2019高考人A(文)数学一轮复习讲义： 第2章 热点探究课1 导数应用中的高考热点问题
2019版高考数学文高分计划一轮课件：第2章函数、导数
解析
∵f(x)为奇函数，且在 (－∞，0)内单调递减，
∴f(x)在(0，＋∞)内也单调递减，
又∵f(－2)＝0， ∴f(2)＝0， 函数 f(x)的大致图象如图， ∴xf(x)<0 的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．故选 C.
3．小题热身 (1)(2015· 全国卷Ⅰ)若函数 f(x)＝xln (x＋ a＋x2)为偶函 1 数，则 a＝________.
[诊断自测] 1．概念思辨 (1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原 点．( × ) (2)已知函数 y＝f(x)是定义在 R 上的偶函数， 若在(－∞， 0)上是减函数，则在(0，＋∞)上是增函数．( √ ) (3)若函数 y＝f(x＋a)是偶函数， 则函数 y＝f(x)的图象关 于直线 x＝a 对称．( √ ) (4)若函数 y＝f(x＋b)是奇函数， 则函数 y＝f(x)的图象关 于点(b,0)中心对称．( √ )
(2)奇偶函数的性质 ①奇函数的图象关于 关于 y 轴 对称．
坐标原点 对称； 偶函数的图象
②若奇函数在关于坐标原点对称的区间上有单调性， 则 其单调性 相同 ； 若偶函数在关于坐标原点对称的区间上有 单调性，则其单调性 相反 ．
2．函数奇偶性的五个重要结论 (1)如果一个奇函数 f(x)在 x＝0 处有定义， 即 f(0)有意义， 那么一定有 f(0)＝0 . (2)如果函数 f(x)是偶函数，那么 f(x)＝f(|x|)． (3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型， 即 f(x) ＝0，x∈D ，其中定义域 D 是关于原点对称的非空数集．
第2章
函数、导数及其应用
2.3
函数的奇偶性与周期性
基础知识过关
[知识梳理] 1．函数的奇偶性 (1)定义：一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一 个 x， 都有 f(－x)＝f(x) ， 那么 f(x)就叫做偶函数； 一般地， 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(－x)＝－f(x) ，那么 f(x)就叫做奇函数．
2019版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用2.1函数及其表示课件理
经典题型冲关
题型 1 函数的概念 典例1 集合 A＝{x|0≤x≤4}， B＝{y|0≤y≤2}， 下列 ) 1 B．f：x→y＝3x D．f：x→y＝ x
不表示从 A 到 B 的函数的是( 1 A．f：x→y＝2x 2 C．f：x→y＝3x
用定义法．
解析 依据函数概念，集合 A 中任一元素在集合 B 中 都有唯一确定的元素与之对应，选项 C 不符合．故选 C.
4．必记结论 函数与映射的相关结论 (1)相等函数 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致， 则这两个函数相等． (2)映射的个数 若集合 A 中有 m 个元素，集合 B 中有 n 个元素，则从 集合 A 到集合 B 的映射共有 nm 个． (3)与 x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有 1 个交 点．
值域 ．
表示函数的常用方法有 解析法、图象法和 列表法 ．
3．分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因 对应关系 不 同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函 数． (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 并集 ， 其值域等于各段函数的值域的 并集 ，分段函数虽由几个部 分组成，但它表示的是一个函数．
解析 ①y＝x 与 y＝alogax 定义域不同； ②y＝2x＋1－2x＝2x(2－1)＝2x 相同； ③f(u)与 f(v)的定义域及对应法则均相同； ④对应法则不相同.
x＋1≥0， 等函数；D 项，由 解得 x≥1，即函数 f(x)的定 x－1≥0，
义域为{x|x≥1}．由 x2－1≥0，解得 x≥1 或 x≤－1，即 g(x) 的定义域为{x|x≥1 或 x≤－1}，两个函数的定义域不相同， 不是相等函数．故选 A.
3．小题热身 －x2－x＋2 (1)(2018· 广东深圳模拟)函数 y＝ 的定义域 ln x 为( ) A．(－2,1) B．[－2,1] C．(0,1) D．(0,1]
2019版高考数学(文)高分计划一轮课件：第2章函数、导数及其应用 2-2
本题用定义法．
解 (1)由 2f(1)＝f(－1)，
可得 2
2－2a＝
2＋a，得
a＝
2 3.
