第5章 回溯法
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第5章-回溯法-New剖析
第5章 回溯法
回溯法的基本思想
回溯法是带优化的穷举法。 回溯法的基本思想：在一棵含有问题全部可 能解的状态空间树上进行深度优先搜索，解为叶 子结点。搜索过程中，每到达一个结点时，则判 断该结点为根的子树是否含有问题的解，如果可 以确定该子树中不含有问题的解，则放弃对该子 树的搜索，退回到上层父结点，继续下一步深度 优先搜索过程。 在回溯法中，并不是先构造出整棵状态空间 树，再进行搜索，而是在搜索过程中逐步构造出 状态空间树，即边搜索，边构造。
}
遍历排列树需要O(n!)计算时间
第5章 回溯法
八皇后问题
是一个古老而著名的问题。该问题是十九 世纪著名的数学家高斯1850年提出。 在8X8格的国际象棋上摆放八个皇后，使 其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能 处于同一行、同一列或同一斜线上，问有 多少种摆法。 高斯认为有76种方案。1854年在柏林的 象棋杂志上不同的作者发表了40种不同的 解，后来有人用图论的方法解出92种结果。
第5章 回溯法
第5章 回溯法
引入问题
回溯是重要的算法之一 要求找到一组解，或要求找到一个满足某些限制 的最优解。 ->通过彻底的搜索方法来解决。
*彻底搜索的运算量很大，有时大到计算机承受 不了的程度。
*彻底的搜索，以进行大量的比较、舍弃、运算 时间为代价。因此，用穷举法解某些实际问题是不 现实的. ->使用回溯法可以大大减少实际的搜索。例如，迷 宫问题，八皇后问题，骑士周游世界问题。
第5章 回溯法
N皇后问题
[问题描述] 在Ｎ*Ｎ的棋盘上，放置Ｎ个皇后，要求每 一横行，每一列，每一对角线上均只能放置一个皇后， 求可能的方案及方案数。
问题的状态即棋盘的布局状态，状态空间树的根为空 棋盘，每个布局的下一步可能布局为该布局结点的子 结点；
2020-wfx-第5章 回溯法-概述
//产生一个可能的解分量
法 框
…
//其他操作
if (constraint(i) && bound(i))
backtrack(i+1); //满足约束条件和限界函数,继续下一层
ห้องสมุดไป่ตู้
架
}
}
}
（2）解空间为排列树
int x[n];
//x存放解向量，并初始化
void backtrack(int i)
//求解排列树的递归框架
{ if(i>n)
//搜索到叶子结点,输出一个可行解
输出结果;
else
{ for (j=i;j<=n;j++)
//用j枚举i所有可能的路径
{…
//第i层的结点选择x[j]的操作
swap(x[i],x[j]);
//为保证排列中每个元素不同,通过交换来实现
if (constraint(i) && bound(i))
3
{2,3,1}
1
{2,3,1}
2
{3,2,1}
1
{3,2,1}
1
{3,1,2}
2
{3,1,2}
回溯法的求解过程
在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先搜索的策略，从根结点 （开始结点）出发搜索解空间树。
首先根结点成为活结点，同时也成为当前的扩展结点。 在当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。如果在当前的扩 展结点处不能再向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。此时应往回 移动（回溯）至最近的一个活结点处，并使这个活结点成为当前的扩展结点。 递归地在解空间中搜索，直至找到所要求的解或解空间中已无活结点为止。
第5章 回溯法
14
（1）如果X=(x1, x2, …, xi＋1)是问题的最终解，则输出这个解。 如果问题只希望得到一个解，则结束搜索，否则继续搜索其 他解； （2）如果X=(x1, x2, …, xi＋1)是问题的部分解，则继续构造解 向量的下一个分量； （3）如果X=(x1, x2, …, xi＋1)既不是问题的部分解也不是问题 的最终解，则存在下面两种情况： ① 如果xi+1= ai＋1k不是集合Si＋1的最后一个元素，则令xi+1= ai＋ 1k＋1，即选择Si+1的下一个元素作为解向量X的第i+1个分量； ② 如果xi+1= ai＋1k是集合Si＋1的最后一个元素，就回溯到X=(x1, x2, …, xi)，选择Si的下一个元素作为解向量X的第i个分量，假 设xi= aik，如果aik不是集合Si的最后一个元素，则令xi= aik＋1； 否则，就继续回溯到X=(x1, x2, …, xi－1)； 15
2 3
4
3
4
1
3ห้องสมุดไป่ตู้
1
4
2
4
1
2
1
2
