回溯法
1 一般方法 2 n-皇后 3 子集和数
1 一般方法
1.1 基本概念
规 定 每 个 xi 取 值 的 约 束 条 件 称 为 显 式 约 束 （explicit constraint）。 对给定的一个问题实例，显式约束规定了所有 可能的元组，它们组成问题的候选解集，被称为 该问题实例的解空间（solution space）。 隐式约束（implicit constraint）给出了判定一 个候选解是否为可行解的条件。
【程序3】 蒙特卡罗算法 int Estimate(SType* x) { int k=0,m=1,r=1; do { SetType S={ x[k]| x[k]T(x[1],,x[k1]) && Bk(x[1],,x[k]==true)}； if (!Size(S)) return m; r=r*Size(S);m=m+r; x[k]=Choose(S);k++; }while(1); }
皇后问题的状态历排列树的时间为(n!)。
2.3 n-皇后算法
【程序8-4】 n-皇后问题的回溯算法 bool Place(int k, int i,int* x) {//判定两个皇后是否在同一列或在同一斜线上 for (int j=0;j<k;j++) if ((x[j]==i) || (abs(x[j]-i)==abs(j-k))) return false; return true; } void NQueens(int n,int *x) { NQueens(0,n,x); }
2.4 时间分析
可通过计算得到这5次试验中实际需要生成的结 点数的平均值为1625。8-皇后问题状态空间树的结 j 7 点总数是：
1 ( 8 i ) 109601
j 0 i 0
因此，需要实际生成的结点数目大约占总结点数 的1.55%。
3 子集和数
3.1 问题描述
已知n个不同正数wi ，0in-1，的集合，求该集合 的所有满足条件的子集，使得每个子集中的正数之 和等于另一个给定的正数M。 例8－2 设有n=4个正数的集合 W={w0,w1,w2,w3}=(11,13,24,7)和整数M=31，求W的 所有满足条件的子集，使得子集中的正数之和等于M。
1.3 回溯法的效率分析
回溯算法的最坏情况时间复杂度可达O(p(n)n!) （或O(p(n)2n)或O(p(n)nn)），这里p(n)是n的多项 式，是生成一个结点所需的时间。
蒙特卡罗方法（Monte Carlo）。这种估计方法的 基本思想是在状态空间树中随机选择一条路径(x0, x1,…, xn1)。设X是这条随机路径上，代表部分向量 (x0, x1,…, xk1)的结点，如果在X处不受限制的孩子 数目是mk，则认为与X同层的其他结点不受限制的 孩子数目也都是mk。 整个状态空间树上将实际生成的结点数估计为 m = 1+m0+m0m1+m0m1m2+
k 1
3.3 子集和数算法
【程序8－5】子集和数的回溯算法 void SumOfSub (float s,int k,float r,int* x,float m,float* w) { x[k]=1; if (s+w[k]==m) { for (int j=0;j<=k;j++) cout<<x[j]<< ' '; cout<<endl; }
目标函数，也称代价函数（cost function），用来 衡量每个可行解的优劣。使目标函数取最大（或最 小）值的可行解为问题的最优解。 状态空间树（state space）是描述问题解空间的树 形结构。树中每个结点称为一个问题状态 （problem state）。如果从根到树中某个状态的路 径代表一个作为候选解的元组，则称该状态为解状 态（solution state）。如果从根到某个解状态的路 径代表一个作为可行解的元组，则称该解状态为答 案状态(answer state)。
void NQueens(int k,int n,int *x) { for (int i=0; i<n;i++) { if (Place(k,i,x)) { x[k]=i; if (k==n-1) { for(i=0;i<n;i++)cout<<x[i]<<" "; cout<<endl; } else NQueens(k+1,n,x); } } }
例 设有n=6个正数的集合W=(5,10,12,13,15,18)和整数 M=30，求W的所有元素之和为M的子集。
