一元二次方程练习题(较难)
数学 一元二次方程的专项 培优 易错 难题练习题含答案解析
设裁掉的正方形的边长为xdm，
由题意可得(10-2x)(6-2x)=12，
即x2-8x+12=0，解得x=2或x=6(舍去)，
答：裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2.
9．“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法．
例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，……，按此规律，求图10、图n有多少个点？
3．解方程：（3x+1）2=9x+3．
【答案】x1=﹣ ，x2= ．
【解析】
试题分析：利用因式分解法解一元二次方程即可.
试题解析：方程整理得：（3x+1）2﹣3（3x+1）=0，
分解因式得：（3x+1）（3x+1﹣3）=0，
可得3x+1=0或3x﹣2=0，
解得：x1=﹣ ，x2= ．
点睛：此题主要考查了一元二次方程的解法，解题关键是认真观察一元二次方程的特点，然后再从一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法中合理选择即可.
一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．某建材销售公司在2019年第一季度销售 两种品牌的建材共126件， 种品牌的建材售价为每件6000元， 种品牌的建材售价为每件9000元.
（1）若该销售公司在第一季度售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，求至多销售 种品牌的建材多少件？
（2）该销售公司决定在2019年第二季度调整价格，将 种品牌的建材在上一个季度的基础上下调 ， 种品牌的建材在上一个季度的基础上上涨 ；同时，与（1）问中最低销售额的销售量相比， 种品牌的建材的销售量增加了 ， 种品牌的建材的销售量减少了 ，结果2019年第二季度的销售额比（1）问中最低销售额增加 ，求 的值.
中考数学培优 易错 难题(含解析)之一元二次方程含详细答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？【答案】（1）5；（2）180【解析】【分析】（1）设平均一人传染了x 人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，列方程求解即可；（2）根据每轮传染中平均一个人传染的人数和经过两轮传染后的人数，列出算式求解即可．【详解】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，根据题意得：x+1+（x+1）x ＝36，解得：x ＝5或x ＝﹣7（舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了5个人；（2）根据题意得：5×36＝180（个），答：第三轮将又有180人被传染．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是能根据题意找到等量关系并列方程.2．已知关于x 的一元二次方程()220x m x m -++=（m 为常数） （1）求证：不论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根是2，求m 的值及方程的另一个根．【答案】(1)见解析；(2) 即m 的值为0，方程的另一个根为0.【解析】【分析】（1）可用根的判别式，计算判别式得到△=(m+2)2−4×1⋅m=m 2+4＞0，则方程有两个不相等实数解，于是可判断不论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的另一个根为t ，利用根与系数的关系得到2+t=21m + ,2t=m,最终解出关于t 和m 的方程组即可.【详解】(1)证明：△=(m+2)2−4×1⋅m=m 2+4，∵无论m 为何值时m 2≥0，∴m 2+4≥4＞0，即△＞0，所以无论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根.(2)设方程的另一个根为t ，()220x m x m -++=根据题意得2+t=21m + ,2t=m ， 解得t=0，所以m=0，即m 的值为0，方程的另一个根为0.【点睛】本题考查根的判别式和根于系数关系，对于问题（1）可用根的判别式进行判断，在判断过程中注意对△的分析，在分析时可借助平方的非负性；问题（2）可先设另一个根为t ，用根于系数关系列出方程组，在求解.3．某社区决定把一块长50m ，宽30m 的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相同的矩形) ，空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，当绿化区较长边x 为何值时，活动区的面积达到21344m ?【答案】当13x m =时，活动区的面积达到21344m【解析】【分析】根据“活动区的面积＝矩形空地面积﹣阴影区域面积”列出方程，可解答.【详解】解:设绿化区宽为y ，则由题意得502302x y -=-.即10y x =-列方程: 50304(10)1344x x ⨯--=解得13x =- (舍)，213x =.∴当13x m =时，活动区的面积达到21344m【点睛】本题是一元二次方程的应用题，确定等量关系是关键，本题计算量大，要细心．4．已知关于x的一元二次方程有两个实数x2+2x+a﹣2=0，有两个实数根x1，x2．（1）求实数a的取值范围；（2）若x12x22+4x1+4x2=1，求a的值．【答案】（1）a≤3；（2）a=﹣1．【解析】试题分析：（1）由根的个数，根据根的判别式可求出a的取值范围；（2）根据一元二次方程根与系数的关系，代换求值即可得到a的值.试题解析：（1）∵方程有两个实数根，∴△≥0，即22﹣4×1×（a﹣2）≥0，解得a≤3；（2）由题意可得x1+x2=﹣2，x1x2=a﹣2，∵x12x22+4x1+4x2=1，∴（a﹣2）2﹣8=1，解得a=5或a=﹣1，∵a≤3，∴a=﹣1．5．校园空地上有一面墙，长度为20m，用长为32m的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图所示．（1）能围成面积是126m2的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由．（2）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积能达到170m2吗？请说明理由．【答案】（1）长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米；（2）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到170m2．【解析】【分析】（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米，再根据矩形面积公式列方程求解即可得到答案.（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，再根据矩形面积公式列方程，求得方程无解，即假设不成立.【详解】（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米，根据题意得：x(32﹣2x)=126，解得：x1=7，x2=9，∴32﹣2x=18或32﹣2x=14，∴假设成立，即长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米．（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，根据题意得：y(36﹣2y)=170，整理得：y2﹣18y+85=0．∵△=(﹣18)2﹣4×1×85=﹣16＜0，∴该方程无解，∴假设不成立，即若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到170m2．6．已知关于x的方程x2﹣(k+3)x+3k＝0．(1)若该方程的一个根为1，求k的值；(2)求证：不论k取何实数，该方程总有两个实数根．【答案】(1)k＝1；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）把x＝1代入方程，即可求得k的值；（2）求出根的判别式是非负数即可.【详解】(1)把x＝1代入方程x2﹣(k+3)x+3k＝0得1﹣(k﹣3)+3k＝0，1﹣k﹣3+3k＝0解得k＝1；(2)证明：1,(3),3a b k c k==-+=24b ac∆=-∴△＝(k+3)2﹣4•3k ＝(k﹣3)2≥0，所以不论k取何实数，该方程总有两个实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题关键.7．今年以来猪肉价格不断走高，引起了民众与区政府的高度关注，当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．据统计：从今年年初至11月 10 日，猪排骨价格不断走高，11 月 10 日比年初价格上涨了 75%．今年 11 月 10 日某市民于 A 超市购买 5 千克猪排骨花费 350 元．