大学物理刚体部分
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大学物理第四章刚体转动
进动和章动在自然界中实例
陀螺仪
地球极移
陀螺仪的工作原理即为进动现象。当 陀螺仪受到外力矩作用时，其自转轴 将绕某固定点作进动，通过测量进动 的角速度可以得知外力矩的大小和方 向。
地球极移是指地球自转轴在地球表面 上的移动现象，其产生原因与章动现 象类似。地球极移的周期约为18.6年 ，且极移的幅度会受到地球内部和外 部因素的影响。
天体运动
许多天体的运动都涉及到进动和章动 现象。例如，月球绕地球运动时，其 自转轴会发生进动，导致月球表面的 某些特征（如月海）在地球上观察时 会发生周期性的变化。同时，行星绕 太阳运动时也会发生章动现象，导致 行星的自转轴在空间中的指向发生变 化。
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02
刚体定轴转动动力学
转动惯量定义及计算
转动惯量定义
刚体绕定轴转动时，其惯性大小的量度称为转动惯量，用字母$J$表示。它是一个与刚体质量分布和转轴位置有 关的物理量。
转动惯量计算
对于形状规则的均质刚体，可以直接套用公式计算其转动惯量；对于形状不规则的刚体，则需要采用间接方法， 如分割法、填补法等，将其转化为规则形状进行计算。
刚体性质
刚体是一个理想模型，它在力的作用 下，只会发生平动和转动，不会发生 形变。
转动运动描述方式
01
02
03
定轴转动
平面平行运动
ห้องสมุดไป่ตู้
定点转动
物体绕一固定直线（轴）作转动。
物体上各点都绕同一固定直线作 不同半径的圆周运动，同时物体 又沿该固定直线作平动。
物体绕一固定点作转动。此时物 体上各点的运动轨迹都是绕该固 定点的圆周。
非惯性系下刚体转动描述方法
欧拉角描述法
大学物理第五章 刚体力学1
特点： 1. 转动惯量具有叠加性
2. 与刚体质量分布有关 （总质量相同的刚体，质 量分布离轴越远，转动惯 量越大）
3. 转轴不同，J 不同
J miri2
i
例：如图质点系
i3
J miri2 i 1 m1r12 m2r22 m3r32
m3
r1 m1
r3 m2 r2
例：课本P182习题5.5
定轴转动定律在转动问题中的地位 律时完全 相同。
相当于平动时的牛顿第二定律
§5.3 转动惯量的计算 反映刚体转动惯性的大小
分立质点 J miri2
i
若质量连 J r 2dm
续分布:
m
由刚体内各质 元相对固定轴 的分布所决定， 与刚体的运动 及所受外力无 关。
在（SI）中，J 的单位：kgm2
L
B X
JC
L
2 L
x 2dx
2
mL2 12
A
C
-L/2
B L/2 X
J 和转轴有关 同一个物体对不同转轴的转动惯量是不同的
2、平行轴定理
前例中JC表示相对通过质心的轴的转动惯量， JA表示相对通过棒端的轴的转动惯量
两轴平行，相距L/2。可见：
J
A＝J C＋m
L 2
2
4.一般运动——既平动又转动
o
Δ
质心的平动和绕定轴的转动结合
o
Δ
平动和转动——可以描
述所有质元（质点）的
运动。
二、刚体定轴转动的描述(运动学问题)
z 转动平面
v
P θr O
刚体
定轴
定轴转动：各质
元在自己的转动平 面内作圆周运动， 其圆心都在一条固 定不动的直线（转 轴）上。各质元的 线量一般不同（因 为半径不同）,但角 量（角位移、角速 度、角加速度）都 相同。
大学物理刚体力学
4-2-1力矩 1.外力F在转动平面内：
Mi ri Fi
ri : 转动平面与转轴交点 o指向力的作用点的矢量 。
z
Fi
Fi
i
Fin
大小：Miz ri Fi sini ri Fi
(Fi Fi sini : 力的切向分量）
方向：右手螺旋，图中向上
2.外力 F不在转动平面内，将其分解为F和F||
解 (1)碰撞过程经历的时间极短，因此，系统所受外力(重力与轴的支持力)对于
