2017-2018年北京市昌平区高三(上)期末数学试卷和参考答案(理科)
2016-2017学年北京市昌平区高三(上)期末数学试卷与解析word(理科)
2016-2017学年北京市昌平区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|x2＞1}，那么∁U A=（）A．[﹣1，1]B．[1，+∞）C．（﹣∞，1]D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）2．（5分）下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是（）A．y=e x B．y=sinx C．D．y=x33．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x值为1，则输出的k值为（）A．3 B．4 C．5 D．64．（5分）设，则（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．a＜b＜c5．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图为（）A．B．C．D．6．（5分）已知函数的图象如图所示，则函数f（x）的解析式的值为（）A．B．C．D．7．（5分）在焦距为2c的椭圆中，F1，F2是椭圆的两个焦点，则“b＜c”是“椭圆M上至少存在一点P，使得PF1⊥PF2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）若函数f（x）满足：集合A={f（n）|n∈N*}中至少存在三个不同的数构成等差数列，则称函数f（x）是等差源函数．判断下列函数：①y=log2x；②y=2x；③y=中，所有的等差源函数的序号是（）A．①B．①②C．②③D．①③二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）9．（5分）设a∈R，若i（1+ai）=2+i，则a=．10．（5分）已知正项等比数列{a n}中，S n为其前n项和，a1=2，a2+a3=12，则S5=．11．（5分）若x，y满足则2x+y的最大值为．12．（5分）已知角α的终边过点P（3，4），则cos2α=．13．（5分）在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，那么=；若E为线段AC上的动点，则的取值范围是．14．（5分）设函数①若a=1，则f（x）的零点个数为；②若f（x）恰有1个零点，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15．（13分）已知△ABC是等边三角形，D在BC的延长线上，且CD=2，．（Ⅰ）求AB的长；（Ⅱ）求sin∠CAD的值．16．（13分）A、B两个班共有65名学生，为调查他们的引体向上锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生引体向上的测试数据（单位：个），用茎叶图记录如下：（I）试估计B班的学生人数；（II）从A班和B班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，B 班选出的人记为乙，假设所有学生的测试相对独立，比较甲、乙两人的测试数据得到随机变量ξ．规定：当甲的测试数据比乙的测试数据低时，记ξ=﹣1，当甲的测试数据与乙的测试数据相等时，记ξ=0，当甲的测试数据比乙的测试数据高时，记ξ=1．求随机变量ξ的分布列及期望．（III）再从A、B两个班中各随机抽取一名学生，他们引体向上的测试数据分别是10，8（单位：个），这2个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小（结论不要求证明）．17．（14分）如图1，四边形ABCD为正方形，延长DC至E，使得CE=2DC，将四边形ABCD沿BC折起到A1BCD1的位置，使平面A1BCD1⊥平面BCE，如图2．（I）求证：CE⊥平面A1BCD1；（II）求异面直线BD1与A1E所成角的大小；（III）求平面BCE与平面A1ED1所成锐二面角的余弦值．18．（13分）设函数f（x）=ln（1+ax）+bx，g（x）=f（x）﹣bx2．（Ⅰ）若a=1，b=﹣1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若曲线y=g（x）在点（1，ln3）处的切线与直线11x﹣3y=0平行．（i）求a，b的值；（ii）求实数k（k≤3）的取值范围，使得g（x）＞k（x2﹣x）对x∈（0，+∞）恒成立．19．（14分）椭圆C的焦点为F 1（﹣，0），，且点在椭圆C上．过点P（0，1）的动直线l与椭圆相交于A，B两点，点B关于y轴的对称点为点D（不同于点A）．（I）求椭圆C的标准方程；（II）证明：直线AD恒过定点，并求出定点坐标．20．（13分）已知Ω是集合{（x，y）|0≤x≤6，0≤y≤4}所表示图形边界上的整点（横、纵坐标都是整数的点）的集合，集合D={（6，0），（﹣6，0），（0，4），（0，﹣4），（4，﹣4），（﹣4，4），（2，﹣2），（﹣2，2）}．规定：（1）对于任意的a=（x1，y1）∈Ω，b=（x2，y2）∈D，a+b=（x1，y1）+（x2，y2）=（x1+x2，y1+y2）（2）对于任意的k∈N*，序列a k，b k满足：①a k∈Ω，b k∈D②a1=（0，0），a k=a k﹣1+b k﹣1，k≥2，k∈N*（Ⅰ）求a2（Ⅱ）证明：∀k∈N*，a k≠（5，0）（Ⅲ）若a k=（6，2），写出满足条件的k的最小值及相应的a1，a2，…，a k．2016-2017学年北京市昌平区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|x2＞1}，那么∁U A=（）A．[﹣1，1]B．[1，+∞）C．（﹣∞，1]D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【解答】解：全集U=R，集合A={x|x2＞1}=（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），∁U A=[﹣1，1]，故选：A2．（5分）下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是（）A．y=e x B．y=sinx C．D．y=x3【解答】解：A．y=e x是非奇非偶函数，不满足条件．B．y=sinx是奇函数，在定义域上不是单调函数，不满足条件．C.是非奇非偶函数，不满足条件．D．y=x3是奇函数，定义域上单调递增，满足条件．故选：D3．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x值为1，则输出的k值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：若输入x=1．则第一次，x=1+5=6，不满足条件，x＞23，k=1，第二次，x=6+5=11，不满足条件，x＞23，k=2，第三次，x=11+5=16，不满足条件，x＞23，k=3，第四次，x=16+5=21，不满足条件，x＞23，k=4，第五次，x=21+5=26，满足条件，x＞23，程序终止，输出k=4，故选：B4．（5分）设，则（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．a＜b＜c【解答】解：∵e﹣2∈（0，），＞1，ln2∈（，1），∴＞ln2＞e﹣2．∴a＜c＜b．故选：C．5．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图为（）A．B．C．D．【解答】解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，而且有一侧棱垂直与底面，结合俯视图，可知B满足，故选B．6．（5分）已知函数的图象如图所示，则函数f（x）的解析式的值为（）A．B．C．D．【解答】解：（1）由题设图象知，周期T=2×（）=π，即．∵点（0，）在函数图象上，可得：2sin（2×0+φ）=，得：sinφ=，∵|φ|＜，∴φ=．故函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+）．故选B．7．（5分）在焦距为2c的椭圆中，F1，F2是椭圆的两个焦点，则“b＜c”是“椭圆M上至少存在一点P，使得PF1⊥PF2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若椭圆M上至少存在一点P，使得PF1⊥PF2，则椭圆与半径R=c的圆满足条件．R≥b，即b≤c，则b＜c”是“椭圆M上至少存在一点P，使得PF1⊥PF2”的充分不必要条件，故选：A8．（5分）若函数f（x）满足：集合A={f（n）|n∈N*}中至少存在三个不同的数构成等差数列，则称函数f（x）是等差源函数．判断下列函数：①y=log2x；②y=2x；③y=中，所有的等差源函数的序号是（）A．①B．①②C．②③D．①③【解答】解：①∵log21，log22，log24构成等差数列，∴y=log2x是等差源函数；②y=2x不是等差源函数，因为若是，则2×2p=2m+2n，则2p+1=2m+2n，∴2p+1﹣n=2m﹣n+1，左边是偶数，右边是奇数，故y=2x+1不是等差源函数；③取成等差数列，因此y=是等差源函数．综上可得：只有①③正确．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）9．（5分）设a∈R，若i（1+ai）=2+i，则a=﹣2．【解答】解：∵i（1+ai）=2+i，∴i﹣a=i+2，∴﹣a=2，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．10．（5分）已知正项等比数列{a n}中，S n为其前n项和，a1=2，a2+a3=12，则S5= 32．【解答】解：设等比数列的公比为q，则q＞0，由a1=2，a2+a3=12得2q+2q2=12，即q2+q﹣6=0得q=2或q=﹣3，（舍），则S5===62，故答案为：62．11．（5分）若x，y满足则2x+y的最大值为6．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．设z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，而A（3，0），代入目标函数z=2x+y得z=3×2+0=6．即目标函数z=2x+y的最大值为6．故答案为：6．12．（5分）已知角α的终边过点P（3，4），则cos2α=．【解答】解：由题意，∵角α的终边过点P（3，4），∴cosα=，sinα=∴cos2α=cos2α﹣sin2α==故答案为：13．（5分）在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，那么=4；若E为线段AC 上的动点，则的取值范围是[﹣4，1] ．【解答】解：在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，则cos∠CAB=，那么=AC•AB•cos∠CAB=•2•=4；若E为线段AC上的动点，则=•（﹣）=•﹣=﹣4；当点E和点A重合时，取得最小值为0，当点E和点C重合时，取得最大值为=5，故的取值范围是[﹣4，1]，故答案为：4；[﹣4，1]．14．（5分）设函数①若a=1，则f（x）的零点个数为2；②若f（x）恰有1个零点，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3）．【解答】解：把函数y=﹣（x+3）（x﹣1），y=2x﹣2的图象画在同一直角坐标系中．如图所示：直线x=a在平移过程中，可得到函数f（x）与x轴的不同交点个数，①若a=1，则f（x）的零点个数为：2②若f（x）恰有1个零点，则实数a的取值范围是：a＜﹣3．故答案为：2，（﹣∞，﹣3）三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15．（13分）已知△ABC是等边三角形，D在BC的延长线上，且CD=2，．（Ⅰ）求AB的长；（Ⅱ）求sin∠CAD的值．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设AB=x．