（1）A 超市 11 月排骨的进货价为年初排骨售价的32倍，按 11 月 10 日价格出售，平均一天能销售出 100 千克，超市统计发现：若排骨的售价每千克下降 1 元，其日销售量就增加20千克，超市为了实现销售排骨每天有 1000 元的利润，为了尽可能让顾客优惠应该将排骨的售价定位为每千克多少元？（2）11 月 11 日，区政府决定投入储备猪肉并规定排骨在 11 月 10 日售价的基础上下调a%出售，A 超市按规定价出售一批储备排骨，该超市在非储备排骨的价格不变情况下，该天的两种猪排骨总销量比 11 月 10 日增加了a%，且储备排骨的销量占总销量的57，两种排骨销售的总金额比 11 月 10 日提高了128a %，求 a 的值． 【答案】（1）售价为每千克65元；（2）a =35.【解析】【分析】 （1）先根据题意计算出11月10的售价和11月的进货价，设每千克降价x 元，则每千克的利润为10-x 元，日销量为100+20x 千克，根据销量×单利润=总利润列出方程求解，并根据为了尽可能让顾客优惠，对所得的解筛选；（2）根据销售总金额=储备排骨销售单价×储备排骨销售数量+非储备排骨销售单价×非储备排骨销售数量，即可得出关于a 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：（1）11月10日的售价为350÷5=70元/千克年初的售价为：350÷5÷175％=40元/千克，11月的进货价为： 340602元/千克设每千克降价x 元，则每千克的利润为70-60-x=10-x 元，日销量为100+20x 千克 则(10020)(10)1000x x ，解得10x =，25x =因为为了尽可能让顾客优惠，所以降价5元，则售价为每千克65元. （2）根据题意可得52170(1%)100(1%)70100(1%)701001%7728a a a a ⎛⎫-++⨯+=⨯+ ⎪⎝⎭解得135a =,20a =(舍去)所以a =35.【点睛】 本题考查一元二次方程的应用，（1）中理清销售量随着单价的变化而变化的数量关系是解题关键；（2）中在求解时有些难度，可先设令%a t =，解方程求出t 后再求a 的值.8．利民商店经销甲、乙两种商品.现有如下信息信息1：甲乙两种商品的进货单价和为11；信息2：甲商品的零售单价比其进货单价多2元，乙商品的零售单价比其进货单价的2倍少4元：信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件共付37元．()1甲、乙两种商品的进货单价各是多少？()2据统计该商店平均每天卖出甲商品500件，经调查发现，甲商品零售单价每降0.1元，这样甲商品每天可多销售100件，为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲种商品的零售单价下降a 元，在不考虑其他因素的条件下，当a 定为多少时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元？【答案】（1）甲种商品的进货单价是5元/件，乙种商品的进货单价是6元/件（2）当a 定为0.5或1时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元【解析】【分析】()1设甲种商品的进货单价是x 元/件，乙种商品的进货单价是y 元/件，根据给定的三个信息，可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；()2当零售单价下降a 元/件时，每天可售出()5001000a +件，根据总利润=单件利润⨯销售数量，即可得出关于a 的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】()1设甲种商品的进货单价是x 元/件，乙种商品的进货单价是y 元/件，根据题意得：()()113x 222y 437x y +=⎧++-=⎨⎩， 解得：{56x y ==．答：甲种商品的进货单价是5元/件，乙种商品的进货单价是6元/件． ()2当零售单价下降a 元/件时，每天可售出()5001000a +件，根据题意得：()()250010001500a a -+=，整理得：22310a a -+=，解得：10.5a =，21a =．答：当a 定为0.5或1时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：()1找准等量关系，正确列出二元一次方程组；()2找准等量关系，正确列出一元二次方程．9． ∵1.7×35=59.5，1.7×80=136＜151∴这家酒店四月份用水量不超过m 吨（或水费是按y=1.7x 来计算的），五月份用水量超过m 吨（或水费是按来计算的） 则有151=1.7×80+（80－m ）×即m 2－80m+1500=0解得m 1=30，m 2=50．又∵四月份用水量为35吨，m 1=30＜35，∴m 1=30舍去．∴m=50【解析】10．我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克 240 元，按每千克 400 元出售，平均每周可售出 200 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 10 元，则平均每周的销售量可增加 40 千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利 41600 元，请回答： （1）每千克茶叶应降价多少元？（2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的 几折出售？【答案】（1）每千克茶叶应降价30元或80元；（2）该店应按原售价的8折出售．【解析】【分析】（1）设每千克茶叶应降价x 元，利用销售量×每件利润=41600元列出方程求解即可； （2）为了让利于顾客因此应下降价80元，求出此时的销售单价即可确定几折．【详解】（1）设每千克茶叶应降价x 元．根据题意，得：（400﹣x ﹣240）（200+10x ×40）=41600． 化简，得：x 2﹣10x +240=0．解得：x 1=30，x 2=80．答：每千克茶叶应降价30元或80元．（2）由（1）可知每千克茶叶可降价30元或80元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克茶叶某应降价80元．此时，售价为：400﹣80=320（元），320100%80%400⨯=． 答：该店应按原售价的8折出售．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．。
九年级上册数学同步练习题库：解一元二次方程(选择填空题：较难)
解一元二次方程（选择填空题：较难）1、对于任意实数a、b，定义f（a，b）=a2+5a-b，如：f（2，3）=22+5×2-3，若f（x，2）=4，则实数x的值是（）A．1或-6 B．-1或6 C．-5或1 D．5或-12、使分式的值等于零的x是（）A．6 B．﹣1或6 C．﹣1 D．﹣63、实数x满足方程（x2+x）2-（x2+x）-2=0，则x2+x的值等于（）A．2 B． C．2或 D．1或4、一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为（）A．（x+4）2=17 B．（x﹣4）2=17 C．（x+4）2=15 D．（x﹣4）2=155、对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中较大的数，如max{2，4}＝4.按这个规定，方程max{x，－x}＝的解为()A．1－ B．2－C．1－或1＋ D．1＋或－16、一元二次方程x2﹣2x﹣3="0" 的两根分别是x1、x2，则x1+x2的值是（）A．3 B．2 C．﹣3 D．﹣27、若一个三角形的三边均满足，则此三角形的周长为（）A．6 B．12 C．10 D．以上三种情况都有可能8、设x1，x2是方程4x2+3x﹣2=0的两根，则x1+x2=______，x1x2=______．9、设α、β是一元二次方程x2＋3x－7＝0的两个根，则α2＋4α＋β＝_______.10、若关于x的方程x2﹣5x+k=0的一个根是0，则另一个根是______，k=______．11、设x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的两根，且2x1（x22+6x2﹣3）+a=4，则a=______．12、若关于x的方程2x2﹣mx+n=0的两根为﹣3和4，则m=______，n=______．13、已知关于的一元二次方程的两个实数根都是整数，则整数的值是______．14、若，则代数式的值为__________.15、方程的解是_______．16、已知m，n是方程x2－2x－5=0的两个实数根，则m2+2n的值为_______17、写出以4，﹣5为根且二次项的系数为1的一元二次方程是_____．18、三角形两边的长分别是8cm和6cm，第三边的长是方程x²－12x＋20＝0的一个实数根，则三角形的面积是_______19、设、是一元二次方程的两实数根，则的值为_______.20、若方程x2﹣kx+6=0的两根分别比方程x2+kx+6=0的两根大5，则k的值是______．21、方程的两根分别为，，且，则的取值范围是____．22、一元二次方程x2+mx+2m=0（m≠0）的两个实根分别为x1，x2，则=______．23、已知关于x的方程x2-(a+b)x+ab-1=0,x1，x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x1≠x2②x1x2<ab③x12+x12<a2+b2,则正确结论的序号是______________.24、已知关于x的方程x2-(a+b)x+ab-1=0,x1,x2是此方程的两个实数根,现给出三个结论:①x1≠x2;②x1x2<ab;③x12+x22< a2+ b2.则正确结论的序号是_____.(填上你认为正确结论的所有序号)25、若a，b分别是方程x2+2x-2017=0的两个实数根，则a2 +3a+b=_________．26、有一边长为3的等腰三角形，它的两边长是方程x2-4x+k=0的两根，则k =_________。