轴O的力矩都为零，因而系统对轴O的角动量守恒。
碰前角动量
L1
mv l 2
碰后角动量
L2 J
J 为子弹与杆组成的系统相对于O的转动惯量，且：
M
J J 杆 J子弹
由角动量守恒
M l2 12
m( l )2 2
•O l mv
Md
dA Md M与d同向，dA为正；否则为负。
当刚体由
1
位置，外力矩作功：
2
A dA 2 Md 1
若M为恒力矩
A
2 Md M
1
2 1
d
M (1
2)
功— —力矩的角积累（空间积累）效应。
4-3-2刚体定轴转动的动能
mi：
Eki
1 2
mi
vi2
1 2
mi
ri2
2
总转动动能： Ek
此平行
转动：刚体上所有质元都绕同一直线(转轴)作圆周运动
如转轴相对所选参照系固定不动，称定轴转动
刚体运动＝平动＋转动
•A
•A
•C •A
•C •B •C
•B
•B
o
o
图4-1 刚体的平动
刚体的转动惯量(大学物理--刚体部分)解析ppt课件
第二节 转动惯量
1
一、转动惯量 刚体的动能等于各 质点动能之和。
2
刚体的动能 与平动动能比较
相当于描写转动惯性的物理量 转动惯量的定义： 单位： 千克 ·米2
3
§4.刚体的转动惯量/ 一、转动惯量
转动惯量
4
§4.刚体的转动惯量/ 二、转动惯量的计算
刚体的转动惯量与哪些物理量有关？ ①.与刚体质量有关。 ②.与质量对轴的分布有关。 ③.与轴的位置有关。
细棒转轴通过中 心与棒垂直
l
细棒转轴通过端 点与棒垂直
14
§4.刚体的转动惯量\ 三、典型刚体的转动惯量
2r
2r
球体转轴沿直径
球壳转轴沿直径
15
§4.刚体的转动惯量/ 三、典型刚体的转动惯量
四、平行轴定理 定理表述： 刚体绕平行于质心轴的转动惯 量 J，等于绕质心轴的转动惯量 JC 加上刚 体质量与两轴间的距离平方的乘积。
二.质量连续分布刚体的转动惯量计算
1.计算公式
5
§轻杆的 b 处 3b 处各系质量 为 2m和 m 的质点，可绕 o 轴转动，求： 质点系的转动惯量J。 解： 由转动惯量的定义
6
§4.刚体的转动惯量\ 二、转动惯量的计算
例2：长为 l、质量为 m 的匀质细杆，绕与 杆垂直的质心轴转动，求转动惯量 J。
建立坐标系，坐标原点选在边缘处。分 割质量元 dm ,长度为 dx ,
9
§4.刚体的转动惯量/ 二、转动惯量的计算
10
§4.刚体的转动惯量/ 二、转动惯量的计算
例4：半径为 R 质量为 M 的圆环，绕垂直 于圆环平面的质心轴转动，求转动惯量J。 解： 分割质量元 dm 圆环上各质量元到 轴的距离相等，
1
一、转动惯量 刚体的动能等于各 质点动能之和。
2
刚体的动能 与平动动能比较
相当于描写转动惯性的物理量 转动惯量的定义： 单位： 千克 ·米2
3
§4.刚体的转动惯量/ 一、转动惯量
转动惯量
4
§4.刚体的转动惯量/ 二、转动惯量的计算
刚体的转动惯量与哪些物理量有关？ ①.与刚体质量有关。 ②.与质量对轴的分布有关。 ③.与轴的位置有关。
细棒转轴通过中 心与棒垂直
l
细棒转轴通过端 点与棒垂直
14
§4.刚体的转动惯量\ 三、典型刚体的转动惯量
2r
2r
球体转轴沿直径
球壳转轴沿直径
15
§4.刚体的转动惯量/ 三、典型刚体的转动惯量
四、平行轴定理 定理表述： 刚体绕平行于质心轴的转动惯 量 J，等于绕质心轴的转动惯量 JC 加上刚 体质量与两轴间的距离平方的乘积。
二.质量连续分布刚体的转动惯量计算
1.计算公式
5
§轻杆的 b 处 3b 处各系质量 为 2m和 m 的质点，可绕 o 轴转动，求： 质点系的转动惯量J。 解： 由转动惯量的定义
6
§4.刚体的转动惯量\ 二、转动惯量的计算
例2：长为 l、质量为 m 的匀质细杆，绕与 杆垂直的质心轴转动，求转动惯量 J。
建立坐标系，坐标原点选在边缘处。分 割质量元 dm ,长度为 dx ,
9
§4.刚体的转动惯量/ 二、转动惯量的计算
10
§4.刚体的转动惯量/ 二、转动惯量的计算