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3
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2
1
10 12 15 17 21 23 26 28 31 33 37 39 42 44 47 49 52 54 57 59 62 64 n=4的TSP问题的解空间树
8
解空间树的动态搜索（1）
回溯法从根结点出发，按照深度优先策略遍历 解空间树，搜索满足约束条件的解。 在搜索至树中任一结点时，先判断该结点对应 的部分解是否满足约束条件，或者是否超出目标函 数的界，也就是判断该结点是否包含问题的（最优） 解，如果肯定不包含，则跳过对以该结点为根的子 树的搜索，即所谓剪枝（ Pruning ）；否则，进入 以该结点为根的子树，继续按照深度优先策略搜索。
（1）如果X=(x1, x2, …, xi＋1)是问题的最终解，则输出这个解。 如果问题只希望得到一个解，则结束搜索，否则继续搜索其 他解； （2）如果X=(x1, x2, …, xi＋1)是问题的部分解，则继续构造解 向量的下一个分量； （3）如果X=(x1, x2, …, xi＋1)既不是问题的部分解也不是问题 的最终解，则存在下面两种情况： ① 如果xi+1= ai＋1k不是集合Si＋1的最后一个元素，则令xi+1= ai＋ 1k＋1，即选择Si+1的下一个元素作为解向量X的第i+1个分量； ② 如果xi+1= ai＋1k是集合Si＋1的最后一个元素，就回溯到X=(x1, x2, …, xi)，选择Si的下一个元素作为解向量X的第i个分量，假 设xi= aik，如果aik不是集合Si的最后一个元素，则令xi= aik＋1； 否则，就继续回溯到X=(x1, x2, …, xi－1)； 15
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解空间树的动态搜索（1）
回溯法从根结点出发，按照深度优先策略遍历 解空间树，搜索满足约束条件的解。 在搜索至树中任一结点时，先判断该结点对应 的部分解是否满足约束条件，或者是否超出目标函 数的界，也就是判断该结点是否包含问题的（最优） 解，如果肯定不包含，则跳过对以该结点为根的子 树的搜索，即所谓剪枝（ Pruning ）；否则，进入 以该结点为根的子树，继续按照深度优先策略搜索。
第五章 回溯法
• Cr=C=30，V=0
C为容量，Cr为剩余空间，V为价值。 • A为唯一活结点，也是当前扩展结点。
H D 1 0 I 1
1 B 0 E 1 0 J K
A
0 C 1 F 1 0 L M N 0 G 1 0 O
5.1 回溯法的算法框架
• n=3, C=30, w={16,15,15}, v={45,25,25}
理论上
寻找问题的解的一种可靠的方法是首先列出所有候选解，然后依次检查每一个， 在检查完所有或部分候选解后，即可找到所需要的解。
但是
当候选解数量有限并且通过检查所有或部分候选解能够得到所需解时，上述方
法是可行的。
若候选解的数量非常大（指数级，大数阶乘），即便采用最快的计算机也只能 解决规模很小的问题。
显约束
对分量xi的取值限定。
隐约束 为满足问题的解而对不同分量之间施加的约束。
5.1 回溯法的算法框架
解空间（Solution Space）
对于问题的一个实例，解向量满足显式约束条件的所有多元组，构成了该 实例的一个解空间。 注意：同一问题可有多种表示，有些表示更简单，所需状态空间更小（存储 量少，搜索方法简单）。
回溯法引言
以深度优先的方式系统地搜索问题的解的算法称为回溯法 使用场合
对于许多问题，当需要找出它的解的集合或者要求回答什么解是满足某些
约束条件的最佳解时，往往要使用回溯法。 这种方法适用于解一些组合数相当大的问题，具有“通用解题法”之称。 回溯法的基本做法 是搜索，或是一种组织得井井有条的，能避免不必要搜索的穷举式搜索法。
一个正在产生儿子的结点称为扩展结点
活结点（L-结点,Live Node）
一个自身已生成但其儿子还没有全部生成的节点称做活结点
第五章 回溯法1--基本概念--n后问题
1 6 4 3 20 4 3 30 5 A A 2 10 2 1
B
3 4
C
4 G G 3 M M 2 H H 4 N N
D D
4 26>25 2 I I 3 P P 2 J J
E
3
图1 四个顶点的带权图
F
4 L L 59
K
2 Q Q
O
60+6>59 25
第五章 回溯法
19+6=25 29+30>25
活结点 当前扩展结点 死结点 D B 1 A
0 1 F 0
K
45
1
0
E
C 0 G 0 1 N
25
死结点 1
1
H
0
I
1
J
0 O
0
4
L
50
M
25
图5-２ 在0-1背包问题的解空间树上搜索最优解
第五章 回溯法
