011B、 2010C、 2009 D 、 200813、方程3x23x2 2 的解为.14、已知x2x y 20 ，则x2y 22x的最大值是（）26A、 14B、 15C、 16 D 、18、方程x 22 | x |2m恰有 3 个实根，则m（）15A、 1B、 1.5C、2 D 、2.516、方程x23xx2379 的全体实数根之积为（）3 xA、 60B、60C、 10D、 1017、关于x的一元二次方程2x 25x a 0x1: x2 2 : 3，则x2x1（ a 为常数）的两根之比（）A、 1B、 2C、1D、3 2218、已知是、方程 x2x10 的两个实根，则43_______ .19、若关于x的方程2ax2xax 1 只有一解，求a 的值。
一元二次方程经典练习题(6套)附带详细答案
练习一一、选择题：(每小题3分,共24分) 1.下列方程中,常数项为零的是( )A.x 2+x=1 B.2x 2-x-12=12； C.2(x 2-1)=3(x-1) D.2(x 2+1)=x+22.下列方程:①x 2=0,② 21x-2=0,③22x +3x=(1+2x)(2+x),④32x -=0,⑤32x x -8x+ 1=0中,一元二次方程的个数是( )A.1个 B2个 C.3个 D.4个3.把方程（+(2x-1)2=0化为一元二次方程的一般形式是( )A.5x 2-4x-4=0 B.x 2-5=0 C.5x 2-2x+1=0 D.5x 2-4x+6=0 4.方程x 2=6x 的根是( )A.x 1=0,x 2=-6B.x 1=0,x 2=6C.x=6D.x=0 5.方2x 2-3x+1=0经为(x+a)2=b 的形式,正确的是( )A. 23162x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; B.2312416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; C.231416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; D.以上都不对 6.若两个连续整数的积是56,则它们的和是( ) A.11 B.15 C.-15 D.±15 7.不解方程判断下列方程中无实数根的是( )A.-x 2=2x-1 B.4x 2+4x+54=0; C. 20x --= D.(x+2)(x-3)==-58.某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元, 如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为( ) A.200(1+x)2=1000 B.200+200×2x=1000 C.200+200×3x=1000 D.200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000 二、填空题：(每小题3分,共24分)9.方程2(1)5322x x -+=化为一元二次方程的一般形式是________,它的一次项系数是______.10.关于x 的一元二次方程x 2+bx+c=0有实数解的条件是__________. 11.用______法解方程3(x-2)2=2x-4比较简便.12.如果2x 2+1与4x 2-2x-5互为相反数,则x 的值为________.13.如果关于x 的一元二次方程2x(kx-4)-x 2+6=0没有实数根,那么k 的最小整数值是__________.14.如果关于x 的方程4mx 2-mx+1=0有两个相等实数根,那么它的根是_______.15.若一元二次方程(k-1)x 2-4x-5=0 有两个不相等实数根, 则k 的取值范围是_______. 16.某种型号的微机,原售价7200元/台,经连续两次降价后,现售价为3528元/台,则平均每次降价的百分率为______________.三、解答题(2分)17.用适当的方法解下列一元二次方程.(每小题5分,共15分)(1)5x(x-3)=6-2x; (2)3y2+1=; (3)(x-a)2=1-2a+a2(a是常数)18.(7分)已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的一个解是2,另一个解是正数, 而且也是方程(x+4)2-52=3x的解,你能求出m和n的值吗?19.(10分)已知关于x的一元二次方程x2-2kx+12k2-2=0.(1)求证:不论k为何值,方程总有两不相等实数根.(2)设x1,x2是方程的根,且 x12-2kx1+2x1x2=5,求k的值.四、列方程解应用题(每题10分,共20分)20.某电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低36%, 若每年下降的百分数相同,求这个百分数.21.某商场今年1月份销售额为100万元,2月份销售额下降了10%, 该商场马上采取措施,改进经营管理,使月销售额大幅上升,4月份的销售额达到129.6万元,求3, 4月份平均每月销售额增长的百分率.练习二一、选择题 (共8题，每题有四个选项，其中只有一项符合题意。
(高级版)一元二次方程难题集锦
(高级版)一元二次方程难题集锦本文档汇总了一些高级的一元二次方程难题，旨在帮助学生提高解题能力和理解程度。
难题一已知一元二次方程 \\( ax^2 + bx + c = 0 \\) 的解为 \\( x = 2 \\) 和\\( x = -3 \\)，求方程的系数 \\( a \\)，\\( b \\)，和 \\( c \\) 的值。
难题二已知一元二次方程 \\( x^2 + 5x + p = 0 \\) 的解为 \\( x = -3 \\) 和\\( x = 2 \\)，求方程中的常数 \\( p \\) 的值。
难题三已知一元二次方程 \\( 2x^2 + bx + 6 = 0 \\) 的解为 \\( x = 1 \\) 和\\( x = -3 \\)，求方程的系数 \\( b \\) 的值。
