考点65 数学归纳法(练习)(解析版)
高考数学总复习《第65讲 随机事件及其概率、古典概型
（江苏专用）2013高考数学总复习《第65讲 随机事件及其概率、古典概型》基础达标演练（含解析）理 苏教版A 级 基础达标演练 (时间：45分钟 满分：80分)一、填空题(每小题5分，共35分)1．高一(2)班有4个学习小组，从中抽出2个小组进行作业检查．在这个试验中，基本事件的个数为________．解析 设这4个学习小组为A 、B 、C 、D ，“从中任抽取两个小组”的基本事件有AB 、AC 、AD 、BC 、BD 、CD ，共6个．答案 62．(2011·盐城调研)从{1,2,3}中随机选取一个数a ，从{2,3}中随机选取一个数b ，则b ＞a 的概率是________．解析 从{1,2,3}中随机选取一个数a ，从{2,3}中随机选取一个数b 的情形(a 在前，b 在后)有：(1,2)；(1,3)；(2,2)；(2,3)；(3,2)；(3,3)，共6种，满足b ＞a 的有(1,2)；(1,3)；(2,3)；所以b ＞a 的概率是36＝12.答案 123．(2011·苏州调研)已知集合A ＝{2,5}，在A 中可重复的依次取出三个数a ，b ，c ，则“以a ，b ，c 为边恰好构成三角形”的概率是________．解析 从A 中可重复取三个数共有8种，其中(2,2,2)；(5,5,5)；(5,5,2)；(5,2,5)；(2,5,5)可构成三角形，故所求概率为P ＝58.答案 584．(2011·苏北四市调研)一个质地均匀的正四面体(侧棱长与底面边长相等的正三棱锥)玩具的四个面上分别标有1,2,3,4这四个数字．若连续两次抛掷这个玩具，则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是________． 解析 所求概率为P ＝4×4－44×4＝34.答案 345．从1,2,3,4,5,6六个数中任取2个数，则取出的两个数不是连续自然数的概率是________． 解析 取出的两个数是连续自然数有5种情况，则取出的两个数不是连续自然数的概率P ＝1－515＝23. 答案 23.6．(2011·苏北四市调研)若以连续两次掷骰子得到的点数m ，n 分别作为点P 的横坐标和纵坐标，则点P 在圆x 2＋y 2＝16内的概率是________．解析 (m ，n )中m ，n 均可取1,2,3,4,5,6，这样的点共有36个，其中点(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)共8个点在圆x 2＋y 2＝16内，故所求概率为P ＝836＝29.答案 297．(2011·南京市金陵中学模拟)为了调查高中学生眼睛高度近视的原因，某学校研究性学习小组用分层抽样的方法从全校三个年级的高度近视眼患者中，抽取若干人组成样本进行深入研究，有关数据见表(单位：人)：若从高一与高三抽取的人选中选2人进行跟踪式家访调研，则这2人都来自高三年级的概率是________.解析 由1836＝x 2，得x ＝1；由54＝y ，得y ＝3.故所求概率为P ＝4×3＝12.答案 12二、解答题(每小题15分，共45分)8．(2011·天津卷)编号分别为A 1，A 2，…，A 16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：(1)(2)①用运动员编号列出所有可能的抽取结果；②求这2人得分之和大于50的概率．解(1)4,6,6.(2)①得分在区间[20,30)内的运动员编号为A3，A4，A5，A10，A11，A13.从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A10}，{A3，A11}，{A3，A13}，{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A4，A13}，{A5，A10}，{A5，A11}，{A5，A13}，{A10，A11}，{A10，A13}，{A11，A13}，共15种．②“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”(记为事件B)的所有可能结果有{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A5，A10}，{A10，A11}，共5种，所以P(B)＝515＝13.9．(2011·福建卷)某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：(1)若所抽取的205的恰有2件，求a，b，c的值；(2)在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3等级系数为5的2件日用品记为y1，y2.现从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．解(1)由频率分布表得a＋0.2＋0.45＋b＋c＝1，即a＋b＋c＝0.35.因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b＝320＝0.15，等级系数为5的恰有2件，所以c＝220＝0.1，从而a＝0.35－b－c＝0.1.所以a＝0.1，b＝0.15，c＝0.1.(2)从日用品x1，x2，x3，y1，y2中任取两件，所有可能的结果为：{x1，x2}，{x1，x3}，{x1，y1}，{x1，y2}，{x2，x3}，{x2，y1}，{x2，y2}，{x3，y1}，{x3，y2}，{y1，y2}．设事件A表示“从日用品x1，x2，x3，y1，y2中任取两件，其等级系数相等”，则A包含的基本事件为：{x1，x2}，{x1，x3}，{x2，x3}，{y1，y2}，共4个．又基本事件的总数为10，故所求的概率P (A )＝410＝0.4.10．(2010·福建卷)设平面向量a m ＝(m,1)，b n ＝(2，n )，其中m ，n ∈{1,2,3,4}． (1)请列出有序数组(m ，n )的所有可能结果；(2)若“使得a m ⊥(a m －b n )成立的(m ，n )”为事件A ，求事件A 发生的概率．解 (1)有序数组(m ，n )的所有可能结果为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个． (2)由a m ⊥(a m －b n )，得m 2－2m ＋1－n ＝0，即n ＝(m －1)2.由于m ，n ∈{1,2,3,4}，故事件A 包含的基本事件为(2,1)和(3,4)，共2个．又基本事件的总数为16，故所求的概率为P (A )＝216＝18.B 级 综合创新备选 (时间：30分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．(2010·辽宁卷)三张卡片上分别写上字母E ，E ，B 将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE 的概率为________．解析 三张卡片的排列方法有3种，则恰好排成英文单词BEE 的概率为13.答案 132．(2011·苏锡常镇调研)某所学校有小学部、初中部和高中部，在校小学生、初中生和高中生人数之比为5∶2∶3，且已知初中生有800人，现采用分层抽样的方法从这所学校抽取一个容量为80的学生样本以了解学生对学校文体活动方面的评价，则每个高中生被抽到的概率是________．解析 设在校小学生、初中生和高中生人数分别为5x,2x 和3x ，则由2x ＝800，得x ＝400，即小学生人数为 2 000，高中生人数为 1 200人．故每个高中生被抽到的概率为P ＝802 000＋800＋1 200＝804 000＝150.答案1503．(2011·南京外国语学校调研)将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b ，c ，则方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率为________．