例2：旅行售货员问题：某售货员要到若干城市推销商 品，已知各城市间的路程（或旅费）。他要选一条从 驻地出发，经过每个城市一遍，最后回到驻地的路线 使总的路程（总的旅费）最小。
第五章 回溯法 2
2. 解空间树
通常把解空间组织成解空间树。 例如：对于n=3时的0-1背包问题，其解空间用一 棵完全二叉树表示，如下图所示。
1
A
0
B
1 0 1
C
0
D 1 H
0 1
E
0
F
1 0 1
G
0
I
J
K
L
M
N
O
0-1背包问题的解空间树
第五章 回溯法
3
3. 搜索解空间树的过程
B
3 4
C
4 G G 3 M M 2 H H 4 N N
D D
4 26>25 2 I I 3 P P 2 J J
E
3
图1 四个顶点的带权图
F
4 L L 59
K
2 Q Q
O
60+6>59 25
第五章 回溯法
19+6=25 29+30>25
活结点 当前扩展结点 死结点 D B 1 A
0 1 F 0
K
45
1
0
E
C 0 G 0 1 N
25
死结点 1
1
H
0
I
1
J
0 O
0
4
L
50
M
25
图5-２ 在0-1背包问题的解空间树上搜索最优解
第五章 回溯法
例2：旅行售货员问题：某售货员要到若干城市推销商 品，已知各城市间的路程（或旅费）。他要选一条从 驻地出发，经过每个城市一遍，最后回到驻地的路线 使总的路程（总的旅费）最小。
第五章 回溯法 2
2. 解空间树
通常把解空间组织成解空间树。 例如：对于n=3时的0-1背包问题，其解空间用一 棵完全二叉树表示，如下图所示。
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A
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C
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D 1 H
0 1
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1 0 1
G
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J
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0-1背包问题的解空间树
第五章 回溯法
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3. 搜索解空间树的过程
第五部分 回溯法
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装载问题
• 有一批共n个集装箱要装上2艘载重量分别为c1和c2 n 的轮船，其中集装箱i个重量为wi,且 ∑ wi ≤ c1 + c2 • 装载问题要求确定，是否有一个合理的装载方案 可将这n个集装箱装上这2艘轮船。如果有，找出 n 2 一种装载方案。
– 例如，当n=3, c1=c2=50, 且w=[10,40,40]时，则可以将集 装箱1和2装到第一艘轮船上，而将集装箱3装到第二艘 轮船上；如果w=[20,40,40]，则无法将这3个集装箱都装 上轮船。
• 限界函数
– 例如，c=7, w=[3, 5, 2, 1], v=[9, 10, 7, 4] 。v/w=[3, 2, 3.5, 4]。以物品单位重量价值的递减序装入物品。装入物品 4、3、1后，只能装入0.2的物品2，由此得到一个解 Bound (i) x=[1, 0.2, 1, 1]，其相应的价值为22。尽管这个解不是一 //计算上界 个可行解，但其价值是最优值的一个上界，即对于该 cleft = c - cw // 剩余容量 问题，最优值不超过22。 bound = cp //以物品单位重量价值递减序装入物品 while i <= n and w[i] <= cleft O(n) cleft = cleft - w[i] bound = bound + p[i] i++ //装满背包 if i <= n bound = bound + p[i] / w[i] * cleft return bound
• • • •
活结点：自身已生成但其儿子结点还未全部生成的结点 扩展结点：当前正在处理的结点 死结点：所有儿子已经生成 叶结点：可行解 0-1背包：w=[16,15,15], v=[45,25,25], c=30
第5章 回溯法
◎四川师范大学 计算机科学学院 刘芳 27
算法设计与分析<<回溯法
小结
回溯法解题的特征
在深度优先搜索过程中动态产生问题的解空间。 几个术语
扩展结点:一个正在产生儿子的结点称为扩展结点 活结点:一个自身已生成但其儿子还没有全部生成的
结点称做活结点 死结点:一个所有儿子已经产生的结点称做死结点。
有限集, 设已有满足约束条件的部分解(x1, x2,… xi)添 加xi+1 si+1,
