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文题目：关于泰勒公式的应用1 课题研究意义在初等函数中，多项式是最简单的函数。

因为多项式函数的运算只有加、减、乘三种运算。

如果能将有理分式函数，特别是无理函数和初等超越函数用多项式函数近似代替，而误差又能满足要求，显然，这对函数性态的研究和函数值的近似计算都有重要意义。

那么一个函数只有什么条件才能用多项式函数近似代替呢？这个多项式函数的各项系数与这个函数有什么关系呢？用多项式函数近似代替这个函数误差又怎么样呢？通过对数学分析的学习，我感觉到泰勒公式是微积分学中的重要内容，在函数值估测及近似计算，用多项式逼近函数，求函数的极限和定积分不等式、本论文由无忧论文网整理提供等式的证明等方面，泰勒公式是有用的工具.2 文献综述为了写好文章我着重查阅参考了以下文献：人民教育出版社出版江泽坚编写的《数学分析》，这本书给出了泰勒（Taylor）定理的具体定义，及其麦克劳林 (Maclaurin) 公式定义. 洛阳工业高等专科学校学报王素芳和陶荣写的《泰勒公式在计算及证明中的应用》，这篇文章阐述了泰勒公式在证明不等式中应用的具体方法，具体分为三个方面：有关一般不等式的证明、有关定积分不等式的证明、有关定积分等式证明的具体方法、步骤. 天津工业学院学报张励写的《泰勒公式的应用》，这篇文章中阐述了Taylor公式在计算极限中应用的几种方法.以及其他的一些书目报刊.3 主要内容我的毕业论文准备阐述泰勒（Taylor）公式和麦克劳林 (Maclaurin)公式在数学分析中几个重要的应用. 准备从这两方面写这篇文章: Taylor定理的应用.Taylor公式的应用1 Taylor公式在计算极限中的应用对于函数多项式或有理分式的极限问题的计算是十分简单的，因此，对一些较复杂的函数可以根据泰勒公式将原来较复杂的函数极限问题转化为类似多项式或有理分式的极限问题. 满足下列情况时可考虑用泰勒公式求极限：（1）用洛比达法则时，次数较多，且求导及化简过程较繁；（2）分子或分母中有无穷小的差，且此差不容易转化为等价无穷小替代形式；（3）所遇到的函数展开为泰勒公式不难.当确定了要用泰勒公式求极限时，关键是确定展开的阶数. 如果分母（或分子）是，就将分子（或分母）展开为阶麦克劳林公式. 如果分子，分母都需要展开，可分别展开到其同阶无穷小的阶数，即合并后的首个非零项的幂次的次数.2 Taylor公式在证明不等式中的应用有关一般不等式的证明针对类型：适用于题设中函数具有二阶和二阶以上的导数，且最高阶导数的大小或上下界可知的命题. 证明思路：（1）写出比最高阶导数低一阶的Taylor公式；（2）根据所给的最高阶导数的大小或上下界对展开式进行缩放.有关定积分不等式的证明针对类型：已知被积函数二阶和二阶以上可导，本论文由无忧论文网整理提供且又知最高阶导数的符号.证题思路：直接写出的Taylor展开式，然后根据题意对展开式进行缩放.有关定积分等式的证明针对类型：适用于被积函数具有二阶或二阶以上连续导数的命题.证明思路：作辅助函数，将在所需点处进行Taylor展开对Taylor余项作适当处理.3 Taylor公式在近似计算中的应用利用泰勒公式求极限时，宜将函数用带佩亚诺余项的泰勒公式表示；若用于近似计算，则应将余项以拉格朗日型表达，以便于误差的估计.4 研究方法为了写好论文我到中国期刊网、中国知识网和中国数字化期刊群查找相关论文的发表日期、刊名、作者，接下来要到图书馆四楼过刊室查找相关文献，到电子阅览室查找相关期刊文献. 从图书馆借阅相关书籍，仔细阅读，细心分析，通过自己的耐心总结、研究，老师的指导、改正，争取做好毕业论文工作. 具体采用了数学归纳法、分析法、反证法、演绎法等方法.5 进度计划为了有准备有计划的做好我的论文工作，我为自己安排了一个毕业论文进度计划，我会严格按照我的进度计划，及时完成我的毕业论文工作.2006年10月9日—10月20日论文选题.2006年10月28日—11月3日填写毕业论文任务书，填写选题报告.2006年11月4日—11月10日文献阅读，并撰写开题报告，开始写作.2006年11月11日—12月30日完成论文第一稿.2007年4月9日—5月6日完成论文第二稿，写作第三稿.2007年5月7日—5月20日提交规范的毕业论文，论文答辩.本论文由无忧论文网整理提供，如需转载，请注明出处。

