算法案例

§1.3 算法案例（第一课时 辗转相除法与更相减损术）【课标定向】学习目标理解并应用求最大公约数的两种方法：辗转相除法与更相减损术． 提示与建议正确掌握两种算法的特点，加以联系与区别体会算法的实际应用．【互动探究】自主探究______的数（用变量m 表示）除以______的数（用变量n 表示），得到除式：______，反复执行这一步骤的次数由______决定． 2.更相减损术的步骤为：第一步：__________，第二步：____________．剖例探法★讲解点一 辗转相除法用辗转相除法求,m n 的最大公约数的方法是：计算出m n ÷的余数r ，若0r =，则n 就是,m n 的最大公约数；若0r ≠，则把前面的除数n 作为新的被除数，把余数r 作为新的除数，继续运算，直到余数为零，此时的除数即为自然数,m n 的最大约数．例题１求319，377，116的最大公约数． 【思维切入】求3个数的最大公约数，可以先求其中两个数的最大公约数，再求这个最大公约数与第三个数的最大公约数．【解析】3773191÷=（余58）， 319585÷=（余29）， 58292÷=（余0），∴377与319的最大公约数为29，再求29与116的最大公约数．∵116294÷=（余0），∴29与116的最大公约数为29．∴319，377，116的最大公约数为29．【规律技巧总结】利用辗转相除法求最大公约数，当余数为0时，除数就是所求的最大公约数．初学者不加以注意，往往会把这时候的商作为最大公约数．★讲解点二 更相减损术更相减损术是中国古代数学专著《九章算术》中的一个算法，课本对这段原文翻译有误，应如下解释：能用2约分的先用2约分，不能用2约分时，则将分子和分母上的数取出，用较大的数减去较小的数，再把得到的差与较小的数比较，并以大数减小数，反复相减，直到两数相等．例题2分别用辗转相除法和更相减损术求下列两数的最大公约数：⑴261，319；⑵1734，816．【思维切入】使用辗转相除法可依据m nq =，r +反复执行，直到0r =为止；用更相减损术就是根据m n r -=，反复执行，直到n r =为止．【解析】⑴辗转相除法： 3192161÷=（余58）， 261584÷=（余29）， 58292÷=（余0），∴377与319的最大公约数为29． 更相减损术： 31921658-=， 21658203-=， 20358145-=， 1455887-=， 875829-=， 582929-=，∴377与319的最大公约数为29． ⑵辗转相除法：17348161÷=（余102）， 8161028÷=（余0），∴1734与816的最大公约数为102．更相减损术：因为两数皆为偶数，首先除以2得到867，408，再求867与408的最大公约数．867408459-=， 45940851-=， 40851357-=， 35751306-=， 30651255-=， 25551204-=， 20451153-=， 15351102-=， 1025151-=，∴1734与816的最大公约数为102．【规律技巧总结】通过上例可以发现用辗转相除法和更相减损术求得的最大公约数是相同的，但用辗转相除法的步骤较少，而用更相减损术运算简易却步骤较多，在解题时应灵活运用． 精彩反思辗转相除法与更相减损术的统一性实际上，辗转相除法与更相减损术是统一的，我们举例说明这一点．如63183÷=（余9），而63181818--- 9=．这说明，做一次除法与做若干次减法的效果相同，商就是做减法的次数，余数就是最后的差．由此可知，二者是完全统一的，做除法运算的次数比做减法的次数一般要少．因此，辗转相除法能更快地得到结果，但减法运算比除法运算更容易，因此不能说哪种方法比另一种好，辗转相除法也未必比更相减损术效率高．【自我测评】1.用“辗转相除法”求得459与357的最大公约数是（ ）Ａ．3 Ｂ．9 Ｃ．17 Ｄ．512.两个整数490和910的最大公约数是（ ） Ａ．2 Ｂ．10 Ｃ．30 Ｄ．703.以下是利用更相减损术求78和36的最大公约数的操作步骤（78，36）→（42，36）→（6，30）→（6，24）→（6，18）→（6，12）→（6，6），那么78和36的最大公约数是 （ ） Ａ．1 Ｂ．12 Ｃ．6 Ｄ．364.用更相减损术求225和135的最大公约数为_____．5.下列程序的目的是（ ）．Ａ．