使用剪枝函数的深度优先生成状态空间树中结点 的求解方法称为回溯法（backtracking）；广度优 先生成结点，并使用剪枝函数的方法称为分枝限界 法（branch-and-bound）。
【程序1】递归回溯法 Void RBacktrack(int k) {//应以Rbacktrack(0)调用本函数 for (每个x[k],使得 x[k]T(x[0],,x[k-1]) &&(Bk(x[0],,x[k])){ if ( (x[0],x[1],,x[k])是一个可行解) 输出 (x[0],x[1],,x[k]); RBacktrack(k+1); } }
2 n-皇后
2.1 问题描述
n-皇后问题要求在一个nn的棋盘上放置n个皇后， 使得它们彼此不受“攻击”。 n-皇后问题要求寻找 在棋盘上放置这n个皇后的方案，使得它们中任何两
个都不在同一行、同一列或同一斜线上。
2.2 回溯法求解
皇后问题 可用n-元组（x0, x1,…, xn1）表示n-皇后问题的解， 其中xi表示第i行的皇后所处的列号(0≤xi＜n)。 显式约束的一种观点是：Si={0, 1, …, n1}，0≤i＜n。 相应的隐式约束为：对任意0≤i, j＜n，当ij时，xixj 且。此时的解空间大小为nn。 另一种显式约束的观点是：Si={0, 1, …, n1}，0≤i ＜n，且xi xj(0≤i, j＜n, ij)。相应的隐式约束为： 对任意0≤i, j＜n，当ij时，。与此相对应的解空间 大小为n!。
3.2 回溯法求解
解结构形式：可变长度元组和固定长度元组。 可变长度元组（x0,,xk1,xk ），0k<n。元组的 每个分量的取值可以是元素值，也可以是选入子集 的正数的下标。 固定长度n-元组（x0,x1,,xn1），xi{0,1}, 0i<n。 xi=0，表示wi未选入子集，xi=1，表示wi入选子集。
【程序2】 迭代回溯法 Void IBacktrack(int n) { int k=0; while (k>=0){ if (还剩下尚未检测的x[k]，使得x[k] T(x[0],,x[k-1]) && Bk(x[0],,x[k]){ if ( (x[0],x[1],,x[k])是一个可行解) 输出(x[0],x[1],,x[k]); k++; } else k--; } }
else if (s+w[k]+w[k+1]<=m) SumOfSub(s+w[k],k+1,r-w[k],x,m,w); if ((s+r-w[k]>=m)&&(s+w[k+1]<=m)) { x[k]=0; SumOfSub(s,k+1,r-w[k],x,m,w); } } void SumOfSub (int* x,int n,float m,float* w) { float r=0; for(int i=0;i<n;i++) r=r+w[i]; if(r>=m && w[0]<=m) SumOfSub(0,0,r,x,m,w); }
称这种从n个元素的集合中找出满足某些性质的 子集的状态空间树为子集树。子集树有2n个解状态， 遍历子集树的时间为Ω(2n)。
约束函数： Bk(x0,x1,,xk) 为true，当且仅当
k 1
wi xi wi M
i 0 i k
n1
且 wi xi wk M
i 0
1.2剪枝函数和回溯法
为了提高搜索效率，在搜索过程中使用约束函数 （constraint function），可以避免无谓地搜索那些 已知不含答案状态的子树。如果是最优化问题，还 可使用限界函数（bound function）剪去那些不可 能包含最优答案结点的子树。约束函数和限界函数 的目的是相同的，都为了剪去不必要搜索的子树， 减少问题求解所需实际生成的状态结点数，它们统 称为剪枝函数（pruning function）。
第5章 回溯法
教学要求
回溯
了解回溯算法的概念与回溯设计要领 掌握应用回溯算法求解桥本分数式、素数环、 数码串珠以及情侣拍照等典型案例
本章重点
理解回溯法 “向前走，碰壁回头”的实现
5.1 回溯概述
1. 回溯的概念
(1) 回溯法（Back track method）有“通用解题法”之美 称，是一种比枚举“聪明”的效率更高的搜索技术。
4. 4皇后问题的回溯举例
如何在4×4的方格棋盘上放置4个皇后，使它们互不攻击:
4皇后问题回溯描述
i=1;a[i]=1; while
