高中数学3.3复数与平行四边形家族素材3苏教版选修1-2

复数与平行四边形家族
菱形、矩形、正方形等特殊的平面几何图形与某些复数式之间存在某种联系及相互转化的途径．在求解复数问题时，若能善于观察条件中给定的或者是通过推理所得的复数形式的结构特征，往往能获得简捷明快的解决方法．下面列举几例，以供参考．
一、复数式与矩形的转化
例1 已知复数12z z ，
满足11z =
，21z =，且124z z -=，求
12z z 与12z z +的值．
解析：设复数12z z ，在复平面上对应的点为12Z Z ，
，由于2221)1)4+=，故22212
12z z z z +=-，故以1OZ ，2OZ 为邻边的平行四边形是矩形，从而12OZ OZ ⊥，
则1243z z ==±；12124z z z z +=-=． 二、复数式与正方形的转化
例2 已知复数12z z ，满足121z z ==
，且12z z -=
12z z +=． 证明：设复数12z z ，在复平面上对应的点为12Z Z ，，
由条件知1212z z -==，以1OZ ，2OZ 为邻边的平行四边形为正方形，而12z z +在复平面上对应的向量为正方形的一
条对角线，所以12z z +=．
点评：复数与向量的对应关系赋予了复数的几何意义，复数加、减法的几何意义的运用是本题考查的重点．
三、复数式与菱形的转化
例3 已知12z z ∈C ，，121z z ==
，12z z +=，求12z z -
解析：设复数1212z z z z +，，在复平面上对应的点为12Z Z Z ，，，由121z z ==知，以1OZ ，2OZ 为邻边的平行四边形是菱形，在1O Z Z △中，由余弦定理，得
2221
2121121cos 22
z z z z OZ Z z z +-+∠==-， ∴1120OZ Z ∠=，∴1260Z OZ ∠=，因此，12OZ Z △是正三角形， ∴12211z z Z Z -==．
点评：本题通过复数模的几何意义的应用来判断四边形的形状，并且应用到了余弦定理，
使得问题解决的很巧妙．
例4 求使22
22
z a z a -+（0a >）为纯虚数的充要条件． 解析：∵2222z a z a
-+是纯虚数，∴可设22
22(R 0)z a i z a λλλ-=∈≠+，．设复数22z a ，在复平面上对应的点为12Z Z ，，以12OZ OZ ，为邻边的平行四边形是菱形，∴22z a =， ∴z a =．考虑到z a =±时，22220z a z a
-=+；z ai =±时，无意义，故使22
22(0)z a a z a ->+为纯虚数的充要条件是z a =，且z a ≠±，z ai ≠±．
复数的加减法符合平行四边形法则，是复数与平行四边形家族联姻的前提．通过本文我们发现深入抓住复数加减法的几何意义的本质，可使我们求解复数问题的思路更加广阔，方法也更加灵活．
复数中的数形结合
因为复数()z a bi a b =+∈R ，与复平面上的点()Z a b ，是一一对应的，体现了数与形的对应，所以在复数中利用数形结合解某些问题不仅巧妙，而且也体现出一种数学之美． 知识点链接：设动点Z 、定点12Z Z ，分别表示复数12z z z ，，所对应的点，则
（1）1z z -表示点Z 到点1Z 的距离；
（2）1z z r -=表示以r 为半径，点1Z 为圆心的圆；
（3）12z z z z -=-表示线段12Z Z 的垂直平分线；
（4）122z z z z a -+-=，当122a Z Z =时，表示线段12Z Z ； 当122a Z Z >时，表示以点12Z Z ，为焦点，2a 为长轴长的椭圆． 上述几种曲线都可以结合（1）中的1z z -的几何含义来理解．比如，（3）中1z z -表示点Z 到点1Z 的距离，2z z -表示点Z 到点2Z 的距离，即点Z 到点1Z 的距离与到点2Z 的距离相等，所以，点Z 的轨迹是线段12Z Z 的垂直平分线．