若(x1, x2,… xi xi+1)满足约束条件, 则继续添加xi+2 ； 若所有可能的xi+1 si+1均不满足约束条件,则去掉xi ,
回溯到(x1, x2,… xi-1), 添加尚未考虑过的xi；
回溯法 分支限界法
◎四川师范大学 计算机科学学院 刘芳 3
算法设计与分析<<回溯法
问题的解空间
问题的解向量：
问题的解可以表示成一个n元式(x1, x2,… xn)的形式。
问题的解空间
E={(x1, x2,… xn)| xi si , si为有限集 }称为问题的解空
间
约束条件
分析：
可能解由一个等长向量（x1, x2, …, xn）组成， 其中 如：
xi＝1(1≤i≤n)表示物品i装入背包 xi＝0(1≤i≤n)表示物品i没有装入背包 当n＝3时，其解空间是：
{ (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1) }
骤，而每一个步骤都有若干种可能的分支，为了完成 这一过程，又必须遵守一些规则，
算法设计与分析<<回溯法
小结
回溯法解题的特征
在深度优先搜索过程中动态产生问题的解空间。 几个术语
扩展结点:一个正在产生儿子的结点称为扩展结点 活结点:一个自身已生成但其儿子还没有全部生成的
结点称做活结点 死结点:一个所有儿子已经产生的结点称做死结点。
有限集, 设已有满足约束条件的部分解(x1, x2,… xi)添 加xi+1 si+1,
若(x1, x2,… xi xi+1)满足约束条件, 则继续添加xi+2 ； 若所有可能的xi+1 si+1均不满足约束条件,则去掉xi ,
回溯到(x1, x2,… xi-1), 添加尚未考虑过的xi；
回溯法 分支限界法
◎四川师范大学 计算机科学学院 刘芳 3
算法设计与分析<<回溯法
问题的解空间
问题的解向量：
问题的解可以表示成一个n元式(x1, x2,… xn)的形式。
问题的解空间
E={(x1, x2,… xn)| xi si , si为有限集 }称为问题的解空
间
约束条件
分析：
可能解由一个等长向量（x1, x2, …, xn）组成， 其中 如：
xi＝1(1≤i≤n)表示物品i装入背包 xi＝0(1≤i≤n)表示物品i没有装入背包 当n＝3时，其解空间是：
{ (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1) }
骤，而每一个步骤都有若干种可能的分支，为了完成 这一过程，又必须遵守一些规则，
05回溯法
第5章回溯法回溯法也称为试探法，该方法首先暂时放弃关于问题规模大小的限制，并将问题的候选解按某种顺序逐一枚举和检验。
当发现当前候选解不可能是解时，就选择下一个候选解；倘若当前候选解除了还不满足问题规模要求外，满足所有其他要求时，继续扩大当前候选解的规模，并继续试探。
如果当前候选解满足包括问题规模在内的所有要求时，该候选解就是问题的一个解。
在回溯法中，放弃当前候选解，寻找下一个候选解的过程称为回溯。
扩大当前候选解的规模，以继续试探的过程称为向前试探。
回溯法的基本思想：确定了解空间的组织结构后，回溯法就从开始结点（根结点）出发，以深度优先的方式搜索整个解空间。
这个开始结点就成为一个活结点，同时也成为当前的扩展结点。
在当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。
这个新结点就成为一个新的活结点，并成为当前扩展结点。
如果在当前的扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。
换句话说，这个结点不再是一个活结点。
此时，应往回移动（回溯）至最近的一个活结点处，并使这个活结点成为当前的扩展结点。
回溯法即·96· ACM 程序设计培训教程以这种工作方式递归地在解空间中搜索，直至找到所要求的解或解空间中已没有活结点时为止。
运用回溯法解题通常包含以下三个步骤： （1）针对所给问题，定义问题的解空间； （2）确定易于搜索的解空间结构；（3）以深度优先的方式搜索解空间，并且在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索；5.1〖案例1〗组合问题找出从自然数1、2、……、n 中任取r 个数的所有组合。
例如n=5，r=3的所有组合为：（1）1、2、3 （2）1、2、4 （3）1、2、5 （4）1、3、4 （5）1、3、5 （6）1、4、5 （7）2、3、4 （8）2、3、5 （9）2、4、5 （10）3、4、5则该问题的状态空间为：E={（x1，x2，x3）∣xi ∈S ，i=1，2，3}，其中：S={1，2，3，4，5} 约束集为：x1<x2<x3显然该约束集具有完备性。
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第5章