(1) { g=1;for(k=i-1;k>=1;k--) if(a[i]=a[k] || abs(a[i]-a[k])=i-k) g=0; // 检测约束条件,不满足则返回 if(g && i==4) printf(a[1：4]); // 输出一个解 if(i<4 && g) {i++;a[i]=1;continue;} while(a[i]==4 && i>1) i--; // 向前回溯 if(a[i]==4 && i==1) break; //退出循环结束探索 else a[i]=a[i]+1; }
（2） 回溯描述 对于一般含参量m,n的搜索问题,输入正整数n,m,(n≥m) i=1;a[i]=<元素初值>; while (1) {for(g=1,k=i-1;k>=1;k--) if( <约束条件1> ) g=0; // 检测约束条件,不满足则返回 if(g && <约束条件2>) printf(a[1：m]); // 输出解 if(i<n && g) {i++;a[i]=<取值点>;continue;} while(a[i]=<回溯点> && i>1) i--; // 向前回溯 if(a[i]==n && i==1) break; // 退出循环，结束 else a[i]=a[i]+1; }
回溯法详解
回溯法详解回溯法（Backtracking）是一种解决问题的算法，也称为试探法。
它是一种基于深度优先策略的搜索方法，用于在一个大型的搜索空间中找到所有可能的解。
回溯法常用于解决组合问题、优化问题、排列问题、路径问题等等。
回溯法的实现方法是：从一个初始状态开始，不断地向前搜索，直到找到一个合法的解或者所有的搜索空间都被遍历结束。
在搜索的过程中，如果发现当前的搜索路径不可能得到合法的解，就会回溯到上一个状态，继续向其他方向搜索。
回溯法仍然是一种穷举算法，但它通过剪枝操作排除大部分不必要的搜索路径，从而减少了搜索的时间和空间复杂度。
回溯法的实现过程中，我们需要完成以下三个步骤：1. 选择基于当前的状态，选择一个可能的方向，继续向前搜索。
这意味着我们需要对问题进行建模，找到一些限制条件或者选择条件，来指导我们如何选择下一个状态。
2. 约束在选择方向之后，我们需要考虑当前方向是否可行。
这称为约束条件。
如果当前的方向违反了某些约束条件，那么我们需要回溯到上一个状态，重新选择一个合法的方向。
3. 回溯如果当前方向无法得到一个合法解，我们就需要回溯到上一个状态，并尝试其他的方向。
回溯操作的核心是恢复状态，也就是将当前状态的改变撤回。
这意味着我们需要记录每一个状态的改变，从而能够正确地回溯。
回溯法的优点在于它的适用范围比较广泛，在解决复杂问题时能够得到很好的效果。
但同时回溯法也存在一些缺点，例如在搜索效率方面并不是最优的，在搜索空间比较大的情况下，时间和空间复杂度也会非常高。
因此，在实践中，我们需要结合具体问题来选择合适的算法。
第5章回溯法PPT课件
二、回溯的一般描述
一旦某个j元组（x1，x2，…，xj）违反D中仅涉及 x1，x2，…，xj 的一个约束，就可以肯定，以（x1， x2，…，xj）为前缀的任何n元组
（x1，x2，…，xj，xj+1，…，xn）都不会是问题P 的解。
三、回溯的一般步骤
回溯法正是针对这类问题，利用这类问题的 上述性质而提出来的比枚举法效率更高的算 法。
由于这是第一次用计算机证明数学定理，所以哈肯 和阿佩尔的工作，不仅是解决了一个难题，而且从 根本上拓展了人们对“证明”的理解，引发了数学 家从数学及哲学方面对“证明”的思考。
实例—n皇后问题
在一个n×n的棋盘上放置n个国际象棋中 的皇后，要求所有的皇后之间都不形成攻 击。请你给出所有可能的排布方案数。
n
4
5
6
7
8
总数
2
10
4
40
92
n皇后问题
对于n皇后问题而言，我们很难找出很合适的方法 来快速的得到解，因此，我们只能采取最基本的枚 举法来求解。
但我们知道，在n×n的棋盘上放置n个棋子的所有
回溯算法（一）
什么是回溯
入口回溯
▪迷宫游戏
回溯
➢什么是回溯法
回溯
▪回溯法是一个既带
有系统性又带有跳跃
性的的搜索算法
回溯
▪回溯法是以深度优先的方式系统地搜索问题 出口 的解, 它适用于解一些组合数较大的问题。
回溯(Trackback)是什么？
为什么回溯？
怎样回溯？
What
Why
How
一、回溯的概念
解问题P的最朴素的方法就是枚举法，即对E 中的所有n元组逐一地检测其是否满足D的全 部约束，显然，其计算量是相当大的。
算法分析与设计实验报告--回溯法