(2)证明：任取 x1，x2∈[0，＋∞)，且 x1<x2，
f(x1)－f(x2)＝ x21＋1－ax1－ x22＋1＋ax2
＝ x21＋1－ x22＋1－a(x1－x2)
＝ x21＋x121＋－x22x22＋1－a(x1－x2)
典例3 求函数 f(x)＝x－ln x 的单调区间．
本题采用导数法． 解 由题意，得 x>0. y′＝1－1x＝x－x 1.由 y′＝0 解得 x＝1. 列表如下：
x (0,1) 1 (1，＋∞)
y′ － 0
＋
y
1
由上表可知，函数的单调递增区间为(1，＋∞)，单调
递减区间为(0,1)．
[条件探究] 若本典例变为 f(x)＝ax＋ln x．研究单调区 间时，应注意什么问题？
＝(x1－x2)
x1＋x2 x21＋1＋ x22＋1
－a.
∵0≤x1< x21＋1，0<x2< x22＋1，
∴0< x21＋x11＋＋x2x22＋1<1.
又∵a≥1，∴f(x1)－f(x2)>0，∴f(x)在[0，＋∞)上单调
递减．
方法技巧 确定函数单调性(区间)的常用方法
1．定义法：本例采用了定义法．一般步骤为设元→作 差→变形→判断符号→得出结论．其关键是作差变形，为了 便于判断差的符号，通常将差变成因式连乘(除)或平方和的 形式，再结合变量的范围、假定的两个自变量的大小关系及 不等式的性质进行判断．见典例．
解析 由 x2－4>0 得 x<－2 或 x>2.令 u＝x2－4，易知 u ＝x2－4 在(－∞，－2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数， y＝log1 u 为减函数，故 f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)．故
高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2111导数的应用课件理新人教A版
解法一：因为 f(x)＝2sinx＋sin2x＝2sinx(1＋cosx)，所以[f(x)]2＝4sin2x(1 ＋cosx)2＝4(1－cosx)(1＋cosx)3，设 cosx＝t，则 y＝4(1－t)(1＋t)3(－1≤t≤1)， 所以 y′＝4[－(1＋t)3＋3(1－t)(1＋t)2]＝4(1＋t)2(2－4t)，所以当－1<t<21时， y′>0；当21<t<1 时，y′<0。所以函数 y＝4(1－t)(1＋t)3(－1≤t≤1)在－1，21 上单调递增，在12，1上单调递减，所以当 t＝12时，ymax＝247；当 t＝±1 时， ymin＝0。所以 0≤y≤247，即 0≤[f(x)]2≤247，所以－32 3≤f(x)≤32 3，所以 f(x)的最小值为－32 3。
(ⅱ)当 0<2a<1，即 0<a<2 时，由 f′(x)>0，得 0<x<a2或 x>1； 由 f′(x)<0，得a2<x<1。 则函数 f(x)的单调递增区间为0，a2，(1，＋∞)， 函数 f(x)的单调递减区间为a2，1。 (ⅲ)当2a＝1，即 a＝2 时，f′(x)≥0 恒成立，则函数 f(x)的单调递增区 间为(0，＋∞)。
2．函数的极值与导数
(1)函数的极小值
若函数 y＝f(x)在点 x＝a 处的函数值 f(a)比它在点 x＝a 附近其他点的函数
值 都小
，且 f′(a)＝0，而且在点 x＝a 附近的左侧 f′(x)＜0 ，右
侧 f′(x)＞0 ，则 x＝a 叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值。
(2)函数的极大值
1．函数 f(x)在区间(a，b)上递增，则 f′(x)≥0，“f′(x)>0 在(a，b)上成 立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件。
2019版高考数学(文)高分计划一轮课件：第2章函数、导数及其应用 2-5
1 3
.
∵y＝x
2 3
在(0，＋∞)上为增函数，23>25>0，
∴23
2 3
>25
2 3
，∴23
1 3
>23
2 3
>25
2 3
.