教学要求
回溯
了解回溯算法的概念与回溯设计要领 掌握应用回溯算法求解桥本分数式、素数环、 数码串珠以及情侣拍照等典型案例
本章重点
理解回溯法 “向前走，碰壁回头”的实现
5.1 回溯概述
1. 回溯的概念
(1) 回溯法（Back track method）有“通用解题法”之美 称，是一种比枚举“聪明”的效率更高的搜索技术。
4. 4皇后问题的回溯举例
如何在4×4的方格棋盘上放置4个皇后，使它们互不攻击:
4皇后问题回溯描述
i=1;a[i]=1; while
(1) { g=1;for(k=i-1;k>=1;k--) if(a[i]=a[k] || abs(a[i]-a[k])=i-k) g=0; // 检测约束条件,不满足则返回 if(g && i==4) printf(a[1：4]); // 输出一个解 if(i<4 && g) {i++;a[i]=1;continue;} while(a[i]==4 && i>1) i--; // 向前回溯 if(a[i]==4 && i==1) break; //退出循环结束探索 else a[i]=a[i]+1; }
（2） 回溯描述 对于一般含参量m,n的搜索问题,输入正整数n,m,(n≥m) i=1;a[i]=<元素初值>; while (1) {for(g=1,k=i-1;k>=1;k--) if( <约束条件1> ) g=0; // 检测约束条件,不满足则返回 if(g && <约束条件2>) printf(a[1：m]); // 输出解 if(i<n && g) {i++;a[i]=<取值点>;continue;} while(a[i]=<回溯点> && i>1) i--; // 向前回溯 if(a[i]==n && i==1) break; // 退出循环，结束 else a[i]=a[i]+1; }
(2) 回溯法是一种试探求解的方法：通过对问题的归纳分 析，找出求解问题的一个线索，沿着这一线索往前试 探，若试探成功，即得到解；若试探失败，就逐步往 回退，换其他路线再往前试探。 (3) 回溯法可以形象地概括为“向前走，碰壁回头”，若 再往前走不可能得到解，就回溯，退一步另找线路， 这样可省去大量的无效操作，提高搜索效率。
2. 回潮设计描述
i=1;a[1]=1;s=0; while
(1) {g=1;for(k=i-1;k>=1;k--) if(a[i]==a[k]) {g=0;break;} // 两数相同,标记g=0 if(i==9 && g==1 && a[1]<a[4]) { m1=a[2]*10+a[3];m2=a[5]*10+a[6];m3=a[8]*10+a[9]; if(a[1]*m2*m3+a[4]*m1*m3==a[7]*m1*m2) // 判断等式 {s++;printf(“(%2d) ”,s); } // 输出一个解 } if(i< 9 && g==1) {i++;a[i]=1;continue;} // 不到9个数继续 while(a[i]==9 && i>1) i--; // 往前回溯 if(a[i]==9 && i==1) break; else a[i]++; // 至第1个数为9结束 }
5.4 逐位整除数探索
5.4.1
高逐位整除数
案例提出:
n位高逐位整除数：从其高位开始，高1位能被1整除（显 然）, 高2位能被2整除，„，整个n位数能被n整除。 例如10245就是一个5位高逐位整除数。 对于指定的正整数n，共有多少个不同的n位高逐位整除 数？存在n位高逐位整除数的n是否有最大值？ 试探索指定的n位高逐位整除数，输出所有n位高逐位整 除数。
5.2 桥本分数式
案例提出：
日本数学家桥本吉彦教授于1993年10月在我国山东举行的中日美三 国数学教育研讨会上提出以下填数趣题：把1,2,„,9 9个数字填入下 这 式的9个方格中(数字不得重复)，使下面分数等式成立:
□ □ □ ── + ── = ── □□ □□ □□
桥本教授当即给出了一个解答。这一填数趣题的解是否唯一？如果 不唯一究竟有多少个解？试求出所有解答 (等式左边两个分数交换次 序只算一个解答)。•
a(1) a(4) a (7 ) a(2)a(3) a(5)a(6) a(8)a(9)
1. 回溯设计要点
设置a数组，式中每一□位置用一个数组元素表示：
为避免解重复，设a(1)<a(4)，记式中3个分母分别为 m1=a(2)a(3)=a(2)*10+a(3) m2=a(5)a(6)=a(5)*10+a(6) m3=a(8)a(9)=a(8)*10+a(9) 所求分数等式等价于整数等式 a(1)*m2*m3+a(4)*m1*m3=a(7)*m1*•2成立。 m