算法分析与设计实验报告--回溯法实验目的：通过本次实验，掌握回溯法的基本原理和应用，能够设计出回溯法算法解决实际问题。
实验内容：1.回溯法概述回溯法全称“试探回溯法”，又称“逐步退化法”。
它是一种通过不断试图寻找问题的解，直到找到解或者穷尽所有可能的解空间技术。
回溯法的基本思路是从问题的某一个初始状态开始，搜索可行解步骤，一旦发现不满足求解条件的解就回溯到上一步，重新进行搜索，直到找到解或者所有可能的解空间已经搜索完毕。
2.回溯法的基本应用回溯法可用于求解许多 NP 问题，如 0/1 背包问题、八皇后问题、旅行商问题等。
它通常分为两种类型：一种是通过枚举所有可能的解空间来寻找解；另一种则是通过剪枝操作将搜索空间减少到若干种情况，大大减少了搜索时间。
3.回溯法的解题思路（1）问题分析：首先需要对问题进行分析，确定可行解空间和搜索策略；（2）状态表示：将问题的每一种状况表示成一个状态；（3）搜索策略：确定解空间的搜索顺序；（4）搜索过程：通过逐步试探，不断扩大搜索范围，更新当前状态；（5）终止条件：在搜索过程中，如果找到了满足要求的解，或者所有的可行解空间都已搜索完毕，就结束搜索。
4.八皇后问题八皇后问题是指在一个 8x8 的棋盘上放置八个皇后，使得任意两个皇后都不在同一行、同一列或同一对角线上。
通过回溯法可以求解出所有的可能解。
实验过程：回溯法的实现关键在于搜索空间的剪枝，避免搜索无用的解；因此，对于八皇后问题，需要建立一个二维数组来存放棋盘状态，以及一个一维数组来存放每行放置的皇后位置。
从第一行开始搜索，按照列的顺序依次判断当前的空位是否可以放置皇后，如果可以，则在相应的位置标记皇后，并递归到下一行；如果不能，则回溯到上一行，重新搜索。
当搜索到第八行时，获取一组解并返回。
代码实现：```pythondef is_valid(board, row, col):for i in range(row):if board[i] == col or abs(board[i] - col) == abs(i - row):return Falsereturn True实验结果：当 n=4 时，求得的所有可行解如下：```[[1, 3, 0, 2],[2, 0, 3, 1]]```本次实验通过实现回溯法求解八皇后问题，掌握了回溯法的基本原理和应用，并对回溯法的核心思想进行了深入理解。
回溯法的基本介绍以及原理
回溯法的基本介绍以及原理
回溯法是一种通过逐步试探、回溯到上一步来寻找问题解的方法。
它适用于在一个问题的解空间中搜索所有可能的解，通过深度优先的方式进行搜索。
回溯法的基本原理是：从问题的初始状态开始，不断地进行选择，当发现选择导致了无效的解或者无法继续选择时，就回溯到上一步重新进行选择。
在回溯的过程中，保存了每一步的选择，这样可以在找到一个解或者搜索完整个解空间后，利用已经保存的选择恢复出解。
具体来说，回溯法一般包含以下步骤：
1. 定义问题的解空间：也就是问题的所有可能的解组成的空间。
2. 制定问题的解空间的搜索规则：决定了在解空间中搜索的顺序和方式。
3. 利用深度优先的方式进行搜索：从问题的初始状态开始，逐步进行选择，如果选择导致了无效的解或者无法继续选择，则回溯到上一步。
4. 终止条件：当搜索完整个解空间或者找到一个解时，终止搜索。
回溯法的时间复杂度一般很高，因为它需要搜索整个解空间。
但是，通过合理的剪枝策略，可以减少搜索的路径，降低时间
复杂度。
回溯法常常应用于解决组合问题、排列问题、子集问题等涉及组合选择的问题，也可以用于解决图的遍历问题等其他类型的问题。
回溯法详解
回溯法详解
回溯法是一种常用的算法思想，通常用于解决一些组合问题，如排列、组合、子集等。
回溯法的基本思想是从一组可能的解中逐一尝试，如果发现当前尝试的解不符合要求，则回溯到上一步继续尝试其他解。
回溯法可以看作是一种深度优先搜索算法，它的搜索过程类似于一棵树的遍历。
在搜索过程中，从根节点开始，逐层向下搜索，直到找到符合条件的解或者搜索完所有的可能情况。
回溯法的实现通常采用递归的方式，具体步骤如下：
1. 定义一个解空间，即所有可能的解的集合。
2. 逐步扩展解空间，直到找到符合条件的解或者搜索完所有可
能的情况。
3. 在扩展解空间的过程中，对于每个扩展的状态，检查它是否
符合要求，如果符合要求，则继续扩展；否则回溯到上一步。
回溯法的时间复杂度通常很高，因为它需要搜索所有的可能情况。
但是在实际应用中，回溯法的效率往往比暴力枚举要高，因为它能够利用一些剪枝策略，避免搜索无用的状态。