泰勒公式英文名称泰勒公式：Taylor's formula泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!•(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!•(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!•(x-x.)^n+Rn 其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!•(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。

（注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数，不是f(n)与x.的相乘。

）证明：我们知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α（根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limΔx→0 f(x.+Δx)-f(x.)=f'(x.)Δx），其中误差α是在limΔx→0 即limx→x.的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式：P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n来近似地表示函数f(x)且要写出其误差f(x)-P(x)的具体表达式。

设函数P(x)满足P(x.)=f(x.),P'(x.)=f'(x.),P''(x.)=f''(x.),……,P(n)(x.)=f(n)(x.),于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An。

显然，P(x.)=A0,所以A0=f(x.)；P'(x.)=A1,A1=f'(x.)；P''(x.)=2!A2,A2=f''(x.)/2!……P(n) (x.)=n!An,An=f(n)(x.)/n!。

至此，多项的各项系数都已求出，得：P(x)=f(x.)+f'(x.)(x- x.)+f''(x.)/2!•(x-x.)^2+……+f(n)(x.)/n!•(x-x.)^n.接下来就要求误差的具体表达式了。

设Rn(x)=f(x)-P(x),于是有Rn(x.)=f(x.)-P(x.)=0。

所以可以得出Rn(x.)=Rn'(x.)=Rn''(x.)=……=Rn(n)(x.)=0。

根据柯西中值定理可得Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(x)-Rn(x.)/(x-x.)^(n+1)-0=Rn'(ξ1)/(n+1)(ξ1- x.)^n(注：(x.-x.)^(n+1)=0),这里ξ1在x和x.之间；继续使用柯西中值定理得Rn'(ξ1)-Rn'(x.)/(n+1) (ξ1-x.)^n-0=Rn''(ξ2)/n(n+1)(ξ2-x.)^(n-1)这里ξ2在ξ1与x.之间；连续使用n+1次后得出Rn(x) /(x-x.)^(n+1)=Rn(n+1)(ξ)/(n+1)!，这里ξ在x.和x之间。

但Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-P(n+1) (x),由于P(n)(x)=n!An,n!An是一个常数，故P(n+1)(x)=0，于是得Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)。

综上可得，余项Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!•(x-x.)^(n+1)。

一般来说展开函数时都是为了计算的需要，故x往往要取一个定值，此时也可把Rn(x)写为Rn。

麦克劳林展开式：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和：f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!•x^2,+f'''(0)/3!•x^3+……+f(n)(0)/n!•x^n+Rn其中Rn=f(n+1)(θx)/(n+1)!•x^(n+1),这里0<θ<1。

证明：如果我们要用一个多项式P(x)=A0+A1x+A2x^2+……+Anx^n来近似表示函数f(x)且要获得其误差的具体表达式，就可以把泰勒公式改写为比较简单的形式即当x.=0时的特殊形式：f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!•x^2,+f'''(0)/3!•x^3+……+f(n)(0)/n!•x^n+f(n+1)(ξ)/(n+1)!•x^(n+1)由于ξ在0到x之间，故可写作θx，0<θ<1。

麦克劳林展开式的应用：1、展开三角函数y=sinx和y=cosx。

解：根据导数表得：f(x)=sinx , f'(x)=cosx , f''(x)=-sinx , f'''(x)=-cosx , f(4)(x)=sinx……于是得出了周期规律。