因为△ABC是等边三角形，所以．因为，所以．即x2+2x﹣24=0．所以x=4，x=﹣6（舍）．所以AB=4．…（6分）（Ⅱ）因为AD2=AB2+BD2﹣2AB•BDcos∠ABC，所以．所以．在△ACD中，因为，所以．…（13分）16．（13分）A、B两个班共有65名学生，为调查他们的引体向上锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生引体向上的测试数据（单位：个），用茎叶图记录如下：（I）试估计B班的学生人数；（II）从A班和B班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，B 班选出的人记为乙，假设所有学生的测试相对独立，比较甲、乙两人的测试数据得到随机变量ξ．规定：当甲的测试数据比乙的测试数据低时，记ξ=﹣1，当甲的测试数据与乙的测试数据相等时，记ξ=0，当甲的测试数据比乙的测试数据高时，记ξ=1．求随机变量ξ的分布列及期望．（III）再从A、B两个班中各随机抽取一名学生，他们引体向上的测试数据分别是10，8（单位：个），这2个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小（结论不要求证明）．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意可知，抽出的13名学生中，来自B班的学生有7名．根据分层抽样方法，B班的学生人数估计为（人）．…（3分）（Ⅱ）由题意知ξ的可能取值为﹣1，0，1，，，，则ξ的概率分布列为：．…（11分）（Ⅲ）μ1＞μ0．…（13分）17．（14分）如图1，四边形ABCD为正方形，延长DC至E，使得CE=2DC，将四边形ABCD沿BC折起到A1BCD1的位置，使平面A1BCD1⊥平面BCE，如图2．（I）求证：CE⊥平面A1BCD1；（II）求异面直线BD1与A1E所成角的大小；（III）求平面BCE与平面A1ED1所成锐二面角的余弦值．【解答】（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）因为平面A1BCD1⊥平面BCE，且平面A1BCD1∩平面BCE=BC，四边形ABCD为正方形，E在DC的延长线上，所以CE⊥BC．因为CE⊂平面BCE，所以CE⊥平面A1BCD1．…（4分）解：（Ⅱ）法一：连接A1C．因为A1BCD1是正方形，所以A1C⊥BD1．因为CE⊥平面A1BCD1，所以CE⊥BD1．因为A1C∩CE=C，所以BD1⊥平面A1CE．所以BD1⊥A1E．所以异面直线BD1与A1E所成的角是90°．…（9分）法二：以C为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示．设CD=1，则CE=2．则C（0，0，0），B（1，0，0），E（0，2，0），D1（0，0，1），A1（1，0，1）．所以．因为，所以．所以异面直线BD1与A1E所成的角是90°．…（9分）（Ⅲ）因为CD1⊥平面BCE，所以平面BCE的法向量．设平面A 1D1E的法向量．因为，所以，即．设y=1，则z=2．所以．因为所以平面BCE与平面A1ED1所成的锐二面角的余弦值为．…（14分）18．（13分）设函数f（x）=ln（1+ax）+bx，g（x）=f（x）﹣bx2．（Ⅰ）若a=1，b=﹣1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若曲线y=g（x）在点（1，ln3）处的切线与直线11x﹣3y=0平行．（i）求a，b的值；（ii）求实数k（k≤3）的取值范围，使得g（x）＞k（x2﹣x）对x∈（0，+∞）恒成立．【解答】解：（Ⅰ）当a=1，b=﹣1时，f（x）=ln（1+x）﹣x，（x＞﹣1），则．当f'（x）＞0时，﹣1＜x＜0；当f'（x）＜0时，x＞0；所以f（x）的单调增区间为（﹣1，0），单调减区间为（0，+∞）．…（4分）（Ⅱ）（i）因为g（x）=f（x）﹣bx2=ln（1+ax）+b（x﹣x2），所以．依题设有即解得．…（8分）（ii））所以．g（x）＞k（x2﹣x）对x∈（0，+∞）恒成立，即g（x）﹣k（x2﹣x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立．令F（x）=g（x）﹣k（x2﹣x）．则有．①当1≤k≤3时，当x∈（0，+∞）时，F'（x）＞0，所以F（x）在（0，+∞）上单调递增．所以F（x）＞F（0）=0，即当x∈（0，+∞）时，g（x）＞k（x2﹣x）；②当k＜1时，当时，F'（x）＜0，所以F（x）在上单调递减，故当时，F（x）＜F（0）=0，即当x∈（0，+∞）时，g（x）＞k（x2﹣x）不恒成立．综上，k∈[1，3]．…（13分）19．（14分）椭圆C的焦点为F 1（﹣，0），，且点在椭圆C上．过点P（0，1）的动直线l与椭圆相交于A，B两点，点B关于y轴的对称点为点D（不同于点A）．（I）求椭圆C的标准方程；（II）证明：直线AD恒过定点，并求出定点坐标．【解答】解：（I）法一设椭圆C的标准方程为．由已知得，解得．所以椭圆C的方程为+=1．法二设椭圆c的标准方程为．由已知得，．所以a=2，b2=a2﹣c2=2．所以椭圆c的方程为为+=1．（II）法一当直线l的斜率存在时（由题意k≠0），设直线l的方程为y=kx+1．由得（2k2+1）x2+4kx﹣2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．则特殊地，当A为（2，0）时，k=﹣，所以2x2=﹣，x2=﹣，y2=，即B（﹣，）所以点B关于y轴的对称点D（，），则直线AD的方程为y=﹣x+2．又因为当直线l斜率不存时，直线AD的方程为x=0，如果存在定点Q满足条件，则Q（0，2）．所以K QA===k﹣，K QB==﹣k+，又因为，所以K QA=K QB，即A，D，Q三点共线．即直线AD恒过定点，定点坐标为Q（0，2）．法二（II）①当直线l的斜率存在时（由题意k≠0），设直线l的方程为y=kx+1．由，可得（1+2k2）x2+4kx﹣2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则D（﹣x2，y2）．所以因为，所以直线AD的方程为：．所以，=，=，=，=，=，=．因为当x=0，y=2，所以直线MD恒过（0，2）点．②当k不存在时，直线AD的方程为x=0，过定点（0，2）．综上所述，直线AD恒过定点，定点坐标为（0，2）．20．（13分）已知Ω是集合{（x，y）|0≤x≤6，0≤y≤4}所表示图形边界上的整点（横、纵坐标都是整数的点）的集合，集合D={（6，0），（﹣6，0），（0，4），（0，﹣4），（4，﹣4），（﹣4，4），（2，﹣2），（﹣2，2）}．规定：（1）对于任意的a=（x1，y1）∈Ω，b=（x2，y2）∈D，a+b=（x1，y1）+（x2，y2）=（x1+x2，y1+y2）（2）对于任意的k∈N*，序列a k，b k满足：①a k∈Ω，b k∈D②a1=（0，0），a k=a k﹣1+b k﹣1，k≥2，k∈N*（Ⅰ）求a2（Ⅱ）证明：∀k∈N*，a k≠（5，0）（Ⅲ）若a k=（6，2），写出满足条件的k的最小值及相应的a1，a2，…，a k．【解答】解：（Ⅰ）对于任意的b=（x2，y2）∈D，a1+b=（0，0）+（x2，y2）=（x2，y2）若（x2，y2）∈Ω，则（x2，y2）=（6，0），或（x2，y2）=（0，4），故a2=（6，0）或（0，4），（Ⅱ）证明：假设命题不成立，即∃k∈N*，使a k=（5，0）即∃b i∈D，i=1，2，…，k﹣1（k≥2），使a1+=a k，化简得=（5，0），所以存在m，n，p∈Z，且m+n+p=k﹣1，使6m+4n+2p=5．又因为6m+4n+2p=2（3m+2n+p）是偶数，而5是奇数，与6m+4n+2p=5矛盾，故假设不成立，即：∀k∈N*，a k≠（5，0），（Ⅲ）k min=5，a1=（0，0），a2=（0，4），a3=（4，0），a4=（4，4），a5=（6，2）．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。
北京市部分区2017届高三上学期考试数学理试题分类汇编：导数及其应用含答案
北京市部分区2017届高三上学期考试数学理试题分类汇编导数及其应用1、（昌平区2017届高三上学期期末）设函数()ln(1)f x ax bx =++,2()()g x f x bx =-.(Ⅰ）若1,1a b ==-,求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ）若曲线()y g x =在点(1,ln 3)处的切线与直线1130x y -=平行.(i ） 求,a b 的值;(ii ）求实数(3)k k ≤的取值范围，使得2()()g x k xx >-对(0,)x ∈+∞恒成立.2、（朝阳区2017届高三上学期期末)设函数2()ln(1)1f x x axx =-+++，2()(1)e x g x x ax =-+，R a ∈．（Ⅰ)当1a =时，求函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程; （Ⅱ）若函数()g x 有两个零点，试求a 的取值范围； （Ⅲ)证明()()f x g x ≤．3、（朝阳区2017届高三上学期期中）已知函数2()e ()xf x xa =-,a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）若函数()f x 在(3,0)-上单调递减,试求a 的取值范围； （Ⅲ）若函数()f x 的最小值为2e -，试求a 的值．4、（东城区2017届高三上学期期末）设函数()ln(1)()1axf x x a x =+-∈+R ． (Ⅰ）若(0)f 为()f x 的极小值,求a 的值;（Ⅱ）若()0f x >对(0,)x ∈+∞恒成立,求a 的最大值．5、（丰台区2017届高三上学期期末)已知函数()e xf x x =与函数21()2g x xax=+的图象在点(00)，处有相同的切线. （Ⅰ）求a 的值;（Ⅱ）设()()()()h x f x bg x b =-∈R ，求函数()h x 在[12]，上的最小值.6、(海淀区2017届高三上学期期末）已知函数()ln 1a f x x x =--．(Ⅰ）若曲线()y f x =存在斜率为1-的切线，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）设函数()ln x ag x x+=，求证:当10a -<<时，()g x 在(1,)+∞上存在极小值．7、（海淀区2017届高三上学期期中）已知函数3()9f x xx=-，函数2()3g x x a=+。
北京市昌平区2018届高三上学期期末考试数学理 试题 Word版含答案
2018届南昌铁一中高三第四次月考理科数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。
把答案填写在答题卡上1．如果mi i+=-112（R m ∈，i 表示虚数单位），那么=m ( ) A ．1 B ．1- C ．2 D ．02若0.52a =，log 3b π=，22log sin 5c π=，则( )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>3．要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=-⎪3⎝⎭的图象（ ） A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π3个单位 D ．向左平移π6个单位4在等差数列{}n a 中，首项10,a =公差0d ≠，若1237k a a a a a =++++ ，则k =( ) A ．22 B ．23 C ．24 D ．255．已知直线,l m ，平面,αβ，且,l m αβ⊥⊂，给出四个命题： ①若α∥β，则l m ⊥；②若l m ⊥，则α∥β；③若αβ⊥，则l ∥m ；④若l ∥m ，则αβ⊥．其中真命题的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．16已知||2||,||0a b b =≠ ，且关于x 的函数3211()||32f x x a x a bx =++⋅在R 上有极值，则a 与b 的夹角范围为（ ）A ．06π⎡⎫⎪⎢⎣⎭， B. (,]3ππ C ．2(,]33ππD ． (,]6ππ7把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面ABD ⊥平面CBD ，形成三棱锥C ABD -的正视图与俯视图如下图所示，则侧视图的面积为 （ ）A ．12BCD 。