求/a b 的余数 Ｂ．求,a b 的最小公倍数 Ｃ．求a 被b 除的商 Ｄ．求,a b 的最大公约数【拓展迁移】思维提升6.下面两个程序的作用是⑴______； ⑵______．视野拓展数学王子——高斯高斯（1777-1855）德国数学家、物理学家和天文学家．高斯在童年时代就表现出非凡的数学才华，年仅三岁，就学会了算术，八岁因发现等差数列求和公式而深得老师和同学的饮佩．大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件，解决了两千年来悬而未决的难题．1799年以代数基本定理的四个漂亮的证明获得博士学位．高斯的数学成就遍及各个领域，在数学许多方面的贡献都有着划时代的意义，并在天文学、大地测量学和磁学的研究中都有杰出的贡献．1801年发表的《算术研究》是数学史上为数不多的经典著作之一，它开辟了数论研究的全新时代．非欧几里得几何是高斯的又一重大发现，他的遗稿表明，他是非欧几何的创立者之一．§1.3 算法案例 （第二课时 辗秦九韶算法）【课标定向】学习目标多项式的秦九韶算法． 提示与建议理解秦九韶算法的算法思想，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献，增强民族自豪感．【互动探究】自主探究1.秦九韶算法用于求______，算法中反复执行的一个递推公式为______．2.用秦九韶算法求函数432()23f x x x x =++x +1+在2x =处的值为（ ）．Ａ．46 Ｂ．47 Ｃ．48 Ｄ．49 剖例探法★讲解点一 秦九韶算法秦九韶算法是中国古代数学家秦九韶发明的一个算法，其作用是求一元n 次多项式的值．即使在现代，它仍是此类算法中最优秀的算法之一．设1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ ，要求()f x 当0x x =时的值，可有多种方法：⑴直接计算：即按顺序一项一项地计算然后相加，求得0()f x ，可知乘法的次数为(1)1232n n n +++++=，加法次数为n ． ⑵逐项求和法：在直接计算法的基础上作了改进，先把多项式写成11()n n n n f x a x a x --=⋅+⋅1010a x a x ++⋅+⋅ 的形式，这样多项式的每一项都是k a 与kx 的乘积（0,1,2,,k n = ）．在计算k k a x 项时把k x 的值保存在变量c 中，求项11k k a x ++时只须计算1k a x c +⋅⋅，同时把1k x c x+⋅=的值存入c 中，继续下一项的运算，这样以后每一项的求值只需做两次乘法，然后把这1n +项的值相加．容易看出逐项求和法所用乘法的次数为21n +，加法次数n ．⑶秦九韶算法：将()f x 改写成如下形式()f x =1210((()))n n n a a x a x a x a --+++++ ，其计算步骤为：先计算11n n v a x a -=+，再计算212n v v x a -=+，每次都是把上一次的结果乘以x 再与下一个系数相加，其计算量为乘法n 次，加法n次．当n ≥4时，(1)212n n n n +<+<，且随着n 的变大，三个数的差距越来越大．如100n =时，21201n +=，(1)50502n n +=．由此我们可以看到秦九韶算法比其它算法优越得多．秦九韶算法的主要优点是：⑴大大减少了乘法的次数，使计算量减少．在计算机上做一次乘法所需要的时间是做加法、减法的几倍到十几倍，减少做乘法的次数也就加快了计算的速度．⑵规律性强，便于利用循环语句来实现算法．⑶避免了对自变量x 单独做幂的计算，每次都是计算一个一次多项式的值，从而可提高计算的精度．例题用秦九韶算法求多项式54()38f x x x =+3235126x x x -++-当2x =时的值．【思维切入】秦九韶算法的关键在于把n 次多项式转化为求一次多项式的值，注意体会递推的实现过程．【解析】根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：()((((38)3)5)12)6f x x x x x x =+-++-，按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当时2x =的值．