例如，在求解八皇后问题时，回溯法可以通过剪枝策略，避免搜索一些不可能的状态，从而大大缩短搜索时间。
回溯法也是一种非常灵活的算法思想，可以应用于各种问题的求解。
在实际应用中，需要根据具体问题的特点，设计合适的解空间和剪枝策略，以提高算法效率。
回溯法
回溯法一、回溯法：回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的的搜索算法。
它在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先的策略，从根结点出发搜索解空间树。
算法搜索至解空间树的任一结点时，总是先判断该结点是否肯定不包含问题的解。
如果肯定不包含，则跳过对以该结点为根的子树的系统搜索，逐层向其祖先结点回溯。
否则，进入该子树，继续按深度优先的策略进行搜索。
回溯法在用来求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有子树都已被搜索遍才结束。
而回溯法在用来求问题的任一解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。
这种以深度优先的方式系统地搜索问题的解的算法称为回溯法，它适用于解一些组合数较大的问题。
二、算法框架：1、问题的解空间：应用回溯法解问题时，首先应明确定义问题的解空间。
问题的解空间应到少包含问题的一个（最优）解。
2、回溯法的基本思想：确定了解空间的组织结构后，回溯法就从开始结点（根结点）出发，以深度优先的方式搜索整个解空间。
这个开始结点就成为一个活结点，同时也成为当前的扩展结点。
在当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。
这个新结点就成为一个新的活结点，并成为当前扩展结点。
如果在当前的扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。
换句话说，这个结点不再是一个活结点。
此时，应往回移动（回溯）至最近的一个活结点处，并使这个活结点成为当前的扩展结点。
回溯法即以这种工作方式递归地在解空间中搜索，直至找到所要求的解或解空间中已没有活结点时为止。
运用回溯法解题通常包含以下三个步骤：（1）针对所给问题，定义问题的解空间；（2）确定易于搜索的解空间结构；（3）以深度优先的方式搜索解空间，并且在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索；3、递归回溯：由于回溯法是对解空间的深度优先搜索，因此在一般情况下可用递归函数来实现回溯法如下：procedure try(i:integer);varbeginif i>n then 输出结果else for j:=下界 to 上界 dobeginx[i]:=h[j];if 可行{满足限界函数和约束条件} then begin 置值；try(i+1); end;end;end;说明：i 是递归深度；n 是深度控制，即解空间树的的高度；可行性判断有两方面的内容：不满约束条件则剪去相应子树；若限界函数越界，也剪去相应子树；两者均满足则进入下一层；二、习题：1、0-1背包：n=3,w=[16,15,15],p=[45,25,25],c=302、旅行售货员问题：某售货员要到若干城市去推销商品，已知各城市之间的路程（或旅费）。
回溯法
回溯法回溯法也是搜索算法中的一种控制策略，但与枚举法不同的是，它是从初始状态出发，运用题目给出的条件、规则，按照深度优秀搜索的顺序扩展所有可能情况，从中找出满足题意要求的解答。
回溯法是求解特殊型计数题或较复杂的枚举题中使用频率最高的一种算法。
一、回溯法的基本思路何谓回溯法，我们不妨通过一个具体实例来引出回溯法的基本思想及其在计算机上实现的基本方法。
【例题12.2.1】n皇后问题一个ｎ×ｎ（1≤n≤100）的国际象棋棋盘上放置ｎ个皇后，使其不能相互攻击，即任何两个皇后都不能处在棋盘的同一行、同一列、同一条斜线上，试问共有多少种摆法？输入：n输出：所有分案。
每个分案为n+1行，格式：方案序号以下n行。
其中第i行（1≤i≤n）行为棋盘i行中皇后的列位置。
在分析算法思路之前，先让我们介绍几个常用的概念：1、状态（state）状态是指问题求解过程中每一步的状况。
在ｎ皇后问题中，皇后所在的行位置i(1≤i≤n)即为其时皇后问题的状态。