故选 A.
(2)(必修 A1P60T4)若 2x2＋1≤14x－2，则函数 y＝2x 的值 域是( )
第2章 函数、导数及其应用
2．5 指数与指数函数
基础知识过关
[知识梳理] 1．根式
2．分数指数幂
3．无理数指数幂 无理数指数幂 aα(a>0，α 是无理数)是一个确定的实 数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
4．指数函数的概念、图象与性质
特别提示：1.n an与(n a)n 的区别
[诊断自测] 1．概念思辨
n (1)
an与(n
a)n 都等于
a(n∈N*)．(
×
)
(2)函数 y＝ax 与 y＝－ax(a>0 且 a≠1)的图象关于 x 轴对
称．( √ )
(3)若 am<an(a>0 且 a≠1)，则 m<n.( × )
(4)函数 y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞)．( × )
则有 y＝t2－2t－3＝(t－1)2－4t≥15，当 t＝1，即 x＝0 时， 取得最小值－4.故选 A.
2．若不等式(m2－m)2x－12x<1 对一切 x∈(－∞，－1] 恒成立，则实数 m 的取值范围是____－__2_<_m_<_3____．
A.18，2
B．18，2
C.－∞，18 D．[2，＋∞)
19年高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第1节函数及其表示课件理
(2)函数 y＝1 与 y＝x0 是同一个函数．(
(3)与 x 轴垂直的直线和一个函数的图像至多有一个交点．( (4)分段函数是两个或多个函数．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×
1 2．(教材改编)函数 y＝ 2x－3＋ 的定义域为( x－3
3 A．2，＋∞ 3 C．2，3 ∪(3，＋∞)
(3)相等函数：如果两个函数的 定义域 相同，并且 对应关系 完全一致，则 这两个函数为相等函数． (4)函数的表示法： 表示函数的常用方法有 解析法 、 图像法 和 列表法 ．
3．分段函数 若函数在其定义域内，对于 定义域 系，这样的函数通常叫作分段函数． 分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的 并集 ，值域是各 段值域的 并集 ． 的不同取值区间，有着不同的对应关
求函数的解析式
1 2 1 fx＋x ＝x ＋x2，求
(1)已知 (2)已知
f(x)的解析式；
2 fx ＋1＝lg
x，求 f(x)的解析式；
(3)已知 f(x)是二次函数且 f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，求 f(x)的解析式； (4)已知
1 f(x)＋2fx ＝x(x≠0)，求
1 的取值范围是－4，＋∞.]
[规律方法]
1.求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于定义域的哪
一个子集，然后代入该段的解析式求值，当出现 ffa的形式时，应从内到外依 次求值. 2.已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别 求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范 围. 易错警示：当分段函数自变量的范围不确定时，应分类讨论.
2019年高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用重点强化课1函数的图像与性质学案.docx
重点强化课（一）函数的图像与性质（对应学生用书笫26页）［复习导读］函数是中学数学的核心概念，函数的图像与性质既是中学数学教学的重点，又 是高考考查的重点与热点，题型以选择题、填空题为主，既重视三基，又注重思想方法的考 查，备考时，要透彻理解函数，尤其是分段函数的概念，切实掌握函数的性质，并加强函数 与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想的应用意识.重点1函数图像的应用1 COS n X. 0, ~»例11己知为偶函数，当时，f^x ）=< 2x —L 十 gfd —的解集为（）I 3 当 X>-时，令 f\x ） =2x — 1W ㊁，解得-1 Q故有§£/0才因为心是偶函数，所以的解集为一扌，—扣片，彳，故 心一1）諾的解集为［母题探究1］在本例条件下，若关于X 的方程fg=k 有2个不同的实数解，求实数斤的则不等式当0WxW*时，令f3=cos “W ，解得是€；取值范围.［解］由函数代力的图像(图略)可知，当Q0或Q1时，方程fXx) =k 有2个不同的实 数解，即实数&的取值范圉是或Q1.