2021-2022学年九年级数学(人教版)专题03《一元二次方程公式法》重难点专练
专题03公式法重难点专练（原卷版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．关于x 的方程（m 2﹣1）x 2+2（m ﹣1）x +1＝0有实数根，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＜1B ．m ≤1C ．m ＞1D ．m ≥12．（2021·广东九年级一模）关于x 的一元二次方程230x x m -+=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为（ ）A ．94m >B ．94m <-C ．94m ≤-D ．94m < 3．（2021·广东深圳市·九年级二模）已知y ＝kx +k ﹣1的图象如图所示，则关于x 的一元二次方程x 2﹣x ﹣k 2﹣k ＝0的根的情况是（ ）A ．无实数根B ．有两个相等或不相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．有两个相等的实数根4．（2021·河北九年级一模）当10k -<<时，关于x 的一元二次方程240x x k +-=根的情况是（ ） A ．有两个相等的实数根B ．有两个不等的实数根C ．有一个实数根D ．没有实数根5．（2021·河南平顶山市·九年级一模）关于x 的一元二次方程()220x m x m -++=根的情况是（ ）A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．无法确定6．（2021·深圳市南山区华侨城中学九年级二模）对于实数 a ，b ，定义运算“#”如下：a #b ＝a 2－ab ，如：3#2＝32－3×2＝3，则方程（x ＋1）#3＝2的根的情况是（ ）A ．没有实数根B ．只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根7．若关于x 的一元二次方程x 2+5x +m ＝0有两个不相等的实数根，且m 为正整数，则符合条件的m 有（ ） A ．5个 B ．6个 C ．7个 D ．8个8．（2021·河北九年级二模）定义；如果一元二次方程20ax bx c ++=(a ≠0)满足a +b +c =0，那么我们称这个方程为“蜻蜓”方程．已知关于x 的方程20ax bx c ++=(a ≠0)是“蜻蜓”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论中正确的是（ ）A ．a =c ≠bB ．a =b ≠cC ．b =c ≠aD ．a =b =c9．（2021·广西九年级学业考试）若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1k >B ．1k <C ．1k ≥-且0k ≠D ．1k >-且0k ≠10．（2021·河南南阳市·九年级二模）对于函数n m y x x =+，我们定义11n m y nx mx '--=+（m ，n 为常数）．例如：42y x x =+，则342y x x '=+．已知：()322123y x m x m x =+-+，若方程0y '=有两个相等的实数根，则m 的值为（ ）A ．0B ．12C ．32D ．111．（2021·山西阳泉市·九年级一模）将关于x 的一元二次方程20x px q +=﹣变形为2x px q =-，就可以将2x 表示为关于x 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如()32x x x x px q =⋅==﹣…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：210x x --=，且0x ＞，则31x +的值为（ ）A ．1B ．1C ．3D ．3+12．（2021·广东九年级二模）已知a 、b 、4分别是等腰三角形三边的长，且a 、b 是关于x 的一元二次方程2620x x k -++=的两个根，则k 的值等于（ ）A ．6B ．7C ．-7或6D ．6或713．（2021·广东九年级一模）关于x 的一元二次方程2100x x m -+=的两个实数根分别是1x ，2x ，且以1x ，2x ，6为三边的三角形恰好是等腰三角形，则m 的值为（ ）A ．24B ．25C ．24或25D ．无法确定14．（2021·浙江九年级一模）如图，一次函数23y x =+与y 轴相交于点A ，与x 轴相交于点B ，在直线AB 上取一点P （点P 不与A ，B 重合），过点P 作PQ x ⊥轴，垂足为点Q ，连结PO ，若PQO 的面积恰好为916，则满足条件的P 点有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个15．（2021·山东淄博市·九年级二模）若关于x 的一元二次方程12x 2﹣2kx ＋1﹣4k ＝0有两个相等的实数根，则代数式（k ﹣2）2＋2k （1﹣k ）的值为（ ）A ．3B ．﹣3C ．72-D ．7216．（2021·河北石家庄新世纪外国语学校九年级月考）小刚在解关于x 的方程()200++=≠ax bx c a 时，只抄对了2a =，1c =，解出其中一个根是1x =．他核对时发现所抄的b 比原方程的b 值小1，则原方程的根的情况是（ ）A ．不存在实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有另一个根是1x =-D ．有两个相等的实数根 17．（2021·广东九年级二模）小明把分式方程24x x x =-去分母后得到整式方程2280x x --=，由此他判断该分式方程只有一个解．对于他的判断，你认为下列看法正确的是（ ）A ．小明的说法完全正确B ．整式方程正确，但分式方程有2个解C ．整式方程不正确，分式方程无解D ．整式方程不正确，分式方程只有1个解18．（2021·河北九年级二模）定义“a *b ”：对于任意实数a ，b ，都有a *b ＝（a ＋b ）（a －b ）－1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，若x *k ＝x （k 为实数）是关于x 的方程，则它的根的情况为（ ） A ．有一个实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．没有实数根19．（2021·湖北中考真题）定义新运算“※”：对于实数m ，n ，p ，q ，有[][],,m p q n mn pq =+※，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：[][]2,34,5253422=⨯+⨯=※．若关于x 的方程[]21,52,0x x k k ⎡⎤⎣⎦+-=※有两个实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．54k <且0k ≠B ．54k ≤C ．54k ≤且0k ≠ D ．54k ≥ 20．（2021·内蒙古中考真题）关于x 的一元二次方程()2310x k x k ---+=的根的情况，下列说法正确的是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定21．（2021·河南九年级二模）关于x 的一元二次方程()2220x p x p -++=的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有两个实数根D ．无实数根22．（2021·河南九年级二模）关于x 的方程()53x x -=-的根的情况，正确的是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根23．（2021·山东中考真题）已知关于x 的一元二次方程标()22120kx k x k --+-=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．14k >- B ．14k < C ．14k >-且0k ≠ D ．14k <0k ≠ 24．（2021·河南九年级二模）对于一元二次方程250x x c -+=来说，当254c =时，方程有两个相等的实数根，若将c 的值在254的基础上减小，则此时方程根的情况是（ ） A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．只有一个实数根25．（2021·浙江八年级期末）已知关于x 的一元二次方程2104x x m -+=有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为b ，令24433y b b m =--+，则（ ）A ．1y >-B ．1y ≥-C ．1y ≤D ．1y <26．