例4：半径为 R 质量为 M 的圆环，绕垂直 于圆环平面的质心轴转动，求转动惯量J。 解： 分割质量元 dm 圆环上各质量元到 轴的距离相等，
大学物理第三章刚体力学
薄板的正交轴定理：
Jz Jx J y
o x
y
X,Y 轴在薄板面上，Z轴与薄板垂直。
例3、质量m，长为l 的四根均匀细棒， O 组成一正方形框架，绕过其一顶点O 并与框架垂直的轴转动，求转动惯量。 解：由平行轴定理，先求出一根棒 对框架质心C的转动惯量：
C
m, l
1 l 2 1 2 2 J ml m( ) ml 12 2 3
M F2 d F2 r sin
若F位于转动平面内，则上式简化为
M Fd Fr sin
力矩是矢量，在定轴转动中， 力矩的方向沿着转轴，其指向 可按右手螺旋法则确定：右手 四指由矢径r的方向经小于的 角度转向力F方向时，大拇指的 指向就是力矩的方向。根据矢 量的矢积定义，力矩可表示为：
例9 行星运动的开普勒第二运动定律：行星对太阳 的位矢在相等的时间内扫过相等的面积。 解：行星在太阳引力（有心 力）作用下沿椭圆轨道运动， 因而行星在运行过程中，它 对太阳的角动量守恒不变。
L rmvsin 常量
因而掠面速度：
dS dt
r dr sin 2dt
1 rv sin 常量 2
Fi fi Δmi ai
切向的分量式为
Fi sin i f i sin i mi ri
Fi sin i f i sin i mi ri
两边同乘ri，得
Fi ri sin i fi ri sin i mi ri2
上式左边第一项为外力Fi对转轴的力矩，而第二项是 内力fi 对转轴的力矩。对刚体的所有质点都可写出类 似上式的方程，求和得
质点的角动量一质量为m的质点以速度v运动相对于坐标原点o的位置矢量为r定义质点对坐标原点o的角动量为sinrmv282质点的角动量定理质点所受的合外力对某一参考点的力矩等于质点对该点的角动量对时间的变化率角动量定理
大学物理刚体部分教案
课时：2课时教学目标：1. 让学生掌握刚体的基本概念和运动规律；2. 理解转动惯量、角速度、角加速度等物理量的含义和计算方法；3. 能够运用刚体运动定律解决实际问题。
教学重点：1. 刚体的基本概念和运动规律；2. 转动惯量、角速度、角加速度等物理量的计算。
教学难点：1. 刚体运动定律的应用；2. 转动惯量的计算。
教学准备：1. 教师准备多媒体课件、实验器材等；2. 学生准备学习笔记、计算器等。
教学过程：第一课时一、导入1. 复习高中物理中质点和质点组的运动规律；2. 引入刚体的概念，说明刚体运动的特点。
二、新课讲授1. 刚体的基本概念和运动规律：a. 刚体：形状和大小不变，且内部各点相对位置不变的物体；b. 刚体的运动分为平动和转动两种；c. 刚体的运动规律：牛顿第二定律、转动定律。
2. 转动惯量：a. 转动惯量的定义：刚体对某一转轴的转动惯量，等于刚体各质点对该转轴的转动惯量之和；b. 转动惯量的计算：刚体的转动惯量取决于刚体的质量分布和转轴的位置；c. 转动惯量的公式：$I = \sum_{i=1}^{n} m_i r_i^2$。
3. 角速度和角加速度：a. 角速度：刚体转动时，单位时间内转过的角度；b. 角加速度：刚体转动时，单位时间内角速度的变化量；c. 角速度和角加速度的计算：根据转动定律，可以计算出刚体的角速度和角加速度。
三、课堂练习1. 计算刚体的转动惯量；2. 计算刚体的角速度和角加速度。
第二课时一、复习1. 复习第一课时所学内容，重点掌握刚体的基本概念和运动规律；2. 解答学生提出的问题。
二、新课讲授1. 刚体运动定律的应用：a. 牛顿第二定律在刚体运动中的应用；b. 转动定律在刚体运动中的应用；c. 刚体运动问题的解题方法。
2. 实例分析：a. 计算刚体绕定轴转动的角速度和角加速度；b. 计算刚体绕定轴转动的转动动能；c. 分析刚体在复杂受力下的运动情况。
三、课堂练习1. 解答刚体运动问题；2. 分析刚体在复杂受力下的运动情况。