难题四已知一元二次方程 \\( x^2 + bx + c = 0 \\) 的两个根的和是 \\( 3\\)，求方程的系数 \\( b \\) 和 \\( c \\) 的值。
难题五已知一元二次方程 \\( x^2 + bx + 12 = 0 \\) 的两个根的乘积是\\( 8 \\)，求方程的系数 \\( b \\) 的值。
难题六已知一元二次方程 \\( x^2 + 4x + c = 0 \\) 的一个解是 \\( x = 3 \\)，求方程的系数 \\( c \\) 的值。
难题七已知一元二次方程 \\( ax^2 + 4x + 3 = 0 \\) 的两个根相差 \\( 2 \\)，求方程的系数 \\( a \\) 的值。
以上是一些高级的一元二次方程难题，希望能对您的研究有所帮助。
如需求解具体难题的答案，请参考对应题号的解答。
数学 一元二次方程的专项 培优 易错 难题练习题及详细答案
一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知x1、x2是关于x的﹣元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．（1）求a的取值范围；（2）若（x1+1）（x2+1）是负整数，求实数a的整数值．【答案】（1）a≥0且a≠6;（2）a的值为7、8、9或12．【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可；（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=﹣26aa+，x1x2=6aa+，由（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=﹣66a-是是负整数，即可得66a-是正整数．根据a是整数，即可求得a的值2．【详解】（1）∵原方程有两实数根，∴，∴a≥0且a≠6．（2）∵x1、x2是关于x的一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∴（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=﹣+1=﹣．∵（x1+1）（x2+1）是负整数，∴﹣是负整数，即是正整数．∵a是整数，∴a﹣6的值为1、2、3或6，∴a的值为7、8、9或12．【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能根据根的判别式和根与系数的关系得出关于a的不等式是解此题的关键．2．解方程：（3x+1）2=9x+3．【答案】x1=﹣13，x2=23．【解析】试题分析：利用因式分解法解一元二次方程即可.试题解析：方程整理得：（3x+1）2﹣3（3x+1）=0，分解因式得：（3x+1）（3x+1﹣3）=0，可得3x+1=0或3x﹣2=0，解得：x 1=﹣13，x 2=23． 点睛：此题主要考查了一元二次方程的解法，解题关键是认真观察一元二次方程的特点，然后再从一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法中合理选择即可.3．用适当的方法解下列一元二次方程：（1）2x 2＋4x －1＝0；（2）(y ＋2)2－(3y －1)2＝0.【答案】（1）x 1＝－1x 2＝－12）y 1＝－14，y 2＝32. 【解析】试题分析：（1）根据方程的特点，利用公式法解一元二次方程即可；（2）根据因式分解法，利用平方差公式因式分解，然后再根据乘积为0的方程的解法求解即可.试题解析：（1）∵a=2，b=4，c=-1∴△=b 2-4ac=16+8=24＞0∴x=2b a -±=41222-=-±⨯∴x 1＝－1，x 2＝－1 （2）(y ＋2)2－(3y －1)2＝0[(y+2)+(3y-1)][ (y+2)-(3y-1)]=0即4y+1=0或-2y+3=0解得y 1＝－14，y 2＝32.4．关于x 的一元二次方程ax 2+bx+1=0．（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a ，b 的值，并求此时方程的根．【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；（2）b=-2，a=1时，x 1=x 2=﹣1．【解析】【详解】分析：（1）求出根的判别式24b ac ∆=-，判断其范围，即可判断方程根的情况.（2）方程有两个相等的实数根，则240b ac ∆=-=，写出一组满足条件的a ，b 的值即可.详解：（1）解：由题意：0a ≠．∵()22242440b ac a a a ∆=-=+-=+>， ∴原方程有两个不相等的实数根．（2）答案不唯一，满足240b ac -=（0a ≠）即可，例如：解：令1a =，2b =-，则原方程为2210x x -+=，解得：121x x ==．点睛：考查一元二次方程()200++=≠ax bx c a 根的判别式24b ac ∆=-， 当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根.当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根.当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根.5．淘宝网举办“双十一”购物活动许多商家都会利用这个契机进行打折让利的促销活动．甲网店销售的A 商品的成本为30元/件，网上标价为80元/件．（1）“双十一”购物活动当天，甲网店连续两次降价销售A 商品吸引顾客，问该店平均每次降价率为多少时，才能使A 商品的售价为39.2元/件？（2）据媒体爆料，有一些淘宝商家在“双十一”购物活动当天先提高商品的网上标价后再推出促销活动，存在欺诈行为．“双十一”活动之前，乙网店销售A 商品的成本、网上标价与甲网店一致，一周可售出1000件A 商品．