解析 Δ＝b 2－4c ≥0，且b ，c 在{1,2,3,4,5,6}中取值． 若c ＝1，则由b 2≥4，得b ＝2,3,4,5,6； 若c ＝2，则由b 2≥8，得b ＝3,4,5,6； 若c ＝3，则由b 2≥12，得b ＝4,5,6；若c ＝4，则由b 2≥16，得b ＝4,5,6； 若c ＝5，则由b 2≥20，得b ＝5,6； 若c ＝6，则由b 2≥24，得b ＝5,6. 故所求概率为P ＝5＋4＋6＋46×6＝1936.答案19364．(2011·安徽卷)从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于________．解析 假设正六边形的6个顶点为A ，B ，C ，D ，E ，F ，则从6个顶点中任取4个顶点共有15种结果，以所取的4个点为顶点的四边形为矩形的有3种结果，故所求概率为15.答案 155．某地为了调查职业满意度，决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的相关人员中，抽取若干人组成调查小组，有关数据见下表，则调查小组的总人数为________；若从调查小组中的公务员和教师中随机选2人撰写调查报告，则其中恰好有1人来自公务员的概率为________.解析 设调查小组总人数为n ，由题意144＝n ，n ＝9，则x ＝144×9＝2，y ＝48144×9＝3，公务员中两人分别用A 、B 表示，教师用C 、D 、E 表示．从中任选2人可能的结果为(A ，B )；(A ，C )；(A ，D )；(A ，E )；(B ，C )；(B ，D )；(B ，E )；(C ，D )；(C ，E )；(D ，E )，共10种，其中恰有一个公务员有6种，故所求概率为P ＝610＝35.答案 9 356．(2011·四川卷改编)在集合{1,2,3,4,5}中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量a ＝(a ，b )．从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形．记所有作成的平行四边形的个数为n ，其中面积等于2的平行四边形的个数为m ，则mn＝________.解析 向量a 的坐标可能有以下6种情况：(2,1)，(2,3)，(2,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边共可作平行四边形15(个)，即n ＝15.以向量a ，b 为邻边的平行四边形的面积S ＝|a ||b |sin 〈a ，b 〉＝|a ||b |·1－cos 2〈a ，b 〉 ＝|a ||b |·1－a ·b2|a ||b |2＝|a ||b |2－a·b2.分别以a ＝(2,1)，b ＝(4,1)；a ＝(2,1)，b ＝(4,3)；a ＝(4,5)，b ＝(2,3)为邻边的平行四边形的面积为2，故m ＝3，所以m n ＝315＝15.答案 15二、解答题(每小题15分，共30分)7．(★)新华中学高三(1)班共有学生50名，其中男生30名、女生20名，采用分层抽样的方法选出5人参加一个座谈会．(1)求某同学被抽到的概率以及选出的男、女同学的人数；(2)座谈会结束后，决定选出2名同学作典型发言，方法是先从5人中选出1名同学发言，发言结束后再从剩下的同学中选出1名同学发言，求选出的2名同学中恰好有1名为女同学的概率．解 (1)某个同学被抽到的概率P ＝550＝110，根据分层抽样方法，应抽取男同学3人，女同学2人．(2)记选出的3名男同学为A 1，A 2，A 3,2名女同学为B 1，B 2. 则基本事件是：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 1)，(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，A 1)，(A 3，A 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，A 1)，(B 1，A 2)(B 1，A 3)，(B 1，B 2)，(B 2，A 1)，(B 2，A 2)(B 2，A 3)，(B 2，B 1)．基本事件的总数为20个，其中满足“恰好有1名为女同学”的基本事件有12个，故所求的概率P ＝1220＝35.【点评】 近几年新课标高考对概率与统计的交汇问题考查次数较多.解决此类题目步骤主要有：第一步：根据题目要求求出数据有的用到分层抽样、有的用到频率分布直方图等知识； 第二步：列出所有基本事件，计算基本事件总数； 第三步：找出所求事件的个数； 第四步：根据古典概型公式求解；第五步：明确规范表述结论.8．(2011·南通调研)某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本，得频率分布表如下：(1)(2)为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数；(3)在(2)的前提下，高校决定在这6名学生中录取2名学生，求2人中至少有1名是第四组的概率．解(1)①②位置的数据分别为12,0.3；(2)第三、四、五组参加考核人数分别为3,2,1；(3)设上述6人为a、b、c、d、e、f(其中第四组的两人分别为d，e)，则从6人中任取2人的所有情形为：{ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef}共有15种．记“2人中至少有一名是第四组”为事件A，则事件A所含的基本事件的种数有9种．所以P(A)＝915＝35，故2人中至少有一名是第四组的概率为35.。
(完整版)数学归纳法练习题
2.3数学归纳法第1课时数学归纳法1．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()．A．2 B．3 C．5 D．6解析当n取1、2、3、4时2n>n2＋1不成立，当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n>n2＋1的n值为5，故选C.答案 C2．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n＋3)(n＋4)2(n∈N＋)，验证n＝1时，左边应取的项是()．A．1 B．1＋2C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4解析等式左边的数是从1加到n＋3.当n＝1时，n＋3＝4，故此时左边的数为从1加到4.答案 D3．设f(n)＝1＋12＋13＋…＋13n－1(n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)等于()．A.13n＋2B.13n＋13n＋1C.13n＋1＋13n＋2D.13n＋13n＋1＋13n＋2解析∵f(n)＝1＋12＋13＋…＋13n－1，∵f(n＋1)＝1＋12＋13＋…＋13n－1＋13n＋13n＋1＋13n＋2，∴f(n＋1)－f(n)＝13n＋13n＋1＋13n＋2.答案 D4．用数学归纳法证明关于n的恒等式，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为________．答案1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)25．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________.解析由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形图形，故f(k＋1)＝f(k)＋π.答案π6．用数学归纳法证明：1 1×2＋13×4＋…＋1(2n－1)·2n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋1n＋n.