下面举例说明数形结合的用法：
例1 若342z i ++≤，则z 的最大值为________．
解析：由342z i ++≤知，复数z 对应的轨迹是以2为半径，点1(34)Z --，为圆心的圆及其内部，所以z 的最大值为1527OZ r +=+=．
例2 如果复数z 满足2z i z i ++-=，那么1z i ++的最小值为（ ）
（A ）1 （B （C ）2 （D
解析：如右图，由2z i z i ++-=知，复数z 对应的点的轨迹是
线段AB ，其中(01)(01)A B -，
，，．
又1z i ++表示点(1
1)C --，到线段AB 上点的距离，故当z i =-时，min 11z i ++=． 例3 复数z 满足条件24z z i +=-，则z 的最小值为______． 解析：由24z z i +=-知，复数z 对应点的轨迹为线段AB 的垂直平分线，其中
(20)(04)A B -，，，，z 即原点到垂直平分线上的点的距离．故min z =
例4 复数z 满足22z i -=，则2z i +的取值范围是（ ） （A ）1522⎡⎤⎢⎥⎣⎦， （B ）3722⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，
（C ）1⎡⎢⎣⎦ （D ）2⎡⎢⎣
⎦ 解析：由22z i -=可得12
i z -=． 因此复数z 对应点Z 的轨迹是以102⎛
⎫ ⎪⎝⎭，，为圆心，1为半径的圆周，而2(2)z i z i +=--，
故点Z 到点(02)-，的距离的最小值为32，最大值为72
．
历史上，人们对虚数的认识与对负数、无理数的认识一样，经历了一个漫长的过程．
众所周知，在实数范围内负数偶次方根不存在．公元1545年，意大利人卡尔丹（Ｃardan ）
讨论这样一个问题：把10分成两部分，使它们的积为40，他找到的答案是5和
5．即
(5(510+=，
(5515)40
=．
卡尔丹没有因为5有违前人负数不能开平方的原则而予以否定，笛卡儿给这个还
找不到合理解释的数起了个名字———“虚数”．由理论思维得出的数5能表示自然界中哪些量呢？从此“虚数”这个令人不解的怪物困扰数学界达几百年之久．即使在1730年棣莫弗得到公式(c o s s i n )c o s n i n i n θθθθ
±=±、1748年欧拉发现关系式cos sin ix e x i x =+的情况下，这种困扰仍没有澄清．
伴随着科学技术的发展，1831年德国人高斯创立了虚数的几何表示，它被理解为平面上的点或向量，即复数z a bi =+与平面直角坐标系内的点()Z a b ，和向量OZ 相互对应，从而与物理学上的各种矢量相沟通，使复数成为研究力、位移、速度、电场强度等量的强有力的工具．比如在电工学中，交流电的电动势、电流都可以用复数表示：
[c o s
()s i n (m t i t εεωϕωϕ=+++， [c o s ()s i n (
m i i t i t ωϕωϕ''''=+++， 由它们的模和辐角完全确定了电压和电流的变化规律．从此复数才被普遍接受．
高斯是历史上最伟大的数学家之一．他不仅以少年时代对“12349899100?+++++++=…”的巧妙算法倾倒众人，而且在他探索过的众多科学领域，都留有重要的贡献：
在数学领域，他发现了素数定理；发现并证明了数论中的二次互反律；首次严格证明了代数基本定理：一元n 次方程在复数集上恰有n 个根．他还解决了两千年来古希腊人的遗留问题，找到了用直尺和圆规作正17边形的方法……
在物理学领域，他定出地磁南、北极的位置；给出了第一张地磁场图；建立了电磁学的高斯单位制……
在天文学领域，高斯创立计算行星轨道的方法；算出小行星谷神星的轨道，发现小行星智神星的位置；发表有关天体运动的重要著作《天体运动理论》……。