浅谈勾股

学院 学 术 论 文

题 目浅谈勾股 姓 名 所在学院 专业班级 学 号 指导教师 日 期 摘要：勾股数是一个神秘、特殊的自然数组。它吸引了无数学

者的目光！ 本文将从勾股数的历史背景、构造、性质、以及判断方法去论述它。 关键词：勾股定理 勾股数 直角三角形 不定方程

Subject: talk about Hook shares Author: Mathematics and computer college The professional of math Zhu Jiang jiang Postal code：330038 Abstract: Hook number is a mysterious, special natural array. It attracted many scholars look! This paper will hook number of historical background, structure, properties, and discusses its judgment method. Keywords: hook number Pythagorean proposition right-angle triangle Diophantine equation 一、 历史背景 勾股数这个名称来源于我国公元前1世纪的古算书《周髀算 经)，书中记载了约公元前11世纪商高与周公的一段对话：“故折 矩．以为勾广三，股修四，径隅五。”这里的“勾”指直角三角形中较 短的直角边，“股”指另一条直角边，“径”指斜边，翻译成现在的语言 是：由矩形对折而成的直角三角形。如果短直角边与长直角边的长 分别是3和4，那么斜边就是5，这里给出了一组勾股数。 能够成为直角三角形三边长度的三个正整数，被称为勾股数。 由勾股定理我们知道，对于自然数a,b、C，如果，则a,b、 c被称为一组勾股数。例如；3、4、5满足32+42=52，所以3．4、5就是 一组勾股数，像这样的数组还有很多，如：5、12、13；7、24、25；9、40、 41等。 从古时候起，人们就想知道，到底天有多高，地有多大?大约在公元前 1100年，周武王的弟弟周公就曾向当时的一位学者商高求教：“⋯⋯去 天不可阶而舟，地不可得尺寸丽度，请问数安从出?”商高所提供的测量 方法是“勾股术”：“⋯⋯故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五。⋯⋯”据说， 在大禹治水的时候，就已经运用“勾三股四弦五”的特殊情形进行测量。 周公与商高的这段有趣的对话载于我国古代数学著作《周髀算经》(公 元前l世纪)。经过历代数学家的完善，便形成了勾股定理(也称商高定

理)：直角三角形两直角边a、b的平方和，等于斜边c的平方，即222abc。 在西方，人们把这个定理的发现与证明归功于古希腊的毕达哥拉斯，因 而称之为毕达哥拉斯定理。满足勾股定理的正整数组称为勾股数(或毕 达哥拉斯数)。公元263年，魏朝的刘徽在《九章算术》中提到

222222222345,51213,72425

等。但是1945年，人们在对 古巴比伦人遗留下来的一块数学泥板的研究中，惊讶地发现上面竟然刻 有15组勾股数，其年代远在商高和毕达哥拉斯之前，大约在公元前1900 年到公元前1600年之间。这些勾股数组表明，古巴伦人早已掌握了勾股 定理并很可能找到了一种求得勾股数的一般方法，只不过人们还不能从 其他的泥板中找出更多的证据来证明这一点。毕达哥拉斯学派倒是明

确的给出了勾股数的一个公式：a=2n+l，b222nn，c=222nn+1。其特点是 斜边与其中一直角边的差为1。另一个古希腊学者柏拉图(Pkll0，约公元

前427年～公元前347年)也给出了类似的式子：a=2n，b=2n-1，c=2n+1。 此时斜边与其中一直角边之差为2。但是，他们给出的勾股数公式并不 能给出全部的勾股数组。公元l世纪，我国古代数学名著《九章算术》提

出了一组求勾股数的式子，这组式子相当于：221()2amn，b=mn，

221()2cmn

到公元3世纪，大数学家刘徽用几何方法，证明了这个式子。这是 迄今为止用于勾股数的最完美的表达式形式之一。

二、 勾股的认识与发现 人类对于勾股数的认识可以说是源远流长，在古代的四大文明 古国(中国、埃及、印腰、和巴比伦)的史册里鄙有勾股数的记载。到 底是谁最早发现，岁月的风尘已淹没了许许多多历史的真相，但它 的发现确是人类伟大而永远的财富。 在教学研究中，我发现勾股数存在如下的规律： 1)如果a．b、C是一组勾股数，那么h、kb、kc也是一组勾股数 (其中的“k”是正整数)。比如3、4、5是一组勾股数(k是“2“或“3”)，