设置中间变量g：先赋值g=1；若出现某两数字相同(即 a(i)=a(k))或a(1)>a(4)，则赋值g=0(重复标记)。 首先从a(1)=1开始，逐步给a(i)(1≤i≤9)赋值，每一 个a(i)赋值从1开始递增至9。直至a(9)赋值，判断： 若i=9,g=1,a(1)*m2*m3+a(4)*m1*m3=a(7)*m1*m2• 时满 同 足，为一组解，用n统计解的个数后，格式输出这组解。 若i<9且g=1，表明还不到9个数字，则下一个a(i)从1开 始赋值继续。 若a(9)=9，则返回前一个数组元素a(8)增1赋值(此时， a(9)又从1开始)再试。若a(8)=9，则返回前一个数组元素 a(7)增1赋值再试。依此类推，直到a(1)=9时，已无法返 回，意味着已全部试毕，求解结束。
1. 回溯设计要点 设置a,数组，存放求解的高逐位整除数的各位， a[1]存储最高位数字，a[2]存储次高位数字，„， a[n]存储n位数的个位数字。 在a数组中，数组元素a[1]从1开始取值，显然 能被1整除；a[2]从0开始取值，存放第2位数， 前2位即a[1]*10+a[2]能被2整除；„。 为了判别已取i位数能否被i整除，设置j循环： for(r=0,j=1;j<=i;j++) { r=r*10+a[j]; r=r%i; }
(2)
建立数学模型 为了确定和为s的n个整数取值及这些整数的分布，使沿 环的部分和能完全覆盖[1,s]，建立以下数学模型： 设圆圈的周长为s，在圆圈上划n条刻度，用a数组作标 记。起点为a(0)=0，约定a(1)-a(0)为第1个数，a(2)-a(1) 为第2个数，„，一般地a(i)-a(i-1)为第i个数。因共n个 数，显然刻度a(n)=s且与起点a(0)重合。 因n个数中至少有一个数为1（否则不能覆盖1），不妨 设第1个数为1，即a(1)=1。 n个数的每一个数都可以与（约定顺时针方向）相连的1， 2，„，n-1个数组成部分和。为构造部分和方便，定义 a(n+1)与a(1)重合，即 a(n+1)=s+a(1)；定义a(n+2)与 a(2)重合，即a(n+2)=s+a(2)； „；最后有a(2n-1)与 a(n-1)重合，即a(2n-1)=s+a(n-1)。
（1）
部分和的数量 一般地，求解环上有n个整数，其和为s，沿环的部分 和为区间[1-s]上的所有整数。 首先探讨沿圆环6个整数组成部分和的个数。 部分和为1个整数，共6个；相应部分和为5个相连整数 组成，也为6个。 部分和为2个相连整数组成，共6个；相应部分和为4个 相连整数组成，也为6个。 部分和为3个相连整数组成，共6个； 部分和为所有6个相连整数组成，共1个。 因而部分和的个数为：6×5+1=31 共有31个部分和，如果s=31，要覆盖[1，31]，意味着 31个部分和没有相同的。 若环上为n个整数，部分和为n(n-1)+1个。
5.3 直尺与串珠
5.3.2
数码串珠
案例提出:
在某佛寺遗址考古发掘中意外发现一串奇特的数码珠 串，珠串上共串缀有6颗宝珠，每一宝珠上都刻有一个神 秘的正整数： （1） 6颗宝珠上的整数互不相同。 （2） 这6个整数之和为31，沿珠串相连的若干颗（1— 6颗）珠上整数之和为1，2，„，31不间断，即可以覆盖 区间[1,31]中的所有整数。 请确定珠串上6颗宝珠的整数及其相串的顺序。
2. 回溯实现
回溯法的试探搜索，是一种组织得井井有条的、能避免一些不必 要搜索的枚举式搜索。回溯法在问题的解空间树中，从根结点出 发搜索解空间树，搜索至解空间树的任意一点，先判断该结点是 否包含问题的解；如果肯定不包含，则跳过对该结点为根的子树 的搜索，逐层向其父结点回溯；否则，进入该子树，继续搜索。 从解的角度理解，回溯法将问题的候选解按某种顺序进行枚举和 检验。当发现当前候选解不可能是解时，就选择下一个候选解。 在回溯法中，放弃当前候选解，寻找下一个候选解的过程称为回 溯。若当前候选解除了不满足问题规模要求外，满足所有其他要 求时，继续扩大当前候选解的规模，并继续试探。如果当前候选 解满足包括问题规模在内的所有要求时，该候选解就是问题的一 个解。
5. 回溯法的效益分析
回溯求解过程实质上是遍历一棵“状态树”的过程，只要所激活的状 态结点满足终结条件，应该把它输出或保存。由于在回溯法求解问题时， 一般要求输出问题的所有解，因此在得到并输出一个解后并不终止，还要 进行回溯，以便得到问题的其他解，直至回溯到状态树的根且根的所有子 结点均已被搜索过为止。 回溯法的时间取决于状态空间树上实际生成的那部分问题状态的数目。 对于元组长度为n的问题，若其状态空间树中结点总数为n!，则回溯算法的 最坏情形的时间复杂度可达O(p(n)n!)；若其状态空间树中结点总数为2n， 则回溯算法的最坏情形时间复杂度可达O(p(n)2n)，其中p(n)为n的多项式。 应用回溯设计求解实际问题，由于解空间的结构差异，很难精确计算 与估计回溯产生的结点数，这是分析回溯法效率时遇到的主要困难。回溯 法实际产生的结点数通常只有解空间所有结点数的一小部分，这也是回溯 法的探索效率大大高于枚举的原因所在。