证明(1)当n＝1时，左边＝11×2＝12，右边＝12，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即1 1×2＋13×4＋…＋1(2k－1)·2k＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k.则当n＝k＋1时，1 1×2＋13×4＋…＋1(2k－1)·2k＋1(2k＋1)(2k＋2)＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k＋1(2k＋1)(2k＋2)＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋⎝⎛⎭⎪⎫12k＋1－12k＋2＋1k＋1＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＝1(k＋1)＋1＋1(k＋1)＋2＋…＋1(k＋1)＋k＋1(k＋1)＋(k＋1).即当n＝k＋1时，等式成立．根据(1)(2)可知，对一切n∈N*，等式成立．7．若命题A(n)(n∈N*)在n＝k(k∈N*)时命题成立，则有n＝k＋1时命题成立．现知命题对n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有()．A．命题对所有正整数都成立B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立D．以上说法都不正确解析由已知得n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有n＝n0＋1时命题成立；在n ＝n0＋1时命题成立的前提下，又可推得n＝(n0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C.答案 C8．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*)，从n＝k到n＝k＋1，左边增加的代数式为()．A．2k＋1 B．2(2k＋1)C.2k＋1k＋1D.2k＋3k＋1解析n＝k时，左边＝(k＋1)(k＋2)…(2k)；n＝k＋1时，左边＝(k＋2)(k＋3)…(2k＋2)＝2(k＋1)(k＋2)…(2k)(2k＋1)，故选B.答案 B9．分析下述证明2＋4＋…＋2n＝n2＋n＋1(n∈N＋)的过程中的错误：证明假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即2＋4＋…＋2k＝k2＋k＋1，那么2＋4＋…＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋1＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)＋1，即当n＝k＋1时等式也成立．因此对于任何n∈N＋等式都成立．__________________.答案缺少步骤归纳奠基，实际上当n＝1时等式不成立10．用数学归纳法证明(1＋1)(2＋2)(3＋3)…(n＋n)＝2n－1·(n2＋n)时，从n＝k到n ＝k＋1左边需要添加的因式是________．解析当n＝k时，左端为：(1＋1)(2＋2)…(k＋k)，当n ＝k ＋1时，左端为：(1＋1)(2＋2)…(k ＋k )(k ＋1＋k ＋1)， 由k 到k ＋1需添加的因式为：(2k ＋2)． 答案 2k ＋2 11．用数学归纳法证明12＋22＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6(n ∈N *)．证明 (1)当n ＝1时，左边＝12＝1， 右边＝1×(1＋1)×(2×1＋1)6＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即 12＋22＋…＋k 2＝k (k ＋1)(2k ＋1)6那么，12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2 ＝k (k ＋1)(2k ＋1)6＋(k ＋1)2＝k (k ＋1)(2k ＋1)＋6(k ＋1)26＝(k ＋1)(2k 2＋7k ＋6)6＝(k ＋1)(k ＋2)(2k ＋3)6＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][2(k ＋1)＋1]6，即当n ＝k ＋1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N *都成立．12．(创新拓展)已知正数数列{a n }(n ∈N *)中，前n 项和为S n ，且2S n ＝a n ＋1a n ，用数学归纳法证明：a n ＝n －n －1. 证明 (1)当n ＝1时．a 1＝S 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1，∴a 21＝1(a n >0)，∴a 1＝1，又1－0＝1， ∴n ＝1时，结论成立．(2)假设n ＝k (k ∈N *)时，结论成立， 即a k ＝k －k －1. 当n ＝k ＋1时， a k ＋1＝S k ＋1－S k＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝⎛⎭⎪⎫k －k －1＋1k －k －1 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k∴a 2k ＋1＋2k a k ＋1－1＝0，解得a k ＋1＝k ＋1－k (a n >0)， ∴n ＝k ＋1时，结论成立．由(1)(2)可知，对n ∈N *都有a n ＝n －n －1.。
高二数学数学归纳法试题答案及解析
高二数学数学归纳法试题答案及解析1.若，则对于，．【答案】【解析】【考点】数学归纳法2.用数学归纳法证明：“1＋a＋a2＋＋a n＋1＝(a≠1，n∈N*)”在验证n＝1时，左端计算所得的项为( )A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3【答案】C【解析】当n=1时，左端为1＋a＋a2，故选C.考点:数学归纳法3.已知,,,,…,由此你猜想出第n个数为【答案】【解析】观察根式的规律，和式的前一项与后一项的分子相同，是等差数列,而后一项的分母可表示为，故答案为【考点】归纳推理.4.用数学归纳法证明1＋＋＋…＋(,)，在验证成立时，左式是____．【答案】1＋＋【解析】当时，；所以在验证成立时，左式是.【考点】数学归纳法.5.利用数学归纳法证明“， ()”时，在验证成立时，左边应该是．【答案】【解析】用数学归纳法证明“， ()”时，在验证成立时，将代入，左边以1即开始，以结束，所以左边应该是.【考点】数学归纳法.6.已知，不等式，，，…，可推广为，则等于 .【答案】【解析】因为，……，所以该系列不等式，可推广为，所以当推广为时，.【考点】归纳推理.)能被9整除”，要利7.用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3，(n∈N＋用归纳法假设证n＝k＋1时的情况，只需展开( )．A．(k＋3)3B．(k＋2)3C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)3【答案】A【解析】假设n＝k时，原式k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，当n＝k＋1时，(k＋1)3.＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只须将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．故应选A.8.用数学归纳法证明：【答案】通过两步（n=1，n=k+1）证明即可得出结论。