148．已知定义在R 上的函数()y f x =满足下列三个条件：①对任意的x R ∈都有(2)()f x f x +=-，②对于任意的1202x x ≤<≤，都有12()()f x f x <，③(2)y f x =+的图象关于y 轴对称，则下列结论中，正确的是 ( )A ．(4.5)(6.5)(7)f f f <<B ．(4.5)(7)(6.5)f f f <<C ．(7)(4.5)(6.5)f f f <<D ．(7)(6.5)(4.5)f f f <<9．函数1ln ||y y x==与 （ ）A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
北京市昌平区高三上学期期末考试数学理试题 Word版含答案
昌平区第一学期高三年级期末质量抽测数 学 试 卷（理 科）（满分150分，考试时间120分钟）2014.1考生须知：1． 本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。
2． 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。
3．答题卡上第I 卷(选择题)必须用2B 铅笔作答，第II 卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B 铅笔。
请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。
4．修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。
保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。
不得在答题卡上做任何标记。
5．考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）(1) 已知全集=R U ，集合{1,0,1}=-A ,2{20}=-<B x x x , 则=I ðU A B(A) {1,0}- (B) {1,0,2}- (C) {0} (D) {1,1}- (2) “1cos 2α=”是“3πα=”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件(3) 给定函数①21y x =+，②12log y x =，③12y x =，④1()2xy =，其中在区间(0,1)上单调递增的函数的序号是（A ）② ③（B ）① ③ （C ）① ④（D ）② ④w(4) 执行如图所示的程序框图，输出的k 值是 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4俯视图左视图主视图(5) 若实数,x y 满足10,2,3,+-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩x y x y 则z y x =-的最小值是(A) 1 (B) 5 (C) 3- (D) 5- (6) 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是 (A) 1 (B) 2(C)23 (D)13(7) 连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ,若记向量()m n ，a =与向量(12)=-，b 的夹角为θ,则θ为锐角的概率是 (A)536 (B) 16 (C) 736 (D) 29（8）已知函数21, 0,(),40⎧+>⎪=-≤≤x x f x a x 在点(1,2)处的切线与()f x 的图象有三个公共点，则a 的取值范围是（A）[8,4--+ （B）(44---+ （C）(48]-+ （D）(48]---第二卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）(9) 已知θ是第二象限的角，3sin 5θ=，则tan θ的值为___________ .(10) 如图，在复平面内，复数z 对应的向量为OA uu r，则复数i ⋅z =_______ .(11) 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2461a a a -+=，则4a =_____ ，7S = _____.（12）曲线11,2,,0====x x y y x所围成的图形的面积等于___________ . (13) 在ABC ∆中，4,5,2==⋅=AB BC BA AC u u r u u u r,则AC =________ .(14) 将含有3n 个正整数的集合M 分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合A B C 、、,其中12{,,,}n A a a a =L ，12{,,,}n B b b b =L ，12{,,,}n C c c c =L ，若A B C 、、中的元素满足条件：12n c c c <<<L ，k k k a b c +=，(1,2,3,,)k n =，则称M 为“完并集合”.①若{1,,3,4,5,6}M x =为“完并集合”，则x 的一个可能值为 .（写出一个即可）②对于“完并集合”{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}M =，在所有符合条件的集合C 中，其元素乘积最小的集合是 .三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）(15)(本小题满分13分)已知函数2()cos 2sin 1f x x x x =+-.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）当5[,]126x ππ∈-时，求函数()f x 的取值范围.(16)(本小题满分13分)为了调研某校高一新生的身高（单位：厘米）数据，按10%的比例对700名高一新生按性别分别进行“身高”抽样检查，测得“身高”的频数分布表如下表1、表2.表2：女生“身高”频数分布表 （Ⅰ）求高一的男生人数并完成下面的频率分布直方图； （Ⅱ）估计该校学生“身高”在[165,180)之间的概率；（Ⅲ）从样本中“身高”在[180,190)的男生中任选2人，求至少有1人“身高”在[185,190)之间的概率.D CBAP(17)(本小题满分14分)在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，2PD CD BC AD ===,//,90AD BC BCD ∠=︒.(Ⅰ)求证：BC PC ⊥；(Ⅱ)求PA 与平面PBC 所成角的正弦值；(Ⅲ)线段PB 上是否存在点E ,使AE ⊥平面PBC ？说明理由.(18)(本小题满分13分)在平面直角坐标系x y O 中，已知点(,0)(0)≠A a a ,圆C 的圆心在直线4y x =-上，并且与直线:10l x y +-=相切于点(3,2)P -. (Ⅰ)求圆C 的方程；(Ⅱ)若动点M 满足2MA MO =，求点M 的轨迹方程；（Ⅲ）在(Ⅱ)的条件下，是否存在实数a ，使得CM 的取值范围是[1,9]，说明理由.(19)(本小题满分13分)已知函数2(2)()m xf x x m-=+. （Ⅰ）当1m =时，求曲线()f x 在点11(,())22f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.(20)(本小题满分14分)设满足以下两个条件的有穷数列123,,,,n a a a a L 为(2,3,4,)=L n n 阶“期待数列”： ①1230++++=L n a a a a ，②1231++++=L n a a a a . (Ⅰ)若等比数列{}n a 为2()∈N*k k 阶“期待数列”,求公比q ；(Ⅱ)若一个等差数列{}n a 既是2()∈N*k k 阶“期待数列”又是递增数列,求该数列的通项公式；(Ⅲ)记n 阶“期待数列”{}i a 的前k 项和为(1,2,3,,)=L k S k n .(1)求证: 12≤k S ； (2)若存在{1,2,3,,}∈L m n ，使12=m S ,试问数列{}(1,2,3,,)=L i S i n 能否为n 阶“期待数列”?若能,求出所有这样的数列；若不能，请说明理由.昌平区2013－2014学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷（理科）参考答案及评分标准 2014.1一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。
2017-2018年北京市昌平区高三(上)期末数学试卷和答案(理科)
2017-2018学年北京市昌平区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x（x﹣3）＞0}，则A∩B=（）A．{x|x＜1或x＞3}B．{x|﹣2＜x＜1}C．{x|﹣2＜x＜0或x＞3}D．{x|﹣2＜x＜0}2．（5分）||=（）A．B．C．﹣1 D．13．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．43 B．55 C．61 D．814．（5分）设x，y满足，则z=2x+2y的最大值为（）A．B．2 C．4 D．165．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面中，面积的最小值为（）A．1 B．C．2 D．26．（5分）已知函数f（x）=e x+e﹣x，则函数f（x）（）A．是偶函数，且在（﹣∞，0）上是增函数B．是奇函数，且在（﹣∞，0）上是增函数C．是偶函数，且在（﹣∞，0）上是减函数D．是奇函数，且在（﹣∞，0）上是减函数7．（5分）设，则“cosx＜x2”是“cosx＜x”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）四个足球队进行单循环比赛（每两队比赛一场），每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局双方各得1分．比赛结束后发现没有足球队全胜，且四队得分各不相同，则所有比赛中可能出现的最少平局场数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为（结果用数值表示）．10．（5分）已知曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，那么曲线C的直角坐标方程为．11．（5分）已知直线l：4x+3y+5=0，点P是圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1上的点，那么点P到直线l的距离的最小值是．12．（5分）已知Rt△ABC，AB=AC=1，点E是AB边上的动点，则的值为；的最大值为．13．（5分）某商业街的同侧有4块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若要求任意相邻两块牌的底色不都为红色，则不同的配色方案有种．14．（5分）若函数f（x）=（a＞0且a≠1），函数g（x）=f（x）﹣k．①若a=，函数g（x）无零点，则实数k的取值范围为；②若f（x）有最小值，则实数a的取值范围是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（13分）已知等差数列{a n}的公差d为1，且a1，a3，a4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列b n=2+n，求数列{b n}的前n项和S n．16．（13分）在△ABC中，．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若，，求a的值．17．（13分）随着“中华好诗词”节目的播出，掀起了全民诵读传统诗词经典的热潮．