大学物理刚体归纳总结
大学物理刚体归纳总结在大学物理学习中，刚体是一个重要的概念，广泛应用于力学、动力学和静力学等领域。
本文将对刚体的定义、特点以及相关定理进行归纳总结，旨在帮助读者更好地理解和掌握刚体的基本知识。
一、刚体的定义和特点刚体是指可以看作一个整体、无论受到什么力都能保持形状不变的物体。
在实际应用中，我们常常将刚体简化为点、线或面，以便进行研究和计算。
刚体具有以下特点：1. 形状不变性：无论刚体受到外力的作用，其形状都不会发生改变。
2. 外力作用点的变化不引起内部构件间相对位置的改变：即刚体内各个质点之间的相对位置保持不变。
3. 刚体内各个质点之间的相对位置保持不变：即刚体内构件间的距离和角度不会发生变化。
二、刚体的运动学性质1. 刚体的平动：刚体作平动时，刚体上每个点的速度都相同，且方向相同。
2. 刚体的转动：刚体作转动时，刚体上的各点绕着同一条轴旋转。
这个轴称为刚体的转轴，刚体绕转轴的转动速度相同。
刚体平衡的条件是力矩的和等于零。
力矩是由力对刚体产生的转动效果，其大小与力的大小、作用点到转轴的距离和力的夹角相关。
四、刚体静力学定理与公式1. 雅可比定理：在刚体有多个力作用时，可以将这些力简化为只有一个力等效，该力的大小、方向和作用点都与原有多个力相同，这个力称为合力。
2. 力的合成定理：当刚体上有多个力作用时，可以将这些力合成为一个结果力，该力等效于原有多个力的合力。
3. 力矩的平衡条件：对于处于平衡状态的刚体，刚体上力矩的和必须等于零。
4. 平衡条件的应用：根据刚体平衡条件，可以解决各种与刚体平衡有关的问题，如悬挂物体的平衡、天平的平衡等。
五、刚体动力学定理与公式1. Euler定理：刚体绕固定轴的转动，转动惯量与角加速度和转矩之间存在关系，即转动惯量等于转矩与角加速度的比值。
2. 动量定理：外力矩与刚体的角动量之间存在关系，外力矩等于刚体的角动量关于时间的变化率。
3. 动能定理：刚体的动能与角速度和转动惯量之间存在关系，动能等于转动惯量与角速度平方的乘积的一半。
大学物理04刚体
合外力矩沿着转 轴方向的分量
----微分形式
冲量矩
Mdt dL
t2
Mdt
t1
L2 L1
dL
L2
L1
J2
J1
----积分形式
如果转动惯量变化了
t2
Mdt
t1
L2 L1
dL
J22
J11
二当、刚M体定0 轴转动角动量守恒
B两滑轮的角加速度分别为 A和 B ，不 计滑轮轴的摩擦，这两个滑轮的角加速
度大小满足（A ）
A A B
R
R
B A B
C A B
m
F
A
B
[例12]质量为mA的物体A静止在光滑水平面 上，它和一质量不计的绳索相连接，此绳 索跨过一半径为R、质量为mc的圆柱形滑 轮C，并系在另一质量为mB的物体B上，B 竖直悬挂。圆柱形滑轮可绕其几何中心轴
0.5m
JC 1 0.32 2 0.52
0.59kg m2
例4质量m,长度L 的均质细杆的转动惯量 （1）转轴过杆的端点
dm m
dl L
dm
dx
x
J L x2dm L x2dx 1 mL2
0
0
3
（2）转轴过杆的中点
dm dx x
J
单位：kg m2
连续分布有
r 2dl 线分布，为线密度
J
r
2dm
r
2
ds
面分布， 为面密度
r 2 dV 体分布，为体密度
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2 2 对一端轴o'的转动惯量 I o 0 x dx mL 3 L
L/2
d L / 2 距中心为d的轴 I x 2 dx mL2 12 md 2 d L / 2 的转动惯量
平行轴定理： Io Ic md 2
10
例3:求质量为m,半径为R的细圆环 及圆盘绕通过中心并与圆面垂直的 转轴的转动惯量。
机械能守恒: W外+W非保内=0→△E=0
o
例2:再作前例题. 解:以棒和地球为系统.机械能守 恒.以棒水平时为势能零点.
