全等三角形经典动态几何问题]p1
全等三角形中的动点问题
全等三角形中的动态问题解决动点问题的常见思路：1、注意分类讨论；2、仔细探究全等三角形对应边与对应角的变化；3、利用速度×时间表示处相应线段或边的长度，列出方程求解。
例1如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB=8，AC=4，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以2厘米/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E离开点A后，运动多少秒时，△DEB与△BCA全等。
例2已知，如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6，延长BC到点E，使CE=2，连接DE，动点P 从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC—CD—DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为何值时，△ABP与△DCE全等。
练习：1、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=7厘米，BC=3厘米，CD为AB边上的高，点E从点B出发沿直线BC以2厘米/秒的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F。
（1）证明：∠A=∠BCD；（2）当点E运动多长时间时，CF=AB。
请说明理由。
2、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为A（0，m），B（n，0），且｜m−n−3｜+2n−6=0，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P的运动时间为t秒。
（1）求OA、OB的长；（2）连接PB，设△POB的面积为S，用含t的式子表示S；（3）过点P作直线AB的垂线，垂足为D，直线PD与x轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使△EOP≌△AOB？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由。
例3如图，点C在线段BD上，AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，∠ACE=90°，且AC=5cm，CE=6cm，点P以2cm/s的速度沿A—C—E向终点E运动，同时点Q以3cm/s的速度从E开始在线段EC上往返运动，当点P到达终点时，P、Q同时停止运动。
全等三角形中的动态性问题
全等三角形中的动态性问题动态性几何问题是中考数学题型中的热点题型，这类试题常以运动的点、线段、变化的图形等为基本条件，给出一个或多个变量，要求确定变量与其它量之间的关系，或变量在一定条件为定值时，进行相关的几何计算和综合解答。
解答这类题目，一般要根据点的运动和图形的变化过程，对其不同情况进行分类求解，要始终把握住“动静结合找界点、分类讨论细演算” 。
一、图形的全等图形经过“轴对称”、“平移”、“旋转” 后，位置发生了变化，但形状和大小不变，变换后的图形和变换前的图形能完全重合，这样的两个图形就全等。
1、全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等。
2、全等三角形的判定：SSS , SAS , ASA , AAS , HL 。
二、试题探究例题1、已知:AB⊥BD, ED⊥BD, AC=CE, BC=DE。
例题1图（1）（1）试猜想线段AC与CE的位置关系，并证明你的结论.结论：AC⊥CE （证明略）（2）若将△ECD沿CB方向平移，其余条件不变, 结论：AC⊥C1E 还成立吗?请说明理由。
例题1图（2）结论：AC⊥C1E （证明略）例题2、已知:AB⊥BD, ED⊥BD, AC=CE, BC=DE。
（1）线段BD、AB、DE之间有怎样的数量关系，并说明理由。
例题2图（1）结论：BD=AB+DE （证明略）（2）若将两个三角形绕点C 旋转到如图所示的位置，则线段BD、AB、DE之间数量关系还成立吗？并说明理由。
例题2图（2）结论：BD = AB - ED （证明略）总结：图形变换，全等不变；遇到变式，先找不变。
三、典型例题例题3、如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ 。
（1）如图a，求证：△BCP≌△DCQ；（2）如图，延长BP交直线DQ于点E，如图b，求证：BE⊥DQ 。
例题3图（a）例题3图（b）证明：略。
例题4、已知,如图1,E、F为线段AC上的两个动点,且DE⊥AC于E点,BF ⊥AC于F点,若AB=CD,AF=CE,BD交AC于M点；（1）求证：MB=MD，ME=MF；（2）当E、F两点移至如图2所示的位置时，其它条件不变，上述结论能否成立？若成立，请说明你的理由。
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全等三角形中的动态几何问题
动态几何题，是指以几何知识和几何图形为背景，渗透运动变化观点的一类试题；而通过对几何图形运动变化，使同学们经历由观察、想象、推理等发现、探索的过程，是中考数学试题中，考查创新意识、创新能力的重要题型；解决这类问题，要善于探索图形的运动特点和规律，抓住变化中图形的性质与特征，化动为静，以静制动．本文以中考试题中的全等三角形动态几何题为例，谈谈这类问题的解题思路，供同学们学习时参考．
例1．（扬州）在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．
（1）当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD＋BE ；
（2）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE=AD －BE ；
（3）当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
C B E D
图1 N M A B C D E M N 图2 A C
B E D N M 图3
例2 （锦州）如图A，△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接AF和BE．