某社团为调查大学生对于“中华诗词”的喜好，从甲、乙两所大学各随机抽取了40名学生，记录他们每天学习“中华诗词”的时间，并整理得到如下频率分布直方图：根据学生每天学习“中华诗词”的时间，可以将学生对于“中华诗词”的喜好程度分为三个等级：（Ⅰ）从甲大学中随机选出一名学生，试估计其“爱好”中华诗词的概率；（Ⅱ）从两组“痴迷”的同学中随机选出2人，记ξ为选出的两人中甲大学的人数，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）；（Ⅲ）试判断选出的这两组学生每天学习“中华诗词”时间的平均值与的大小，及方差S2甲与S2乙的大小．（只需写出结论）18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，△PAB为正三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD，E为线段AB的中点，M在线段PD 上．（I）当M是线段PD的中点时，求证：PB∥平面ACM；（II）求证：PE⊥AC；（III）是否存在点M，使二面角M﹣EC﹣D的大小为60°，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．19．（14分）已知函数f（x）=ax﹣ln（x+1），a∈R．（I）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（0，f （0））处的切线方程；（II）求函数f（x）在区间[0，e﹣1]上的最小值．20．（13分）已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．设该数列的前n项和为S n，规定：若∃m∈N*，使得（p∈N），则称m为该数列的“佳幂数”．（Ⅰ）将该数列的“佳幂数”从小到大排列，直接写出前3个“佳幂数”；（Ⅱ）试判断50是否为“佳幂数”，并说明理由；（III）（i）求满足m＞70的最小的“佳幂数”m；（ii）证明：该数列的“佳幂数”有无数个．2017-2018学年北京市昌平区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x（x﹣3）＞0}，则A∩B=（）A．{x|x＜1或x＞3}B．{x|﹣2＜x＜1}C．{x|﹣2＜x＜0或x＞3}D．{x|﹣2＜x＜0}【解答】解：∵集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x（x﹣3）＞0}={x|x＜0或x＞3}，∴A∩B={x|﹣2＜x＜0}．故选：D．2．（5分）||=（）A．B．C．﹣1 D．1【解答】解：||=||=|1﹣i|=．故选：B．3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．43 B．55 C．61 D．81【解答】解：当n=24时，满足进行循环的条件，S=25，n=18；当n=18时，满足进行循环的条件，S=43，n=12；当n=12时，满足进行循环的条件，S=55，n=6；当n=6时，满足进行循环的条件，S=61，n=0；当n=0时，不满足进行循环的条件，故输出的S值为61，故选：C．4．（5分）设x，y满足，则z=2x+2y的最大值为（）A．B．2 C．4 D．16【解答】解：作出x，y满足，表示的平面区域：其中A（0，1），设F（x，y）=x+2y，将直线l：0=x+2y进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，可得当l经点A时，目标函数z达到最大值，=F（0，1）=2．∴F（x，y）最大值z=2x+2y的最大值为：4．故选：C．5．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面中，面积的最小值为（）A．1 B．C．2 D．2【解答】解：根据三视图可知几何体是一个四棱锥，底面是一个直角梯形，AD⊥AB、AD∥BC，AD=AB=2、BC=1，PA⊥底面ABCD，且PA=2，==2，∴S△PADS△PAB==2，=，S△PCD===2，∴该四棱锥的四个侧面中，面积的最小值为．故选：B．6．（5分）已知函数f（x）=e x+e﹣x，则函数f（x）（）A．是偶函数，且在（﹣∞，0）上是增函数B．是奇函数，且在（﹣∞，0）上是增函数C．是偶函数，且在（﹣∞，0）上是减函数D．是奇函数，且在（﹣∞，0）上是减函数【解答】解：函数的定义域是R，关于原点对称，f（﹣x）=e﹣x+e x=f（x），故函数f（x）是偶函数，x＜0时，f′（x）=e x﹣e﹣x＜0，故f（x）在（﹣∞，0）递减，故选：C．7．（5分）设，则“cosx＜x2”是“cosx＜x”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由x2=x得x=0或x=1，作出函数y=cosx和y=x2和y=x的图象如图，则由图象可知当cosx＜x2时，x B＜x＜，当cosx＜x时，x A＜x＜，∵x A＜x B，∴“cosx＜x2”是“cosx＜x”的充分不必要条件，故选：A．8．（5分）四个足球队进行单循环比赛（每两队比赛一场），每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局双方各得1分．比赛结束后发现没有足球队全胜，且四队得分各不相同，则所有比赛中可能出现的最少平局场数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：四支足球队进行单循环比赛（每两队比赛一场），共比赛6场；每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局双方各得1分；即每场比赛若不平局，则共产生3×6=18分，每场比赛都平局，则共产生2×6=12分；比赛结束后发现没有足球队全胜，且四队得分各不相同，则各队得分分别为：2，3，4，5；或3，4，5，6．如果是3，4，5，6，则每场产生=3分，没有平局产生，但是不可能产生4，5分，与题意矛盾，舍去；因此各队得分分别为：2，3，4，5．第一名得分5：5=3+1+1，为一胜两平；第二名得分4：4=3+1+0，为一胜一平一负；第三名得分3：根据胜场等于负场，只能为三平；第四名得分2：2=1+1+0，为两平一负．则所有比赛中可能出现的最少平局场数是1．故选：B．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为21（结果用数值表示）．【解答】解：二项式（1+x）7展开式的通项公式为T r+1=•x r，令r=2，得展开式中x2的系数为=21．故答案为：21．10．（5分）已知曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，那么曲线C的直角坐标方程为x2+（y﹣1）2=1．【解答】解：曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，整理得：ρ2=2ρsinθ，转化为：x2+（y﹣1）2=1．故答案为：x2+（y﹣1）2=1．11．（5分）已知直线l：4x+3y+5=0，点P是圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1上的点，那么点P到直线l的距离的最小值是2．【解答】解：直线l：4x+3y+5=0，点P是圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1上的点，圆心（1，2）到直线l：4x+3y+5=0的距离d==3，∵圆半径r=1，∴点P到直线l的距离的最小值为：3﹣1=2．故答案为：2．12．（5分）已知Rt△ABC，AB=AC=1，点E是AB边上的动点，则的值为﹣1；的最大值为2．【解答】解：以A点为原点，以AB为x轴，以AC为y轴，建立如图所示的坐标系，∵Rt△ABC，AB=AC=1，∴A（0，0），B（1，0），C（0，1），∵点E是AB边上的动点，∴不妨设E的坐标为（x，0），0≤x≤1，∴=（x，﹣1），=（0，1），=（1，﹣1），∴=﹣1，=x+1≤1+1=2，故答案为：﹣1；2．13．（5分）某商业街的同侧有4块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若要求任意相邻两块牌的底色不都为红色，则不同的配色方案有8种．【解答】解：根据题意，底色为红色的最多有2块，则分3种情况讨论：①，4块广告牌中全部选蓝色为底色，有1种情况，②，4块广告牌中有1块底色选红色，其他选蓝色，有C41=4种情况，③，4块广告牌中有2块底色选红色，2块底色选蓝色，先排好2块蓝色的，排好后有3个空位，在3个空位中任选2个，安排红色的，有C32=3种情况，则相邻两块牌的底色不都为红色的排法有1+4+3=8种；故答案为：8．14．（5分）若函数f（x）=（a＞0且a≠1），函数g（x）=f（x）﹣k．①若a=，函数g（x）无零点，则实数k的取值范围为[﹣1，1）；②若f（x）有最小值，则实数a的取值范围是（1，3] ．【解答】解：①a=时，画出函数f（x）的图象，如图所示：，若函数g（x）无零点，则y=k和y=f（x）无交点，结合图象，﹣1≤k＜1；②若0＜a＜1，显然f（x）无最小值，故a＞1，结合log a3=1，解得：a=3，故a∈（1，3]；故答案为：[﹣1，1），（1，3]．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（13分）已知等差数列{a n}的公差d为1，且a1，a3，a4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列b n=2+n，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）在等差数列{a n}中，因为a1，a3，a4成等比数，所以，即，解得．因为d=1，所以数列{a n}的通项公式a n=n﹣5．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：a n=n﹣5，所以b n=2+n=2n+n，得S n=（2+22+…+2n）+（1+2+…+n）=+=2n+1﹣2+．16．（13分）在△ABC中，．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若，，求a的值．【解答】解：（I）因为，所以cosA≠0，由正弦定理：==，得．又因为C∈（0，π），sinC≠0，所以．又因为A∈（0，π），所以．（II）由，得，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，得，即，因为，解得a2=4．因为a＞0，17．（13分）随着“中华好诗词”节目的播出，掀起了全民诵读传统诗词经典的热潮．某社团为调查大学生对于“中华诗词”的喜好，从甲、乙两所大学各随机抽取了40名学生，记录他们每天学习“中华诗词”的时间，并整理得到如下频率分布直方图：根据学生每天学习“中华诗词”的时间，可以将学生对于“中华诗词”的喜好程度分为三个等级：（Ⅰ）从甲大学中随机选出一名学生，试估计其“爱好”中华诗词的概率；（Ⅱ）从两组“痴迷”的同学中随机选出2人，记ξ为选出的两人中甲大学的人数，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）；（Ⅲ）试判断选出的这两组学生每天学习“中华诗词”时间的平均值与的大小，及方差S2甲与S2乙的大小．（只需写出结论）【解答】（共13分）解：（Ⅰ）由图知，甲大学随机选取的40名学生中，“爱好”中华诗词的频率为（0.030+0.020+0.015）×10=0.65，所以从甲大学中随机选出一名学生，“爱好”中华诗词的概率为0.65．…（3分）（Ⅱ）甲大学随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有40×0.005×10=2人，乙大学随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有40×0.015×10=6人，所以，随机变量ξ的取值为ξ=0，1，2．所以P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==．所以ξ的分布列为：∴ξ的数学期望为E（ξ=0）==．…（10分）（Ⅲ），S2甲＞S2乙．