0 I 2 2 mgL 2
mg
mgL I 3g L
不考虑过程,只要正确表达始末状态的机械能.22
例3:如图,弹簧的劲度系数为k,滑轮质量为M,半 径为R,可绕o轴无摩擦转动,绳与滑轮边缘无相对 滑动.求质量为m的物体下落h时的速度.已知开始 时物体静止且弹簧无伸长. M 解:选弹簧、滑轮、物体和地球 o 为系统,选物体初始位置为重力 k 势能零点.由机械能守恒得 1 1 1 m 0 mgh mv 2 I 2 kh 2 2 2 2 h v R 2 4mgh 2kh 1 v 2 I MR 2m M 2 23
2 2 r dr mgR 恒力矩 0 3 M I 知圆盘作匀减速转动. 0 0 t 3R0 1 2 t I 0 M mR 20 mgR 2 3 4 g 16 M dM
R
2 mg R2
R
dr
本课要求： 1.理解刚体,平动和转动,定轴转动和角坐标.
F
F
F
当外力不在转动平面内,可分解成垂直轴 和平行轴的两分量,后者对转动无贡献. o R 力矩可合成,同一参考点. M1 一般符合右手螺旋为正, T1 T2 反之为负. R M M1 M 2 M 2 M T2 R T 合成代数和. 61
二、转动定律 （由牛顿定律而来） 质量m,质量元mi ,其距转轴ri , 外力 Fi ,夹角 i ,内力 f ,夹角 法向无用,切向运动,牛二律
11
例4: 求剩余部分对o轴的转动惯量.
解:叠加原理
I 大圆 I小圆 I
R
o
1 3 I 小圆 mr 2 mr 2 mr 2 2 2
r
R 2ห้องสมุดไป่ตู้
3 M R 3 2 MR 2 4 2 32
I 大圆 1 MR 2 2
2
大圆质量为M
M R m R2 2
各质元β相同
2 i i
Fr sin f r sin m r
f i ri sin i 0
Fr i i sin i M i
7
mi ri2 I 转动惯量,由刚体本身性质决定.
M I M I M , I , 对同一转轴而言.
m2
ri m o i
9
例2:计算质量为m、长为L的均匀细棒对中心或 一端并与棒垂直的轴的转动惯量. dm m d 解： dm dx dx dx x L o' o x I x 2 dm x 2 dx
2 2 对中心轴o的转动惯量 I c L / 2 x dx mL 12
mgL 1 2 mgL 3g I 0 2 2 I L
21
定轴转动中的功能原理和机械能守恒： 系统 1 2 1 2 1 2 E m v mgh kx I mgh c 机械能: 2 2 2 功能原理:
W外+W非保内=△E
m4 m1 r1
r4
o
r3 m3
分立的质点组: I mi ri 2 叠加原理 r2
用轻杆相连4个质点的物体绕垂直纸面 2 2 2 2 轴o的转动惯量 I m1r m r m r m r 1 2 2 3 3 4 4 质量连续分布的刚体: 在距转轴ri处,取一小质量元Δmi ,其转动 惯量为ri2Δmi ,则整体的转动惯量 dV n 2 2 I lim ri mi r dm dm dS n i 1 dl
2 a at2 an 0.51m s 2 arctan
加速度与滑轮边缘切线方向夹角.
an 38.7 at
5
§2 一、力矩
转动定律
转动效果原因---力矩
M Fd Fr sin 矢量式 M r F 右手螺旋 针对某参考点
Fn
o r d
Ft
M
R
T1
a
T2 m1
13
解方程组即可得有关量.