在“双十一”购物活动当天，乙网店先将A 商品的网上标价提高a %，再推出五折促销活动，吸引了大量顾客，乙网店在“双十一”购物活动当天卖出的A 商品数量相比原来一周增加了2a %，“双十一”活动当天乙网店的利润达到了3万元，求乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价．【答案】（1）平均每次降价率为30%，才能使这件A 商品的售价为39.2元；（2）乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为100元．【解析】【分析】（1）设平均每次降价率为x ，才能使这件A 商品的售价为39.2元，根据原标价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论； （2）根据总利润＝每件的利润×销售数量，即可得出关于a 的一元二次方程，解之取其正值即可得出a 的值，再将其代入80（1+a %）中即可求出结论．【详解】（1）设平均每次降价率为x ，才能使这件A 商品的售价为39.2元，根据题意得：80（1﹣x ）2＝39.2，解得：x 1＝0.3＝30%，x 2＝1.7（不合题意，舍去）．答：平均每次降价率为30%，才能使这件A 商品的售价为39.2元．（2）根据题意得：[0.5×80（1+a %）﹣30]×1000（1+2a %）＝30000，整理得：a 2+75a ﹣2500＝0，解得：a 1＝25，a 2＝﹣100（不合题意，舍去），∴80（1+a %）＝80×（1+25%）＝100．答：乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为100元．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．6．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣12）＝0．（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a＝3，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求k值多少？【答案】（1）详见解析；（2）k＝32或2．【解析】【分析】（1）计算判别式的值，利用完全平方公式得到△＝（2k﹣3）2≥0，然后根据判别式的意义得到结论；（2）利用求根公式解方程得到x1＝2k﹣1，x2＝2，再根据等腰三角形的性质得到2k﹣1＝2或2k﹣1＝3，然后分别解关于k的方程即可．【详解】（1）∵△＝（2k+1）2﹣4×4（k﹣12）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2≥0，∴该方程总有实数根；（2）() 2k12k3 x=2±＋﹣∴x1＝2k﹣1，x2＝2，∵a、b、c为等腰三角形的三边，∴2k﹣1＝2或2k﹣1＝3，∴k＝32或2．【点睛】本题考查了根的判别式以及等腰三角形的性质，分a是等腰三角形的底和腰两种情况是解题的关键.7．某产品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种产品在未来20天内的日销售量m （单位：件）是关于时间t（单位：天）的一次函数，调研所获的部分数据如下表：这20天中，该产品每天的价格y（单位：元/件）与时间t的函数关系式为：1254y t=+（t为整数），根据以上提供的条件解决下列问题：（1）直接写出m关于t的函数关系式；（2）这20天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？（3）在实际销售的20天中，每销售一件商品就捐赠a 元（4a <）给希望工程，通过销售记录发现，这20天中，每天扣除捐赠后的日销利润随时间t 的增大而增大，求a 的取值范围.【答案】（1）2100m t =-+；（2）在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元；（3）2.54a ≤<.【解析】【分析】（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，即可确定一次函数关系式；（2）根据日利润=日销售量×每件利润列出函数解析式，然后根据函数性质求最大值，即可确定答案；（3）根据20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求a 的取值范围【详解】（1）设该函数的解析式为:m=kx+b由题意得:98=k b 94=3k b +⎧⎨+⎩解得:k=-2,b=100∴m 关于t 的函数关系式为:2100m t =-+.（2）设前20天日销售利润为W 元，由题意可知，()1210025204W t t ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭ 21151002t t =-++ ()2115612.52t =--+ ∵102<，∴当15t =时，612.5W =最大. ∴在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元. （3）由题意得：()1210025204W t t a ⎛⎫=-++--⎪⎝⎭ ()211525001002t a t a =-+++-， ∴对称轴为：152t a =+，∵每天扣除捐赠后的日销利润随时间t 的增大而增大，且120t ≤≤，∴15220a +≥，∴ 2.5a ≥，∴2.54a ≤<.【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，掌握解决最值问题的方法是解答本题的关键.8．元旦期间，某超市销售两种不同品牌的苹果,已知1千克甲种苹果和1千克乙种苹果的进价之和为18元.当销售1千克甲种苹果和1千克乙种苹果利润分别为4元和2元时,陈老师购买3千克甲种苹果和4千克乙种苹果共用82元.（1）求甲、乙两种苹果的进价分别是每千克多少元？（2）在（1）的情况下，超市平均每天可售出甲种苹果100千克和乙种苹果140千克，若将这两种苹果的售价各提高1元，则超市每天这两种苹果均少售出10千克，超市决定把这两种苹果的售价提高x 元，在不考虑其他因素的条件下，使超市销售这两种苹果共获利960元，求x 的值.