（2021·浙江八年级期末）已知关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），下列命题是真命题的有（ ） ※若a ＋2b ＋4c ＝0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0必有实数根；※若b ＝3a ＋2，c ＝2a ＋2，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0必有两个不相等的实根；※若c 是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根，则一定有ac ＋b ＋1＝0成立；※若t 是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，则b 2﹣4ac ＝（2at ＋b ）2．A ．※※B ．※※C ．※※D ．※※27．（2020·上海八年级月考）下列方程一定有实数解的是（ ）A．220x x ++= B 10= C ．10x = D ．320x +=28．（2021·厦门市松柏中学九年级月考）已知关于x 的方程x 2﹣（a+2b ）x+1＝0有两个相等实数根．若在直角坐标系中，点P 在直线l ：y ＝﹣x+12上，点Q(12a ，b)在直线l 下方，则PQ 的最小值为（ ）A B C ．12 D 29．（2021·蒙城县庄子体育艺术中等专业学校九年级其他模拟）若实数a （a ≠0）满足a ﹣b ＝3，a +b +1＜0，则方程ax 2+bx +1＝0根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．无实数根D ．有两个实数根30．（2021·浙江八年级期末）关于x 的一元二次方程ax 2＋2ax ＋b ＋1＝0（a •b ≠0）有两个相等的实数根k ．（ ）A ．若﹣1＜a ＜1，则k k a b> B ．若k k a b >，则0＜a ＜1 C ．若﹣1＜a ＜1，则k k a b < D ．若k k a b <，则0＜a ＜1二、填空题 31．（2021·山东菏泽市·九年级一模）关于x 的一元二次方程x 2+（k ﹣3）x +1﹣k ＝0的根的情况是_____． 32．（2021·浙江九年级一模）已知命题：“关于x 的一元二次方程210x bx ++=，当0b >时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是___．33．（2021·内蒙古九年级一模）已知关于y 的一元二次方程()21210k y y -++=有实数根，则k 的取值范围是__________．34．（2021·云南九年级一模）关于x 的一元二次方程140m x x n -+-=有两个相等的实数根，则m n +的值为_____．35．（2021·山东九年级一模）将关于x 的一元二次方程20x px q -+=变形为2x px q =-，就可以将2x 表示为关于x 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如32()x x x x px q =⋅=-=，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：210x x +-=，且0x >．则4323x x x -+的值为________．36．（2021·江苏中考真题）方程22142x x x -=--的解是_____________． 37．（2021·山东中考真题）若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于x 的方程260x x n -+=的两个根，则n 的值为______．38．（2021·苏州高新区实验初级中学九年级三模）关于x 的一元二次方程（a +1）x 2+bx +1＝0有两个相等的实数根，则代数式8a ﹣2b 2+6的值是__．39．（2021·黑龙江九年级二模）对于一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c ，有下列说法：※若0a b c ++=，则240b ac -≥；※若方程20ax c +=有两个不相等的实根，则方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实根；※若c 是方程20ax bx c ++=的一个根，则一定有10ac b ++=成立；※若0x 是一元二次方程20ax bx c ++=的根，则()02224ax b b ac =+-．其中说法正确的有______（填序号）．40．（2021·成都市第二十中学校八年级期中）如图，Rt※ABC 中，※BAC ＝30°，AB ＝P 为边AB 上一动点，点P 关于AC 、BC 的对称点分别为点M ，N ，PM ，PN 分别与AC ，BG 交于点E 、F ，连接MN ，下列结论：※点M 、C 、N 在一条直线上；※线段MN 的最小值是6；当四边形CEPF 为正方形时，线段BP＝6﹣※当点P 从点A 运动到点B 时，线段MN 扫过的面积为___．41．（2019·四川绵阳实中、绵阳七中九年级月考）关于x 的方程mx 2+x ﹣m+1=0，有以下三个结论：※当m=0时，方程只有一个实数解；※当m≠0时，方程有两个不等的实数解；※无论m 取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是__（填序号）．42．（2020·全国九年级课时练习）若关于x 的方程(a+1)x 2+(2a ﹣3)x+a ﹣2＝0有两个不相等的实根，且关于x 的方程3111ax x x -=++的解为整数，则满足条件的所有整数a 的和是_____． 43．（2021·湖北武汉市·九年级月考）如图，在等腰直角三角形ABC 中，AB=AC ， ※BAC=90°，O 为BC的中点，D 为AC 斜下方一点，30,6,ADC CD OD ︒∠===AD 的长为______．44．（2021·湖北十堰市·九年级其他模拟）对于实数m ，n ，定义运算m ※n ＝mn 2﹣n ．若2※a ＝1※（﹣2）则a ＝___________．45．（2021·黑龙江九年级一模）如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，过点O 作OE AC ⊥，交AD 于点E ，过点E 作EF BD ⊥，垂足为F ，8BC =，245OE EF +=，则线段AB 的长为______．46．（2021·四川九年级二模）如图，在平面直角坐标系中，点Q 是一次函数142y x =-+的图象上一动点，将Q 绕点()2,0C 顺时针旋转90︒到点P ，连接PO ，则PO PC +的最小值_________．47．（2021·浙江九年级一模）商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价()0b b >以及常数()01k k ≤≤确定实际销售价格为()c a k b a =+-，这里的k 被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数k 恰好使得b a c a c a b c--=--，据此可得，最佳乐观系数k 的值等于____． 48．（2021·江苏八年级期中）折纸艺术发源于中国，它是一种将纸张折成不同形状图案的艺术活动，在数学中也有不少折纸活动．如下图是将正方形纸片折叠成了领带形状的折纸过程．其步骤为：先将CD 边沿CF 折叠，D 点的对应点为D ，再将BC 沿CD '折叠，使得B 点恰好落在CF 边上的B '处折痕与AB 边交于E EF ，则AEF 的面积=_____．49．（2021·江西九年级二模）如图，在等边三角形ABC 中，D 是AC 的中点，P 是边AB 上的一个动点，过点P 作PE AB ⊥，交BC 于点E ，连接,DP DE ．若8AB PDE =,是等腰三角形，则BP 的长是_________________．三、解答题50．（2019·江苏省镇江中学附属初中九年级月考）如图所示，※ABC 中，※B ＝90°，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ． （1）点P 从点A 开始沿AB 边向B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从B 点开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动．如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，经过几秒，使※PBQ 的面积等于8cm 2？（2）点P 从点A 开始沿AB 边向B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从B 点开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动．如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，线段PQ 能否将※ABC 分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．（3）若P 点沿射线AB 方向从A 点出发以1cm/s 的速度移动，点Q 沿射线CB 方向从C 点出发以2cm/s 的速度移动，P ，Q 同时出发，问几秒后，※PBQ 的面积为1cm 2？51．