（1）线段AF和BE有怎样的大小关系?请证明你的结论；
（2）将图A中的△CEF绕点C旋转一定的角度，得到图B，（1）中的结论还成立吗?作出判断并说明理由；
（3）若将图A中的△ABC绕点C旋转一定的角度，请你画山一个变换后的图形C（草图即可），（1）中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由；
（4）根据以上证明、说理、画图，归纳你的发现．。
全等三角形提高之动态几何探究题学生版有答案
如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。
——高斯全等三角形提高之动态几何探究题一、三垂直模型，一线三等角1．（1）如图（1），已知：在△ABC中，△BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD△直线m, CE△直线m,垂足分别为点D、E.证明:DE=BD+CE.（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上,并且有△BDA=△AEC=△BAC=α,其中α为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合）,点F为△BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE,若△BDA=△AEC=△BAC，试判断△DEF的形状.2．（1）探索发现：如图1，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，过点A作AD⊥l，过点B作BE⊥l，垂足分别为D、E．求证：AD＝CE，CD＝BE．（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点M的坐标为（1，3），求点N 的坐标．（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线y＝﹣3x+3与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线PQ绕P点沿逆时针方向旋转45°后，所得的直线交x轴于点R．求点R的坐标．3．已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点D是直线BC上的一动点（点D不与B△C重合），连接CE,△1△在图1中，当点D在边BC上时，求证：BC=CE+CD△△2△在图2中，当点D在边BC的延长线上时，结论BC=CE+CD是否还成立？若不成立，请猜想BC△CE△CD之间存在的数量关系，并说明理由；△3△在图3中，当点D在边BC的反向延长线上时，补全图形，不需写证明过程，直接写出BC△CE△CD 之间存在的数量关系．二、半角模型4．△1）如图1，点E△F分别在正方形ABCD的边BC△CD上，△EAF=45°，求证：EF=BE+FD;△2）如图2，四边形ABCD中，△BAD≠90°△AB=AD△△B+△D=180°，点E△F分别在边BC△CD上，则当△EAF与△BAD满足什么关系时，仍有EF=BE+FD，说明理由．△3）如图3，四边形ABCD中，△BAD≠90°△AB=AD△AC平分△BCD△AE△BC于E△AF△CD交CD延长线于F△若BC=8△CD=3，则CE=.（不需证明）三、手拉手模型5．在△ABC中，AB=AC，点D是射线CB上的一个动点（不与点B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC=90°时，那么∠DCE=______度．（2）设∠BAC=α，∠DCE=β．①如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；②如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请将图3补充完整，并直接写出此时α与β之间的数量关系（不需证明）．6．已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F，（1）如图1，若∠ACD=60゜，则∠AFB=；（2）如图2，若∠ACD=α，则∠AFB=（用含α的式子表示）；（3）将图2中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），如图3．试探究∠AFB与α的数量关系，并予以证明．7．图1、图2中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形.(1) 如图1，线段AN与线段BM是否相等？证明你的结论；(2) 如图2△AN与MC交于点E△BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论.图1 图28．（问题探索）如图1，在Rt△ABC中，△ACB=90°△AC=BC，点D△E分别在AC△BC边上，DC=EC，连接DE△AE△BD，点M△N△P分别是AE△BD△AB的中点，连接PM△PN△MN．探索BE与MN 的数量关系．聪明的小华推理发现PM与PN的关系为__________________________________,最后推理得到BE与MN的数量关系为__________________________.（深入探究）将△DEC绕点C逆时针旋转到如图2的位置，判断（1）中的BE与MN的数量关系是否仍然成立，如果成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（解决问题）若CB=8△CE=2，在将图1中的△DEC绕点C逆时针旋转一周的过程中，当B△E△D 三点在一条直线上时，求MN的长度．四、角平分线模型9．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题.探究1：如图l，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90︒+12∠A,理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线∴∠1=12∠ABC, ∠2=12∠ACB∴∠l+∠2=12(∠ABC+∠ACB)=12(180︒-∠A)= 90︒-12∠A∴∠BOC=180︒-(∠1+∠2) =180︒-(90︒-12∠A)=90︒+12∠A(1)探究2；如图2中，O是12∠ABC与外角12∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．