教学要求
回溯
了解回溯算法的概念与回溯设计要领 掌握应用回溯算法求解桥本分数式、素数环、 数码串珠以及情侣拍照等典型案例
本章重点
理解回溯法 “向前走，碰壁回头”的实现
5.1 回溯概述
1. 回溯的概念
(1) 回溯法（Back track method）有“通用解题法”之美 称，是一种比枚举“聪明”的效率更高的搜索技术。
4. 4皇后问题的回溯举例
如何在4×4的方格棋盘上放置4个皇后，使它们互不攻击:
4皇后问题回溯描述
i=1;a[i]=1; while
(1) { g=1;for(k=i-1;k>=1;k--) if(a[i]=a[k] || abs(a[i]-a[k])=i-k) g=0; // 检测约束条件,不满足则返回 if(g && i==4) printf(a[1：4]); // 输出一个解 if(i<4 && g) {i++;a[i]=1;continue;} while(a[i]==4 && i>1) i--; // 向前回溯 if(a[i]==4 && i==1) break; //退出循环结束探索 else a[i]=a[i]+1; }
（2） 回溯描述 对于一般含参量m,n的搜索问题,输入正整数n,m,(n≥m) i=1;a[i]=<元素初值>; while (1) {for(g=1,k=i-1;k>=1;k--) if( <约束条件1> ) g=0; // 检测约束条件,不满足则返回 if(g && <约束条件2>) printf(a[1：m]); // 输出解 if(i<n && g) {i++;a[i]=<取值点>;continue;} while(a[i]=<回溯点> && i>1) i--; // 向前回溯 if(a[i]==n && i==1) break; // 退出循环，结束 else a[i]=a[i]+1; }
(2) 回溯法是一种试探求解的方法：通过对问题的归纳分 析，找出求解问题的一个线索，沿着这一线索往前试 探，若试探成功，即得到解；若试探失败，就逐步往 回退，换其他路线再往前试探。 (3) 回溯法可以形象地概括为“向前走，碰壁回头”，若 再往前走不可能得到解，就回溯，退一步另找线路， 这样可省去大量的无效操作，提高搜索效率。
2. 回潮设计描述
i=1;a[1]=1;s=0; while
(1) {g=1;for(k=i-1;k>=1;k--) if(a[i]==a[k]) {g=0;break;} // 两数相同,标记g=0 if(i==9 && g==1 && a[1]<a[4]) { m1=a[2]*10+a[3];m2=a[5]*10+a[6];m3=a[8]*10+a[9]; if(a[1]*m2*m3+a[4]*m1*m3==a[7]*m1*m2) // 判断等式 {s++;printf(“(%2d) ”,s); } // 输出一个解 } if(i< 9 && g==1) {i++;a[i]=1;continue;} // 不到9个数继续 while(a[i]==9 && i>1) i--; // 往前回溯 if(a[i]==9 && i==1) break; else a[i]++; // 至第1个数为9结束 }
5.4 逐位整除数探索
5.4.1
高逐位整除数
案例提出:
n位高逐位整除数：从其高位开始，高1位能被1整除（显 然）, 高2位能被2整除，„，整个n位数能被n整除。 例如10245就是一个5位高逐位整除数。 对于指定的正整数n，共有多少个不同的n位高逐位整除 数？存在n位高逐位整除数的n是否有最大值？ 试探索指定的n位高逐位整除数，输出所有n位高逐位整 除数。
5.2 桥本分数式
案例提出：
日本数学家桥本吉彦教授于1993年10月在我国山东举行的中日美三 国数学教育研讨会上提出以下填数趣题：把1,2,„,9 9个数字填入下 这 式的9个方格中(数字不得重复)，使下面分数等式成立:
□ □ □ ── + ── = ── □□ □□ □□
桥本教授当即给出了一个解答。这一填数趣题的解是否唯一？如果 不唯一究竟有多少个解？试求出所有解答 (等式左边两个分数交换次 序只算一个解答)。•
a(1) a(4) a (7 ) a(2)a(3) a(5)a(6) a(8)a(9)
1. 回溯设计要点
设置a数组，式中每一□位置用一个数组元素表示：
为避免解重复，设a(1)<a(4)，记式中3个分母分别为 m1=a(2)a(3)=a(2)*10+a(3) m2=a(5)a(6)=a(5)*10+a(6) m3=a(8)a(9)=a(8)*10+a(9) 所求分数等式等价于整数等式 a(1)*m2*m3+a(4)*m1*m3=a(7)*m1*•2成立。 m