若关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2﹣2mx +m ＝2有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）如果m 是符合条件的最小整数，且一元二次方程（k +1）x 2+x +k ﹣3＝0与方程（m ﹣1）x 2﹣2mx +m ＝2有一个相同的根，求此时k 的值．52．（2021·山东九年级一模）（1）先化简：2344111x x x x x -+⎛⎫-+÷ ⎪++⎝⎭，然后从12x -≤≤中选一个合适的整数作为x 的值代入求值．（2）解方程：231x +=．53．（2021·潍坊市寒亭区教学研究室九年级一模）已知关于x 的一元二次方程20x k +-=（k 为常数）总有实数根．（1）求k 的取值范围；（2）若该方程有两个相等的实数根，求该方程的根．54．（2021·重庆一中八年级期中）（1）用公式法解一元二次方程：2221x x x -=+．（2）解分式方程：2233111x x x x +-=-+-． 55．已知x 1，x 2是一元二次方程（a ﹣6）x 2+2ax +a ＝0的两个实数根．（1）求a 的取值范围；（2）求使代数式（x 1+1）（x 2+1）值为负整数的实数a 的整数值；（3）如果实数a ，b 满足b ，试求代数式x 13+10x 22+5x 2﹣b 的值．56．（2021·利津县第一实验学校九年级一模）解方程（1）()2325x x +=+（2）2316x x -=（3）解方程：11222x x x-+=--57．（2021·北京九年级二模）已知关于x 的方程2(1)210k x x --+=有两个实数根．（1）求k 的取值范围；（2）当k 取最大整数时，求此时方程的根．58．（2021·湖北九年级一模）已知关于x 的一元二次方程26210x x m -+-=有两个不相等的实数根． （1）求m 的取值范围；（2）若方程的两根都为整数，求正整数m 的值．59．（2021·北京九年级二模）关于x 的一元二次方程2240x mx m -+-=．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于1，求m 的取值范围．60．（2021·广东九年级一模）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（k +1）x +2k ﹣3＝0．（1）求证：无论k 为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）等腰三角形ABC 中，AB =3，若AC 、BC 为方程x 2﹣（k +1）x +2k ﹣3＝0的两个实数根，求k 的值．61．如图四边形ACDE 是证明勾股定理时用到的一个图形，a b c 、、是Rt ABC 和Rt BED △边长，易知=AE ，这时我们把关于x 的形如20+=ax b 的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）写出一个“勾系一元二次方程”；（2）求证：关于x 的“勾系一元二次方程”20+=ax b 必有实数根；（3）若1x =-是“勾系一元二次方程”20+=ax b 的一个根，且四边形ACDE 的周长是，求ABC 面积．62．（2021·河北九年级二模）嘉嘉和琪琪用图中的A 、B 、C 、D 四张带有运算的卡片，做一个“我说你算”的数学游戏，规则如下：嘉嘉说一个数，并对这个数按这四张带有运算的卡片排列出一个运算顺序，然后琪琪根据这个运算顺序列式计算，并说出计算结果．例如，嘉嘉说2，对2按A B C D →→→的顺序运算，则琪琪列式计算得：222[(23)(3)2](152)(17)289+⨯--=--=-=．（1）嘉嘉说-2，对-2按C A D B →→→的顺序运算，请列式并计算结果；（2）嘉嘉说x ，对x 按C B D A →→→的顺序运算后，琪琪得到的数恰好等于12，求x ． 63．（2021·广东广州市第二中学九年级二模）已知关于x 的方程220x x a -+=有两个不相等的实数根，请化简2111a a a +--64．设m 是满足不等式1≤m ≤50的正整数，关于x 的二次方程（x ﹣2）2+（a ﹣m ）2＝2mx +a 2﹣2am 的两根都是正整数，求m 的值．65．已知方程组242102y x y y kx ⎧--+=⎨=+⎩有两组不相等的实数解，求k 的取值范围． 66．（2021·云南九年级二模）通过“列表、描点、连线”画出函数图象，观察图象得出函数的性质是研究函数的常用方法．某兴趣小组对函数61y x =-的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整： （1）函数61y x =-的自变量取值范围是______． （2）列表：则表中m 的值为_______． （3）描点，连线：根据表中数据，在如图所示平面直角坐标系中描点，并画出函数图象．（4）观察函数图象，写出该函数的一条性质：______．（5）直线11366y x =-+与函数61y x =-的图象的交点个数是______个． 67．（2021·上海八年级期末）解关于x 的方程：2221a x x -=-．68．（2021·浙江八年级期末）如图，在正方形ABCD 中，E 是对角线AC 上一点，FH ※AC 于点E ，交AD ，AB 于点F ，H ．（1）求证：CF ＝CH ；（2）若AH ＝13CH ，AB ＝4，求AH 的长．69．（2021·江苏八年级期中）已知关于x 的方程x 2﹣2mx +m 2﹣1＝0．（1）求证：对于任意实数m ，方程总有两个不相等的实数根；（2）若x ＝2是该方程的一个根，求代数式﹣3m 2+12m +2021的值．70．（2019·华东师范大学第二附属中学附属初级中学八年级月考）己知关于x 的方程2210x x a +-+=没有实数根，试判断关于x 的方程20x ax a ++=的根的情况.71．（2021·全国）已知关于x 的一元二次方程2(3)430a x x --+=有两个不等的实根．（1）求a 的取值范围；（2）当a 取最大整数值时，ABC ∆的三条边长均满足关于x 的一元二次方程2(3)430a x x --+=，求ABC ∆的周长．72．已知关于x 的方程（k +1）x 2+（3k ﹣1）x +2k ﹣2＝0（1）求证：无论k 取何值，此方程总有实数根；（2）若此方程有两个整数根，求正整数k 的值；（3）若一元二次方程（k +1）x 2+（3k ﹣1）x +2k ﹣2＝0满足|x 1﹣x 2|＝3，求k 的值．73．（2021·山东九年级一模）如图，正方形ABCD 和正方形AEFG 有公共点A ，点B 在线段DG 上．（1）判断DG 与BE 的位置关系，并说明理由；（2）若正方形ABCD 的边长为1，正方形AEFG BE 的长．74．（2021·河北九年级一模）如图，直线1:l y ax a =-，1l 与x 轴交于点B ，直线2l 经过点(4,0)A ，直线1l ，2l 交于点(2,3)C -．（1）a =______；点B 的坐标为______．（2）求直线2l 的解析表达式；（3）求ABC 的面积；（4）在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ，使得ABP △为等腰三角形，请直接写出P 点的横坐标？75．（2021·安徽八年级期末）在ABCD 中，点M 为AB 的中点．（1）如图1，若90A ∠=︒，连接DM 且3BMD ADM ∠=∠，试探究AB 与BC 的数量关系； （2）如图2，若A ∠为锐角，过点C 作CE AD ⊥于点E ，连接EM ，3BME AEM ∠=∠，※求证：2AB BC =※若EA EC =，求ED EC的值．76．（2021·江苏八年级期末）在正方形ABCD 中，6AB =，E 、F 分别是BC 、AB 边上的动点，以DF 、EF 为边作平行四边形EFDG ．（1）如图1，连接AE ，若AF BE =，试说明EG 与AE 的关系；（2）如图2，若E 为BC 的中点，F 在AB 边上是否存在某个位置，使得四边形EFDG 为菱形？若存在，求出AF 的长；若不存在，说明理由．（3）设BE m =，若不论F 在何位置，FG 与DE 始终不可能相等，求m 的取值范围．77．（2021·江苏省盐城中学新洋分校八年级月考）阅读理解:材料1:对于一个关于x 的二次三项式2ax bx c ++（0a ≠）,除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外,还可以用其他的方法:比如先令2ax bx c y ++=（0a ≠）,然后移项可得:()20ax bx c y ++-=,再利用一元二次方程根的判别式来确定y 的取值范围,请仔细阅读下面的例子:例:求225x x ++的取值范围: 解:令225x x y ++=()2250x x y ∴++-=,()244450b ac y ∴-=-⨯-≥,4y ∴≥即2254x x ++≥;材料2:在学习完一元二次方程的解法后,爱思考的小明同学又想到类比一元二次方程的解法来解决一元二次不等式的解集问题,他的具体做法如下:若关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=（0a >）有两个不相等的实数根1x ､2x （12x x >）, 则关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++≥（0a >）的解集为:1x x ≥或2x x ≤,则关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++≤（0a >）的解集为:21x x x ≤≤;请根据上述材料,解答下列问题:（1）若关于x 的二次三项式23x ax ++（a 为常数）的最小值为-6,则a =_____.