【答案】（1）甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克；（2）x 的值为2或7.【解析】【分析】（1）根据题意列二元一次方程组即可求解,（2）根据题意列一元二次方程即可求解.【详解】（1）解：设甲、乙两种苹果的进价分别为a 元/千克, b 元/千克.由题得：()()18344282a b a b +=⎧⎨+++=⎩解之得：108a b =⎧⎨=⎩答：甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克（2）由题意得：()()()()410010214010960x x x x +-++-=解之得：12x =，27x =经检验，12x =，27x =均符合题意答：x 的值为2或7.【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的实际应用,中等难度,列方程是解题关键.9．已知关于x 的方程（a ﹣1）x 2+2x +a ﹣1＝0．（1）若该方程有一根为2，求a 的值及方程的另一根；（2）当a 为何值时，方程的根仅有唯一的值？求出此时a 的值及方程的根．【答案】（1）a=15，方程的另一根为12；（2）答案见解析. 【解析】【分析】（1）把x=2代入方程，求出a 的值，再把a 代入原方程，进一步解方程即可；（2）分两种情况探讨：①当a=1时，为一元一次方程；②当a≠1时，利用b 2－4ac ＝0求出a 的值，再代入解方程即可．【详解】（1）将x ＝2代入方程2(a 1)x 2x a 10-++-=，得4(a 1)4a 10-++-=，解得：a ＝15． 将a ＝15代入原方程得24x 2054x 5-+-=，解得：x 1＝12，x 2＝2． ∴a ＝15，方程的另一根为12； （2）①当a ＝1时，方程为2x ＝0，解得：x ＝0.②当a≠1时，由b 2－4ac ＝0得4－4(a －1)2＝0，解得：a ＝2或0．当a ＝2时， 原方程为：x 2＋2x ＋1＝0，解得：x 1＝x 2＝－1；当a ＝0时， 原方程为：－x 2＋2x －1＝0，解得：x 1＝x 2＝1．综上所述，当a ＝1，0，2时，方程仅有一个根，分别为0，1，－1.考点：1.一元二次方程根的判别式；2.解一元二次方程；3.分类思想的应用.10．阅读下面的材料，回答问题：解方程x 4﹣5x 2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x 2＝y ，那么x 4＝y 2，于是原方程可变为y 2﹣5y +4＝0 ①，解得y 1＝1，y 2＝4． 当y ＝1时，x 2＝1，∴x ＝±1；当y ＝4时，x 2＝4，∴x ＝±2；∴原方程有四个根：x 1＝1，x 2＝﹣1，x 3＝2，x 4＝﹣2．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到 的目的，体现了数学的转化思想．（2）解方程（x 2+x ）2﹣4（x 2+x ）﹣12＝0．【答案】（1）换元，降次；（2）x 1=﹣3，x 2=2．【解析】【详解】解：（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想;（2）设x 2+x =y ，原方程可化为y 2﹣4y ﹣12=0，解得y 1=6，y 2=﹣2．由x 2+x =6，得x 1=﹣3，x 2=2．由x 2+x =﹣2，得方程x 2+x +2=0，b 2﹣4ac =1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无实根．所以原方程的解为x 1=﹣3，x 2=2．。
复杂一元二次方程专题练习及解答
方程专题训练1、3900×（1-n%）×1.6×（1+0.5n%）=5980（参考数据：≈1.414， ≈1.732， ≈2.236， ≈2.449）解得n=7.82、 -3a 2+480a+30000=45000，（参考数据：）解得a≈433、（100+m ）×0.9×（820-12m ）=600×115.5，（100+m ）（410-6m ）=38500然后得到3m 2+95m-1250=0，变形的（m-10）（3m+125）=0，m=10或（舍）， ∴m=10．（9分） 4.46186001500%)1(8.0%)201(4000=+++⨯-a a a …………8分化简得：,051542=-+a a 解得：417,321-==a a (舍) 3=∴a ………..10分4、2000(1%)[5(1 1.5%) 1.5]13%3936m m -⨯-+⨯⨯=5.831， 5.9166.083 6.164） 令%m t =，原方程可化为27.514 5.30t t -+=．t ∴==． 10.528t ∴≈，2 1.339t ≈（舍去）答：m 的值约为52.8． ·························································································（10分）5、()()22111110022 3.11001%222 3.110.8%204204a a ⎛⎫⎛⎫⨯-⨯-⨯+=⨯-+-⨯-⨯++⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭参考数据372＝1369，382＝1444，392＝1521，402＝1600，412＝1681）整理得：2232500a a +-=，解之得：a =2321a -=⨯， 所以123392a -+≈＝8，223392a --≈＝－31(舍去) 所以估算a 整数约为8．6、(1530+2000)·m －530m －25m 2=85000（ 参考数据236.25,732.13,414.12≈≈≈）m 2－120m+3400=0……………8分解得：m=60±102∴m 1=60+102≈74<50m 2=60－102≈467. 