(2)探究3：如图3中, O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A 有怎样的关系？（直接写出结论）(3)拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC 与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论）10．已知，直线AB∥DC，点P为平面上一点，连接AP与CP．（1）如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP=60°，∠DCP=20°时，求∠APC度数．（2）如图2，点P在直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3，点P落在CD外，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∠AKC与∠APC有何数量关系？并说明理由．。
全等三角形动点问题典型题目
全等三角形动点问题解析全等三角形动点问题是数学中的一个常见题型，主要涉及到全等三角形的特性和动点的运动规律。
在这类问题中，我们需要根据给定的条件，寻找满足条件的动点位置。
本文将对该问题的一般解法进行详细解析。
题目背景我们先来看一个典型的全等三角形动点问题的例子。
例题：已知一直角三角形ABC，其中∠ABC=90°,AC=5。
D为BC的中点，以D为圆心作一条半径为AD的圆交于E点，连接CE。
若点P在AC上，且满足∠BPC=∠CPA，求满足上述条件的点P的位置。
解题思路要解决这个问题，我们可以采用以下步骤：步骤1：根据题目给出的条件，通过画图并标记已知条件，包括所给的角度、边长、中点等。
在这个例子中，我们可以画出直角三角形ABC，并在BC边上标记中点D。
然后以点D为圆心，将半径调整为AD，并在圆上标记点E。
步骤2：观察题目中所问的点P在AC上，并满足∠BPC=∠CPA，即点P满足圆上的某个性质。
由于已知点C和点E在圆上，我们可以利用圆的性质来解决这个问题。
步骤3：观察点P在三角形ABC中的位置，我们可以发现点P处在直角三角形ABC所在的圆外。
我们进一步观察可以发现，点P与点C的连线延长后与圆交于C的另外一个点Q。
因此，我们可以将问题转化为求点Q的位置。
步骤4：通过观察几何图形，我们可以发现点Q与点E在直角三角形ABC上具有相同的高。
根据全等三角形的性质，我们可以断言，在两个全等三角形中，所有对应的边和角都是相等的。
因此，我们可以得出∠CQD=∠EPD，进一步得出∠BPC=∠QDC。
步骤5：根据步骤4的结论，我们可以在图上得出∠BPC与∠QDC的关系。
通过分析可得，在圆上任意一点M与半径所形成的角，等于角所对应的圆心角的一∠CQD，根据已知条件∠BPC=∠QDC，我们可以得出半。
因此，我们有∠QDC=12∠CQD。
∠BPC=12步骤6：通过步骤5的推导，我们将问题转化为求点CQD的位置。
通过观察我们可以发现，点Q与点D相连并延长后，与直角三角形ABC所在的圆交于另外一个点R。
专题05 难点探究专题：全等三角形中的动态问题(解析版)
专题05 难点探究专题：全等三角形中的动态问题考点一 利用全等三角形中的动点求时间问题（利用分类讨论思想）考点二 利用全等三角形中的动点求线段长问题考点三 利用全等三角形中的动点求线段长最小值问题考点四 利用全等三角形中的动点综合问题考点一 利用全等三角形中的动点求时间问题（利用分类讨论思想）例题：（2021·山东临沂·八年级期中）如图，CA AB ⊥，垂足为点A ，射线BM AB ⊥，垂足为点B ，12cm AB =，6cm AC =．动点E 从A 点出发以3cm /s 的速度沿射线AN 运动，动点D 在射线BM 上，随着 E 点运动而运动，始终保持ED CB =．若点E 的运动时间为(0)t t >，则当 t =________ 个秒时，DEB 与BCA 全等．【答案】2或6或8【解析】【分析】分两种情况：①当E 在线段AB 上时，②当E 在BN 上，再分别分成两种情况AC =BE ，AB =BE 进行计算即可．【详解】解：①当E 在线段AB 上，AC =BE 时，ACB BED ≅AC =6，∴ BE =6，∴ AE =12-6=6，∴ 点 E 的运动时间为632÷= (秒)．②当E 在BN 上，AC =BE 时，ACB BED ≅AC =6，∴ BE =6，∴ AE =12+6=18．∴ 点 E 的运动时间为6318=÷ (秒)．③当E 在BN 上，AB =BE 时，ACB BDE ≅∴ AE =12+12=24.∴点E 的运动时间为8324=÷ (秒)④当E 在线段AB 上，AB =BE 时，ACB BDE ≅这时E 在A 点未动，因此时间为0秒不符合题意． 故答案为：2或6或8．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【变式训练】1．（2021·全国·七年级专题练习）已知：如图，在长方形ABCD 中，6,10AB AD ==延长BC 到点E ，使4CE =，连接DE ，动点F 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC CD DA --向终点A 运动，设点F 的运动时间为t 秒，当t 的值为_______时，ABF 和DCE 全等．【答案】2或11【解析】【分析】分两种情况讨论，根据题意得出BF =2t =4和AF =26-2t =4即可求得答案．【详解】解：∵DCE 为直角三角形，且AB =DC ，∵当ABF ∵DCE 时，有BF =2t =CE =4，解得：t =2；当BAF △∵DCE 时，有AF =CE =4，此时2=10610-2t=26-2t AF BC CD DA t =++-++=4，解得：11t =，故答案为：2或11．【点睛】本题考查全等三角形的判定，注意到DCE为直角三角形，且AB=DC，故只有BF=2t=4和AF=26-2t=4两种情况．2．（2019·江苏·镇江实验学校八年级阶段练习）已知正方形ABCD中，AB=BC=CD=DA=8cm，∵A=∵B=∵C=∵D=90°．动点P以每秒2cm的速度从点B出发沿线段BC方向运动，动点Q同时以每秒8cm的速度从B点出发沿正方形的边BA-AD-DC-CB方向顺时针作折线运动，当点P与点Q相遇时停止运动，设点P的运动时间为t．连接P A，当t的值为___________________秒时，P AB和QAD全等．【答案】0.8秒或83．