03v =，102832814v v =⨯+=⨯+=， 2123142325v v =⨯-=⨯-=，3225252555v v =⨯+=⨯+=， 4321255212122v v =⨯+=⨯+=， 542612226238v v =⨯-=⨯-=．【规律技巧总结】直接代入求解，则计算机在执行时要进行15次乘法和5次加法运算，而利用秦九韶算法只需进行5次乘法、5次加法即可，要知道，让计算机进行一次乘法运算要比加法用的时间多很多，所以要减少运算中乘法的次数，这也就是秦九韶算法的优势所在了． 精彩反思用秦九韶算法计算多项式的值，关键是正确地将多项式改写，然后由内向外依次计算求得．【自我测评】1.用秦九韶算法计算多项式65432()3456781f x x x x x x x =++++++当0.4x =时的值，需要做乘法和加法次数分别为（ ）Ａ．6，6 Ｂ．5，6 Ｃ．5，5 Ｄ．6，52. 9876()102154f x x x x x =+++4332x x ++231x x +++，则(2)f =（ ）Ａ．11471 Ｂ．11472 Ｃ．11473 Ｄ．11474【拓展迁移】思维提升3.用秦九韶算法计算多项式65432()3456781f x x x x x x x =++++++当4x =-时，4v 的值是 （ ）Ａ．-57 Ｂ．220 Ｃ．-845 Ｄ．33924.用秦九韶算法计算多项式878710()f x a x a x a x a =+++当0x x =时的值，要做____次乘法运算，____次加法运算． 5.用秦九韶算法计算多项式432()320.687f x x x x x =++++当5x =时的值．视野拓展信仰“数即万物”的毕达哥拉斯毕达哥拉斯出生在爱琴海中的萨摩斯岛（今希腊东部小岛），自幼聪明好学，曾在名师门下学习几何学、自然科学和哲学．毕达哥拉斯学派很重视数学，企图用数学来解释一切．他们研究数学的目的并不在于实用，而是为了探索自然的奥秘．毕达哥拉斯本人以发现勾股定理著称，其实这个定理早为巴比伦人和中国人所知，不过最早的证明应归功毕达哥拉斯．毕达哥拉斯还是音乐理论的鼻祖，他阐明了单弦的乐音与弦长的关系．在天文方面．首创地圆说．毕达哥拉斯的思想和学说，对希腊文化有巨大的影响．§1.3 算法案例（第三课时进位制）【课标定向】学习目标进位制与数制转换． 提示与建议重点掌握十进制与其他进位制的相互转化．【互动探究】自主探究1.下列关于进位制说法错误的是（ ）．Ａ．进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统 Ｂ．二进制就是满二进一，十进制就是满十进一 Ｃ．满几进几，就是几进制，几进制的基数就是几Ｄ．为了区分不同的进位制，必须在数的右下角标注基数 2.四进制数(4)2231转化为十进制数是（ ）． Ａ．172 Ｂ．173 Ｃ．692 Ｄ．693 3.四进制数首位能用的数字有________．剖例探法★讲解点一 进位制及进位制的转化 1.进位制的基本原理十进制的原理是满十进一，一个十进制正整数N 可以写成11011010101010n n n n a a a a --⨯+⨯++⨯+⨯ 的形式，其中110,,,,n n a a a a - 都是0到9中的数字，且0n a ≠．例如23653106105=⨯+⨯+．一般地，k 进制数的原理是满k 进一，k 进制数一般在右下角处标注（k ）以示区别，例如270(8)表示270是一个8进制数，但十进制一般省略不写．在k 进制中，有：⑴有k 个不同的数字符号，即0,1,2,,1k - ；⑵“满k 进一”，即每位数计满k 后向高位进一．一个k 进位制的正整数就是各位数码与k 的方幂的乘积的和，其中幂指数等于相应数码所在位数（从右往左数）减1．例如543()230451230k k k k =⨯+⨯+⨯2451k k +⨯+⨯+．计算机中常用的数除十进制外，还有二进制，八进制和十六制． ⑴二进制：①只使用两个数字0和1； ②满二进一，即1+1=10． ⑵八进制：①使用0,1,2,3,4,5,6,7八个数字；②满八进一，如7+1=10．八进制的数转化为十进制的数由下面的算式给出：2(8)32738287=⨯+⨯+． ⑶十六进制：①使用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,,,,,,A B C D E F 十六个不同的数码，其中,,,,,A B C D E F 分别代表10,11,12,13,14,15；②满十六进一，如110F +=． 