m2
例6:一质量为m,长为L的均匀细棒,可绕通过其 一端,且与棒垂直的光滑水平轴O转动.今使棒从静 止开始由水平位置绕O轴转动,求棒转到90o角 的角速度. 解:利用转动定律. L 任意位置力矩 mg cos 2 L 1 转动定律 mg cos mL2 mg 2 3
§1 刚体定轴转动及其描述
一、刚体 物体受力作用时,组成它的各质量元之间的 相对位置保持不变.有大小,形状不变. 二、平动和转动 （刚体运动的基本形式) 平动：刚体内任意两点连线的空间指向始终 保持不变,各点的运动情况完全相同. 转动：刚体内各质点在运动中都绕同一直线 作圆周运动.该直线称转轴. 转轴固定不动---定轴转动. 更复杂的运动,刚体平动和转动合成的运动. 例:车轮,螺帽等. 1
角加速度
3g cos 2L
14
O
由
3g O cos 求角速度 2L d d d d dt d dt d mg 3g d cos 2L d 3g 3g sin cos d d 0 2 L 0 L a 0 L 3g 0, M mg , , 0 an a r t 2 2L 3g at 0 , M 0, 0, a an 2 r 15 2 L
例7:一半径为R,质量为m的均质圆盘在水平桌面 上以初角速度ω0绕垂直盘面的中心轴转动.盘面 与桌面间的滑动摩擦系数为μ,求圆盘经多长时 间后停止转动? 任选一环带半径为r, R m 宽为dr. 解: dm 2 rdr R2 o 2 mg 2 r dM dm g r r dr 2
转动定律:刚体所受合外力矩等于刚体 转动惯量和角加速度的乘积. 三、转动惯量的特点及物理意义 三要素:与总质量、转轴位置、质量分布有关. m不相同,转轴位置和质量分布相同,I不同. m相同,转轴位置或质量分布不同,I不同. 转动惯量:转动惯性大小的量度.
与质量比较 F ma
M I
8
四、转动惯量的计算 一个质点: I mr 2
4
例1:一条绳索绕过一定滑轮拉动一升降机,滑轮 半径r=0.5m,如果升降机从静止开始以加速度a =0.4m/s2匀加速上升,求:(1)滑轮的角加速度. (2)开始上升后,t=5s末滑轮的角速度.(3)在这5s 内滑轮转过的圈数.(4)开始上升后,t=1s末滑轮 边缘上一点的加速度(设绳索与滑轮之间不打滑). 解:(1) at r at r a r 0.8rad s2 (2) 0 t t 4rad s r (3) t 2 2 10rad n 2 1.6圈 2 a (4) at a, an r 2 r t 0.32 m s 2
三、角坐标与角位移 质点:坐标,位置,位移,速度,加速度. 定轴转动的刚体: 角坐标,角位置,角位移,角速度,角加速度. xoy固定,刚体绕oy轴转动,x'o'y'在刚体上且随 刚体转动,初始各轴重合.任意时刻,两平面 夹角θ标志刚体位置——角位置. θ一定,每一质点位置一定.
y y
x
(t )
r
d
dr
2
1
M d
F
2
力矩作用下,刚体转动发生角位移. 变力矩时,知M=f(θ),可得W. 恒力矩时,W=M(θ2-θ1). 同时受几个力矩时,M 为合力矩.
18
二、转动动能 刚体由质点组成,各质点转动动能的和就是 刚体的转动动能. vi 取任意质量元mi ,其距转轴ri . mi
ri 1 1 mi vi2 mi ri 2 2 2 2 1 1 整体 Ek mi vi2 mi ri 2 2 i 2 i 2 1 1 r 2 dm 2 Ek I 2 2 2
刚体转动动能=所有质点线运动动能总和.
19
三、定轴转动中的动能定理
W Md I
i
O
fi
i
ri mi
F i i i
Fi sin i fi sin i mi ait mi ri i ait ri i 为Δmi的切向加速度 O
Fi sin i ri fi sin i ri mi ri2 i
i i i i i i i i i
1
2
d d I 2 d 1 dt
W
1 2 1 2 I 2 I 1 2 2
转动动能定理:合外力矩对刚体作的功等于 刚体转动动能的增量. 动能定理解题:1.任意位置力矩;2.元功; 3.总功;4.转动动能增量.
20
例1:利用动能定理重作前例题6. 解:当杆转到任意角位置θ处, O 对O轴的重力矩 L M mg cos mg 2 则在整个过程中重力矩作功为 /2 L mgL W dW Md mg cos d 0 2 2 由转动动能定理得
1 M 4
2
I I 大圆 I小圆
13 MR 2 32
12
转动定律应用举例： 例5:考虑滑轮质量以后. m2>m1.隔离体法. 原来
L/2
d L / 2 距中心为d的轴 I x 2 dx mL2 12 md 2 d L / 2 的转动惯量
平行轴定理： Io Ic md 2
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例3:求质量为m,半径为R的细圆环 及圆盘绕通过中心并与圆面垂直的 转轴的转动惯量。
机械能守恒: W外+W非保内=0→△E=0
o
例2:再作前例题. 解:以棒和地球为系统.机械能守 恒.以棒水平时为势能零点.