【解析】【分析】分点Q在AB，AD，DC，BC边上这几种情况进行讨论，根据全等三角形的性质得出对应边相等，进而列出方程求得t的值．【详解】解：①当点Q在边AB上时，如图1，∵AB＝AD，∵ABP＝∵DAQ＝90°，要使P AB和QAD全等，只能是P AB∵QDA，∵BP＝AQ，∵AQ＝8－8t，BP＝2t，∵8－8t＝2t，∵t＝0.8，②当点Q在边AD时，不能构成QAD，③当点Q在边CD上时，如图2，同①的方法得，要使P AB和QAD全等，只能是P AB∵QAD，∵BP＝DQ，∵2t＝8t－16，∵t＝83，④当点Q在边BC时，QAD不是直角三角形，而P AB是直角三角形，所以，不能全等；即：当P AB和QAD全等时，t的值为0.8或83，故答案为：0.8或83．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是分类讨论，用方程的思想解决问题．考点二利用全等三角形中的动点求线段长问题例题：（2019·江苏·宜兴市周铁中学八年级阶段练习）已知：如图，∵B=90°AB∵DF，AB=3cm，BD=8cm，点C 是线段BD上一动点，点E是直线DF上一动点，且始终保持AC∵CE，若AC=CE ,则DE的长为______.【答案】5【解析】【分析】根据全等得出对应边相等，即可得出答案.【详解】解：∵∵B=90°，AB∵DF，∵∵D=∵B=90°，∵AC∵CE，∵∵ACE=90°，∵∵ECD +∵CED =90°，∵ACB +∵ECD =90°，∵∵ACB =∵CED ；∴在∵ABC 和∵CDE 中ACB CED B DAC CE ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝ ∵∵ABC ∵∵CDE （AAS ），∵AB =CD =3cm ，∵DE =BC =8cm -3cm =5cm故答案为5.【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．【变式训练】1．（2020·江苏·泰州中学附属初中八年级阶段练习）如图，△ABC 中，点D 在边BC 上，DE ∵AB 于E ，DH ∵AC 于H ，且满足DE =DH ，F 为AE 的中点，G 为直线AC 上一动点，满足DG ＝DF ，若AE =4cm ，则AG = _____cm ．【答案】2或6.【解析】【详解】∵DE ∵AB ，DH ∵AC ，∵∵AED =∵AHE =90°.在△ADE 和△ADH 中，∵AD =AD ,DE =DH , ∵∵ADE ∵∵ADH (HL ),∵AH =AE =4cm .∵F 为AE 的中点，∵AF =EF =2cm .在△FDE 和△GDH 中，∵DF =DG ,DE =DH , ∵∵FDE ∵∵GDH (HL ),∵GH =EF =2cm .当点G 在线段AH 上时，AG =AH -GH =4-2=2cm ;当点G 在线段HC 上时，AG =AH +GH =4+2=6cm ;故AG 的长为2或6.2．（2022·全国·八年级课时练习）如图，AO∵OM，OA=7，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB，AB 为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，则PB的长度____________．【答案】7 2【解析】【分析】根据题意过点E作EN∵BM，垂足为点N，首先证明∵ABO∵∵BEN，得到BO=ME；进而证明∵BPF∵∵MPE并分析即可得出答案．【详解】解：如图，过点E作EN∵BM，垂足为点N，∵∵AOB=∵ABE=∵BNE=90°，∵∵ABO+∵BAO=∵ABO+∵NBE=90°，∵∵BAO=∵NBE，∵∵ABE、∵BFO均为等腰直角三角形，∵AB=BE，BF=BO；在∵ABO与∵BEN中，BAO NBE AOB BNE AB BE ∠⎪∠⎧⎩∠⎪∠⎨＝＝＝，∵∵ABO ∵∵BEN （AAS ），∵BO =NE ，BN =AO ；∵BO =BF ，∵BF =NE ，在∵BPF 与∵NPE 中，FBP ENP FPB EPN BF NE ∠⎪∠⎧⎩∠⎪∠⎨＝＝＝，∵∵BPF ∵∵NPE （AAS ），∵BP =NP =12BN ，BN =AO ， ∵BP = 12AO = 12×7=72． 故答案为：72． 【点睛】本题考查三角形内角和定理以及全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形并灵活运用有关定理进行分析．考点三 利用全等三角形中的动点求线段长最小值问题例题：（2021·重庆八中八年级开学考试）如图，在Rt ∵ABC 中，∵ACB =90°，AC =6，BC =8，AB =10，AD 平分∵CAB 交BC 于D 点，E ，F 分别是AD ，AC 上的动点，则CE +EF 的最小值为________．【答案】245【解析】【分析】 在AB 上取点F ′，使AF ′=AF ，过点C 作CH ∵AB ，垂足为H ．因为EF +CE =EF ′+EC ，推出当C 、E 、F ′共线，且点F ′与H 重合时，FE +EC 的值最小．【详解】解：如图所示：在AB 上取点F ′，使AF ′=AF ，过点C 作CH ∵AB ，垂足为H ．∵AD 平分∵CAB ，∵∵CAD =∵BAD ，又AE =AE ，∵∵AEF ∵∵AE F ′（SAS ），∵FE =E F ′，∵S △ABC =12AB •CH =12AC •BC ， ∵CH =•245AC BC AB =， ∵EF +CE =EF ′+EC ，∵当C 、E 、F ′共线，且点F ′与H 重合时，FE +EC 的值最小，最小值为245， 故答案为：245． 【点睛】本题主要考查的是勾股定理的应用、垂线段最短等知识，解题的关键是正确的作出辅助线，明确当C 、E 、F ′共线，且点F ′与点H 重合时，CE +EF 的值最小．【变式训练】1．（2021·全国·八年级专题练习）如图，在线段AB 两侧作ABC 和ABD △，使AC AB =，ABC ABD ∠=∠，E 为BC 边上一点，满足2EAD BAC ∠=∠，P 为直线AE 上的动点，连接BP 、DP ．已知3AB =， 2.6AD =，BDE 的周长为3.6，则BP DP +的最小值为______．【答案】2.8【解析】 【分析】在BC上取CD′=BD，连接AD′，证明∵ACD′∵∵ABD，得到AD′=AD，∵CAD′=∵BAD，从而证明∵AED′∵∵AED，得到D′E=DE，∵AED′=∵AED，过A作AF∵BC，AF与BC交于点F，从而推断出BP+DP=BP+D′P最小值为P 点与E点重合时，BP与D′P共线，BP+D′P=BD′，利用勾股定理求出BD′的长度即可．