设置中间变量g：先赋值g=1；若出现某两数字相同(即 a(i)=a(k))或a(1)>a(4)，则赋值g=0(重复标记)。 首先从a(1)=1开始，逐步给a(i)(1≤i≤9)赋值，每一 个a(i)赋值从1开始递增至9。直至a(9)赋值，判断： 若i=9,g=1,a(1)*m2*m3+a(4)*m1*m3=a(7)*m1*m2• 时满 同 足，为一组解，用n统计解的个数后，格式输出这组解。 若i<9且g=1，表明还不到9个数字，则下一个a(i)从1开 始赋值继续。 若a(9)=9，则返回前一个数组元素a(8)增1赋值(此时， a(9)又从1开始)再试。若a(8)=9，则返回前一个数组元素 a(7)增1赋值再试。依此类推，直到a(1)=9时，已无法返 回，意味着已全部试毕，求解结束。
1. 回溯设计要点 设置a,数组，存放求解的高逐位整除数的各位， a[1]存储最高位数字，a[2]存储次高位数字，„， a[n]存储n位数的个位数字。 在a数组中，数组元素a[1]从1开始取值，显然 能被1整除；a[2]从0开始取值，存放第2位数， 前2位即a[1]*10+a[2]能被2整除；„。 为了判别已取i位数能否被i整除，设置j循环： for(r=0,j=1;j<=i;j++) { r=r*10+a[j]; r=r%i; }
(2)
建立数学模型 为了确定和为s的n个整数取值及这些整数的分布，使沿 环的部分和能完全覆盖[1,s]，建立以下数学模型： 设圆圈的周长为s，在圆圈上划n条刻度，用a数组作标 记。起点为a(0)=0，约定a(1)-a(0)为第1个数，a(2)-a(1) 为第2个数，„，一般地a(i)-a(i-1)为第i个数。因共n个 数，显然刻度a(n)=s且与起点a(0)重合。 因n个数中至少有一个数为1（否则不能覆盖1），不妨 设第1个数为1，即a(1)=1。 n个数的每一个数都可以与（约定顺时针方向）相连的1， 2，„，n-1个数组成部分和。为构造部分和方便，定义 a(n+1)与a(1)重合，即 a(n+1)=s+a(1)；定义a(n+2)与 a(2)重合，即a(n+2)=s+a(2)； „；最后有a(2n-1)与 a(n-1)重合，即a(2n-1)=s+a(n-1)。
（1）
部分和的数量 一般地，求解环上有n个整数，其和为s，沿环的部分 和为区间[1-s]上的所有整数。 首先探讨沿圆环6个整数组成部分和的个数。 部分和为1个整数，共6个；相应部分和为5个相连整数 组成，也为6个。 部分和为2个相连整数组成，共6个；相应部分和为4个 相连整数组成，也为6个。 部分和为3个相连整数组成，共6个； 部分和为所有6个相连整数组成，共1个。 因而部分和的个数为：6×5+1=31 共有31个部分和，如果s=31，要覆盖[1，31]，意味着 31个部分和没有相同的。 若环上为n个整数，部分和为n(n-1)+1个。
5.3 直尺与串珠
5.3.2
数码串珠
案例提出:
在某佛寺遗址考古发掘中意外发现一串奇特的数码珠 串，珠串上共串缀有6颗宝珠，每一宝珠上都刻有一个神 秘的正整数： （1） 6颗宝珠上的整数互不相同。 （2） 这6个整数之和为31，沿珠串相连的若干颗（1— 6颗）珠上整数之和为1，2，„，31不间断，即可以覆盖 区间[1,31]中的所有整数。 请确定珠串上6颗宝珠的整数及其相串的顺序。
2. 回溯实现
回溯法的试探搜索，是一种组织得井井有条的、能避免一些不必 要搜索的枚举式搜索。回溯法在问题的解空间树中，从根结点出 发搜索解空间树，搜索至解空间树的任意一点，先判断该结点是 否包含问题的解；如果肯定不包含，则跳过对该结点为根的子树 的搜索，逐层向其父结点回溯；否则，进入该子树，继续搜索。 从解的角度理解，回溯法将问题的候选解按某种顺序进行枚举和 检验。当发现当前候选解不可能是解时，就选择下一个候选解。 在回溯法中，放弃当前候选解，寻找下一个候选解的过程称为回 溯。若当前候选解除了不满足问题规模要求外，满足所有其他要 求时，继续扩大当前候选解的规模，并继续试探。如果当前候选 解满足包括问题规模在内的所有要求时，该候选解就是问题的一 个解。
5. 回溯法的效益分析
回溯求解过程实质上是遍历一棵“状态树”的过程，只要所激活的状 态结点满足终结条件，应该把它输出或保存。由于在回溯法求解问题时， 一般要求输出问题的所有解，因此在得到并输出一个解后并不终止，还要 进行回溯，以便得到问题的其他解，直至回溯到状态树的根且根的所有子 结点均已被搜索过为止。 回溯法的时间取决于状态空间树上实际生成的那部分问题状态的数目。 对于元组长度为n的问题，若其状态空间树中结点总数为n!，则回溯算法的 最坏情形的时间复杂度可达O(p(n)n!)；若其状态空间树中结点总数为2n， 则回溯算法的最坏情形时间复杂度可达O(p(n)2n)，其中p(n)为n的多项式。 应用回溯设计求解实际问题，由于解空间的结构差异，很难精确计算 与估计回溯产生的结点数，这是分析回溯法效率时遇到的主要困难。回溯 法实际产生的结点数通常只有解空间所有结点数的一小部分，这也是回溯 法的探索效率大大高于枚举的原因所在。