184278)28252)(40(=-+--x x ……8分 整理，得0380003902=+-x x解得，200,19021==x x8、[1.2（1+5x ）-0.8（1+2.5x ）]×400000（1-x ）-80000=208000 解方程得：x=0.1=10%9、(2838)(1%)(2938)(10.2%)m m a a -⨯+⋅=+⋅-⨯+⋅+6.082≈， 6.164≈）设%a t = ∴2t 2+12t-1=0∴12126442t -±-±=== (9分)6.164≈∴16 6.1640.0822t -+== 2 6.082t =-(舍去) ∴%0.082a = ∴8.2a = (10分) 答:a 的值是8.10、20×(1-1.35a%)×20×(1+a%)=350 （参考数据：7.17315≈，8.17319≈，9.17321≈）设a%=m ， 化简为：54m 2+14m-5=0△=142-4×54×(-5)=1276∴543197542127614±-=⨯±-=m ∵8.17319≈∴m 1=0.2, 135622-=m (不符题意，舍去) ∴a%=0.2, ∴a=20答：a 的值为20. ）11、1004050%)201(950%)6.01%)(150=-⨯-+-⨯m m （ （参考数据：57.1215849.121563.512157≈≈≈，， 令m %=a , 则a =651572±-a 1=8.00651572≈+- a 2=（舍）—75.0651572-≈- ∴m ≈8 …………10分 12、36×（25-20）=[36×（1+a%）+30][25-20（1+0.2a%）+5]，（参考数据：， ， ， ， ）解之得a%≈2.21%， ∴a≈2．13、4（1+ a ℅）10000(1-0.6 a ℅)-1200=40000 ……7分（参考数据：5≈2.236 36.754≈ 42.755≈）化简得：（1+ a ℅）(1-0.6 a ℅)=1.03令a ℅=t,得：（1+ t ）(1-0.6t)=1.03解得： t 1=58.0305510≈+ 086.03055102≈-=t ……8分∴581≈a (舍去) 92≈a 答：a 的值为9 ……10分14、 [25（1-a%）-20]×20（1+4a%）=450-380，化简得：a 2+5a-150=0，解得：a 1=-15（舍去），a 2=10，答：a 的值为10．15、60（1+a%）•100（1-2a%）+80（1-a%）•50（1+2a%）=60×100+50×80-2000，（参考数据：6.32=39.69，6.42=40.91，6.52=42.25，6.62=43.56）令p=a%，整理得10p 2+p-1=0，∴ p=20411±- ∵6.32=39.69，6.42=40.91，6.52=42.25，而40.91更接近41，∴41≈6.4，∴ p ≈204.61±- P =0.27，∴a ≈27，∴a 的值约为27．16、5×[1000（1+a ﹪）－810－60－30]×1.7（1－0.1a ﹪）=1700，参考数据：992=9901，982=9604，972=9409，962=9216，952=9025）设t= a ﹪，整理，得10t2－99t+10=0，解得t=99±940120，∵972＝9409，962＝9216，而9401更接近9409．∴9401=97．∴t 1≈0.1或t 2≈9.8，∴a 1≈10或a2≈980．∵1.7（1－0.1a ﹪）≥1，∴a 2≈980舍去，∴a ≈10．答：a 的整数值为10．17、02.1100007700%)5.01(54%)5.01(700%)1(180⨯⨯=⨯---⋅-m m m 37.2601.5≈，49.701.56≈）设%m t =，则原方程可化为：102)5.01(54)5.01)(1(180=----t t t化简得：0881302=+-t t ，56018304)81(2=⨯⨯--=∆60.26001.561081605601811≈+=+=t ， 102.06001.561081605601811≈-=-=t 所以260≈m 或2.10≈m …………………………………………………………9分因为20<m ，所以10≈m ．答：m 的整数值为10．……………………………………………………………10分18、36×（25-20）=[36×（1+a%）+30][25-20（1+0.2a%）+5]，解之得a%≈2.21%，∴a≈2．（参考数据：， ， ， ， ）19、（120-140）（20x-12x ）+（-20x+750-450）（20x+3+15x ）-8000-0.75•5•8x-10.5（35x+3）=16750 （参考数据： 505=22.47，21=4.583）∴-700x2+8506x -7250=16750∴7x 2-85x+240=0∴ x=85+505/14∴ x1=85+22.7414=7.67≈8（9分）∴在第8月时总利润可达16750元（10分）．20、4000×（1+a%）（1+20%）+4000（1+a%）2×（1+20%）2-4000=8000．（参考数据：11≈3.317，12≈3.464，13≈3.606，14≈3.742）整理得，12（1+a%）2+10（1+a%）-25=0，解得a≈8．21、2000（1-m%）[5(1-1.5 m%)+1.5]×3×13%=936化简得 3m2-560m+21200=0 解得 m1=33720280+m2=33720280-因为m1＞1舍去，所以m=52.78≈52.8831.534≈，916.535≈，083.637≈，164.638≈）。
专题11配方法解一元二次方程-重难点题型(学生版)