【详解】解：在BC上取CD′=BD，连接AD′，∵AC=AB，∵∵C=∵ABC，∵∵ABC=∵ABD，∵∵C=∵ABD，又CD′=BD，AC=AB，∵∵ACD′∵∵ABD（SAS），∵AD′=AD，∵CAD′=∵BAD，∵∵DAD′=∵BAC，∵2∵EAD=∵BAC=∵DAD′，∵∵D′AE=∵DAE，又AD′=AD，AE=AE，∵∵AED′∵∵AED（SAS），∵D′E=DE，∵AED′=∵AED，∵D′在直线BD上，过A作AF∵BC，AF与BC交于点F，∵CD′=BD，D′E=DE，∵CD′+D′E+EB=BC=BD+DE+BE=3.6，∵P为AE上的动点，故BP+DP=BP+D′P最小值为P点与E点重合时，BP与D′P共线，BP+D′P=BD′，∵∵ABC中，AB=AC=3，BC=3.6，AF∵BC，AD′=AD=2.6，∵F为BC中点，即CF=BF=12BC=12×3.6=1.8，∵AF 2.4==，∵D′F1，∵BD′=BF+D′F=1.8+1=2.8，∵BP+DP的最小值为2.8，故答案为：2.8．【点睛】本题考查了最短路径问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键正确作出辅助线，利用全等三角形的性质得到相等线段．2．（2019·湖北·武汉大学附属外语学校八年级阶段练习）∵ABC是边长为2的等边三角形，点P为直线BC 上的动点，把线段AP绕A点逆时针旋转60°至AE，O为AB边上一动点，则OE的最小值为____．【解析】【分析】根据题意连接EC，作CH∵AB于H，首先证明CE∵AB，再求出平行线之间的距离即可解决问题．【详解】解：如图，连接EC，作CH∵AB于H．∵∵ABC是等边三角形，∵∵BAC=∵ABC=∵ACB=60°，AB=AC，∵∵P AE=∵BAC=60°，∵∵P AB=∵EAC，∵P A=EQ，BA=CA，∵∵P AB∵∵EAC(SAS)，∵∵ABP=∵ACE，∵∵ABP=180°﹣60°=120°，∵∵ACE=120°，∵∵BCE=120°﹣60°=60°，∵∵ABC=∵BCE，∵CE ∵AB ，∵点E 的运动轨迹是直线CE (CE ∵AB )，∵CB =CA =AB =2，CH ∵AB ，∵BH =AH =1，∵CH=根据垂线段最短，可知OE 的最小值=CH =【点睛】本题考查旋转变换和等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质和垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．考点四 利用全等三角形中的动点综合问题例题：（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）如图，在ABC 中，90,BAC AB AC ∠=︒=．点D 是直线BC 上一动点（点D 不与点B ，C 重合），90,DAE AD AE ∠=︒=，连接CE ．(1)如图1，当点D 在线段BC 上时，直接写出,BC CD 与CE 之间的数量关系；(2)如图2，当点D 在边BC 的延长线上时，请探究线段,BC CD 与CE 之间存在怎样的数量关系？并说明理由；(3)如图3，若点D 在边CB 的延长线上，且点A ，E 分别在直线的两侧，其他条件不变，若10,6CD BC ==，直接写出CE 的长度．【答案】(1)CE +CD =BC ，证明见解析(2)CE =BC +CD ，证明见解析(3)CE =4【解析】【分析】（1）根据条件AB =AC ，∵BAC =90°，AD =AE ，∵DAE =90°，判定∵ABD ∵∵ACE （SAS ），即可得出BD 和CE 之间的关系，根据全等三角形的性质，即可得到CE +CD =BC ；（2）根据已知条件，判定∵ABD ∵∵ACE （SAS ），得出BD =CE ，再根据BD =BC +CD ，即可得到CE =BC +CD ；（3）根据条件判定∵ABD ∵∵ACE （SAS ），得出BD =CE ，即可解决问题．(1)解：如图1，∵∵BAC =∵DAE =90°，∵∵BAD =∵CAE ，在∵ABD 和∵ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，∵∵ABD ∵∵ACE （SAS ），∵BD =CE ，∵BC =BD +CD =CE +CD ，(2)线段BC ，CD 与CE 之间存在的数量关系为BC =CE -CD ．理由：如图2中，由（1）同理可得，∵∵BAC =∵DAE =90°，∵∵BAC +∵CAD =∵DAE +∵CAD ， 即∵BAD =∵CAE ，∵在∵ABD 和∵ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，∵∵ABD ∵∵ACE （SAS ），∵BD =CE ，∵BD =BC +CD ，即CE =BC +CD ．(3)如图3，由（1）同理可得， ∵∵BAC =∵DAE =90°，∵∵BAC -∵BAE =∵DAE -∵BAE ， 即∵BAD =∵EAC ，同理，∵ABD ∵∵ACE （SAS ），∵BD =CE ，∵CD =10，BC =6，∵DB =DC -BC =4，∵CE =4．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质．解决问题的关键是掌握：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．解题时注意：全等三角形的对应边相等．【变式训练】1．（2021·河南商丘·八年级期中）如图1，ABC 中，50A ∠=︒，AB AC =，点D 、E 别在边AB 、AC 上，且DE //BC ．(1)求证：BD CE =；(2)围绕A 点旋转ADE ，使其一边AD 落在线段AC 上（如图2所示），连接CE 、BD 并延长相交于M 点．试求BMC ∠的度数．【答案】(1)证明见解析部分．(2)50°．【解析】【分析】（1）利用平行线的性质以及等腰三角形的性质证明∵ADE ＝∵AED ，推出AD ＝AE 即可解决问题．（2）证明△BAD∵∵CAE（SAS），推出∵ABD＝∵ACE，可得∵BAD＝∵CMD＝50°．(1)证明：如图1中，∵AB＝AC，∵∵B＝∵C，∵DE∵BC，∵∵ADE＝∵B，∵AED＝∵C，∵∵ADE＝∵AED，∵AD＝AE，∵AB﹣AD＝AC﹣AE，即BD＝EC．(2)解：如图2中，∵AB＝AC，∵BAD＝∵CAE，AD＝AE，∵∵BAD∵∵CAE（SAS），∵∵ABD＝∵ACE，∵∵ADB＝∵CDM，∵∵BMC＝∵BAD＝50°．