则6、8、10；9、12、15等必然也是勾股数。验证得知：由222abc． 所以222222222222()()()()kakbkakbkabkckc。 2)如果a=2n-1，b=2n，c=2n+l(n>1)，那么a、b、c是勾股数。验证 一下：因为22222422222(1)4124(1)abnnnnnnc 所以a、b、c是勾股数。但因2n+l与2n-1只差2，所以像7、 24、25这样的勾股数就不能由这个公式给出，这一公式还是有其局 限性的。 3)对于5、12、13；7、24、25；9、40、41；1l、60、61等这样的勾股教

可以由公式a=2n+l；b=22n+2n，c=22n+2n+l得到，这容易由勾股定 理的逆定理得到验证。 通过观察分析上述勾股数，我还发现了勾股数的一些特点： 第一．如果直角三角形的短直角边为奇数，那么另一直角边和 斜边是两个连续的自然数。 第二。一个直角三角形的周长等于短直角的平方与短边自身 的和。 例如：直角三角形的三条边长是正整数，其中一条短直角边的 长度为13，求这个直角三角形的周长。 由上述特点一解：设这个直角三角形三个边分别是13、x、x+l，

则有：169+2x =2x+1（），解得x=84，那么此直角三角形的周长是： 13+84+85=182。 由上述特点二解：此直角三角形是以奇数为短直角边构成的直 角三角形，因此周长是169+13=182。

4)若x---2p +pq．Y=，z=2p+则x．y、z是勾殷数，此公式涵盖了自然 界的全部勾股数。 5)与勾股数有关的还有如下表达式。

(1)2222:::()/2:()/2abcmnmnmn (m、n为奇数)；

(2)a=m,b=(2m-1)/2,c=(2m+1)/2 (m为奇数)； (3)a=,b=+m，C=+m+n，(2mn为完全平方数)，这里的正整数 a、b、c都满足22ab=2c。

6其实质三边是整数的直角三角形的情形就是解不定方程222xyz， 由躜此处x>O，y>O，z>O．且假定x,y互质，即（x,y）=1并且容易验证x、y中 一定是一日錾一双，不妨假定x是双数，则此不定方程—切正整数解，可以用

下列公式表示出来：x=2mn，y=22()mn，z=22mn．2(m>n>0)，(m，n)=1， m、n一单一双。 另外，勾股数组a,b、c有许多有趣的性质： (I)a和b必然一个是奇数，一个是偶数，c必然是奇数； (2)a、b中必有一个是3的倍数； (3)a,b中必有一个是4的倍数； (4)a、b、c中必有一个是5的倍数； (5)8bc是60的倍数； (6)a、b、c是连续自然数的只有3．4、5； (7)a、b、c构成等差数列的只有3,4、5等等。 通过查阅有关资料，我们还可知道很多勾股数的性质，在教学 中，我提醒同学们一定要掌握一些常见的勾股数组，以便今后学习 时使用。下面是我给出的a,b、c三数都小于100的勾股数，共有17 组。它们是： 3t4、5 5、12，13 7、24，25 16，63、65 1l、60、61 12、35、37 13、84、85 39、80、89 28、45、53 33、56、65 36、77、85 9、40、41 57、76、95 65、72、97 8、15、17 20、2l、29 48、55、73 趣味勾股数：88209、90288、126225，它是由297、304、425乘以 297而成。 斜边是1885的勾股数有四组： 427、1836、1885 003、1596、1885 1643、924、1885 1813、516、1885

三、不定方程222xyz的整数解一勾股数一般解公式 一个方程中，未知数的个数如多于一个，这个方程的解通常有无穷 多个。即使仅求方程的整数解，解数仍可能有无穷多个。我们称这种方程

为不定方程。这里我们要研究一种特殊形式的二次不定方程：222xyz 人们称满足这种不定方程的正整数解为勾股数组。 研究不定方程222xyz......... (1)，无非要解决以下几个问题： (1)有无正整数解?(2)有多少个整数解?(3)有没有整数解的统一公 式?问题(1)是肯定的，为研究问题(2)和(3)，我们作如下讨论： 若x，y，z中至少有一个为零解，即：x=y=z=O；x=0，y=±z；y=o，x=±z，我

们称它们为不定方程(1)的平凡解。不定方程(1)若有一个整数解(000,,xyz),

其中000xyz≠O(即不是平凡解)，则必有下列八个解：(000,,xyz)，000(,,)xyz、

000(,,)xyz、000(,,)xyz、000(,,)xyz、000(,,)xyz、000(,,)xyz、

000(,,)xyz同时，不定方程(1)若有一个解000(,,)xyz，则000(,,)txtytz也是解，