…（13分）18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，△PAB为正三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD，E为线段AB的中点，M在线段PD 上．（I）当M是线段PD的中点时，求证：PB∥平面ACM；（II）求证：PE⊥AC；（III）是否存在点M，使二面角M﹣EC﹣D的大小为60°，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【解答】（共14分）证明：（I）连接BD交AC于H点，连接MH，因为四边形ABCD是菱形，所以点H为BD的中点．又因为M为PD的中点，所以MH∥BP．又因为BP⊄平面ACM，MH⊂平面ACM．所以PB∥平面ACM．…（4分）（II）因为△PAB为正三角形，E为AB的中点，所以PE⊥AB．因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PE⊂平面PAB，所以PE⊥平面ABCD．又因为AC⊂平面ABCD，所以PE⊥AC．…（8分）解：（Ⅲ）因为ABCD是菱形，∠ABC=60°，E是AB的中点，所以CE⊥AB．又因为PE⊥平面ABCD，以E为原点，分别以EB，EC，EP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系E﹣xyz，则E（0，0，0），B（1，0，0），，，．…（10分）假设棱PD上存在点M，设点M坐标为（x，y，z），，则，所以，所以，，设平面CEM的法向量为n=（x，y，z），则，解得．令z=2λ，则，得．因为PE⊥平面ABCD，所以平面ABCD的法向量m=（0，0，1），所以===．因为二面角M﹣EC﹣D的大小为60°，所以，即3λ2+2λ﹣1=0，解得，或λ=﹣1（舍去）所以在棱PD上存在点M，当时，二面角M﹣EC﹣D的大小为60°．…（14分）19．（14分）已知函数f（x）=ax﹣ln（x+1），a∈R．（I）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（0，f （0））处的切线方程；（II）求函数f（x）在区间[0，e﹣1]上的最小值．【解答】解：（I）f （x）的定义域为（﹣1，+∞），因为f′（x）=a﹣，a=2，所以f′（0）=2﹣1=1，f（0）=0．所以函数f （x）在点（0，f（0））处的切线方程是y=x．（II）由题意可得：f′（x）=a﹣，（1）当a≤0时，f′（x）＜0，所以f（x）在（﹣1，+∞）上为减函数，所以在区间[0，e﹣1]上，f（x）min=f（e﹣1）=a（e﹣1）﹣1．（2）当a＞0时，令f′（x）=a﹣=0，则x=﹣1＞﹣1，①当﹣1≤0，即a≥1时，对于x∈（0，e﹣1），f′（x）＞0，所以f （x）在（0，e﹣1）上为增函数，所以f（x）min=f（0）=0．②当，即时，对于x∈（0，e﹣1），f′（x）＜0，所以f （x）在（0，e﹣1）上为减函数，所以f（x）min=f（e﹣1）=a（e﹣1）﹣1．③当，即时，当x变化时，f（x），f′（x）的变化情况如下表：﹣1所以f（x）min=f（﹣1）=a（﹣1）﹣ln=1﹣a+lna，综上，当时，f（x）min=a（e﹣1）﹣1；当时，f（x）min=1﹣a+lna；当a≥1时，f（x）min=0．20．（13分）已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．设该数列的前n项和为S n，规定：若∃m∈N*，使得（p∈N），则称m为该数列的“佳幂数”．（Ⅰ）将该数列的“佳幂数”从小到大排列，直接写出前3个“佳幂数”；（Ⅱ）试判断50是否为“佳幂数”，并说明理由；（III）（i）求满足m＞70的最小的“佳幂数”m；（ii）证明：该数列的“佳幂数”有无数个．【解答】解：（Ⅰ）由前3个数为1，1，2，则S1=20=1，S2=21=1+1=2，S3=22=1+1+2=4，故前3个“佳幂数为，1，2，3；（Ⅱ）由题意可得，数列如下：第1组：1，第2组：1，2；第3组：1，2，4；…第k组：1，2，4，…，2k﹣1．则该数列的前项的和为：，①当时，k≤9，则，由于210＜210+20＜211，对∀p∈N，，故50不是“佳幂数”．（III）（i）在①中，要使，有k≥12，此时，所以k+2是第k+1组等比数列1，2，4，…，2k的部分项的和，设k+2=1+2+…+2t﹣1=2t﹣1，t∈N*．所以k=2t﹣3≥12，则t≥4，此时k=24﹣3=13，所以对应满足条件的最小“佳幂数”．（ii）由（i）知：k+2=1+2+…+2t﹣1=2t﹣1，t∈N*．当t≥2，且取任意整数时，可得“佳幂数”，所以，该数列的“佳幂数”有无数个．。
北京市昌平区2018届高三上学期期末考试数学(理科)试题及答案
昌平区2017－2018学年第一学期高三年级期末质量抽测 数学试卷(理科) 2018.1本试卷共5页，共150分. 考试时长120分钟. 考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 若集合{|21}A x x =-<<，{|(3)0}B x x x =->，则AB =A. {|13}x x x <>或B. {|21}x x -<<C. {|203}x x x -<<>或D. {|20}x x -<<2．1+i||i=A.B. C. 1- D. 13. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为A ．43 B. 55 C. 61 D. 814．设,x y 满足1,1,0,x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则22x y z +=的最大值为A ．14B. 2C. 4D. 165.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面中，面积的最小值为A. 1B.C. 2D.6.已知函数()e e ,xxf x -=+则函数()f xA ．是偶函数，且在(,0)-∞上是增函数 B. 是奇函数，且在(,0)-∞上是增函数 C. 是偶函数，且在(,0)-∞上是减函数 D. 是奇函数，且在(,0)-∞上是减函数7. 设π02x <<，则“2cos x x <”是“cos x x <”的 A ．充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件8. 四个足球队进行单循环比赛（每两队比赛一场），每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局双方各得1分. 比赛结束后发现没有足球队全胜，且四队得分各不相同，则所有比赛中可能出现的最少平局场数是A ．0 B. 1 C. 2 D. 3主视图左视图俯视图1 1第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 7(1)x +的二项展开式中2x 的系数为 ．10. 已知曲线C 的极坐标方程为θρsin 2=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立 平面直角坐标系，那么曲线C 的直角坐标方程为 .11. 已知直线:4350l x y ++=，点P 是圆22(1)(2)1x y -+-=上的点，那么点P 到直 线l 的距离的最小值是 .12. 已知Rt ABC ∆，1AB AC ==,点E 是AB 边上的动点，则CE AC ⋅的值为 ；CE CB ⋅的最大值为 .13. 某商业街的同侧有4块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若要求任意相邻两块 牌的底色不都为红色，则不同的配色方案有 种.14．若函数4,3,()log ,3a x x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩ （0a >且1a ≠），函数()()g x f x k =-.①若13a =，函数()g x 无零点，则实数k 的取值范围是 ； ②若()f x 有最小值，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. （本小题13分）已知等差数列{}n a 的公差d 为1，且134,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列52n a n b n+=+，求数列{}n b 的前n 项和n S .分钟/天在ABC ∆sin cos C c A =． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若ABC S ∆2b c +=+a 的值．17. （本小题13分）随着“中华好诗词”节目的播出，掀起了全民诵读传统诗词经典的热潮.某社团为调查大学生对于“中华诗词”的喜好，从甲、乙两所大学各随机抽取了40名学生，记录他们每天学习“中华诗词”的时间，并整理得到如下频率分布直方图：图1：甲大学 图2：乙大学根据学生每天学习“中华诗词”的时间，可以将学生对于“中华诗词”的喜好程度分为三个等级 :(Ⅰ)从甲大学中随机选出一名学生，试估计其“爱好”中华诗词的概率；(Ⅱ)从两组“痴迷”的同学中随机选出2人，记ξ为选出的两人中甲大学的人数，求ξ的分布列和数学期望()E ξ；(Ⅲ)试判断选出的这两组学生每天学习“中华诗词”时间的平均值X 甲与X 乙的大小，及方差2S 甲与2S 乙的大小．(只需写出结论)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠ABC ＝60°，PAB ∆为正三角形，且侧面P AB ⊥底面ABCD ，E 为线段AB 的中点，M 在线段PD 上. （I ）当M 是线段PD 的中点时，求证：PB // 平面ACM ； （II ）求证：PE AC ⊥；（III ）是否存在点M ，使二面角M EC D --的大小为60°，若存在，求出PM PD的值；若不存在，请说明理由．19.（本小题14分）已知函数()ln(1)f x ax x =-+，a R ∈.（I ）当a = 2时，求曲线y =()f x 在点( 0，f (0) )处的切线方程； （II ）求函数()f x 在区间[0 , e -1]上的最小值.20.(本小题13分)已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推. 设该数列的前n 项和为n S ,规定：若m ∃∈*N ,使得2pm S =（p ∈N ），则称m 为该数列的“佳幂数”.（Ⅰ）将该数列的“佳幂数”从小到大排列，直接写出前3个“佳幂数”； （Ⅱ）试判断50是否为“佳幂数”，并说明理由； （III ）（i ）求满足m >70的最小的“佳幂数”m ;（ii ）证明：该数列的“佳幂数”有无数个.MPE DCBA昌平区2017－2018学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷(理科)参考答案一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分)二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分)9. 21 10. 22(1)1x y +-= 11. 212. 1- ; 2 13. 6 , 7 , 8 答对一个即可给满分 14. [1,1)- ；(1,3]三、解答题(共6小题，共80分) 15.（共13分）解：（Ⅰ）在等差数列{}n a 中，因为134,,a a a 成等比数列，所以 2314a a a =， 即 22111+2)3a d a a d =+（，解得2140a d d +=.因为1,d =所以14,a =-所以数列{}n a 的通项公式5n a n =-. ……………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知5n a n =-,所以522n a n n b n n +=+=+. 得123231(2222)(123)2(12)(1)=122(1)222n nn n n S b b b b n n n n n +=++++=+++++++++-++-+=+-……………13分16. （共13分）解：（Isin cos C c A =，所以cos 0A ≠，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==，sin sin cos A C C A ⋅=⋅． 