（2）求出代数式24221x x x -+-的取值范围． 类比应用:（3）猜想:若Rt ABC △中,90C ∠=︒,斜边2AB a =（a 为常数,0a >）,则BC =_____时,AC BC +最大,请证明你的猜想．78．（2020·湖南中考真题）如图1，平面直角坐标系xOy 中，等腰ABC ∆的底边BC 在x 轴上，8BC =，顶点A 在y 的正半轴上，2OA =，一动点E 从(3,0)出发，以每秒1个单位的速度沿CB 向左运动，到达OB 的中点停止．另一动点F 从点C 出发，以相同的速度沿CB 向左运动，到达点O 停止．已知点E 、F 同时出发，以EF 为边作正方形EFGH ，使正方形EFGH 和ABC ∆在BC 的同侧．设运动的时间为t 秒（0t ≥）．（1）当点H 落在AC 边上时，求t 的值；（2）设正方形EFGH 与ABC ∆重叠面积为S ，请问是存在t 值，使得9136S =？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，取AC 的中点D ，连结OD ，当点E 、F 开始运动时，点M 从点O 出发，以每秒单位的速度沿OD DC CD DO ---运动，到达点O 停止运动．请问在点E 的整个运动过程中，点M 可能在正方形EFGH 内（含边界）吗？如果可能，求出点M 在正方形EFGH 内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．79．如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，直线CD 与x 轴、y 轴分别交于点C ，D ，AB 与CD 相交于点E ，线段OA ，OC 的长是一元二次方程218720x x -+=的两根()OA OC >，5BE =，34AO BO =．（1）求点A ，C 的坐标；（2）M 为直线AB 上任一点，当DEM △的面积为40时，求点M 的坐标；（3）若点P 在坐标轴上，在平面内是否存在一点Q ，使以点C ，E ，P ，Q 为顶点的四边形是矩形？若存在，请写出满足条件的点Q 的个数，并直接写出位于第二象限的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．。
中考数学一元二次方程(大题培优 易错 难题)及答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知关于x 的方程24832x nx n --=和()223220x n x n -+-+=，是否存在这样的n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n 值；若不存在，请说明理由？【答案】存在，n=0. 【解析】 【分析】在方程①中，由一元二次方程的根与系数的关系，用含n 的式子表示出两个实数根的差的平方，把方程②分解因式，建立方程求n ，要注意n 的值要使方程②的根是整数. 【详解】 若存在n 满足题意.设x1，x2是方程①的两个根，则x 1+x 2=2n ，x 1x 2=324n +-，所以(x 1-x 2)2=4n 2+3n+2， 由方程②得，(x+n-1)[x-2(n+1)]=0，①若4n 2+3n+2=-n+1，解得n=-12，但1-n=32不是整数，舍.②若4n 2+3n+2=2(n+2)，解得n=0或n=-14(舍)，综上所述，n=0.2．按上述方案，一家酒店四、五两月用水量及缴费情况如下表所示，那么，这家酒店四、五两月的水费分别是按哪种方案计算的？并求出的值.月份用水量（吨）水费（元）四月3559.5五月801513． y与x的函数关系式为：y=1.7x（x≤m）;或( x≥m) ；4．沙坪坝区各街道居民积极响应“创文明城区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍．（1）求A社区居民人口至少有多少万人？（2）街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，B社区有1.5万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了45m%，第二月在第一个月的基础上又增长了2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到92%，求m的值．【答案】（1）A社区居民人口至少有2.5万人；（2）m的值为50．【解析】【分析】（1）设A社区居民人口有x万人，根据“B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍”列出不等式求解即可；（2）A社区的知晓人数+B社区的知晓人数=7.5×92%，据此列出关于m的方程并解答．【详解】解：（1）设A社区居民人口有x万人，则B社区有（7.5-x）万人，依题意得：7.5-x≤2x，解得x≥2.5．即A社区居民人口至少有2.5万人；（2）依题意得：1.2（1+m%）2+1.5×（1+45m%）+1.5×（1+45m%）（1+2m%）=7.5×92%，解得m=50答：m的值为50．【点睛】本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到题中相关数据的数量关系，列出不等式或方程．5．关于x的一元二次方程．（1）.求证：方程总有两个实数根；（2）.若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）-1.【解析】（1）根据一元二次方程根的个数情况与根的判别式关系可以证出方程总有两个实数根. (2)根据题意利用十字相乘法解方程，求得，再根据题意两个根都是正整数，从而可以确定的取值范围，即求出吗的最小值.【详解】(1)证明：依题意，得．，∴．∴方程总有两个实数根．由．可化为：得，∵方程的两个实数根都是正整数，∴．∴．∴的最小值为．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式与根的个数关系和利用十字相乘法解含参数的方程，熟知根的判别式大于零方程有两个不相等的实数根，判别式等于零有两个相等的实数根或只有一个实数根，判别式小于零无根和十字相乘法的法则是解题关键.6．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2＝0有实数根．（1）求a的取值范围；（2）当a为符合条件的最大整数，求此时方程的解．【答案】（1）a≤174；（2）x=1或x=2【解析】【分析】（1）由一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于a的不等式，即可求出a的取值范围；（2）根据（1）确定出a的最大整数值，代入原方程后解方程即可得.【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2=0有实数根，∴△≥0，即（﹣3）2﹣4（a﹣2）≥0，解得a≤174；（2）由（1）可知a≤174，∴a的最大整数值为4，此时方程为x2﹣3x+2=0，解得x=1或x=2．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．7．某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？【答案】(1)2000；(2)2米【解析】【分析】（1）设未知数，根据题目中的的量关系列出方程；（2）可以通过平移，也可以通过面积法，列出方程【详解】解：（1）设该项绿化工程原计划每天完成x米2，根据题意得：4600022000x-﹣46000220001.5x-= 4解得：x=2000，经检验，x=2000是原方程的解;答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米；（2）设人行道的宽度为x米，根据题意得，（20﹣3x）（8﹣2x）=56解得：x=2或x=263（不合题意，舍去）．答：人行道的宽为2米．8．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当a＞0，b＞0时：∵a b）2=a﹣ab b≥0∴a+b ab a=b时取等号．请利用上述结论解决以下问题：（1）请直接写出答案：当x ＞0时，x +1x 的最小值为 ．当x ＜0时，x +1x的最大值为 ；（2）若y =27101x x x +++，（x ＞﹣1），求y 的最小值；（3）如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，△AOB 、△COD 的面积分别为4和9，求四边形ABCD 面积的最小值．【答案】（1）2；﹣2．（2）y 的最小值为9；（3）四边形ABCD 面积的最小值为25． 【解析】 【分析】（1）当x ＞0时，按照公式a +b ab a =b 时取等号）来计算即可；当x ＜0时，﹣x ＞0，1x-＞0，则也可以按公式a +b ab a =b 时取等号）来计算；（2）将y 27101x x x ++=+的分子变形，分别除以分母，展开，将含x 的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可；（3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9，由三角形面积公式可知：S △BOC ：S △COD =S △AOB ：S △AOD ，用含x 的式子表示出S △AOD ，再表示出四边形的面积，根据题中所给公式求得最小值，加上常数即可． 