专题2.3 配方法解一元二次方程-重难点题型将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式，再用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．【题型1 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程】【例1】（2021春•上城区校级期中）用配方法解一元二次方程x2+2x﹣3＝0，配方后得到的方程是（）A．（x﹣1）2＝4B．（x+1）2＝4C．（x+2）2＝1D．（x﹣2）2＝1【变式1-1】（2020秋•隆回县期末）把x2﹣3x+1＝0的左边配方后，方程可化为（）A．(x−32)2=134B．(x+32)2=134C．(x−32)2=54D．(x+32)2=54【变式1-2】（2020秋•崂山区期末）解方程：x2﹣5x+1＝0（配方法）．【变式1-3】（2020秋•白银期末）解方程：x2+2＝2√2x．【题型2 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程】【例2】（2020秋•陇县期中）用配方法解方程2x2＝7x﹣3，方程可变形为（）A．（x−72）2=374B．（x−72）2=434C．（x−74）2=116D．(x−74)2=2516【变式2-1】（2020秋•巩义市期中）用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）A．2m2+m﹣1＝0化为(m+14)2=916B．x2﹣6x+4＝0化为（x﹣3）2＝5C．2t2﹣3t﹣2＝0化为(t−32)2=2516D．3y2﹣4y+1＝0化为(y−23)2=19【变式2-2】（2020秋•开江县期末）解方程：3x2+1＝2√3x．【变式2-3】（2020春•朝阳区校级期中）已知y 1=13x 2+8x ﹣1，y 2＝6x +2，当x 取何值时y 1＝y 2．【题型3 利用一元二次方程的配方求字母的值】【例3】（2020秋•津南区期中）一元二次方程x 2﹣8x +c ＝0配方，得（x ﹣m ）2＝11，则c 和m 的值分别是（ ）A ．c ＝5，m ＝4B ．c ＝10，m ＝6C ．c ＝﹣5，m ＝﹣4D ．c ＝3，m ＝8【变式3-1】（2020•镇江校级期中）已知方程x 2﹣6x +q ＝0配方后是（x ﹣p ）2＝7，那么方程x 2+6x +q ＝0配方后是（ ）A ．（x ﹣p ）2＝5B ．（x +p ）2＝5C ．（x ﹣p ）2＝9D ．（x +p ）2＝7 【变式3-2】（2020秋•内江期末）如果x 2﹣8x +m ＝0可以通过配方写成（x ﹣n ）2＝6的形式，那么x 2+8x +m ＝0可以配方成（ ）A ．（x ﹣n +5）2＝1B ．（x +n ）2＝1C ．（x ﹣n +5）2＝11D ．（x +n ）2＝6 【变式3-3】（2020秋•邓州市期末）若一元二次方程x 2+bx +5＝0配方后为（x ﹣4）2＝k ，则k 的值为 ．【题型4 利用一元二次方程的配方法解新定义问题】【例4】（2020秋•建平县期末）设a 、b 是两个整数，若定义一种运算“△”，a △b ＝a 2+b 2+ab ，则方程（x +2）△x ＝1的实数根是（ ）A ．x 1＝x 2＝1B ．x 1＝0，x 2＝1C ．x 1＝x 2＝﹣1D ．x 1＝1，x 2＝﹣2【变式4-1】（2021秋•北辰区校级月考）在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：a ☆b ＝a 2+b 2，a ★b =ab 2，则方程3☆x ＝x ★12的解为 ．【变式4-2】（2020秋•福州期中））将4个数a ，b ，c ，d 排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成|a c bd |，定义|a c b d |=ad ﹣bc ，上述记号就叫做2阶行列式．若|x +11−x x −1x +1|=8x ，则x ＝ ．【变式4-3】（2020秋•市中区期中）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i 2＝﹣1，这个数i 叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为a +bi （a ，b 为实数），a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加法，减法，乘法运算与整式的加法，减法，乘法运算类似．例如：解方程x 2＝﹣1，解得：x 1＝i ，x 2＝﹣i ．同样我们也可以化简√−4=√4×(−1)=√22×i 2=2i ；读完这段文字，请你解答以下问题：（1）填空：i3＝，i4＝，i6＝，i2020＝；（2）在复数范围内解方程：（x﹣1）2＝﹣1．（3）在复数范围内解方程：x2﹣4x+8＝0．【题型5 配方法的应用】【例5】（2021春•常熟市期中）我们知道“a2≥0”，其中a表示任何有理数，也可表示任意代数式．有时我们通过将某些代数式配成完全平方式进行恒等变形来解决符号判断、大小比较等问题，简称“配方法”．例如：x2+2x+2＝x2+2x+1+1＝（x+1）2+1．∵（x+1）2≥0，∴（x+1）2+1≥1．即：x2+2x+2≥1．试利用“配方法”解决以下问题：（1）填空：x2﹣2x+4＝（A）2+B，则代数式A＝，常数B＝；（2）已知a2+b2＝6a﹣4b﹣13，求a b的值；（3）已知代数式M＝4x﹣5，N＝2x2﹣1，试比较M，N的大小．【变式5-1】（2020秋•石狮市校级月考）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m，n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知△ABC的三边长a，b，c，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，求c的取值范围；（2）已知P＝2x2+4y+13，Q＝x2﹣y2+6x﹣1，比较P，Q的大小．【变式5-2】（2021春•历城区期中）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式，例如：x2﹣8x+17＝x2﹣2•x•4+42﹣42+17＝（x﹣4）2+1．