又因为 (0,)C ∈π，sin 0C ≠，所以tan 3A =． 又因为 (0,)A ∈π， 所以 6A π=． …………… 6分 （II）由11sin 24ABCS bc A bc ∆===bc = 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 得2222cos6a b c bc π=+-，即222()2()12a b c bc b c =+-=+-，因为2b c +=+ 解得 24a =.因为 0a >，所以 2a =. ……………13分17. （共13分）解：(Ⅰ) 由图知，甲大学随机选取的40名学生中，“爱好”中华诗词的频率为(0.0300.0200.015)100.65++⨯=，所以从甲大学中随机选出一名学生，“爱好”中华诗词的概率为0.65. ………3分 (Ⅱ) 甲大学随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有400.005102⨯⨯=人， 乙大学随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有400.015106⨯⨯=人， 所以，随机变量ξ的取值为0,1,2=ξ. 所以，(0)==P ξ022628C C 1528C =，(1)==P ξ112628C C 123287C ==， (2)==P ξ202628C C 128C =. 所以ξ的分布列为ξ的数学期望为 15311()012287282=⨯+⨯+⨯=E ξ. ……………10分 (Ⅲ) X <甲X 乙;2s >2s . ……………13分18. （共14分）（I ）证明：连接BD 交AC 于H 点，连接MH ，因为四边形ABCD 是菱形，所以点H 为BD 的中点. 又因为M 为PD 的中点， 所以MH // BP .又因为 BP ⊄平面ACM , MH ⊂平面ACM . 所以 PB // 平面ACM . ……………4分（II ）证明：因为PAB ∆为正三角形，E 为AB 的中点，所以PE ⊥AB .因为平面P AB ⊥平面ABCD ，平面P AB ∩平面ABCD=AB ，PE ⊂平面P AB ， 所以PE ⊥平面ABCD .又因为AC ⊂平面ABCD ，所以PE AC ⊥. ……………8分(Ⅲ) 因为ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，E 是AB 的中点， 所以CE ⊥AB .又因为PE ⊥平面ABCD ，以E 为原点，分别以,,EB EC EP 为,,x y z 轴， 建立空间直角坐标系E xyz -， 则()0,0,0E ，()1,0,0B ，HMPEDBA(P，()0C，()D -． ………10分假设棱PD 上存在点M ，设点M 坐标为(),,x y z ，()01PM PD λλ=≤≤，则((,,x y z λ-=-，所以()2,)M λλ--，所以()2,)EM λλ=--，()EC =，设平面CEM 的法向量为(),,x y z =n ，则2)030EM x y z EC y λλ⎧⋅=-++-=⎪⎨⋅==⎪⎩n n ，解得02)y x z λλ=⎧⎪⎨=-⎪⎩． 令2z λ=，则)x λ=-，得)),0,2λλ=-n ．因为PE ⊥平面ABCD ，所以平面ABCD 的法向量()0,0,1=m ，所以cos |||⋅〈〉===⋅n m n,m n |m因为二面角M EC D --的大小为60°，12=， 即23210λλ+-=，解得13λ=，或1λ=-（舍去）所以在棱PD 上存在点M ，当13PM PD =时，二面角M EC D --的大小为60°． …………………14分19. （共14分）解：（I ）f (x )的定义域为(1,)-+∞. ……………1分因为1'()1f x a x =-+，a = 2， 所以'(0)211f =-=，(0)0f =.所以 函数f (x )在点(0,(0))f 处的切线方程是 y x =. ……………4分 （II ）由题意可得 1'()1f x a x =-+. （1）当0a ≤时，'()0f x <， 所以()f x 在(1,)-+∞上为减函数，所以在区间[0,e 1]-上，min ()(e 1)(e 1)1f x f a =-=--. ……………6分(2) 当0a >时, 令1'()01f x a x =-=+，则111x a=->-， ① 当110a-≤，即1a ≥时， 对于(0,e 1)x ∈-，'()0f x >，所以f (x )在(0,e 1)-上为增函数， 所以min ()(0)0f x f ==. ② 当11e 1,a -≥-，即10ea <≤时，对于(0,e 1)x ∈-，'()0f x <，所以f (x )在(0,e 1)-上为减函数， 所以min ()(e 1)(e 1)1f x f a =-=--. ③ 当101e 1,a<-<-即11ea <<时， 当x 变化时，()f x ，'()f x 的变化情况如下表：所以 min 111()(1)(1)ln 1ln f x f a a aa a a =-=--=-+. ………13分综上，当1e a ≤时，min ()(e 1)1f x a =--；当11ea <<时，min ()1ln f x a a =-+； 当1a ≥时，min ()0f x =. ……………14分1120. （共13分）（Ⅰ）1，2，3； ……………3分 （Ⅱ）由题意可得，数列如下：第1组:1，第2组:1,2；第3组：1,2,4；第k 组：11,2,42k -，，. 则该数列的前(1)122k k k ++++=项的和为: 11(1)21(12)(122)22k k k k S k -++=+++++++=--，① 当(1)502k k +≤时，9k ≤， 则 234101050451222221131220S S =+++++=-+=+，由于10101122202<+<，对p ∀∈N ，502p S ≠，故50不是“佳幂数”. ……………7分 （III ）（i ）在①中，要使(1)702+>k k ，有12≥k ， 此时+1+11111+2+4++2=21=11112k k k k k k C C k ++--=++++->+（1+1）， 所以2k +是第1k +组等比数列1,2,42k ，，的部分项的和，设1*212221,N .t t k t -+=+++=-∈所以2312=-≥t k ，则4≥t ，此时42313=-=k ，所以对应满足条件的最小“佳幂数”13144952m ⨯=+=. ……………11分 （ii ）由（i ）知：1*212221,N .t t k t -+=+++=-∈当2≥t ，且取任意整数时，可得“佳幂数”(1)2k k m t +=+， 所以，该数列的“佳幂数”有无数个. ……………13分。
2018-2019学年北京市昌平区高三(上)期末数学试卷(理科)
2018-2019学年北京市昌平区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．(★)若集合A={x|x 2+2x＜0}，B={x||x|＞1}，则A∩B=（）A．{x|-2＜x＜-1}B．{x|-1＜x＜0}C．{x|0＜x＜1}D．{x|1＜x＜2}2．(★)设x，y满足，那么2x-y的最大值为（）A．-3B．-1C．0D．13．(★)如图是一个算法流程图，则输出的k的值为（）A．2B．3C．4D．54．(★)设是单位向量，是非零向量，则“⊥”是“•（+ ）=1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．(★★)设P，Q分别为直线（t为参数）和曲线C：（θ为参数）上的点，则|PQ|的最小值为（）A．B．C．D．6．(★★★)数列{a n}是等差数列，{b n}是各项均为正数的等比数列，公比q＞1，且a 5=b 5，则（）A．a3+a7＞b4+b6B．a3+a7≥b4+b6C．a3+a7＜b4+b6D．a3+a7=b4+b67．(★)《九章算术》是我国古代数学著作，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及米几何？”其意思为：在屋内墙角处堆放米，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积及堆放的米各为多少？已知米堆所形成的几何体的三视图如图所示，一斛米的体积约为1.62立方尺，由此估算出堆放的米约有（）A．21斛B．34斛C．55斛D．63斛8．(★★★)设点F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，点P是椭圆C上任意一点，若使得成立的点恰好是4个，则实数m的值可以是（）A．B．3C．5D．8二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．(★)已知复数z满足（1-i）z=2i（i是虚数单位），则复数z的共轭复数= ．10．(★)已知点F为抛物线y 2=8x的焦点，则点F坐标为；若双曲线（a＞0）的一个焦点与点F重合，则该双曲线的渐近线方程是．11．(★★)已知展开式中x 5的系数为21，则实数a的值为．12．(★★)能说明“若点M（a，b）与点N（3，-1）在直线x+y-1=0的同侧，则a 2+b 2＞2”是假命题的一个点M的坐标为．13．(★★)已知函数f（x）=sinx若对任意的实数，都存在唯一的实数β∈（0，m），使f（α）+f（β）=0，则实数m的最大值是．14．(★★★)已知函数其中a＞0，且a≠1．（i）当a=2时，若f（x）＜f（2），则实数x的取值范围是；（ii）若存在实数m使得方程f（x）-m=0有两个实根，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．(★★)若△ABC的面积为，，且∠A为锐角．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求的值．16．(★★)如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，平面ADE⊥平面ABCD，．（Ⅰ）求证：AB∥EF；（Ⅱ）求直线BF与平面ADE所成角的正弦值；（Ⅲ）求平面BCF与平面ADE所成锐二面角的余弦值．17．(★★★)某汽车品牌为了了解客户对于其旗下的五种型号汽车的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如，表：满意率是指：某种型号汽车的回访客户中，满意人数与总人数的比值．假设客户是否满意互相独立，且每种型号汽车客户对于此型号汽车满意的概率与表格中该型号汽车的满意率相等．（Ⅰ）从所有的回访客户中随机抽取1人，求这个客户满意的概率；（Ⅱ）从I型号和V型号汽车的所有客户中各随机抽取1人，设其中满意的人数为ξ，求ξ的分布列和期望；（Ⅲ）用“η1=1”，“η2=1”，“η3=1”，“η4=1”，“η5=1”分别表示I，II，III，IV，V型号汽车让客户满意，“η1=0”，“η2=0”，“η3=0”，“η4=0”，“η5=0”分别表示I，II，III，IV，V型号η1η2，Dη3，Dη4，Dη5的大小关系．18．(★★★★)已知椭圆过点，离心率为．记椭圆C的右焦点为F，过点F且斜率为k的直线交椭圆于P，Q两点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M（x 0，0），求x 0的取值范围．19．(★★★★)已知函数f（x）=lnx-ax 2+2ax．（Ⅰ）若a=-1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）≤x恒成立，求实数a的取值范围．20．(★★★★)已知集合A={x|x=2n+1，n∈N*}，B={x|x=2 n-1，n∈N*}，C=A∪B．对于数列{a n}，a 1=1，且对于任意n≥2，n∈N*，有a n=min{x∈C|x＞a n-1}．记S n为数列{a n}的前n 项和．（Ⅰ）写出a 7，a 8的值；（Ⅱ）数列{a n}中，对于任意n∈N*，存在k n∈N*，使a =2 n-1，求数列{k n}的通项公式；（Ⅲ）数列{a n}中，对于任意n∈N*，存在k∈N *，有a k+1=2n+1．求使得S k+1＞27a k+1成立的k的最小值．。
昌平区高三期末(数学理)有答案