0 I 2 2 mgL 2
mg
mgL I 3g L
不考虑过程,只要正确表达始末状态的机械能.22
例3:如图,弹簧的劲度系数为k,滑轮质量为M,半 径为R,可绕o轴无摩擦转动,绳与滑轮边缘无相对 滑动.求质量为m的物体下落h时的速度.已知开始 时物体静止且弹簧无伸长. M 解:选弹簧、滑轮、物体和地球 o 为系统,选物体初始位置为重力 k 势能零点.由机械能守恒得 1 1 1 m 0 mgh mv 2 I 2 kh 2 2 2 2 h v R 2 4mgh 2kh 1 v 2 I MR 2m M 2 23
2 2 r dr mgR 恒力矩 0 3 M I 知圆盘作匀减速转动. 0 0 t 3R0 1 2 t I 0 M mR 20 mgR 2 3 4 g 16 M dM
R
2 mg R2
R
dr
本课要求： 1.理解刚体,平动和转动,定轴转动和角坐标.
F
F
F
当外力不在转动平面内,可分解成垂直轴 和平行轴的两分量,后者对转动无贡献. o R 力矩可合成,同一参考点. M1 一般符合右手螺旋为正, T1 T2 反之为负. R M M1 M 2 M 2 M T2 R T 合成代数和. 61
二、转动定律 （由牛顿定律而来） 质量m,质量元mi ,其距转轴ri , 外力 Fi ,夹角 i ,内力 f ,夹角 法向无用,切向运动,牛二律
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例4: 求剩余部分对o轴的转动惯量.
解:叠加原理
I 大圆 I小圆 I
R
o
1 3 I 小圆 mr 2 mr 2 mr 2 2 2
r
R 2ห้องสมุดไป่ตู้
3 M R 3 2 MR 2 4 2 32
I 大圆 1 MR 2 2
2
大圆质量为M
M R m R2 2
各质元β相同
2 i i
Fr sin f r sin m r
f i ri sin i 0
Fr i i sin i M i
7
mi ri2 I 转动惯量,由刚体本身性质决定.
M I M I M , I , 对同一转轴而言.
m2
ri m o i
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例2:计算质量为m、长为L的均匀细棒对中心或 一端并与棒垂直的轴的转动惯量. dm m d 解： dm dx dx dx x L o' o x I x 2 dm x 2 dx
2 2 对中心轴o的转动惯量 I c L / 2 x dx mL 12
mgL 1 2 mgL 3g I 0 2 2 I L
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定轴转动中的功能原理和机械能守恒： 系统 1 2 1 2 1 2 E m v mgh kx I mgh c 机械能: 2 2 2 功能原理:
W外+W非保内=△E
m4 m1 r1
r4
o
r3 m3
分立的质点组: I mi ri 2 叠加原理 r2
用轻杆相连4个质点的物体绕垂直纸面 2 2 2 2 轴o的转动惯量 I m1r m r m r m r 1 2 2 3 3 4 4 质量连续分布的刚体: 在距转轴ri处,取一小质量元Δmi ,其转动 惯量为ri2Δmi ,则整体的转动惯量 dV n 2 2 I lim ri mi r dm dm dS n i 1 dl
2 a at2 an 0.51m s 2 arctan
加速度与滑轮边缘切线方向夹角.
an 38.7 at
5
§2 一、力矩
转动定律
转动效果原因---力矩
M Fd Fr sin 矢量式 M r F 右手螺旋 针对某参考点
Fn
o r d
Ft
M
R
T1
a
T2 m1
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解方程组即可得有关量.