根据以上材料，解答下列问题：（1）填空：将多项式x2﹣2x+3变形为（x+m）2+n的形式，并判断x2﹣2x+3与0的大小关系，∵x2﹣2x+3＝（x﹣）2+；所以x2﹣2x+30（填“＞”、“＜”、“＝”）；（2）将多项式x2+6x﹣9变形为（x+m）2+n的形式，并求出多项式的最小值；（3）求证：x、y取任何实数时，多项式x2+y2﹣4x+2y+6的值总为正数．【变式5-3】（2021春•南京月考）教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；例如：求代数式2x2+4x﹣6的最小值：2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8，根据阅读材料用配方法解决下列问题：（1）分解因式：m2﹣6m﹣7．（2）当a，b为何值时，多项式a2+b2﹣4a+6b+20有最小值，并求出这个最小值；（3）当a，b为何值时，多项式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+28有最小值，并求出这个最小值．【题型6 一元二次方程的几何解法】【例6】（2020秋•内江期末）《代数学》中记载，形如x2+10x＝39的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为52x的矩形，得到大正方形的面积为39+25＝64，则该方程的正数解为8﹣5＝3．”小聪按此方法解关于x的方程x2+6x+m＝0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为（）A．6B．3√5−3C．3√5−2D．3√5−3 2【变式6-1】（2020春•丰台区期末）公元9世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的名著《代数学》中用图解一元二次方程．他把一元二次方程x2+2x﹣35＝0写成x2+2x＝35的形式，并将方程左边的x2+2x看作是由一个正方形（边长为x）和两个同样的矩形（一边长为x，另一边长为1）构成的矩尺形，它的面积为35，如图所示，于是只要在这个图形上添加一个小正方形，即可得到一个完整的大正方形，这个大正方形的面积可以表示为：x2+2x+＝35+，整理，得（x+1）2＝36．因为x表示边长，所以x＝．【变式6-2】（2020秋•东海县期中）某“优学团”在社团活动时，研究了教材第12页的“数学实验室”他们发现教材阐述的方法其实是配方过程的直观演示．他们查阅资料还发现，这种构图法有阿拉伯数学家阿尔花拉子米和我国古代数学家赵爽两种不同构图方法．该社团以方程x 2+10x ﹣39＝0为例，分别进行了展示，请你完成该社团展示中的一些填空．因为x 2+10x ﹣39＝0，所以有x （x +10）＝39．展示1：阿尔•花拉子米构图法如图1，由方程结构，可以看成是一个长为（x +10），宽为x ，面积为39的矩形若剪去两个相邻的，长、宽都分别为5和x 的小矩形，重新摆放并补上一个合适的小正方形，可以拼成如图2的大正方形．（1）图2中，补上的空白小正方形的边长为 ；通过不同的方式表达大正方形面积，可以将原方程化为（x + ）2＝39+ ；展示2：赵爽构图法如图3，用4个长都是（x +10），宽都是x 的相同矩形，拼成如图3所示的正方形．（2）图3中，大正方形面积可以表示为（ ）2（用含x 的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形面积，即等于4×39+ ，故可得原方程的一个正的根为 ．（3）请选择上述某一种拼图方法直观地表示方程x 2+2x ＝3的配方结果（请在相应位置画出图形，需在图中标注出相关线段的长度）．【变式6-3】（2020春•杭州期中）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交线段AB 于点D ，连接CD ．以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交线段AB 于点E ，连接CE ．（1）求∠DCE 的度数．（2）设BC ＝a ，AC ＝b ．①线段BE 的长是关于x 的方程x 2+2bx ﹣a 2＝0的一个根吗？说明理由．②若D 为AE 的中点，求a b 的值．。
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方程专题训练1、3900×（1-n%）×1.6×（1+0.5n%）=5980（参考数据：≈1.414， ≈1.732， ≈2.236， ≈2.449）解得n=7.82、 -3a 2+480a+30000=45000， （参考数据：）解得a≈433、（100+m ）×0.9×（820-12m ）=600×115.5，（100+m ）（410-6m ）=38500然后得到3m 2+95m-1250=0，变形的（m-10）（3m+125）=0，m=10或 （舍），∴m=10．（9分）4.46186001500%)1(8.0%)201(4000=+++⨯-a a a …………8分化简得：,051542=-+a a 解得：417,321-==a a (舍) 3=∴a ………..10分4、2000(1%)[5(1 1.5%) 1.5]13%3936m m -⨯-+⨯⨯=5.831， 5.9166.083 6.164）令%m t =，原方程可化为27.514 5.30t t -+=．1427.515t ±∴==⨯．10.528t ∴≈，2 1.339t ≈（舍去）答：m 的值约为52.8． ·························································································（10分）5、()()22111110022 3.11001%222 3.110.8%204204a a ⎛⎫⎛⎫⨯-⨯-⨯+=⨯-+-⨯-⨯++⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭参考数据372＝1369，382＝1444，392＝1521，402＝1600，412＝1681）整理得：2232500a a +-=，解之得：21a =⨯2321a -±=⨯，所以123392a -+≈＝8，223392a --≈＝－31(舍去) 所以估算a 整数约为8．