分别算出f(0)=0，f'(0)=1, f''(x)=0, f'''(0)=-1, f(4)=0……最后可得：sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+x^9/9!-……（这里就写成无穷级数的形式了。

）类似地，可以展开y=cosx。

2、计算近似值e=lim x→∞ (1+1/x)^x。

解：对指数函数y=e^x运用麦克劳林展开式并舍弃余项：e^x≈1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!当x=1时，e≈1+1+1/2!+1/3!+……+1/n!取n=10,即可算出近似值e≈2.7182818。

3、欧拉公式：e^ix=cosx+isinx（i为-1的开方，即一个虚数单位）证明：这个公式把复数写为了幂指数形式，其实它也是由麦克劳林展开式确切地说是麦克劳林级数证明的。

过程具体不写了，就把思路讲一下：先展开指数函数e^z，然后把各项中的z写成ix。

由于i的幂周期性，可已把系数中含有土i的项用乘法分配律写在一起，剩余的项写在一起，刚好是cosx,sinx的展开式。

然后让sinx乘上提出的i，即可导出欧拉公式。

有兴趣的话可自行证明一下。

[编辑本段]泰勒展开式e的发现始于微分,当h 逐渐接近零时,计算之值,其结果无限接近一定值 2.71828...,这个定值就是e,最早发现此值的人是瑞士著名数学家欧拉,他以自己姓名的字头小写 e 来命名此无理数.计算对数函数的导数,得,当a=e 时, 的导数为,因而有理由使用以 e 为底的对数,这叫作自然对数.若将指数函数ex 作泰勒展开,则得以x=1 代入上式得此级数收敛迅速,e 近似到小数点后40 位的数值是将指数函数ex 扩大它的定义域到复数z=x+yi 时,由透过这个级数的计算,可得由此,De Moivre 定理,三角函数的和差角公式等等都可以轻易地导出.譬如说,z1=x1+y1i, z2=x2+y2i,另方面,所以,我们不仅可以证明 e 是无理数,而且它还是个超越数,即它不是任何一个整系数多项式的根,这个结果是Hermite 在1873年得到的.甲)差分.考虑一个离散函数(即数列) R,它在n 所取的值u(n) 记成un,通常我们就把这个函数书成或(un).数列u 的差分还是一个数列,它在n 所取的值以定义为以后我们干脆就把简记为(例):数列1, 4, 8, 7, 6, -2, ... 的差分数列为3, 4, -1, -1, -8 ...注:我们说「数列」是「定义在离散点上的函数」如果在高中,这样的说法就很恶劣.但在此地,却很恰当,因为这样才跟连续型的函数具有完全平行的类推.差分算子的性质(i) [合称线性](ii) (常数) [差分方程根本定理](iii)其中,而(n(k) 叫做排列数列.(iv) 叫做自然等比数列.(iv)' 一般的指数数列(几何数列)rn 之差分数列(即「导函数」)为rn(r-1)(乙).和分给一个数列(un).和分的问题就是要算和 . 怎么算呢我们有下面重要的结果:定理1 (差和分根本定理) 如果我们能够找到一个数列(vn),使得,则和分也具有线性的性质:甲)微分给一个函数f,若牛顿商(或差分商) 的极限存在,则我们就称此极限值为 f 为点x0 的导数,记为f'(x0) 或Df(x),亦即若 f 在定义区域上每一点导数都存在,则称 f 为可导微函数.我们称为 f 的导函数,而叫做微分算子.微分算子的性质:(i) [合称线性](ii) (常数) [差分方程根本定理](iii) Dxn=nxn-1(iv) Dex=ex(iv)' 一般的指数数列ax 之导函数为(乙)积分.设 f 为定义在[a,b] 上的函数,积分的问题就是要算阴影的面积.