［母题探究2］在本例条件下，若函数y=f(x)~k\x\恰有两个零点，求实数£的取值范围. ［解］函数y= f^x) —k\x\恰有两个零点，即函数y= f(x)的图像与y=k\x\的图像恰有 两个交点，借助函数图像(图略)可知斤$2或斤=0,即实数斤的取值范围为斤=0或k22. ［规律方法］1.利用函数的图像研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如：图像的左 右范围对应定义域，上下范围对应值域，上升、下降趋势对应单调性，对称性对应奇偶性.2. 有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数图像的交点个数；利用此法也可市 解的个数求参数值或范圉.3. 有关不等式的问题常常转化为两个函数图像的上、下关系来解.［对点训练］已知函数/U)的图像是圆/+/=2上的两段弧，如图1所示，则不等式 f(x) >/'(-%) 一2/ 的解集是 ___________________ .【导学号：00090046］(-l,0)U (l,、但］［由图像可知，函数玖方为奇函数，故原不等式可等价转化为fg_x,在同一直角坐标系中分别画出y=f{x)与尸一JV 的 图像，由图像可知不等式的解集为(-1,0) U (l,、但］.］重点2两数性质的综合应用⑴(2017・石家庄质检(二))下列函数屮，既是偶函数又在(0, +oo)上单调递增的是(B. y=lg %C. y=\x\—l (2)已知fd)是定义在R 上的偶函数，且在区问(一g, 0)上单调递增.若实数々满足代2“角度1 单调性与奇偶性结合A. y=~)>f(—德)，则日的取值范围是()(1)C (2)C ［(1)函数丄是奇函数，排除A ；函数y=lg%既不是奇函数，也不是偶函X1是偶函数，且在(0, +8)上单调递增，故选C. ⑵因为是定义在R 上的偶函数，且在区间(一IO)上单调递增，所以 且 f(0 在(0, + oo)上单调递减.由 f(2“H) > f(—£), f(-y/2) = f(y/2)可得 2ia -11<V2,1 1 Q即 | a~ 1 | 所以7；V a<~ ] 角度2奇偶性与周期性结合若函数 f(x) =asin 2x+ Man x+1,且 f( —3)=5,则 f (兀+3)= _.—3 [令g(x)=wsin 2x+ Z?tan x,则g(x)是奇函数，且最小正周期是兀，由/( —3)= g(_3) + l=5,得 &(一3)=4,则 &(3) = —&(一3) = —4,则 f(兀+3) =g5+3)+1 = g(3)+l = _4+l = _3.] 角度3单调性、奇他性与周期性结合已知定义在R 上的奇函数代劝满足f(x —4)= —f(x),且在区间［0,2］上是增函 数，贝虹 )【导学号：00090047】A. f(—25) Vf(ll) Vf(80)B. /(80)</(11)</(-25)C. f(ll) Vf(80) Vf(—25)D. /(-25)<A8O)</'(11)D [因为 f(x)满足 f(x —4) = — /(%),所以fO-8) =/U)，所以函数fd)是以8为周期的周期函数，则代一25) =f( — l), A80) =f(o), All) = A3).由fd)是定义在R 上的奇函数，且满足fd —4)= —f(0,得A11)=A3)=-A-1) = Al).因为代方在区间［0, 2］上是增函数，f(0在R 上是奇函数，所以fd)在区间［一2, 2］上是增函数，所以 A-lXAOXAl),即 /(-25)</(80)</(11).］数,排除B ； 当 xG (0, + °°)时，排除D ；函数y=\x\ — 2-2 2-3 函数y= ”单调递减,［规律方法］函数性质综合应用问题的常见类型及解题方法(1)函数单调性与奇偶性结合.注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图像的对称性.(2)周期性与奇偶性结合.此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.(3)周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化口变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.。
2019届高考数学(文)一轮复习课件：第二章 函数、导数及其应用--全部课件合编
函数及其表示
4．(2018· 黑龙江哈尔滨一模)若函数 f(f(1))的值是( A．－10 C．－2 ) B．10 D．2
2x＋2，x≤0， f(x)＝ x 2 －4，x>0，
则
解析：f(1)＝21－4＝－2，所以 f(f(1))＝f(－2)＝2×(－2)＋2＝ －2，故选 C. 答案：C
)
x>－1， 所以 x≠1，
选 C.
