刚体 物理

dm dV
例：一匀质细棒的质量为M，长为L，求以下三种情 况下细棒对给定转轴的转动惯量。 (a)转轴通过棒的中心并与棒垂直； (b)转轴通过棒的一端并与棒垂直； (c)转轴通过棒上离中心为D的一点并与棒垂直。转动 惯量与距离D的关系是什么？ z (a) 棒的质量线密度为λ = M/L， 如图所示，转动轴O通过棒的中心。 在棒上离轴x处取一线元dx， 其质量为：dm dx 转动惯量为：dJC
平动：刚体中所 有点的运动轨迹都保 持完全相同．
特点：各点运动 状态一样，如： 、 a v 等都相同．
平动 可用质心运动讨论。
描述刚体平动时可以用一点的运动来代表， 常用刚体的质心运动代表整个刚体的平动。
转动 在刚体运动过程中, 如果刚体上所有的点 都绕同一条直线作圆周运动,那么这种运动就称为 转动。这条直线称为转轴。 转动：分定轴转动和非定轴转动 如果转轴对参照系是固定的，刚体的转动称 为定轴转动，它是转动的最简单情况。
当D = L/2时，J就是绕端点轴的转动惯量。
细棒的转动惯量随中心转轴的距离增加而增加。
细棒绕中心轴的转动惯量系数为1/12， 绕端点轴的转动惯量系数为1/3。
(2)一匀质球壳的质量为M，内半径为R0，外半径 为R，求球壳对通过球心的转轴的转动惯量。转 动惯量与半径比R0/ R的关系是什么？
z
解:球壳的体积为:
当球壳的质量和外半径一定时，球 壳的转动惯量随厚度的减小而增加。 球体绕半径轴的转动惯量系数为2/5， 球面绕半径轴的转动惯量系数为2/3。
V
4π 3 3 ( R R0 ) 3
M 3M 质量体密度为: 3 V 4π( R3 R0 )
M D R0 R θ r dv O φ
x
y
如图所示，在球壳中取一体积元，
其体积为:
dv r sin ddrd
2
体积元体积为:
z M D R0 R θ r dv O φ
dv r sin ddrd
J d sin d r dr
3 4 0 0 R0 2π 1)dcos ( R R0 ) x 5 0
2
π
1 3 1 5 5 2π( cos cos ) ( R R0 ) 3 0 5
5 2 R5 R0 8 5 5 π ( R R0 ) M 3 3 . 5 R R0 15
2
其质量为：
y
dm dv r 2 sin ddrd
体积元到转动轴z的距离为：
x
D r sin
转动惯量为：
x
dJ D2dm d sin3 dr 4dr
dJ D dm d sin dr dr
2 3 4
z M D R0 R θ r dv O φ
球壳的转动惯量为 ：
z
O
x
dx
x
当转动轴距离中心的转轴为D时： 积分下限是： ( L / 2 D)
D -L/2 O' O L M x dx L/2
积分上限是： ( L / 2 D)
可计算转动惯量。
x
不过利用平行轴定理立即可得：
1 J J C MD ML2 MD 2 12
2
当D = 0时，J就是绕中心轴的转动惯量；
与转动惯量有关的因素：
刚体的质量、刚体的形状(质量分布)、转轴的位置。
转动惯量的计算
J z mi ri2 J z r dm 或者 M
2
i
物理意义：转动惯性的量度
质量连续分布刚体的转动惯量 对质量线分布的刚体： dm dl 对质量面分布的刚体： dm dS 对质量体分布的刚体：
刚体的一般运动可看作： 平 动
+
转 动
的合成
2. 刚体对转轴的转动惯量
转动惯量 (rotational inertia)定义为：
J mi ri
i
2
J
r
M
2
dm
转动惯量的单位是：单位kg· 2 m 因此：
Lz J z
转动惯量J等于刚体中每个质点的质量与这一质 点到转轴的距离的平方的乘积的和，而与质点的运 动速度无关，决定于刚体的各部分的质量对给定转 轴的分布情况。
1.6
刚体定轴转动中的牛顿力学
刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生 变化的物体． 刚体的形状与大小始终保持不变，因而各部分之 间的相对位置保持不变。刚体是这样一种特殊的质 点系，其中任意两质点的距离都保持不变。 说明：⑴ 刚体是理想模型 ⑵ 刚体模型是为简化问题引进的．
刚体的运动形式：平动、转动．
π
讨论： 5 2 R5 R0 球壳的转动惯量为： J M 3 3
5 R R0
当R0 = 0时，球壳变成球体，球体的转动惯量为
2 J1 MR 3 5
当R0→R时，球壳演变成球面，将分子和分母分别 展开，可得球面的转动惯量
2 2 J MR 0 3
比较同一质量和半径的球体和球面，由于球面质量 的分布离轴更远，其转动惯量更大。
O
x dx
x
x dm x dm
2 2
整个棒绕轴的转动惯量为
z
1 3 L 12
O
1 3 J C x dx x 3 L/ 2
2
L/2
L/2
x dx
x
L/ 2
1 2 ML . 12
(b) 转轴通过棒的一端并与棒垂直；
M dx 解：取质元 dm L L 2 2 M J z x dm x dx 0 L 1 J z ML2 3