2.不同进位制之间的转换⑴把k 进位制的数转化为十进位制数 写成k 的方幂之和即可，即110n n a a a a -1110n n n n a k a k a k a --=⨯+⨯++⨯+ ．⑵十进位制数转化为其他进位制的数一般方法是除k 取余法，即先把十进制数a 除以k 商为1a ，余数为1r ，再把1a 除以k 商为2a 余数为2r ， ，反复进行这种除法，直到商n a 小于0为止，此时将所有余数按反向排列就得到所要的k 进制数121()n n k r r r r - ．例题1把十进制数25转化为二进制数．【思维切入】把一个十进制数转换为相应的二进制数，用2反复去除欲被转换的十进制数25，直到商为0为止，所得余数（从末位数读起）就是该十进制数25的二进制表示．【解析】(10)(2)2511001=．例题2把二进制数(2)10110101转化为十进制数．【思维切入】把二进制数转换为十进制数,就是将二进制数的最末位数乘以该位数的权02，倒数第二位乘以该位数的权12,, 依此类推，最后把各位相乘的结果相加即得该二进制数的十进制表示．【解析】765(2)10110101120212=⨯+⨯+⨯412+⨯321002120212+⨯+⨯+⨯+⨯(10)181=，即(2)(10)10110101181=．例题3把(6)154二进制数转化为七进制数．【思维切入】不同数制之间的转化（除十进制），我们可以把需要转化的数化成十进制数，然后再把十进制数化为要转化的数．【解析】210(6)(10)15416564670=⨯+⨯+⨯=， 把(10)70化为七进制数(10)(7)70130=所以(6)154化为七进制的数(7)130．精彩反思1.进位制的转化⑴进制数转化十进制数的方法是把k 进制数写成各位数字与k 的幂的乘积之和，从右起 第i 位数字对应的k 的幂指数是1i -；⑵十进制数转化为k 进制数用除k 取余法，短除法要除到商为0才停止； ⑶两非十进制的不同数制相互转化时，可以先把一数制转化为十进制，再把十进制转化为另一数制．2.不同进制数运算通常是先转化为十进制数再计算，计算的结果是十进制数，根据需要，可以把十进制数结果再转化为k 进制数．【自我测评】1.下列表示数的形式正确的有（ ） Ａ．(3)4212 Ｂ．(5)32413 Ｃ．(6)825 Ｄ．(4)12531542.以下给出的各数不可能是八进制数的是（ ） Ａ．312 Ｂ．10110 Ｃ．82 Ｄ．74573.把“二进制”数(2)1011011化为“五进制”数是 （ ） Ａ．(5)324 Ｂ．(5)234 Ｃ．(5)331 Ｄ．(5)4234.将二进制数1101化为十进制数为（ ） Ａ．10 Ｂ．11 Ｃ．12 Ｄ．135.下列二进制数中最大的数是（ ） Ａ．(2)111 Ｂ．(2)1001 Ｃ．(2)110 Ｄ．(2)1016.下列各数中最小的数是（ ） Ａ.(2)111111 Ｂ.(6)210 Ｃ.(4)1000 Ｄ.(8)81【拓展迁移】思维提升7.若k 进制数()123k 与十进制数38相等，则______k =． 8.(3)(4)(10)(10)2111310_____+-=．9.计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A ～F 共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：例如，用十六进制表示：1E D B +=，则A B ⨯是（ ）Ａ．6E Ｂ．72 Ｃ．5F Ｄ．0B视野拓展江泽涵江泽涵于1902年10月6日出生于安徽省旌德县，1927年赴美国哈佛大学攻读博士学位．1931年回国，受聘在北京大学数学系任教授，1955年江泽涵被选为中国科学院学部委员，他还是中国国家科学技术委员会数学学科组成员．江泽涵在数学上的贡献主要在拓扑学方面， 江泽涵最先将拓扑学的临界点理论直接用到分析中去，得到了关于调函数的重要结果．江泽函在复迭空间和纤维丛方面进行了深入的研究，并证明了不可定向流形M 的任一可定向复迭必是M 可定向二叶复迭形M 的复迭形，且M 有一个周期为2的、无不动点的、反定向的自同胚．他计算了n 维球面的有线素流形的同调群，江泽涵也对不动点理论进行了长期的研究．。