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．2．（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）如图①，点C在线段AB上（点C不与A，B重合），分别以AC，BC 为边在AB同侧作等边∵ACD和等边∵BCE，连接AE，BD交于点P．(1)观察猜想：1.AE与BD的数量关系为______；2.∵APD的度数为______；(2)数学思考：如图②，当点C在线段AB外时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．【答案】(1)①AE＝BD；②60°(2)上述结论成立．∵APD＝60°，证明见解析【解析】【分析】（1）根据已知条件只要证明∵DCB∵∵ACE，即可证明出AE于BD的数量关系，以及∵APD的角度；（2）根据∵ACD，∵BCE均为等边三角形，可知＝AC，BC＝EC，∵DCA＝∵BCE＝60°，进而可知∵DCA＋∵ACB ＝∵ACB＋∵BCE，即∵DCB＝∵ACE，从而可证∵DCB∵∵ACE（SAS），则DB＝AE，∵CDB＝∵CAE，根据∵DCA ＝∵DP A＝60°可证∵APD＝60°．(1)解：∵∵ACD和∵CBE都是等边三角形，∵AC=DC，CE=CB，∵ACD=∵ECB=60°，∵∵ACE=∵ACD+∵DCE，∵DCB=∵DCE＋∵ECB，∵∵DCB=∵ACE，∵∵DCB∵∵ACE，∵AE=BD，∵BDC=∵CAE，又∵∵DOP=∵COA，∵∵APD=∵ACD=60°，故答案是：AE=BD，60°；(2)上述结论成立，∵∵ACD，∵BCE均为等边三角形，∵DC＝AC，BC＝EC，∵DCA＝∵BCE＝60°，∵∵DCA＋∵ACB＝∵ACB＋∵BCE，即∵DCB＝∵ACE，在∵DCB和∵ACE中，DC ACDCB ACE CB CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵∵DCB∵∵ACE（SAS），∵DB＝AE，∵CDB＝∵CAE，如图，设BD与AC交于点O，易知∵DOC＝∵AOP（对顶角相等），∵∵CDB＋∵DCA＝∵CAE＋∵DP A，∵∵DCA＝∵DP A＝60°，即∵APD＝60°．【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，能够熟练掌握全等三角形的性质与判定是解决本题的关键．一、选择题1．（2020·广西百色·八年级期末）如图，在长方形ABCD中，4AB=，6AD=，延长BC到点E，使2CE=．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC CD DA--方向向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当ABP△和DCE全等时，t的值是（）A．1B．1或3C．1或7D．3或7【答案】C【分析】分两种情况进行讨论，根据题意得出22BP t==和1622AP t=-=即可求得．【详解】解：因为AB CD=，若90ABP DCE∠=∠=︒，2BP CE==，根据SAS证得ABP DCE∆≅∆，由题意得：22BP t ==，所以1t =，因为AB CD =，若90BAP DCE ∠=∠=︒，2AP CE ==，根据SAS 证得BAP DCE ∆≅∆，由题意得：1622AP t =-=，解得7t =．所以，当t 的值为1或7秒时．ABP ∆和DCE ∆全等．故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握判定方法有：ASA ，SAS ，AAS ，SSS ，HL ．2．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在锐角∵ABC 中，∵BAC =45°，点B 到AC 的距离为2，∵BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是（ ）A ．1B ．1.5C ．2D ．3【答案】C【分析】在AC 上截取AE =AN ，连接BE ，由AD 平分∵CAB ，可得∵EAM =∵NAM ，然后根据SAS 可证∵AEM ∵∵ANM ，可得MN =ME ,然后根据BM +MN =BM +ME ≥BE ，可得当BE ∵AC ，即BE 是点B 到AC 的距离时，BM +MN 的值最小，从而求得答案.【详解】解：如图，在AC 上截取AE =AN ，连接BE ，∵AD 平分∵CAB ，∵∵EAM =∵NAM ，在∵AEM 和∵ANM 中， ∵AE AN EAM NAM AM AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵∵AEM ∵∵ANM (SAS )，∵MN =ME ，∵BM +MN =BM +ME ≥BE ，【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、点到直线的距离，通过构造全等【答案】261⊥AD BC∴BG A//∴∠=GBAAB BG=∴∆≅∆ABF∴=GE BFBF CE CE CG∴+，∴当G、三点共线时，AB AC=BC=12在Rt BCG∆故答案为：【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，通过构造三角形全等，将所求【答案】2.5或1在Rt∵ABC中，AB＝10，AC＝6，∵O是AB 的中点，∵OA＝OB，在∵OAP和∵OBQ中，A OBQOA OBAOP BOQ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∵∵OAP∵∵OBQ（ASA），∵P A＝BQ＝6﹣1＝5，OQ＝OP，∵OM∵PQ，∵MQ＝MP，∵52+x2＝12+（8﹣x）2，解得x＝2.5．当点P在AC的延长线上时，同法可得72+x2＝12+（8﹣x）2，解得x＝1，综上所述，满足条件的BM的值为2.5或1．故答案为：2.5或1．【点睛】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．5．（2022·江苏·八年级单元测试）如图, 在ABC中, 90,8cm,10cmACB AC BC∠===．点C在直线l 上, 动点P从A点出发沿A C→的路径向终点C运动; 动点Q从B点出发沿B C A→→路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒1cm和2cm的运动速度同时开始运动, 其中一点到达终点时另一点也停止运动, 分别过点P和Q作PM⊥直线l于,M QN⊥直线l于N．