【解析】解：当n=1时，等式左边为2，右边为2，左边等于右边，当n=k时，假设成立，可以得到（k+1）+（k+2）+…+（k+k）=n=k+1时等式左边与n=k时的等式左边的差，即为n=k+1时等式左边增加的项，由题意，n=k时，等式左边=（k+1）+（k+2）+…+（k+k），n=k+1时，等式左边=（k+2）+（k+3）+…+（k+k+1）+（k+1+k+1），比较可得n=k+1时等式左边等于右边，进而综上可知，满足题意的所有正整数都成立，故证明。
课时作业65 高考数学试题解析 高考数学复习
课时作业(六十五)1．已知F 1、F 2是双曲线x 22－y 2＝1的左、右焦点，P 、Q 为右支上的两点，直线PQ 过F 2且倾斜角为α，则|PF 1|＋|QF 1|－|PQ |的值为( )A ．8B ．2 2C ．4 2D ．随α的大小而变化答案 C解析 由双曲线定义知： |PF 1|＋|QF 1|－|PQ |＝|PF 1|＋|QF 1|－(|PF 2|＋|QF 2|) ＝(|PF 1|－|PF 2|)＋(|QF 1|－|QF 2|) ＝4a ＝4 2.2．与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线且经过点A (－3，32)的双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离是( )A. 2B.34 2 C ．1 D ．4答案 B解析 设此双曲线方程为x 29m －y 216m ＝1， 代入点A (－3,32)得m ＝－18.∴方程为y 22－x 298＝1.∵焦点到渐近线的距离为b ，∴d ＝b ＝98＝324.3．双曲线的实轴长、虚轴长与焦距的和为8，则半焦距的取值范围是( ) A ．[42－4,4] B ．[42－4,2] C ．(42－4,2) D ．[42－4,2)答案 D解析 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， 其中a 2＋b 2＝c 2.∵2a ＋2b ＋2c ＝8，∴a ＋b ＋c ＝4. ∵(a ＋b )2≤2(a 2＋b 2)，∴(4－c )2≤2c 2⇒c 2＋8c －16≥0⇒c ≥42－4或c ≤－42－4(负根舍去)． 又∵a 2＋b 2＝c 2，∴a ＋b >c .而a ＋b ＋c ＝4，∴c <2，即42－4≤c <2.4．设F 1和F 2为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，若F 1、F 2、P (0,2b )是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率( )A.32B ．2C.52 D ．3答案 B解析 设F 1(－c,0)，F 2(c,0)． 由△PF 1F 2为正三角形得2c ＝c 2＋4b 2.∴3c 2＝4b 2＝4(c 2－a 2)． ∴c 2＝4a 2，e 2＝4，e ＝2.5．△ABC 的顶点为A (－5,0)、B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是( )A.x 29－y 216＝1 B.x 216－y 29＝1 C.x 29－y 216＝1(x >3) D.x 216－y 29＝1(x >4)答案 C解析 设△ABC 的内切圆与x 轴相切于D 点，则D (3,0)．由于AC 、BC 都为圆的切线．故有|CA |－|CB |＝|AD |－|BD |＝8－2＝6.再由双曲线第一定义知所求轨迹为x 29－y 216＝1(x >3)． 故选C.6．已知点F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，以线段F 1F 2为一边的等边三角形PF 1F 2与双曲线的两交点M 、N 恰为等边三角形PF 1F 2两边的中点，则该双曲线的离心率e ＝( )A.3＋1B.3＋2C. 3D.2＋1答案 A解析 设点M 、N 分别是△PF 1F 2的边PF 1、PF 2的中点，连接MF 2.因为|F 1F 2|＝2c ，△PF 1F 2为等边三角形，所以|MF 1|＝c ，所以|MF 2|＝2a ＋c .又易知|MF 1|2＋|MF 2|2＝|F 1F 2|2，所以c 2＋(2a ＋c )2＝4c 2，化简得e 2－2e －2＝0，得e ＝1±3，因为e >1，故取e ＝3＋1.故选A.7．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，点F 是其左焦点，点E 是其右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若AE →·BE →＝0，则该双曲线的离心率为( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 A 解析根据题意画出如图所示的简图．由AE →·BE →＝0，可知∠AEB 为直角．由双曲线的几何性质可知∠AEF ＝45°.又AF ＝b 2a ，EF ＝a ＋c ，三角形AEF 为等腰直角三角形，所以b 2a ＝a ＋c ，整理得c 2－ac －2a 2＝0，即e 2－e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－1(舍去)．8.8. (2012·浙江)如图，F 1、F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M .若|MF 2|＝|F 1F 2|，则C 的离心率是( )A.233B.62 C. 2 D. 3答案 B解析 不妨设c ＝1，则直线PQ ：y ＝bx ＋b ，两渐近线为y ＝±ba x . 因此有交点P (－a a ＋1，ba ＋1)，Q (a 1－a ，b1－a )，设PQ 的中点为N ，则点N 的坐标为(a 21－a 2，b1－a2)． 因为线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ，|MF 2|＝|F 1F 2|，所以点M 的坐标为(3,0)．因此有k MN ＝b1－a 2－0a 21－a 2－3＝－1b ，所以3－4a 2＝b 2＝1－a 2.所以a 2＝23，所以e ＝62.9．已知圆C 过双曲线x 29－y 216＝1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是______．答案 163解析 由双曲线的几何性质易知圆C 过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C 的圆心的横坐标为4，故圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，±473，易求它到中心的距离为163.10．双曲线C ：x 2－y 2＝1的渐近线方程为_______；若双曲线C 的右顶点为A ，过A 的直线l 与双曲线C 的两条渐近线交于P ，Q 两点，且P A →＝2AQ →，则直线l 的斜率为_______．答案 x ±y ＝0 ±3解析 双曲线C ：x 2－y 2＝1的渐近线方程为x 2－y 2＝0，即y ＝±x ；双曲线C 的右顶点A (1,0)，设l ：x ＝my ＋1，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 2－y 2＝0，消去x 得(m 2－1)y 2＋2my ＋1＝0(*)，方程(*)的根为P 、Q 两点的纵坐标，设P (x P ，y P )，∵P A →＝2AQ →，∴y P ＝－2y Q .又⎩⎨⎧y P ＋y Q ＝2m1－m2，y P y Q＝1m 2－1，解得m ＝±13，直线l 的斜率为1m ，即为3或－3.11．求两条渐近线为x ＋2y ＝0和x －2y ＝0且截直线x －y －3＝0所得的弦长为833的双曲线的方程．解析 渐近线方程为y ＝±12x ，可设双曲线方程为x 24m －y 2m ＝1，则⎩⎨⎧x 24m －y 2m ＝1，x －y －3＝0.