昌平区高三第一学期期末数学试卷理科）姓名：_________班级：________ 得分：________第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)1. 已知全集R U =,集合M={x| x<3},N = { x| x 2≤} 那么集合)(N C M U ⋂等于A. φB. {x| 2≤x 0<x<3}C. {x | 32<≤x }D. {x | 2<x<3} 2. 623sinπ等于 A. 23- B. 21- C. 21 D. 233. 已知向量a = (6, 2 ) ,向量b = (x ,3 ) ,且b a //, 则x 等于A.9B. 6C.5D.34. 函数)(x f 的定义域为（a,b ），导函数 )('x f 在（a ,b ）内的图像如图所示，则函数)(x f 在（a,b ）内有极小值点的个数为A 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个5. 设{n a } 是公差为正数的等差数列，若,80,15321321==++a a a a a a 则131211a a a ++等于 A.120 B. 105 C. 90 D.751322=+y x 上，6. 已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是. A.32 B.6 C. 34 D. 127．下图中的三个直角三角形是一个体积为40cm 3的几何体的三视图，则h 等于A.8B. 6h（单位：cm ）5 6正(主)视图俯视图侧（左）视图yb ao)('x f y =C. 4D. 28.已知满足条件122≤+y x 的点（x,y ）构成的平面区域面积为1S ，满足条件1][][22≤+y x 的点（x,y ）构成的平面区域的面积为2S ,其中][][y x 、分别表示不大于y x ,的最大整数，例如: [-0.4]=-1,[1.6]=1,则21S S 与的关系是A. 21S S <B. 21S S =C. 21S S >D. 321+=+πS S第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）9. 函数)1lg()(-=x x f 的定义域是______________10. 已知a 、b 、c 分别是ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边，若a=2, b=6, A+C=2B,则A=_____________11.已知点P(x,y)的坐标满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥82y x x y x ，点O 为坐标原点，那么|PO|的最大值等于____________.12.某程序框图如图所示，该程序运行后输出,M N 的值分别 为 ．13. 已知双曲线的渐近线方程为x y 2±=，且与椭圆1244922=+y x 有相同的焦点，则其焦点坐标为 _________, 双曲线的方程是____________.14.某资料室在计算机使用中，如下表所示，编码以一定规则排列，且从左至右以及从上到下都是无限的.1 1 1 1 1 1 …1 2 3 4 5 6… 1 3 5 7911 …1 4 7 10 13 16 … 1 5 913 17 21 …1611 16 21 26 …… … … … … … …此表中，数列1，3，7，13，21，…的通项公式为 ;编码51共出现 次.三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15. （本小题满分13分）设函数x x x x f 2cos cos sin )(+=． （1）求()f x 的最小正周期； （2）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的最大值和最小值．16. (本小题满分13分)甲、乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2、红桃3、红桃4、方块4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张。
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2017-2018学年北京市昌平区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x（x﹣3）＞0}，则A∩B=（）A．{x|x＜1或x＞3}B．{x|﹣2＜x＜1}C．{x|﹣2＜x＜0或x＞3}D．{x|﹣2＜x＜0}2．（5分）||=（）A．B．C．﹣1 D．13．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．43 B．55 C．61 D．814．（5分）设x，y满足，则z=2x+2y的最大值为（）A．B．2 C．4 D．165．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面中，面积的最小值为（）A．1 B．C．2 D．26．（5分）已知函数f（x）=e x+e﹣x，则函数f（x）（）A．是偶函数，且在（﹣∞，0）上是增函数B．是奇函数，且在（﹣∞，0）上是增函数C．是偶函数，且在（﹣∞，0）上是减函数D．是奇函数，且在（﹣∞，0）上是减函数7．（5分）设，则“cosx＜x2”是“cosx＜x”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）四个足球队进行单循环比赛（每两队比赛一场），每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局双方各得1分．比赛结束后发现没有足球队全胜，且四队得分各不相同，则所有比赛中可能出现的最少平局场数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为（结果用数值表示）．10．（5分）已知曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，那么曲线C的直角坐标方程为．11．（5分）已知直线l：4x+3y+5=0，点P是圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1上的点，那么点P到直线l的距离的最小值是．12．（5分）已知Rt△ABC，AB=AC=1，点E是AB边上的动点，则的值为；的最大值为．13．（5分）某商业街的同侧有4块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若要求任意相邻两块牌的底色不都为红色，则不同的配色方案有种．14．（5分）若函数f（x）=（a＞0且a≠1），函数g（x）=f（x）﹣k．①若a=，函数g（x）无零点，则实数k的取值范围为；②若f（x）有最小值，则实数a的取值范围是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（13分）已知等差数列{a n}的公差d为1，且a1，a3，a4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列b n=2+n，求数列{b n}的前n项和S n．16．（13分）在△ABC中，．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若，，求a的值．17．（13分）随着“中华好诗词”节目的播出，掀起了全民诵读传统诗词经典的热潮．某社团为调查大学生对于“中华诗词”的喜好，从甲、乙两所大学各随机抽取了40名学生，记录他们每天学习“中华诗词”的时间，并整理得到如下频率分布直方图：根据学生每天学习“中华诗词”的时间，可以将学生对于“中华诗词”的喜好程度分为三个等级：（Ⅰ）从甲大学中随机选出一名学生，试估计其“爱好”中华诗词的概率；（Ⅱ）从两组“痴迷”的同学中随机选出2人，记ξ为选出的两人中甲大学的人数，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）；（Ⅲ）试判断选出的这两组学生每天学习“中华诗词”时间的平均值与的大小，及方差S2甲与S2乙的大小．（只需写出结论）18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，△PAB为正三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD，E为线段AB的中点，M在线段PD 上．（I）当M是线段PD的中点时，求证：PB∥平面ACM；（II）求证：PE⊥AC；（III）是否存在点M，使二面角M﹣EC﹣D的大小为60°，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．19．（14分）已知函数f（x）=ax﹣ln（x+1），a∈R．（I）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（0，f （0））处的切线方程；（II）求函数f（x）在区间[0，e﹣1]上的最小值．20．（13分）已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．设该数列的前n项和为S n，规定：若∃m∈N*，使得（p∈N），则称m为该数列的“佳幂数”．（Ⅰ）将该数列的“佳幂数”从小到大排列，直接写出前3个“佳幂数”；（Ⅱ）试判断50是否为“佳幂数”，并说明理由；（III）（i）求满足m＞70的最小的“佳幂数”m；（ii）证明：该数列的“佳幂数”有无数个．2017-2018学年北京市昌平区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x（x﹣3）＞0}，则A∩B=（）A．{x|x＜1或x＞3}B．{x|﹣2＜x＜1}C．{x|﹣2＜x＜0或x＞3}D．{x|﹣2＜x＜0}【解答】解：∵集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x（x﹣3）＞0}={x|x＜0或x＞3}，∴A∩B={x|﹣2＜x＜0}．故选：D．2．（5分）||=（）A．B．C．﹣1 D．1【解答】解：||=||=|1﹣i|=．故选：B．3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．43 B．55 C．61 D．81【解答】解：当n=24时，满足进行循环的条件，S=25，n=18；当n=18时，满足进行循环的条件，S=43，n=12；当n=12时，满足进行循环的条件，S=55，n=6；当n=6时，满足进行循环的条件，S=61，n=0；当n=0时，不满足进行循环的条件，故输出的S值为61，故选：C．4．（5分）设x，y满足，则z=2x+2y的最大值为（）A．B．2 C．4 D．16【解答】解：作出x，y满足，表示的平面区域：其中A（0，1），设F（x，y）=x+2y，将直线l：0=x+2y进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，可得当l经点A时，目标函数z达到最大值，=F（0，1）=2．∴F（x，y）最大值z=2x+2y的最大值为：4．故选：C．5．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面中，面积的最小值为（）A．1 B．C．2 D．2【解答】解：根据三视图可知几何体是一个四棱锥，底面是一个直角梯形，AD⊥AB、AD∥BC，AD=AB=2、BC=1，PA⊥底面ABCD，且PA=2，==2，∴S△PADS△PAB==2，=，S△PCD===2，∴该四棱锥的四个侧面中，面积的最小值为．故选：B．6．（5分）已知函数f（x）=e x+e﹣x，则函数f（x）（）A．是偶函数，且在（﹣∞，0）上是增函数B．是奇函数，且在（﹣∞，0）上是增函数C．是偶函数，且在（﹣∞，0）上是减函数D．是奇函数，且在（﹣∞，0）上是减函数【解答】解：函数的定义域是R，关于原点对称，f（﹣x）=e﹣x+e x=f（x），故函数f（x）是偶函数，x＜0时，f′（x）=e x﹣e﹣x＜0，故f（x）在（﹣∞，0）递减，故选：C．7．