【详解】（1）当x ＞0时，x 1x +≥1x x ⋅=2； 当x ＜0时，﹣x ＞0，1x-＞0． ∵﹣x 1x -≥1x x ⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭2，∴则x 1x +=-（﹣x 1x -）≤﹣2，∴当x ＞0时，x 1x +的最小值为 2．当x ＜0时，x 1x+的最大值为﹣2． 故答案为：2，﹣2．（2）∵x ＞﹣1，∴x +1＞0，∴y 27101x x x ++=+()2(1)5141x x x ++++=+=（x +1）41x +++()411x x +⋅+5=4+5=9，∴y 的最小值为9．（3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9则由等高三角形可知：S △BOC ：S △COD =S △AOB ：S △AOD ，∴x ：9=4：S △AOD ，∴S △AOD 36x=，∴四边形ABCD 面积=4+9+x 36x +≥=25． 当且仅当x =6时，取等号，∴四边形ABCD 面积的最小值为25． 【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用．对不能直接应用公式的，需要正确变形才可以应用．9．已知关于x 的方程()()212310k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根1x ，2x ．()1求k 的取值范围．()2是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？【答案】(1)1312k <且1k ≠；(2) k 不存在,理由见解析 【解析】 【分析】（1）因为方程（k ﹣1）x 2+（2k ﹣3）x +k +1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2．得出其判别式△＞0，可解得k 的取值范围；（2）假设存在两根的值互为相反数，根据根与系数的关系，列出对应的不等式即可求出k 的值． 【详解】（1）方程（k ﹣1）x 2+（2k ﹣3）x +k +1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2，可得：k ﹣1≠0且△=﹣12k +13＞0，解得：k ＜1312且k ≠1； （2）假设存在两根的值互为相反数，设为 x 1，x 2． ∵x 1+x 2=0，∴﹣231k k --=0，∴k =32． 又∵k ＜1312且k ≠1，∴k 不存在． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，属于基础题，关键掌握x 1，x 2是方程x 2+px +q =0的两根时，x 1+x 2=﹣p ，x 1x 2=q ．10．元旦期间，某超市销售两种不同品牌的苹果,已知1千克甲种苹果和1千克乙种苹果的进价之和为18元.当销售1千克甲种苹果和1千克乙种苹果利润分别为4元和2元时,陈老师购买3千克甲种苹果和4千克乙种苹果共用82元. （1）求甲、乙两种苹果的进价分别是每千克多少元？（2）在（1）的情况下，超市平均每天可售出甲种苹果100千克和乙种苹果140千克，若将这两种苹果的售价各提高1元，则超市每天这两种苹果均少售出10千克，超市决定把这两种苹果的售价提高x 元，在不考虑其他因素的条件下，使超市销售这两种苹果共获利960元，求x 的值.【答案】（1）甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克；（2）x 的值为2或7. 【解析】 【分析】（1）根据题意列二元一次方程组即可求解,（2）根据题意列一元二次方程即可求解. 【详解】（1）解：设甲、乙两种苹果的进价分别为a 元/千克, b 元/千克.由题得：()()18344282a b a b +=⎧⎨+++=⎩解之得：108a b =⎧⎨=⎩答：甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克 （2）由题意得：()()()()410010214010960x x x x +-++-= 解之得：12x =，27x =经检验，12x =，27x =均符合题意 答：x 的值为2或7. 【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的实际应用,中等难度,列方程是解题关键.。
(完整版)一元二次方程练习题(难度较高)
一元二次方程练习题1、已知关于x 的方程0)1(222=+--k x k x 有两个实数根1x 、2x⑴、求k 的取值范围； ⑵、若12121-⋅=+x x x x ，求k 的值。
2。
、已知关于x 的一元二次方程有两个实数根1x 与2x（1）求实数m 的取值范围； (2）若7)1)(1(21=--x x ，求m 的值。
3.已知)(11y x A ， ，)(22y x B ， 是反比例函数xy 2-= 图象上的两点，且212-=-x x ，321=⋅x x ． （1）求21y y - 的值及点A 的坐标； （2）若－4＜y ≤ －1，直接写出x 的取值范围．4.(本小题8分)已知关于x 的方程014)1(22=+++-kx k x 的两根是一个矩形的两邻边的长。
（1)k 为何值时,方程有两个实数根； （2）当矩形的对角线长为时，求k 的值。
5已知关于x 的一元二次方程。
（1)求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）当Rt△ABC 的斜边长，且两直角边和是方程的两根时，求△ABC 的周长和面积。
6如果一元二次方程02=++c bx ax 的两根1x 、2x 均为正数，且满足1＜21x x ＜2（其中1x ＞2x ），那么称这个方程有“邻近根”．（1）判断方程03)13(2=++-x x 是否有“邻近根”，并说明理由；（2)已知关于x 的一元二次方程01)1(2=---x m mx 有“邻近根”，求m 的取值范围．7设关于x 的一元二次方程0122=++px x 有两个实数根，一根大于1,另一根小于1，试求实数p 的范围．8已知方程052=++-m mx x 有两实数根α、β,方程0715)18(2=+++-m x m x 有两实数根α、γ,求βγα2的值。
9已知关于x 的方程032)1280()8)(4(2=+----x k x k k 的解都是整数，求整数k 的值.10若关于x 的方程016821)14216()281(162234=+-+-+-+-a a x a x a x x 的各根均为整数，求a 的值并解此方程。
一元二次方程综合培优(难度大-含参考答案)
一元二次方程拓展提高题1、已知x25x20000，则x2 3xx 1 21的值是.22、已知a22004a10，则 2a 24007 a2004_________ .a 213、若ab1，且5a 22005a70 ，7b 22005b 5 0 ，则a_________ . b4、已知方程2x 22ax3a40没有实数根，则代数式a28a16 2 a_____.5、已知y 2 x6x ，则 y 的最大值为.6、已知a b c0， abc2， c0 ，则（）A、 ab 0B、 a b 2C、 a b3D、 a b47、已知a b8 ， ab c2160，则 a b c________ .8、已知m2m10 ，则m3 2 m22006________ .9、已知a b4， ab c 240 ，则 a b________ .10、若方程x 2px q0 的二根为 x1， x2，且 x1 1 ， p q30，则 x2 ()A、小于 1B、等于 1C、大于 1 D 、不能确定是方程 x 213 1 的值为11、已知x0 的一个根，则3.412、若3x2x 1 ，则 9 x 412x 32x 27x2008（）A、 2011B、 2010C、 2009 D 、 200813、方程3x23x2 2 的解为.14、已知x2x y 20 ，则x2y 22x的最大值是（）26A、 14B、 15C、 16 D 、18、方程x 22 | x |2m恰有 3 个实根，则m（）15A、 1B、 1.5C、2 D 、2.516、方程x23xx2379 的全体实数根之积为（）3 xA、 60B、60C、 10D、 1017、关于x的一元二次方程2x 25x a 0x1: x2 2 : 3，则x2x1（ a 为常数）的两根之比（）A、 1B、 2C、1D、3 2218、已知是、方程 x2x10 的两个实根，则43_______ .19、若关于x的方程2ax2xax 1 只有一解，求a 的值。
一元二次方程较难(60)-老师用