可得3x 2－24x ＋36＋4m ＝0， ∴x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝36＋4m3. 由弦长公式|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，得|AB |＝2·48－16m3. 又∵|AB |＝833，∴m ＝1. ∴双曲线方程为x 24－y 2＝1.12．(2011·江西)P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点，M ，N 分别是双曲线E 的左，右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC →＝λOA →＋OB →，求λ的值．解析 (1)点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上， 有x 20a 2－y 20b 2＝1.由题意又有y 0x 0－a ·y 0x 0＋a＝15，可得a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2，则e ＝c a ＝305. (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5y 2＝5b 2，y ＝x －c ，得4x 2－10cx ＋35b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝5c2，x 1x 2＝35b 24.①设OC →＝(x 3，y 3)，OC →＝λOA →＋OB →，即⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝λx 1＋x 2，y 3＝λy 1＋y 2.因为C 为双曲线上一点，所以x 23－5y 23＝5b 2，有(λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2.化简得λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2.②因为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，所以x 21－5y 21＝5b 2，x 22－5y 22＝5b 2.由①式又有x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c )(x 2－c )＝－4x 1x 2＋5c (x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2，由②式得λ2＋4λ＝0，解出λ＝0或λ＝－4.13．(2013·上海徐汇高三模拟)已知点F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线于点M ，且∠MF 1F 2＝30°，圆O 的方程为x 2＋y 2＝b 2；(1)求双曲线C 的方程；(2)过圆O 上任意一点Q (x 0，y 0)作切线l 交双曲线C 于A ，B 两个不同点，AB 中点为N ，求证：|AB |＝2|ON |；(3)过双曲线C 上一点P 作两条渐近线的垂线，垂足分别是P 1和P 2，求PP 1→·PP 2→的值．解析 (1)设F 2，M 的坐标分别为(1＋b 2，0)，(1＋b 2，y 0)(y 0>0)，因为点M 在双曲线C 上，所以1＋b 2－y 20b 2＝1，即y 0＝b 2. 所以|MF 2|＝b 2.在Rt △MF 2F 1中，∠MF 1F 2＝30°，|MF 2|＝b 2，所以|MF 1|＝2b 2. 由双曲线的定义可知|MF 1|－|MF 2|＝b 2＝2， 故双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1.(2)证明①当切线l的斜率存在时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，切线l的方程为y＝kx＋n(k≠±2)，代入双曲线C中，化简得(2－k2)x2－2knx－(n2＋2)＝0.所以|AB|＝1＋k2·|x1－x2|＝1＋k2·8n2－8k2＋16(2－k2)2.因为直线l与圆O相切，所以|n|1＋k2＝2，代入上式，得|AB|＝221＋k2|2－k2|·k2＋4.设点N的坐标为(x N，y N)，则x N＝x1＋x22＝kn2－k2，y n＝kx N＋n＝2n2－k2.所以ON＝(kn2－k2)2＋(2n2－k2)2＝2·1＋k2|2－k2|·k2＋4，即|AB|＝2|ON|成立．②当切线l的斜率不存在时，A(2，－2)，B(2，2)或A(－2，－2)，B(－2，2)，此时|AB|＝22，|ON|＝2，即|AB|＝2|ON|成立．(3)由条件可知：两条渐近线分别为l1：2x－y＝0；l2：2x＋y＝0.设双曲线C 上的点P (x 0，y 0)，则点P 到两条渐近线的距离分别为|PP 1→|＝|2x 0－y 0|3，|PP 2→|＝|2x 0＋y 0|3. 所以|PP 1→|·|PP 2→|＝|2x 0－y 0|3·|2x 0＋y 0|3＝|2x 20－y 20|3. 因为P (x 0，y 0)在双曲线C ：x 2－y 22＝1上，所以2x 20－y 20＝2. 故|PP 1→|·|PP 2→|＝|2x 20－y 20|3＝23.设PF 1→和PF 2→的夹角为θ，则cos θ＝|2·2＋1·(－1)|3·3＝13. 所以PF 1→·PF 2→＝|PF 1→|·|PF 2→|·cos θ＝23·13＝29.1．设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两点A 、B . (1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，且P A →＝512PB →，求a 的值．解析 (1)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－a 2y 2－a 2＝0，x ＋y ＝1，消y 得x 2－a 2(1－x )2－a 2＝0，(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2a 21－a 2，x 1x 2＝－2a 21－a 2. ∵与双曲线交于两点A 、B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a 2≠0，4a 4＋8a 2(1－a 2)>0⇒0<a 2<2且a 2≠1. ∴e 的取值范围为(62，2)∪(2，＋∞)．(2)由(1)得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－2a 21－a2，x 1x 2＝－2a 21－a 2.∵P A →＝512PB →，∴x 1＝512x 2. 则1712x 2＝－2a 21－a 2，① 512x 22＝－2a 21－a 2.②①2②得，a 2＝289169. 结合a >0，则a ＝1713.2．直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C ：2x 2－y 2＝1的右支交于不同的两点A 、B .(1)求实数k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．解析 (1)将直线l 的方程y ＝kx ＋1代入双曲线C 的方程2x 2－y 2＝1后，整理得(k 2－2)x 2＋2kx ＋2＝0.①依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，故⎩⎪⎨⎪⎧k 2－2≠0，Δ＝(2k )2－8(k 2－2)>0，－2k k 2－2>0，2k 2－2>0， 解得k 的取值范围为－2<k <－ 2. (2)设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则由①式得⎩⎨⎧ x 1＋x 2＝2k 2－k 2，x 1·x 2＝2k 2－2.②假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0)，则由F A⊥FB得(x1－c)(x2－c)＋y1y2＝0.即(x1－c)(x2－c)＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝0.整理得(k2＋1)x1x2＋(k－c)(x1＋x2)＋c2＋1＝0.③把②式及c＝62代入③式化简得5k2＋26k－6＝0.解得k＝－6＋65或k＝6－65∉(－2，－2)(舍去)．可知k＝－6＋65使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点．。