我们的办法是对[a,b] 作分割:;其次对每一小段[xi-1,xi] 取一个样本点;再求近似和;最后再取极限(让每一小段的长度都趋近于0).若这个极限值存在,我们就记为的几何意义就是阴影的面积.(事实上,连续性也「差不多」是积分存在的必要条件.)积分算子也具有线性的性质:定理 2 若 f 为一连续函数,则存在.(事实上,连续性也「差不多」是积分存在的必要条件.)定理3 (微积分根本定理) 设f 为定义在闭区间[a,b] 上的连续函数,我们欲求积分如果我们可以找到另一个函数g,使得g'=f,则注:(1)(2)两式虽是类推,但有一点点差异,即和分的上限要很小心!上面定理1及定理3基本上都表述着差分与和分,微分与积分,是两个互逆的操作,就好像加法与减法,乘法与除法是互逆的操作一样.我们都知道差分与微分的操作比和分与积分简单多了,而上面定理1及定理3告诉我们,要计算(un) 的和分及 f 的积分,只要去找另一个(vn) 及g 满足, g'=f (这是差分及微分的问题),那么对vn 及g 代入上下限就得到答案了.换句话说,我们可以用较简单的差分及微分操作来掌握较难的和分及积分操作,这就是"以简御繁"的精神.牛顿与莱布尼慈对微积分最大的贡献就在此.甲)Taylor展开公式这分别有离散与连续的类推.它是数学中「逼近」这个重要想法的一个特例.逼近想法的意思是这样的:给一个函数f,我们要研究 f 的行为,但f 本身可能很复杂而不易对付,于是我们就想法子去找一个较「简单」的函数g,使其跟f 很「靠近」,那么我们就用g 来取代f.这又是以简御繁的精神表现.由上述我们看出,要使用逼近想法,我们还需要澄清两个问题:即如何选取简单函数及逼近的尺度.(一) 对于连续世界的情形,Taylor 展式的逼近想法是选取多项函数作为简单函数,并且用局部的「切近」作为逼近尺度.说得更明白一点,给一个直到到n 阶都可导微的函数f,我们要找一个n 次多项函数g,使其跟f 在点x0 具有n 阶的「切近」,即,答案就是此式就叫做f 在点x0 的n 阶Taylor 展式.g 在x0 点附近跟 f 很靠近,于是我们就用g 局部地来取代 f.从而用g 来求得 f 的一些局部的定性行为.因此Taylor 展式只是局部的逼近.当f是足够好的一个函数,即是所谓解析的函数时,则f可展成Taylor 级数,而且这个Taylor 级数就等于f 自身.值得注意的是,一阶T aylor 展式的特殊情形,此时g(x)=f(x0+f'(x0)(x-x0)) 的图形正好是一条通过点(x0,f(x0)) 而且切于 f 的图形之直线.因此 f 在点x0 的一阶Taylor 展式的意义就是,我们用过点(x0,f(x0)) 的切线局部地来取代原来f 曲线.这种局部化「用平直取代弯曲」的精神,是微分学的精义所在.利用T alor 展式,可以帮忙我们做很多事情,比如判别函数的极大值与极小值,求积分的近似值,作函数表(如三角函数表,对数表等),这些都是意料中事.事实上,我们可以用逼近的想法将微积分「一以贯之」.复次我们注意到,我们选取多项函数作为逼近的简单函数,理由很简单:在众多初等函数中,如三角函数,指数函数,对数函数,多项函数等,从算术的观点来看,以多项函数最为简单,因为要计算多项函数的值,只牵涉到加减乘除四则运算,其它函数就没有这么简单.当然,从别的解析观点来看,在某些情形下还另有更有用更重要的简单函数.例如,三角多项式,再配合上某种逼近尺度,我们就得到Fourier 级数展开,这在应用数学上占有举足轻重的地位.(事实上,Fourier 级数展开是采用最小方差的逼近尺度,这在高等数学中经常出现,而且在统计学中也有应用.)注:取x0=0 的特例,此时Taylor 展式又叫做Maclaurin 展式.不过只要会做特例的展开,欲求一般的Taylor 展式,作一下平移(或变数代换)就好了.因此我们大可从头就只对x=0 点作Taylor 展式.