6、(1530+2000)·m －530m －25m 2=85000（ 参考数据236.25,732.13,414.12≈≈≈） m 2－120m+3400=0……………8分 解得：m=60±102 ∴m 1=60+102≈74<50 m 2=60－102≈467. 184278)28252)(40(=-+--x x ……8分整理，得0380003902=+-x x 解得，200,19021==x x8、[1.2（1+5x ）-0.8（1+2.5x ）]×400000（1-x ）-80000=208000 解方程得：x=0.1=10%9、(2838)(1%)(2938)(10.2%)m m a a -⨯+⋅=+⋅-⨯+⋅+6.082≈， 6.164≈）设%a t = ∴2t 2+12t-1=0∴442t ===(9分)6.164≈ ∴16 6.1640.0822t -+== 26.082t =-(舍去)∴%0.082a = ∴8.2a = (10分)答:a 的值是8.10、20×(1-1.35a%)×20×(1+a%)=350（参考数据：7.17315≈，8.17319≈，9.17321≈）设a%=m ， 化简为：54m 2+14m-5=0△=142-4×54×(-5)=1276 ∴543197542127614±-=⨯±-=m∵8.17319≈ ∴m 1=0.2, 135622-=m (不符题意，舍去)∴a%=0.2, ∴a=20答：a 的值为20. ）11、1004050%)201(950%)6.01%)(150=-⨯-+-⨯m m （ （参考数据：57.1215849.121563.512157≈≈≈，，令m %=a , 则a =651572±-a 1=8.00651572≈+-a 2=（舍）—75.0651572-≈-∴m ≈8 …………10分12、36×（25-20）=[36×（1+a%）+30][25-20（1+0.2a%）+5]，（参考数据：， ， ， ， ）解之得a%≈2.21%， ∴a≈2．13、4（1+ a ℅）10000(1-0.6 a ℅)-1200=40000 ……7分（参考数据：5≈2.236 36.754≈ 42.755≈）化简得：（1+ a ℅）(1-0.6 a ℅)=1.03 令a ℅=t,得：（1+ t ）(1-0.6t)=1.03 解得： t 1=58.0305510≈+086.03055102≈-=t ……8分∴581≈a (舍去) 92≈a 答：a 的值为9 ……10分14、 [25（1-a%）-20]×20（1+4a%）=450-380， 化简得：a 2+5a-150=0， 解得：a 1=-15（舍去），a 2=10， 答：a 的值为10．15、60（1+a%）•100（1-2a%）+80（1-a%）•50（1+2a%）=60×100+50×80-2000， （参考数据：6.32=39.69，6.42=40.91，6.52=42.25，6.62=43.56）令p=a%，整理得10p 2+p-1=0，∴ p=20411±-∵6.32=39.69，6.42=40.91，6.52=42.25，而40.91更接近41，∴41≈6.4， ∴ p ≈204.61±- P =0.27，∴a ≈27，∴a 的值约为27．16、5×[1000（1+a ﹪）－810－60－30]×1.7（1－0.1a ﹪）=1700， 参考数据：992=9901，982=9604，972=9409，962=9216，952=9025）设t= a ﹪，整理，得10t 2－99t+10=0，解得t=99±940120，∵972＝9409，962＝9216，而9401更接近9409．∴9401=97．∴t 1≈0.1或t 2≈9.8，∴a 1≈10或a 2≈980．∵1.7（1－0.1a ﹪）≥1，∴a 2≈980舍去，∴a ≈10．答：a 的整数值为10．17、02.1100007700%)5.01(54%)5.01(700%)1(180⨯⨯=⨯---⋅-m m m37.2601.5≈，49.701.56≈） 设%m t =，则原方程可化为：102)5.01(54)5.01)(1(180=----t t t 化简得：0881302=+-t t ，56018304)81(2=⨯⨯--=∆60.26001.561081605601811≈+=+=t ，102.06001.561081605601811≈-=-=t所以260≈m 或2.10≈m …………………………………………………………9分 因为20<m ，所以10≈m ．答：m 的整数值为10．……………………………………………………………10分18、36×（25-20）=[36×（1+a%）+30][25-20（1+0.2a%）+5] ，解之得a%≈2.21%，∴a≈2．（参考数据： ， ， ， ， ）19、（120-140）（20x-12x ）+（-20x+750-450）（20x+3+15x ）-8000-0.75•5•8x-10.5（35x+3）=16750 （参考数据：505=22.47，21=4.583）∴-700x 2+8506x-7250=16750 ∴7x 2-85x+240=0 ∴ x=85+505/14∴ x1=85+22.7414=7.67≈8（9分）∴在第8月时总利润可达16750元（10分）．20、4000×（1+a%）（1+20%）+4000（1+a%）2×（1+20%）2-4000=8000． （参考数据： 11≈3.317，12≈3.464，13≈3.606，14≈3.742）整理得，12（1+a%）2+10（1+a%）-25=0，解得a≈8．21、2000（1-m%）[5(1-1.5 m%)+1.5]×3×13%=936化简得 3m2-560m+21200=0 解得 m1=33720280+m2=33720280-因为m1＞1舍去，所以m=52.78≈52.8831.534≈，916.535≈，083.637≈，164.638≈）。