4.4 数学归纳法(人教A版高中数学选择性必修第二册)(解析版)
课时同步练4.4 数学归纳法一、单选题1．用数学归纳法证明()()()1351211nnn n -+-+⋅⋅⋅+--=-,*n N ∈成立.那么,“当1n =时,命题成立”是“对*n N ∈时,命题成立”的 （ ）A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】B【详细解析】“当1n =时,命题成立”不能推出“对*n N ∈时,命题成立”, “对*n N ∈时,命题成立”可以推出“当1n =时,命题成立”,所以“当1n =时,命题成立”是“对*n N ∈时,命题成立”的必要不充分/ 故选B2．用数学归纳法证明“()221111,N 1n n a a a aa n a++*-++++=≠∈-”,在验证1n =是否成立时,左边应该是 （ ）A ．1B ．1a +C ．21a a ++D ．231a a a +++【答案】C【详细解析】用数学归纳法证明“()221111,N 1n n a a a aa n a++*-++++=≠∈-”,在验证1n =时,把1n =代入,左边21a a =++.故选C.3．某个命题与自然数n 有关,若*()n k k N =∈时命题成立,那么可推得当1n k =+时该命题也成立,现已知5n =时,该命题不成立,那么可以推得 （ ）A ．6n =时该命题不成立B ．6n =时该命题成立C ．4n =时该命题不成立D ．4n =时该命题成立【答案】C【详细解析】假设4n =时该命题成立,由题意可得5n =时,该命题成立,而5n =时,该命题不成立,所以4n =时,该命题不成立.而5n =时,该命题不成立,不能推得6n =该命题是否成立．故选C ．4．用数学归纳法证明不等式()*111111,223422n n n n -++++>-∈N 时,以下说法正确的是 （ ） A ．第一步应该验证当1n =时不等式成立 B ．从“n k =到1n k =+”左边需要增加的代数式是12kC ．从“n k =到1n k =+”左边需要增加2k 项D ．以上说法都不对 【答案】D【详细解析】第一步应该验证当2n =时不等式成立,所以A 不正确;因为11111111111111()2342234221222k k k k k ---++++-++++=++++, 所以从“n k =到1n k =+”左边需要增加的代数式是1111121222k k k --+++++,所以B 不正确; 所以从“n k =到1n k =+”左边需要增加12k -项,所以C 不正确。
2021年中考数学重难点专项突破专题65 胡不归中的双线段模型与最值问题(解析版)
∴ sin ∠AEG =sin ∠HEF =AG =FH =4 ， AE EF 5
∴ FH =4 × 15 =3 ． 54
∴ PE + 3 PA 的最小值是 3． 5
4
2、如图，△ABC 中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC 于点 E，D 是线段 BE 上的一个动点，则 CD + 5 BD 5
【模型展示】
如图，一动点 P 在直线 MN 外的运动速度为 V1，在直线 MN 上运动的速度为 V2，且 V1<V2，A、B 为定点， 点 C 在直线 MN 上，确定点 C 的位置使 AC + BC 的值最小．
V2 V1
B
V1
M A
V2 C
N
AC V2
+
BC V1
=1 V1
பைடு நூலகம்
BC
+ V1 V2
AC ，记 k
∴ sin ∠EAG = PH = EG = 3 ，∴ PH = 3 AP ，
AP AE 5
5
∵ E 、 F 关于 x 轴对称，∴ PE = PF ，
∴ PE + 3 AP = FP + HP = FH ，此时 FH 最小， 5
∵ EF = 15 × 2 = 15 ， ∠AEG = ∠HEF ，
8
4
专题 65 胡不归中的双线段模型与最值问题
【专题说明】
胡不归模型问题解题步骤如下；
b
b
b
1、将所求线段和改写为“PA+ PB”的形式（ <1），若 >1，提取系数，转化为小于 1 的形式解决。
a
a
a
b
2、在 PB 的一侧，PA 的异侧，构造一个角度 α，使得 sinα=
数学归纳法和图像法解决多次碰撞问题(解析版)
数学归纳法和图像法解决多次碰撞问题1(2023·山东烟台·一模)如图所示，P 为固定的竖直挡板，质量为2m 的长木板A 静置于光滑水平面上(A 的上表面略低于挡板P 下端)，质量为m 的小物块B (可视为质点)以水平初速度v 0从A 的左端向右滑上A 的上表面，经过一段时间A 、B 第一次达到共同速度，此时B 恰好未从A 上滑落，然后物块B 与长木板A 一起向右运动，在t =0时刻，物块B 与挡板P 发生了第一次碰撞，经过一段时间物块B 与长木板A 第二次达到共同速度，之后物块B 与挡板P 发生了很多次碰撞，最终在t =t 0(未知)时恰好相对地面静止。
已知A 、B 间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g ，物块与挡板P 发生碰撞时无机械能损失且碰撞时间极短，求：(1)木板A 的长度；(2)A 、B 第二次达到共同速度时B 离A 左端的距离；(3)0~t 0时间内B 经过的路程；(4)t 0的值。
【答案】(1)v 203μg ；(2)5v 2027μg ；(3)v 208μg ；(4)4v 03μg【详解】(1)依题意，设木板的长度为L ，A 、B 第一次达到共速时速度大小为v 1，物块和木板由动量守恒定律有mv 0=(2m +m )v 1根据能量守恒定律有μmgL =12mv 20-12(2m +m )v 21联立求得v 1=13v 0L =v 23μg (2)由于物块与挡板P 发生碰撞时无机械能损失且碰撞时间极短，因此物块第一次与挡板碰撞后的速度大小不变，方向向左，设二者第二次碰撞前达到共速的速度大小为v 2，取方向向右为正，根据动量守恒定律有2mv 1-mv 1=(2m +m )v 2根据能量守恒定律有μmgx 1=12(2m +m )v 21-12(2m +m )v 22联立求得2320x 1=4v 2027μg 则可得此时物块距木板左端的距离为Δl 1=L -x 1=5v 2027μg(3)由(1)(2)问分析可知，物块B 与木板第n 次共速时的速度为v 03n，对B μmg =ma B从B 第一次撞击挡板到第二次撞击挡板过程，有v 03 2=2a B s 1从B 第二次撞击挡板到第三次撞击挡板过程，有v 0322=2a B s 2从B 第n 次撞击挡板到第n +1次撞击挡板过程，有v 03n2=2a B s n则s =2(s 1+s 2+s 3+...+s n )=v 20μg 132+134+136+⋯+132n得s =v 20μg 1321-132n 1-132=v 208μg(4)B 从第n 次与挡板发生碰撞到第n +1次与挡板发生碰撞的过程中，设B 做匀变速运动的时间为t 1，B 做匀速直线运动的时间为t 2，A 、B 保持相对静止共同运动的位移为Δx ，匀变速运动过程有v 03n +v 03n +1=a B t 1v 03n 2-v 03n +12=2a B Δx匀速过程有Δx =v 03n +1t 2联立可得t 1:t 2=1:1即每相邻两次碰撞过程：A 、B 匀变速运动过程与A 、B 匀速运动过程的时间之比为1∶1。