答案：C
函数及其表示
3．下列图形可以表示为以 M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以 N＝ {y|0≤y≤1}为值域的函数的是( )
解析：A 选项，函数定义域为 M，但值域不是 N，B 选项，函 数定义域不是 M，值域为 N，D 选项，集合 M 中存在 x 与集合 N 中的两个 y 对应，不构成函数关系． 答案：C
解析：由映射的定义，A 中任取一个元素 x，B 中都有唯一确 定的 f(x)对应知①②错． 答案：C
函数及其表示
lgx＋1 2．函数 y＝ 的定义域是( x－1 A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞) C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．[－1,1)∪(1，＋∞)
x＋1>0， 解析：由题意得 x－1≠0，
函数及其表示
1－x2 2．(2018· 贵阳监测)函数 y＝ 2 的定义域为( 2x －3x－2 A．(－∞，1] B．[－1,1] C．[1,2)∪(2，＋∞) 1 1 D. －1，－2 ∪ －2，1
)
函数及其表示
2 1－x2 1－x ≥0， 解析：由函数 y＝ 2 得 2 解得 2x －3x－2 2x －3x－2≠0，
函数及其表示
1 5．已知 f（x ）＝x2＋5x，则 f(x)＝________.
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热点探究课(一)
导数应用中的高考热点问题
(对应学生用书第36页)
[命题解读] 函数是中学数学的核心内容，导数是研究函数的重要工具，因此，导数的应用是历年高考的重点与热点，常涉及的问题有：讨论函数的单调性(求函数的单调区间)、求极值、求最值、求切线方程、求函数的零点或方程的根、求参数的范围、证明不等式等，涉及的数学思想有：函数与方程、分类讨论、数形结合、转化与化归思想等，中、高档难度均有．
热点1 利用导数研究函数的单调性、极值与最值(答题模板) 函数的单调性、极值是局部概念，函数的最值是整体概念，研究函数的性质必须在定义域内进行，因此，务必遵循定义域优先的原则，本热点主要有三种考查方式：(1)讨论函数的单调性或求单调区间；(2)求函数的极值或最值；(3)利用函数的单调性、极值、最值，求参数的范围．
(本小题满分12分)(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )．
(1)讨论f (x )的单调性；
(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．
[思路点拨] (1)求出导数后对a 分类讨论，然后判断单调性；(2)运用(1)的结论分析函数的最大值，对得到的不等式进行等价转化，通过构造函数并分析该函数的单调性求a 的范围．
[规范解答] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －A ．
2分 若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．
3分 若a >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0. 5分
所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减． 6分
(2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；
7分
当a >0时，f (x )在x ＝1a 取得最大值，最大值为
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1. 9分 因此f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a >2a －2等价于ln a ＋a －1<0. 10分
令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0.
于是，当0<a <1时，g (a )<0；当a >1时，g (a )>0.
因此，a 的取值范围是(0,1). 12分 [答题模板] 讨论含参函数f (x )的单调性的一般步骤
第一步：求函数f (x )的定义域(根据已知函数解析式确定)．
第二步：求函数f (x )的导数f ′(x )．
第三步：根据f ′(x )＝0的零点是否存在或零点的大小对参数分类讨论． 第四步：求解(令f ′(x )>0或令f ′(x )<0)．
第五步：下结论．
第六步：反思回顾，查看关键点、易错点、注意解题规范．
温馨提示：1.讨论函数的单调性，求函数的单调区间、极值问题，最终归结到判断f ′(x )的符号问题上，而f ′(x )＞0或f ′(x )＜0，最终可转化为一个一元一次不等式或一元二次不等式问题．
2．若已知f (x )的单调性，则转化为不等式f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在单调区间上恒成立问题求解．
[对点训练1] 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，且a ＝f ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫23. (1)求a 的值；
(2)求函数f (x )的单调区间；
(3)设函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x ，若函数g (x )在x ∈[－3,2]上单调递增，求实数c 的取值范围. 【导学号：79170072】
[解] (1)由f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，
得f ′(x )＝3x 2＋2ax －1.
当x ＝23时，得a ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝3×⎝ ⎛⎭
⎪⎫232＋2a ×23－1， 解得a ＝－1.。