m2
例6:一质量为m,长为L的均匀细棒,可绕通过其 一端,且与棒垂直的光滑水平轴O转动.今使棒从静 止开始由水平位置绕O轴转动,求棒转到90o角 的角速度. 解:利用转动定律. L 任意位置力矩 mg cos 2 L 1 转动定律 mg cos mL2 mg 2 3
§1 刚体定轴转动及其描述
一、刚体 物体受力作用时,组成它的各质量元之间的 相对位置保持不变.有大小,形状不变. 二、平动和转动 （刚体运动的基本形式) 平动：刚体内任意两点连线的空间指向始终 保持不变,各点的运动情况完全相同. 转动：刚体内各质点在运动中都绕同一直线 作圆周运动.该直线称转轴. 转轴固定不动---定轴转动. 更复杂的运动,刚体平动和转动合成的运动. 例:车轮,螺帽等. 1
角加速度
3g cos 2L
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O
由
3g O cos 求角速度 2L d d d d dt d dt d mg 3g d cos 2L d 3g 3g sin cos d d 0 2 L 0 L a 0 L 3g 0, M mg , , 0 an a r t 2 2L 3g at 0 , M 0, 0, a an 2 r 15 2 L
例7:一半径为R,质量为m的均质圆盘在水平桌面 上以初角速度ω0绕垂直盘面的中心轴转动.盘面 与桌面间的滑动摩擦系数为μ,求圆盘经多长时 间后停止转动? 任选一环带半径为r, R m 宽为dr. 解: dm 2 rdr R2 o 2 mg 2 r dM dm g r r dr 2
转动定律:刚体所受合外力矩等于刚体 转动惯量和角加速度的乘积. 三、转动惯量的特点及物理意义 三要素:与总质量、转轴位置、质量分布有关. m不相同,转轴位置和质量分布相同,I不同. m相同,转轴位置或质量分布不同,I不同. 转动惯量:转动惯性大小的量度.
与质量比较 F ma
M I
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四、转动惯量的计算 一个质点: I mr 2
4
例1:一条绳索绕过一定滑轮拉动一升降机,滑轮 半径r=0.5m,如果升降机从静止开始以加速度a =0.4m/s2匀加速上升,求:(1)滑轮的角加速度. (2)开始上升后,t=5s末滑轮的角速度.(3)在这5s 内滑轮转过的圈数.(4)开始上升后,t=1s末滑轮 边缘上一点的加速度(设绳索与滑轮之间不打滑). 解:(1) at r at r a r 0.8rad s2 (2) 0 t t 4rad s r (3) t 2 2 10rad n 2 1.6圈 2 a (4) at a, an r 2 r t 0.32 m s 2
三、角坐标与角位移 质点:坐标,位置,位移,速度,加速度. 定轴转动的刚体: 角坐标,角位置,角位移,角速度,角加速度. xoy固定,刚体绕oy轴转动,x'o'y'在刚体上且随 刚体转动,初始各轴重合.任意时刻,两平面 夹角θ标志刚体位置——角位置. θ一定,每一质点位置一定.
y y
x
(t )
r
d
dr
2
1
M d
F
2
力矩作用下,刚体转动发生角位移. 变力矩时,知M=f(θ),可得W. 恒力矩时,W=M(θ2-θ1). 同时受几个力矩时,M 为合力矩.
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二、转动动能 刚体由质点组成,各质点转动动能的和就是 刚体的转动动能. vi 取任意质量元mi ,其距转轴ri . mi
ri 1 1 mi vi2 mi ri 2 2 2 2 1 1 整体 Ek mi vi2 mi ri 2 2 i 2 i 2 1 1 r 2 dm 2 Ek I 2 2 2
刚体转动动能=所有质点线运动动能总和.
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三、定轴转动中的动能定理
W Md I
i
O
fi
i
ri mi
F i i i
Fi sin i fi sin i mi ait mi ri i ait ri i 为Δmi的切向加速度 O
Fi sin i ri fi sin i ri mi ri2 i
i i i i i i i i i
1
2
d d I 2 d 1 dt
W
1 2 1 2 I 2 I 1 2 2
转动动能定理:合外力矩对刚体作的功等于 刚体转动动能的增量. 动能定理解题:1.任意位置力矩;2.元功; 3.总功;4.转动动能增量.
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例1:利用动能定理重作前例题6. 解:当杆转到任意角位置θ处, O 对O轴的重力矩 L M mg cos mg 2 则在整个过程中重力矩作功为 /2 L mgL W dW Md mg cos d 0 2 2 由转动动能定理得
1 M 4
2
I I 大圆 I小圆
13 MR 2 32
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转动定律应用举例： 例5:考虑滑轮质量以后. m2>m1.隔离体法. 原来