人教版高中数学选择性必修第二册 数学归纳法 分层作业(含解析)
人教版高中数学选择性必修第二册数学归纳法分层作业(原卷版)(60分钟100分)基础对点练基础考点分组训练知识点1用数学归纳法证明等式1．(5分)用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n＋3)(n＋4)2(n∈N*)时，第一步验证n＝1，左边应取的项是()A．1B．1＋2C．1＋2＋3D．1＋2＋3＋42．(5分)用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝n4＋n22，则当n＝k＋1(n∈N*)时，等式左边应在n＝k的基础上加上()A．k2＋1B．(k＋1)2C．(k＋1)4＋(k＋1)22D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)23.(10分)用数学归纳法证明：1＋3＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N*)．知识点2用数学归纳法证明不等式4.(5分)用数学归纳法证明：122＋132＋…＋1(n＋1)2>12－1n＋2，假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是___________________________．1 22＋132＋…＋1(k＋1)2＋1(k＋2)2>12－1k＋35.(10分)证明不等式1＋12＋13＋…＋1n<2n(n∈N*)．知识点3用数学归纳法证明整除问题6.(5分)用数学归纳法证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为.7.(10分)用数学归纳法证明：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除(n∈N*)．能力提升练能力考点适度提升8.(5分)用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋a n＝1－a n＋11－a(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1时，左边计算所得的式子是()A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a39．(5分)利用数学归纳法证明1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋12n<1(n∈N*，且n≥2)，第二步由k到k＋1时不等式左端的变化是() A．增加了12k＋1这一项B．增加了12k＋1和12k＋2两项C．增加了12k＋1和12k＋2两项，减少了1k这一项D．以上都不对10．(5分)用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”，第二步归纳递推中的假设应写成()A．假设n＝2k＋1(k∈N*)时正确，再推n＝2k＋3时正确B．假设n＝2k－1(k∈N*)时正确，再推n＝2k＋1时正确C．假设n＝k(k∈N*)时正确，再推n＝k＋1时正确D．假设n＝k(k∈N*)时正确，再推n＝k＋2时正确11．(5分)对于不等式n2＋n≤n＋1(n∈N*)，某学生的证明过程如下：(1)当n＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即k2＋k≤k＋1，则当n＝k＋1时，(k＋1)2＋(k＋1)＝k2＋3k＋2<(k2＋3k＋2)＋(k＋2)＝(k＋2)2＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立．上述证法()A．过程全都正确B．n＝1验证不正确C．假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确12.(5分)用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝n(2n2＋1)3时，由n＝k的假设到证明n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是________________________________________________________________________．13.(5分)用数学归纳法证明(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N*)，“从k到k＋1”左端增乘的代数式为________．14.(5分)若存在正整数m，使得f(n)＝(2n＋7)·3n＋9(n∈N*)能被m整除，则m的最大值为________．15.(15分)已知数列{a n}的前n项和为S n，其中a n＝S nn(2n－1)且a1＝1 3.(1)求a2，a3；(2)猜想数列{a n}的通项公式，并证明．人教版高中数学选择性必修第二册数学归纳法分层作业(解析版)(60分钟100分)基础对点练基础考点分组训练知识点1用数学归纳法证明等式1．(5分)用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n＋3)(n＋4)2(n∈N*)时，第一步验证n＝1，左边应取的项是()A．1B．1＋2C．1＋2＋3D．1＋2＋3＋4D解析：当n＝1时，n＋3＝4，故左边应为1＋2＋3＋4.2．(5分)用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝n4＋n22，则当n＝k＋1(n∈N*)时，等式左边应在n＝k的基础上加上()A．k2＋1B．(k＋1)2C．(k＋1)4＋(k＋1)22D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2D解析：当n＝k时，等式左边＝1＋2＋…＋k2；当n＝k＋1时，等式左边＝1＋2＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2.故选D．3.(10分)用数学归纳法证明：1＋3＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N*)．证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即1＋3＋…＋(2k－1)＝k2，那么，当n＝k＋1时，1＋3＋…＋(2k－1)＋[2(k＋1)－1]＝k2＋[2(k＋1)－1]＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2.这就是说，当n＝k＋1时等式成立．根据(1)和(2)可知等式对任意正整数n都成立．知识点2用数学归纳法证明不等式4.(5分)用数学归纳法证明：122＋132＋…＋1(n＋1)2>12－1n＋2，假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是___________________________．1 22＋132＋…＋1(k＋1)2＋1(k＋2)2>12－1k＋3解析：当n＝k＋1时，目标不等式为122＋132＋…＋1(k＋1)2＋1(k＋2)2>12－1k＋3.5.(10分)证明不等式1＋12＋13＋…＋1n<2n(n∈N*)．证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即1＋12＋13＋…＋1k<2k.当n＝k＋1时，1＋12＋13＋…＋1k＋1k＋1<2k＋1k＋1＝2k k＋1＋1k＋1<(k)2＋(k＋1)2＋1k＋1＝2(k＋1)k＋1＝2k＋1.所以当n＝k＋1时，不等式成立．由(1)(2)可知，原不等式对任意n∈N*都成立．知识点3用数学归纳法证明整除问题6.