当点P运动时间为___________秒时, PMC与QNC全等．【答案】2或6##6或2【分析】对点P和点Q是否重合进行分类讨论，通过证明全等即可得到结果；【详解】解：如图1所示：PMC ∆与QNC ∆全等，PC QC ，8102t t ∴-=-，解得∵2t =；如图2所示：点P 与点Q 重合，PMC 与QNC ∆全等，8210t t ∴-=-，解得∵6t =；故答案为∵1或6．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确分析计算是解题的关键．三、解答题6．（2022·江西吉安·七年级期末）如图，在长方形ABCD 中，6cm,8cm AB BC ==，动点P 从点B 出发，沿BC 方向以2cm /s 的速度向点C 匀速运动：同时动点Q 从点C 出发，沿CD 方向以2cm /s 的速度向点D 匀速运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．设运动时()()0t s t <<3．解答下列问题：(1)当点C 在线段PQ 的垂直平分线上时，求t 的值；(2)是否存在某一时刻t ，使AP PQ ⊥?若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由：【答案】(1)2(2)存在某一时刻t ，使AP PQ ⊥，t =1．【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得PC CQ =，列出方程可求解；（2）证出ABP PCQ ASA ≌（），由全等三角形的性质可得AB PC =，列出方程可求t 的值．（1）解：由题意得，2BP CQ t ==，∵82PC BC BP t =-=-，若点C 在线段PQ 的垂直平分线上，∵PC CQ =，即822t t -=，∵2t =；（2）解：存在某一时刻t ，使AP PQ ⊥．∵AP PQ ⊥，90B C ∠=∠=︒，∵90PQC QPC ∠+∠=︒，∵90∠+∠=︒APB QPC ，∵APB PQC ∠=∠．又∵BP CQ =，∵ABP PCQ ASA ≌（），∵AB CP =，∵826t -=，∵1t =．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，一元一次方程的应用，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．7．（2021·江苏南通·八年级期中）如图，在∵ABC 中，AB ＝AC ，∵BAC ＝90°，点D 是边BC 上的动点，连接AD ，点C 关于直线AD 的对称点为点E ，射线BE 与射线AD 交于点F ．（1）在图中，依题意补全图形，并求证：∵ABF =∵AEB ；（2）记∵DAC ＝α（α＜45°），求∵AFB 的大小；（3）若AB =BD ，猜想BE 和AD 的数量关系，并证明．【答案】（1）补全图见解析，证明见解析；（2）∵AFB＝45°；（3）AD＝BE，证明见解析【分析】（1）根据垂直平分线的性质求解即可；（2）根据三角形内角和定理计算即可；（3）连接DE，CE，AE，根据题意求得∵CAF＝22．5°，再证明∵BED∵∵ADC（ASA），即可得解；【详解】解：（1）补完图并小结如图所示；连接CE，AE，由题意可知，∵点C关于直线AD的对称点为点E，AF垂直平分CE，∵AC＝AE，∵AB＝AC，∵AB＝AE，∵∵ABF＝∵AEB；（2）如图，由题意可知，∵EAF＝∵CAD＝α，∵∵BAE＝90°﹣2α，在∵ABE中，∵BAE+∵ABF+∵AEB＝180°，∵∵ABF＝∵AEB＝45°+α，∵∵AEB＝∵EAF+∵AFB，∵EAF＝α，∵∵AFB＝45°；（3）结论：AD＝BE；证明：如备用图，连接DE，CE，AE，在∵ABC中，AB＝AC，∵ACB＝∵ABC＝45°，在∵ABD中，AB＝BD，∵BAD＝∵BDA＝67．5°，∵∵CAF＝22．5°，由（2）可知，∵ABE＝∵ABC+∵CBF＝45°+α，∵ABC＝45°，∵∵CBF＝α＝22．5°，∵∵CAF=∵CBF，∵点C关于直线AD的对称点为点E，∵ED＝DC，【点睛】本题主要考查了几何综合变换，结合全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理证明是解题的(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，∵ACP∵BPQ是否全等？PC与PQ是否垂直？请分Rt ABC C 中，出发，沿折线CA -(1)点P 在CA 上运动的过程中，当CP =______时，CPD △与CBD 的面积相等；（直接写出答案）是等腰三角形，求∠CD 所在直线上存在另一动点______．（直接写出答案）与CBD 的面积相等时，证∵PCD 45°，分两种情况：=∵PCD =45∵CPD =∵与CBD 的面积相等，理由如下：45=︒， 在PCD 和△CP CB PCD CD CD =∠=∠=与CBD 的面积相等．）得：PCD ∠分两种情况：AC 上，如图若PC PD =，则45PDC PCD ∠=∠=︒，存在DP DC =，'∥，则MP AC八年级）如图，在ABC中，（1）求线段AO的长；∵AD是高，∵CQ＝OP，∵CQ＝OP，。
专题03全等三角形中的动态问题（解析版）
专题03全等三角形中的动态问题（解析版）专题03全等三角形中的动态问题
初中数学中，动点问题是学习的重、难点，在三角形、矩形等一些几何图形上，设计一个或多个动点，探究全等三角形存在性问题，该类题目具有较强的综合性。
解决动点问题常见的答题思路是：
1. 注意分类讨论；
2. 仔细探究全等三角形对应边与对应角的变化；
3. 利用时间表示出相应线段或边的长度，列出方程求解.
【典例解析】
【例1－1】（2020·周口市月考）如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB=8，AC=4，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以2厘米/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E 点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E离开点A后，运动______ 秒时，△DEB与△BCA全等．
【答案】0，2，6，8.