（5分）设，则“cosx＜x2”是“cosx＜x”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由x2=x得x=0或x=1，作出函数y=cosx和y=x2和y=x的图象如图，则由图象可知当cosx＜x2时，x B＜x＜，当cosx＜x时，x A＜x＜，∵x A＜x B，∴“cosx＜x2”是“cosx＜x”的充分不必要条件，故选：A．8．（5分）四个足球队进行单循环比赛（每两队比赛一场），每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局双方各得1分．比赛结束后发现没有足球队全胜，且四队得分各不相同，则所有比赛中可能出现的最少平局场数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：四支足球队进行单循环比赛（每两队比赛一场），共比赛6场；每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局双方各得1分；即每场比赛若不平局，则共产生3×6=18分，每场比赛都平局，则共产生2×6=12分；比赛结束后发现没有足球队全胜，且四队得分各不相同，则各队得分分别为：2，3，4，5；或3，4，5，6．如果是3，4，5，6，则每场产生=3分，没有平局产生，但是不可能产生4，5分，与题意矛盾，舍去；因此各队得分分别为：2，3，4，5．第一名得分5：5=3+1+1，为一胜两平；第二名得分4：4=3+1+0，为一胜一平一负；第三名得分3：根据胜场等于负场，只能为三平；第四名得分2：2=1+1+0，为两平一负．则所有比赛中可能出现的最少平局场数是1．故选：B．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为21（结果用数值表示）．【解答】解：二项式（1+x）7展开式的通项公式为T r+1=•x r，令r=2，得展开式中x2的系数为=21．故答案为：21．10．（5分）已知曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，那么曲线C的直角坐标方程为x2+（y﹣1）2=1．【解答】解：曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，整理得：ρ2=2ρsinθ，转化为：x2+（y﹣1）2=1．故答案为：x2+（y﹣1）2=1．11．（5分）已知直线l：4x+3y+5=0，点P是圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1上的点，那么点P到直线l的距离的最小值是2．【解答】解：直线l：4x+3y+5=0，点P是圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1上的点，圆心（1，2）到直线l：4x+3y+5=0的距离d==3，∵圆半径r=1，∴点P到直线l的距离的最小值为：3﹣1=2．故答案为：2．12．（5分）已知Rt△ABC，AB=AC=1，点E是AB边上的动点，则的值为﹣1；的最大值为2．【解答】解：以A点为原点，以AB为x轴，以AC为y轴，建立如图所示的坐标系，∵Rt△ABC，AB=AC=1，∴A（0，0），B（1，0），C（0，1），∵点E是AB边上的动点，∴不妨设E的坐标为（x，0），0≤x≤1，∴=（x，﹣1），=（0，1），=（1，﹣1），∴=﹣1，=x+1≤1+1=2，故答案为：﹣1；2．13．（5分）某商业街的同侧有4块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若要求任意相邻两块牌的底色不都为红色，则不同的配色方案有8种．【解答】解：根据题意，底色为红色的最多有2块，则分3种情况讨论：①，4块广告牌中全部选蓝色为底色，有1种情况，②，4块广告牌中有1块底色选红色，其他选蓝色，有C41=4种情况，③，4块广告牌中有2块底色选红色，2块底色选蓝色，先排好2块蓝色的，排好后有3个空位，在3个空位中任选2个，安排红色的，有C32=3种情况，则相邻两块牌的底色不都为红色的排法有1+4+3=8种；故答案为：8．14．（5分）若函数f（x）=（a＞0且a≠1），函数g（x）=f（x）﹣k．①若a=，函数g（x）无零点，则实数k的取值范围为[﹣1，1）；②若f（x）有最小值，则实数a的取值范围是（1，3] ．【解答】解：①a=时，画出函数f（x）的图象，如图所示：，若函数g（x）无零点，则y=k和y=f（x）无交点，结合图象，﹣1≤k＜1；②若0＜a＜1，显然f（x）无最小值，故a＞1，结合log a3=1，解得：a=3，故a∈（1，3]；故答案为：[﹣1，1），（1，3]．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（13分）已知等差数列{a n}的公差d为1，且a1，a3，a4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列b n=2+n，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）在等差数列{a n}中，因为a1，a3，a4成等比数，所以，即，解得．因为d=1，所以数列{a n}的通项公式a n=n﹣5．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：a n=n﹣5，所以b n=2+n=2n+n，得S n=（2+22+…+2n）+（1+2+…+n）=+=2n+1﹣2+．16．（13分）在△ABC中，．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若，，求a的值．【解答】解：（I）因为，所以cosA≠0，由正弦定理：==，得．又因为C∈（0，π），sinC≠0，所以．又因为A∈（0，π），所以．（II）由，得，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，得，即，因为，解得a2=4．因为a＞0，17．（13分）随着“中华好诗词”节目的播出，掀起了全民诵读传统诗词经典的热潮．某社团为调查大学生对于“中华诗词”的喜好，从甲、乙两所大学各随机抽取了40名学生，记录他们每天学习“中华诗词”的时间，并整理得到如下频率分布直方图：根据学生每天学习“中华诗词”的时间，可以将学生对于“中华诗词”的喜好程度分为三个等级：（Ⅰ）从甲大学中随机选出一名学生，试估计其“爱好”中华诗词的概率；（Ⅱ）从两组“痴迷”的同学中随机选出2人，记ξ为选出的两人中甲大学的人数，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）；（Ⅲ）试判断选出的这两组学生每天学习“中华诗词”时间的平均值与的大小，及方差S2甲与S2乙的大小．（只需写出结论）【解答】（共13分）解：（Ⅰ）由图知，甲大学随机选取的40名学生中，“爱好”中华诗词的频率为（0.030+0.020+0.015）×10=0.65，所以从甲大学中随机选出一名学生，“爱好”中华诗词的概率为0.65．…（3分）（Ⅱ）甲大学随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有40×0.005×10=2人，乙大学随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有40×0.015×10=6人，所以，随机变量ξ的取值为ξ=0，1，2．所以P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==．所以ξ的分布列为：∴ξ的数学期望为E（ξ=0）==．…（10分）（Ⅲ），S2甲＞S2乙．…（13分）18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，△PAB为正三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD，E为线段AB的中点，M在线段PD 上．（I）当M是线段PD的中点时，求证：PB∥平面ACM；（II）求证：PE⊥AC；（III）是否存在点M，使二面角M﹣EC﹣D的大小为60°，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【解答】（共14分）证明：（I）连接BD交AC于H点，连接MH，因为四边形ABCD是菱形，所以点H为BD的中点．又因为M为PD的中点，所以MH∥BP．又因为BP⊄平面ACM，MH⊂平面ACM．所以PB∥平面ACM．…（4分）（II）因为△PAB为正三角形，E为AB的中点，所以PE⊥AB．因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PE⊂平面PAB，所以PE⊥平面ABCD．又因为AC⊂平面ABCD，所以PE⊥AC．…（8分）解：（Ⅲ）因为ABCD是菱形，∠ABC=60°，E是AB的中点，所以CE⊥AB．又因为PE⊥平面ABCD，以E为原点，分别以EB，EC，EP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系E﹣xyz，则E（0，0，0），B（1，0，0），，，．…（10分）假设棱PD上存在点M，设点M坐标为（x，y，z），，则，所以，所以，，设平面CEM的法向量为n=（x，y，z），则，解得．令z=2λ，则，得．因为PE⊥平面ABCD，所以平面ABCD的法向量m=（0，0，1），所以===．因为二面角M﹣EC﹣D的大小为60°，所以，即3λ2+2λ﹣1=0，解得，或λ=﹣1（舍去）所以在棱PD上存在点M，当时，二面角M﹣EC﹣D的大小为60°．…（14分）19．（14分）已知函数f（x）=ax﹣ln（x+1），a∈R．（I）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（0，f （0））处的切线方程；（II）求函数f（x）在区间[0，e﹣1]上的最小值．【解答】解：（I）f （x）的定义域为（﹣1，+∞），因为f′（x）=a﹣，a=2，所以f′（0）=2﹣1=1，f（0）=0．所以函数f （x）在点（0，f（0））处的切线方程是y=x．（II）由题意可得：f′（x）=a﹣，（1）当a≤0时，f′（x）＜0，所以f（x）在（﹣1，+∞）上为减函数，所以在区间[0，e﹣1]上，f（x）min=f（e﹣1）=a（e﹣1）﹣1．（2）当a＞0时，令f′（x）=a﹣=0，则x=﹣1＞﹣1，①当﹣1≤0，即a≥1时，对于x∈（0，e﹣1），f′（x）＞0，所以f （x）在（0，e﹣1）上为增函数，所以f（x）min=f（0）=0．②当，即时，对于x∈（0，e﹣1），f′（x）＜0，所以f （x）在（0，e﹣1）上为减函数，所以f（x）min=f（e﹣1）=a（e﹣1）﹣1．③当，即时，当x变化时，f（x），f′（x）的变化情况如下表：﹣1所以f（x）min=f（﹣1）=a （﹣1）﹣ln=1﹣a+lna，综上，当时，f（x）min=a（e﹣1）﹣1；当时，f（x）min=1﹣a+lna；当a≥1时，f（x）min=0．20．（13分）已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．设该数列的前n项和为S n，规定：若∃m∈N*，使得（p∈N），则称m为该数列的“佳幂数”．（Ⅰ）将该数列的“佳幂数”从小到大排列，直接写出前3个“佳幂数”；（Ⅱ）试判断50是否为“佳幂数”，并说明理由；（III）（i）求满足m＞70的最小的“佳幂数”m；（ii）证明：该数列的“佳幂数”有无数个．【解答】解：（Ⅰ）由前3个数为1，1，2，则S1=20=1，S2=21=1+1=2，S3=22=1+1+2=4，故前3个“佳幂数为，1，2，3；（Ⅱ）由题意可得，数列如下：第1组：1，第2组：1，2；第3组：1，2，4；…第k组：1，2，4，…，2k﹣1．则该数列的前项的和为：，①当时，k≤9，则，由于210＜210+20＜211，对∀p∈N，，故50不是“佳幂数”．（III）（i）在①中，要使，有k≥12，此时，所以k+2是第k+1组等比数列1，2，4，…，2k的部分项的和，设k+2=1+2+…+2t﹣1=2t﹣1，t∈N*．所以k=2t﹣3≥12，则t≥4，此时k=24﹣3=13，所以对应满足条件的最小“佳幂数”．（ii）由（i）知：k+2=1+2+…+2t﹣1=2t﹣1，t∈N*．当t≥2，且取任意整数时，可得“佳幂数”，所以，该数列的“佳幂数”有无数个．。