(5分)用数学归纳法证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为.25(34k＋2＋52k＋1)＋56×34k＋2解析：当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝81×34k＋2＋25×52k＋1＝25(34k＋2＋52k＋1)＋56×34k＋2.7.(10分)用数学归纳法证明：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除(n∈N*)．证明：(1)当n＝1时，13＋23＋33＝36能被9整除，所以结论成立；(2)假设当n＝k(k∈N*)时结论成立，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．则当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋[(k＋3)3－k3]＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9k2＋27k＋27＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9(k2＋3k＋3)．因为k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，9(k2＋3k＋3)也能被9整除，所以(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3也能被9整除，即n＝k＋1时结论也成立．由(1)(2)知命题对一切n∈N*都成立．能力提升练能力考点适度提升8.(5分)用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋a n＝1－a n＋11－a(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1时，左边计算所得的式子是(B)A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a39．(5分)利用数学归纳法证明1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋12n<1(n∈N*，且n≥2)，第二步由k到k＋1时不等式左端的变化是() A．增加了12k＋1这一项B．增加了12k＋1和12k＋2两项C．增加了12k＋1和12k＋2两项，减少了1k这一项D．以上都不对C解析：当n＝k时，左端为1k＋1k＋1＋1k＋2＋…＋12k；当n＝k＋1时，左端为1k＋1＋1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2，对比可知，C正确．10．(5分)用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”，第二步归纳递推中的假设应写成()A．假设n＝2k＋1(k∈N*)时正确，再推n＝2k＋3时正确B．假设n＝2k－1(k∈N*)时正确，再推n＝2k＋1时正确C．假设n＝k(k∈N*)时正确，再推n＝k＋1时正确D．假设n＝k(k∈N*)时正确，再推n＝k＋2时正确B解析：∵n为正奇数，∴在证明时，应假设n＝2k－1(k∈N*)时正确，再推出n＝2k＋1时正确．故选B.11．(5分)对于不等式n2＋n≤n＋1(n∈N*)，某学生的证明过程如下：(1)当n＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即k2＋k≤k＋1，则当n＝k＋1时，(k＋1)2＋(k＋1)＝k 2＋3k ＋2<(k 2＋3k ＋2)＋(k ＋2)＝(k ＋2)2＝(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时，不等式成立．上述证法()A ．过程全都正确B ．n ＝1验证不正确C ．假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确D解析：n ＝1的验证及假设都正确，但从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理中没有使用假设作为条件，而是通过不等式的放缩法直接证明，这不符合数学归纳法的证明要求．故选D ．12.(5分)用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n (2n 2＋1)3时，由n ＝k 的假设到证明n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是________________________________________________________________________．(k ＋1)2＋k 2解析：当n ＝k 时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12.当n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12，所以等式左边添加的式子为(k ＋1)2＋k 2.13.(5分)用数学归纳法证明(n ＋1)·(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)(n ∈N *)，“从k 到k ＋1”左端增乘的代数式为________．2(2k ＋1)解析：令f (n )＝(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )，则f (k )＝(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )，f (k ＋1)＝(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(2k ＋1)(2k ＋2)，所以f (k ＋1)f (k )＝(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1＝2(2k ＋1).14.(5分)若存在正整数m ，使得f (n )＝(2n ＋7)·3n ＋9(n ∈N *)能被m 整除，则m 的最大值为________．36解析：f (1)＝36，f (2)＝36×3，f (3)＝36×10，…，猜想m 的最大值为36.15.(15分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a n ＝S n n (2n －1)且a 1＝13.(1)求a 2，a 3；(2)猜想数列{a n }的通项公式，并证明．解：(1)a 2＝S 22×(2×2－1)＝a 1＋a 26，a 1＝13，则a 2＝115，类似地求得a 3＝135.(2)由a 1＝11×3，a 2＝13×5，a 3＝15×7，…，猜想：a n ＝1(2n －1)(2n ＋1).证明：①当n ＝1时，由(1)可知等式成立．②假设当n ＝k 时猜想成立，即a k ＝1(2k －1)(2k ＋1)，那么，当n ＝k ＋1时，由题设a n ＝S nn (2n －1)，得a k ＝S kk (2k －1)，a k ＋1＝S k ＋1(k ＋1)(2k ＋1)，所以S k ＝k (2k －1)a k＝k (2k －1)1(2k －1)(2k ＋1)＝k2k ＋1，S k ＋1＝(k ＋1)(2k ＋1)a k ＋1，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝(k ＋1)(2k ＋1)a k ＋1－k2k ＋1.因此，k (2k ＋3)a k ＋1＝k 2k ＋1.所以a k ＋1＝1(2k ＋1)(2k ＋3)＝1[2(k ＋1)－1][2(k ＋1)＋1].这就证明了当n ＝k ＋1时命题成立．由①②可知命题对任意n ∈N *都成立．。