【解析】解：①当E在线段AB上，AC=BE时，△ACB≌△BED，∵AC=4，
∴BE=4，
∴AE=8?4=4，
∴点E的运动时间为4÷2=2(秒)；
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全等三角形中动点问题例题精讲
毅杰教育个性化辅导授课案教师: 学生: 日期: 星期: 时段:3、如图，将边长为1的等边△OAP按图示方式，沿x轴正方向连续翻转2011次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…，P2007的位置．试写出P1，P3，P50，P2011的坐标．4、如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且始终保持AD=CE．连接DE、DF、EF．（1）求证：△ADF≌△CEF（2）试证明△DFE是等腰直角三角形5、如图，在等边ABC∆的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1各单位的速度油A向B和由C向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D,E处，请问（1）在爬行过程中，CD和BE始终相等吗？（2）若蜗牛沿着AB和CA的延长线爬行，EB与CD交于点Q，其他条件不变，如图（2）所示，蜗牛爬行过程中CQECQE∠60=∠的大小条件不变，求证：︒（3）如果将原题中“由C 向A 爬行”改为“沿着BC 的延长线爬行，连接DE 交AC 于F ”，其他条件不变，则爬行过程中，DF 始终等于EF 是否正确 6、如图1，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，M ，N 分别EB ，CD 的中点，易证：CD=BE ，△AMN 是等边三角形．（1）当把△ADE 绕A 点旋转到图2的位置时，CD=BE 是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（2）当△ADE 绕A 点旋转到图3的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB =2AD 时，△ADE 与△ABC 及△AMN 的面积之比；若不是，请说明理由．图1 图2 图3毅杰教育教务处。
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1．（扬州）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，
BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD＋BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD－BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？
请写出这个等量关系，并加以证明．
2
（锦州）如图A，△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，
连接AF和BE．
（1）线段AF和BE有怎样的大小关系?请证明你的结论；
（2）将图A中的△CEF绕点C旋转一定的角度，得到图B，（1）中的结论还成立吗?作
出判断并说明理由；
（3）若将图A中的△ABC绕点C旋转一定的角度，请你画山一个变换后的图形C（草图
即可），（1）中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由；
（4）根据以上证明、说理、画图，归纳你的发现．
3.如图（1）△ABC为等边三角形，动点D在边CA上，动点P边BC上，若这两点分别
从C、B点同时出发，以相同的速度由C向A和由B向C运动，连接AP，BD交于点Q，
两点运动过程中AP=BD成立吗？请证明你的结论；
（2）如果把原题中“动点D在边CA上，动点P边BC上，”改为“动点D，P在射线CA
和射线BC上运动”，其他条
件不变，如图（2）所示，两点运动过程中∠BQP的大小保持不变．请你利用图（2）
的情形，求证：∠BQP=60°；
（3）如果把原题中“动点P在边BC上”改为“动点P在AB的延长线上运动，连接PD交
BC于E”，其他
条件不变，如图（3），则动点D，P在运动过程中，DE始终等于PE吗？写出证明
过程．
C
B
A
E
D
图1
N
M
A
B
C
D
E
M
N
图2
A
C
B
E
D
N
M
图3
4、如图，已知∠AOB=120°，OM平分∠AOB，将等边三角形的一个顶点P放在射线OM
上，两边分别与OA、OB（或其所在直线）交于点C、D．
（1）如图①，当三角形绕点P旋转到PC⊥OA时，证明：PC=PD．
（2）如图②，当三角形绕点P旋转到PC与OA不垂直时，线段PC和PD相等吗？请说
明理由．
（3）如图③，当三角形绕点P旋转到PC与OA所在直线相交的位置时，线段PC和PD
相等吗？直接写出你的结论，不需证明．
5.用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD.把一个含60°角的三角尺与这
个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合.将三角尺绕点
A按逆时针方向旋转.
（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，（如图13—1），通
过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；
（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图13—2），
你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由.
6.如图，A、B、C、D在同一直线上，AB＝CD，DE∥AF，且DE＝AF，求证：△AFC≌
△DEB．如果将BD沿着AD边的方向平行移动，如图，B点与C点重合时，如图，B点
在C点右侧时，其余条件不变，结论是否仍成立，如果成立，请予证明；如果不成立，请
说
明理由
7.如图(1)，已知AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝CD，BC＝DE，求证：AC⊥CE．若将CD沿
CB方向平移得到图(2)(3)(4)(5)的情形，其余条件不变，结论AC1⊥C2E还成立吗？请说明
理由．
8.在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、
BC边上运动，且始终保持AD=CE．连接DE、DF、EF．
（1）求证：△ADF≌△CEF
（2）试证明△DFE是等腰直角三角形
9.、如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，
△AMN是等边三角形．
（1）当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，
若不成立请说明理由；
（2）当△ADE绕A点旋转到图3的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给
出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理
由．
图1 图2 图3
10、如图，已知ABC△中，10ABAC厘米，8BC厘米，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA
上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD△与CQP△是否全等，
请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使
BPD△
与CQP△全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都
逆时针沿ABC△三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在ABC△的哪条边上相
遇？
11.在ABC△中，ABAC，点D是直线BC上一点（不与BC、重合），以AD为一边
在AD的右侧．．作ADE△，使ADAEDAEBAC，，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上，如果90BAC°，则BCE 度；
（2）设BAC，BCE．
①如图2，当点D在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点D在BC边的延长线上时有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
A
E
E
A
C
C
D D
B
B
图1 图2
A A
备用图 B C B C 备用图
A
Q
C
D
B
P
12、已知，点O为等边三角形ABC的内心，直线m过点O，过A、B、C三点分别作直线
m的垂线，垂足分别为点D、E、F．当直线m与BC平行时（如图1），易证：BE+CF=AD
图1：图2：图3：
13、将一副三角板中的两块三角板重合放置，其中45°和30°的两个角顶点重合在一起．
(1)如图1所示，边OA与OC重合，此时，AB∥CD，则∠BOD______；
(2)三角板△COD的位置保持不动，将三角板△AOD绕点O顺时针方向旋转，如图2，此时
OA∥CD ，求出∠BOD的大小；
(3)在图2中，若将三角板△AOB绕点O按顺时针方向继续旋转，在转回到图1的过程中，
还存在△AOB中的一边与CD平行的情况，请针对其中一种情况，画出图形，并直接写出∠
BOD的大小．