(二) 对于离散的情形,Taylor 展开就是:给一个数列,我们要找一个n 次多项式数列(gt),使得gt 与ft 在t=0 点具有n 阶的「差近」.所谓在0 点具有n 阶差近是指:答案是此式就是离散情形的Maclaurin 公式.乙)分部积分公式与Abel分部和分公式的类推(一) 分部积分公式:设u(x),v(x) 在[a,b] 上连续,则(二) Abel分部和分公式:设(un),(v)为两个数列,令sn=u1+......+un,则上面两个公式分别是莱布尼慈导微公式D(uv)=(Du)v+u(Dv),及莱布尼慈差分公式的结论.注意到,这两个莱布尼慈公式,一个很对称,另一个则不然.(丁)复利与连续复利(这也分别是离散与连续之间的类推)(一) 复利的问题是这样的:有本金y0,年利率r,每年复利一次,要问n 年后的本利和yn= 显然这个数列满足差分方程yn+1=yn(1+r)根据(丙)之(二)得知yn=y0(1+r)n 这就是复利的公式.(二) 若考虑每年复利m 次,则t 年后的本利和应为令,就得到连续复利的概念,此时本利和为y(t)=y0ert换句话说,连续复利时,t 时刻的本利和y(t)=y0ert 就是微分方程y'=ry 的解答.由上述我们看出离散复利问题由差分方程来描述,而连续复利的问题由微分方程来描述.对于常系数线性的差分方程及微分方程,解方程式的整个要点就是叠合原理,因此求解的办法具有完全平行的类推.(戊)Fubini 重和分定理与Fubini 重积分定理(也是离散与连续之间的类推)(一) Fubini 重和分定理:给一个两重指标的数列(ars),我们要从r=1 到m,s=1到n, 对(ars) 作和,则这个和可以这样求得:光对r 作和再对s 作和(反过来亦然).亦即我们有(二)Fubini 重积分定理:设f(x,y) 为定义在上之可积分函数,则当然,变数再多几个也都一样.(己)Lebesgue 积分的概念(一) 离散的情形:给一个数列(an),我们要估计和,Lebesgue 的想法是,不管这堆数据指标的顺序,我们只按数值的大小来分堆,相同的分在一堆,再从每一堆中取一个数值,乘以该堆的个数,整个作和起来,这就得到总和.(二)连续的情形:给一个函数f,我们要定义曲线y=f(x) 跟X 轴从 a 到 b 所围出来的面积.Lebesgue 的想法是对f 的影域作分割:函数值介yi-1 到yi 之间的x 收集在一齐,令其为, 于是[a,b] 就相应分割成,取样本点,作近似和让影域的分割加细,上述近似和的极限若存在的话,就叫做 f 在[a,b] 上的Lebesgue 积分.泰勒公式的余项f(x)=f(a) + f'(a)(x-a)/1! + f''(a)(x-a)^2/2! + …… + f(n)(a)(x-a)^n/n! + Rn(x) [其中f(n)是f 的n阶导数]泰勒余项可以写成以下几种不同的形式：1.佩亚诺(Peano)余项：Rn(x) = o((x-a)^n)2.施勒米尔希-罗什(Schlomilch-Roche)余项：Rn(x) = f(n+1)(a+θ(x-a))(1-θ)^(n+1-p)(x-a)^(n+1)/(n!p)[f(n+1)是f的n+1阶导数，θ∈(0,1)]3.拉格朗日(Lagrange)余项：Rn(x) = f(n+1)(a+θ(x-a))(x-a)^(n+1)/(n+1)![f(n+1)是f的n+1阶导数，θ∈(0,1)]4.柯西(Cauchy)余项：Rn(x) = f(n+1)(a+θ(x-a))(1-θ)^n (x-a)^(n+1)/n![f(n+1)是f的n+1阶导数，θ∈(0,1)]5.积分余项：Rn(x) = [f(n+1)(t)(x-t)^n在a到x上的积分]/n![f(n+1)/view/3a73dcd4360cba1aa811da01.html是f的n+1阶导数]。