一元二次方程较难（60）1．关于x 的一元二次方程2ax x 10-+=有实数根，则a 的取值范围是A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：根据一元二次方程的意义，可知a≠0，然后根据一元二次方程根的判别式，可由有实数根得△=b 2-4ac=1-4a≥0，解得因此可知a 的取值范围为a≠0. 点睛：此题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是根据一元二次方程根的个数判断△=b 2-4ac 的值即可.注意：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当△=0时，方程有两个相等的十数根； 当△＜0时，方程没有实数根. 2．如图，将图甲表示的正方形纸片剪成四块，恰好拼成图乙表示的矩形.若=1x ，则 y 等于（ ）A.B. C. D.【答案】B【解析】试题解析：依题意得（x +y ）2=y （y +x +y ）， 而x =1， ∴y 2-y -1=0，∴y y 不能为负，∴y 故选B ．【点睛】此题是一个信息题目，首先正确理解题目的意思，然后会根据题目隐含条件找到数量关系，然后利用数量关系列出方程解决问题．3．已知a≥2，m 2﹣2am+2=0，n 2﹣2an+2=0，则(m ﹣1)2+(n ﹣1)2的最小值是（ ） A. 6 B. 3 C. ﹣3 D. 0 【答案】A【解析】已知m 2﹣2am+2=0，n 2﹣2an+2=0，可得m ，n 是关于x 的方程x 2﹣2ax+2=0的两个根，根据根与系数的关系可得m+n=2a ，mn=2，再由（m ﹣1）2﹣1）2=m 2﹣2m+1+n 2﹣2n+1=（m+n ）2﹣2mn ﹣2（m+n ）+2=4a 2﹣4﹣4a+2=4（a ）2﹣3，因a≥2a=2时，（m 2+（n ﹣1）2有最小值，即（m ﹣1）2+（n ﹣1）2的最小值=4（a 2-3=4（22﹣3=6，故选A ． 4．已知 ，则 的值是（ ）A. －2B. 3C. －2或3D. －2且3 【答案】B【解析】试题分析：根据题意，先移项得 ，即（ ） ，然后根据“十字相乘法”可得 ，由此解得 =-2（舍去）或 . 故选：B.点睛：此题主要考查了高次方程的解法，解题的关键是把其中的一部分看做一个整体，构造出简单的一元二次方程求解即可.5．到2013底，我县已建立了比较完善的经济困难学生资助体系．某校2011年发放给每个经济困难学生450元，2013年发放的金额为625元．设每年发放的资助金额的平均增长率为x ，则下面列出的方程中正确的是（ ）A. 450（1+x ）2=625B. 450（1+x ）=625C. 450（1+2x ）=625D. 625（1+x ）2=450【答案】A【解析】试题分析：设每年发放的资助金额的平均增长率为x ，则2012年发放给每个经济困难学生450（1+x ）元，2013年发放给每个经济困难学生450（1+x ）2元，由题意，得：450（1+x ）2=625． 故选：A ．6．某企业因春节放假，二月份产值比一月份下降20%，春节后生产呈现良好上升势头，四月份比一月份增长15%，设三、四月份的月平均增长率为x .则下列方程正确的是： A. ()()2120%1115%x -+=+ B. ()()2115%1120%x ++=- C. ()()2120%1115%x -+=+ D. ()()2115%1120%x ++=-【答案】A【解析】试题分析：根据题意可知二月份的产值为（1-20％），然后根据平均增长率为x 可知四月份的产值是()()2120%1x -+，再根据四月比一月增长15％，可知()()2120%1115x -+=+％.故选：A7．某县为大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全县学校的设施和设备进行全面改造和更新．2014年县政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计2016年投资7.2亿元人民币，那么每年投资的增长率为（ ）A. 20%B. 40%C. －220%D. 20%【答案】D【解析】试题分析：设每年投资的增长率为x ， 根据题意，得：5（1+x ）2=7.2， 解得：x 1=0.2=20%，x 2=﹣2.2（舍去）， 故每年投资的增长率为为20%．故选：D．8．股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫跌停．已知一支股票某天跌停，之后两天时间又张回到原价，若这两天此股票股价的平均增长A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：根据题意可知：股票的一次跌停到原来价格的90％，再从90％涨到原来的价格，且涨幅不超过10％，这样上涨到原来价格，x表示平均增长率，可得90％（1+x）2=1故选：A9．方程（x－2）2=3（x－2）的根是（）A. 2B. －2C. 2或－2D. 2或5【答案】D【解析】试题分析：根据一元二次方程的解法，先移项可得（x－2）2-3（x－2）=0，再提公因式分解因式可得（x-2）（x-2-3）=0，解得x=2或x=5.故选：D点睛：此题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，解题关键是先要对方程移项，再根据提公因式法分解因式，最后根据ab=0的形式的方程，可知a=0或b=0，或a=0且b=0，然后求解即可.10．设m是整数,关于x的方程mx2—（m—1）x+1=0有有理根，则方程的根为（）。
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一元二次方程练习题
1、已知关于x的方程x2 2(k 1)x k2 0有两个实数根洛、X2
⑴、求k的取值范围; ⑵、若|xi X2 X i X2 1，求k的值。
2•、已知关于x的一元二次方程；i. , - - I有两个实数根x1与x2
(1)求实数m的取值范围; ⑵若(X」1)( X2I 1) 7，求m的值。
2，x1x2 3 3•已知A(X1，yj ，B(X2，y2)是反比例函数y-图象上的两点，且X2 X1
X
(1)求y1 y的值及点A的坐标; (2)若一4v y < —1,直接写出x的取值范围.
4.(本小题8分)已知关于X的方程X2(k 1)x 0的两根是一个矩形的两邻边的长。
(1) k为何值时，方程有两个实数根; (2)当矩形的对角线长为时，求k的值。
5.已知关于X的一兀—次方程匕* '■.
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)当Rt A ABC的斜边长工厂广，且两直角边卜和二是方程的两根时，求△ ABC的周长和面积
6.如果一元二次方程 2 ax bx c 0的两根x1、
X1
X2均为正数，且满足1v — V 2 (其中X1 > X2 ),那么称这
X2
个方程有邻近根”.
(1)判断方程x2(.31)x...3 0是否有邻近根”，并说明理由；
(2)已知关于x的-
元
—
.次方
程mx2 (m1)x 1 0有邻近根”，求m的取值范围.
8. 某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个
10元的价格销售仍可售出200个，商店为适当增加销量，决定降价销售(根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价)，单价降低x元销售销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元
7.设关于X的一元二次方程x22px 10有两个实数根，一根大于1，另一根小于1，试求实数P的范围.
9. 本小题满分8分)如图，要利用一面墙(墙长为25
米)建羊圈，用
100米的围栏围成总面积为400平方
米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB, BC各为多少米
10 •问题提出：任意给定一个矩形A ,是否存在另一个矩形B,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的
三分之一”为解决上面的问题，我们先来研究几种简单的情况：
⑴已知矩形A的边长分别为12和1,是否存在另一个矩形B,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的三分之一解：设所求矩形B的两边长分别是x和y,由题意得
r B
旺十畀二—o
] 3 ,消去y 化简得3X2-13X+12=0•/ △ =169-144>0, /• X1= ______ ,X2= _______ .
少=4
•••已知矩形A的边长分别为12和1时，存在另一个矩形B,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的三分之一.
(2)如果已知矩形A的边长分别为6和2，请依照上面的方法研究：是否存在满足要求的矩形B
问题解决：如果已知矩形A的边长分别为m和n，请你研究：当m和n满足什么条件时，矩形B存在
应用提升：如果在同一平面直角坐标系中画出了一次函数和反比例函数的部分图象，其中X和y分别表示矩形
B的两边长，请你结合刚才的研究，回答下面的问题：(直接写出结果即可，不需说明理由)
11.在厶ABC中，/ B=90o, AB=6cm, BC=8cm,点P从点A开始沿AB边向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点C开始沿CB边向终点B以2cm/s的速度移动，如果P, Q分别从A, C同时出发。
如设移动时间为t秒，分别解答下列问题。
(1)如图①，当移动时间t=3秒时，这时PQ的长是_cm ；
(2)当P, Q移动到能使线段PQ正好平分△ ABC的面积时，这时时间t为多少秒
①该图象所表示矩形A的两边长为多少②图象所表示矩形B的两边长为多少
(3)如图②，连接
AP
A、Q,设——
PB
m，当m取多少时，点P关于AQ的对称点P/正好落在AC边上。
如图①如图2
C
12.已知方程x2 mx m 5 0 有两实数根，方程x2 (8m 1) x 15m 7 0有两实数根
求2的值。
13、已知关于x的方程(4 k)(8 k)x2(80 12k)x 32 0 的解都是整数，求整数k的值.
14、若关于x的方程x416x3(81 2a)x2(16a 142)x a2 21a 168 0 的各根均为整数，求a的值并解此方程。