显然，对问题状态的描述，应与待解决问题的自然特性相似，而且应尽量做到占用空间少，又易于用算符对状态进行运算。
2、算符（operater）算符是把问题从一种状态变换到另一种状态的方法代号。
算符通常采用合适的数据来表示，设为局部变量。
n皇后的一种摆法对应1．．ｎ排列方案（a1，…，a n）。
排列中的每个元素a i对应ｉ行上皇后的列位置（1≤i≤n）。
由此想到，在ｎ皇后问题中，采用当前行的列位置i(1≤i≤n)作为算符是再合适不过了。
由于每行仅放一个皇后，因此行攻击的问题自然不存在了，但在试放当前行的一个皇后时，不是所有列位置都适用。
例如(l，ｉ)位置放一个皇后，若与前1．．l-1行中的j行皇后产生对角线攻击(｜ｊ－l｜=｜a j －i｜)或者列攻击(ｉ≠a j)，那么算符ｉ显然是不适用的，应当舍去。
因此，不产生对角线攻击和列攻击是ｎ皇后问题的约束条件，即排列（排列a1，…，a i，…，a j，…，a n）必须满足条件(｜ｊ－ｉ｜≠｜a j－a i｜) and (a i≠a j) (1≤i，j≤n)。
回溯法的基本概念
回溯法的基本概念回溯法，也叫试探法，是一种基于深度优先搜索的算法。
它是一种非常实用的解决问题的方法，通常用来解决那些需要尝试许多可能性的问题。
在回溯法中，我们需要枚举所有的可能性，并根据条件进行深度搜索，直到找到所有的解或达到终止条件。
回溯法的基本思想是：将问题分成多个小问题来解决，每个小问题都需要尝试不同的解决方案，直到找到最优解或达到终止条件。
当我们尝试的方案不符合要求时，我们需要“回溯”（撤销上一步的操作），尝试其他解决方案。
回溯法的应用非常广泛，比如在图形学、人工智能、网络协议设计等领域都有广泛的应用。
在算法竞赛中，回溯法是一个非常重要的算法，也是我们必须要掌握的算法之一。
使用回溯法的关键在于如何组织搜索空间。
我们需要确定搜索树的遍历顺序和搜索深度，以及如何剪枝搜索空间。
通常情况下，我们可以使用递归函数来实现回溯算法。
这个递归函数需要接收状态参数，在每一次递归调用中，我们需要将状态参数进行更新，并考虑是否达到了终止条件。
在回溯算法的实现中，通常要注意以下几点：1. 前缀和预处理：如果我们需要快速传递状态信息，可以使用前缀和预处理技术。
2. 剪枝：剪枝是一种优化手段，可以在搜索中减少不必要的计算。
比如我们可以根据当前状态进行剪枝，减少搜索量。
3. 记忆化搜索：如果我们需要多次查询相同的状态，可以使用记忆化搜索来优化。
这样可以避免重复计算，提高算法效率。
4. 双向搜索：双向搜索可以从起点和终点同时进行搜索，这样可以减少搜索时间和空间复杂度。
总之，回溯法是一种非常实用的算法，在实际问题求解中具有广泛的应用。
要想掌握回溯法，需要多做题、多思考，掌握其基本原理和常见技巧，逐步提高自己的解题能力。
第五章 回溯法
• Cr=C=30，V=0
C为容量，Cr为剩余空间，V为价值。 • A为唯一活结点，也是当前扩展结点。
H D 1 0 I 1
1 B 0 E 1 0 J K
A
0 C 1 F 1 0 L M N 0 G 1 0 O
5.1 回溯法的算法框架
• n=3, C=30, w={16,15,15}, v={45,25,25}
理论上
寻找问题的解的一种可靠的方法是首先列出所有候选解，然后依次检查每一个， 在检查完所有或部分候选解后，即可找到所需要的解。
但是
当候选解数量有限并且通过检查所有或部分候选解能够得到所需解时，上述方
法是可行的。
若候选解的数量非常大（指数级，大数阶乘），即便采用最快的计算机也只能 解决规模很小的问题。
显约束
对分量xi的取值限定。
隐约束 为满足问题的解而对不同分量之间施加的约束。
5.1 回溯法的算法框架
解空间（Solution Space）
对于问题的一个实例，解向量满足显式约束条件的所有多元组，构成了该 实例的一个解空间。 注意：同一问题可有多种表示，有些表示更简单，所需状态空间更小（存储 量少，搜索方法简单）。
回溯法引言
以深度优先的方式系统地搜索问题的解的算法称为回溯法 使用场合
对于许多问题，当需要找出它的解的集合或者要求回答什么解是满足某些
约束条件的最佳解时，往往要使用回溯法。 这种方法适用于解一些组合数相当大的问题，具有“通用解题法”之称。 回溯法的基本做法 是搜索，或是一种组织得井井有条的，能避免不必要搜索的穷举式搜索法。
一个正在产生儿子的结点称为扩展结点
活结点（L-结点,Live Node）
一个自身已生成但其儿子还没有全部生成的节点称做活结点