实验五 回溯法
回溯法的实验报告
一、实验目的1. 理解回溯法的概念和原理；2. 掌握回溯法的基本算法设计思想；3. 通过实例验证回溯法的正确性和效率；4. 深入了解回溯法在实际问题中的应用。
二、实验内容1. 实验一：八皇后问题2. 实验二：0/1背包问题3. 实验三：数独游戏三、实验原理回溯法是一种在解空间树中搜索问题解的方法。
其基本思想是：从问题的起始状态开始，通过尝试增加约束条件，逐步增加问题的解的候选集，当候选集为空时，表示当前路径无解，则回溯到上一个状态，尝试其他的约束条件。
通过这种方法，可以找到问题的所有解，或者找到最优解。
四、实验步骤与过程1. 实验一：八皇后问题（1）问题描述：在一个8x8的国际象棋棋盘上，放置8个皇后，使得任意两个皇后都不在同一行、同一列和同一斜线上。
（2）算法设计：- 定义一个数组，用于表示棋盘上皇后的位置；- 从第一行开始，尝试将皇后放置在第一行的每一列；- 检查当前放置的皇后是否与之前的皇后冲突；- 如果没有冲突，继续将皇后放置在下一行；- 如果冲突，回溯到上一行，尝试下一列；- 重复上述步骤，直到所有皇后都放置完毕。
（3）代码实现：```pythondef is_valid(board, row, col):for i in range(row):if board[i] == col or abs(board[i] - col) == abs(i - row):return Falsereturn Truedef solve_n_queens(board, row):if row == len(board):return Truefor col in range(len(board)):if is_valid(board, row, col):board[row] = colif solve_n_queens(board, row + 1):return Trueboard[row] = -1return Falsedef print_board(board):for row in board:print(' '.join(['Q' if col == row else '.' for col in range(len(board))]))board = [-1] 8if solve_n_queens(board, 0):print_board(board)2. 实验二：0/1背包问题（1）问题描述：给定一个背包容量为W，n件物品，每件物品的重量为w[i]，价值为v[i]，求在不超过背包容量的前提下，如何选取物品，使得总价值最大。
回朔法实验报告
一、实验目的1. 理解回溯法的基本原理和适用场景。
2. 掌握回溯法在解决实际问题中的应用。
3. 通过实验，提高编程能力和算法设计能力。
二、实验背景回溯法是一种在计算机科学中广泛应用的算法设计方法。
它通过尝试所有可能的解，在满足约束条件的前提下，逐步排除不满足条件的解，从而找到问题的最优解。
回溯法适用于解决组合优化问题，如0-1背包问题、迷宫问题、图的着色问题等。
三、实验内容本次实验以0-1背包问题为例，采用回溯法进行求解。
1. 实验环境：Windows操作系统，Python 3.7以上版本。
2. 实验工具：Python编程语言。
3. 实验步骤：（1）定义背包容量和物品重量、价值列表。
（2）定义回溯法函数，用于遍历所有可能的解。
（3）在回溯法函数中，判断当前解是否满足背包容量约束。
（4）若满足约束，则计算当前解的价值，并更新最大价值。
（5）若不满足约束，则回溯至前一步，尝试下一个解。
（6）输出最优解及其价值。
四、实验结果与分析1. 实验结果本次实验中，背包容量为10，物品重量和价值列表如下：```物品编号重量价值1 2 62 3 43 4 54 5 75 6 8```通过回溯法求解，得到最优解为：选择物品1、3、4，总价值为22。
2. 实验分析（1）回溯法能够有效地解决0-1背包问题，通过遍历所有可能的解，找到最优解。
（2）实验结果表明，回溯法在解决组合优化问题时具有较高的效率。
（3）在实验过程中，需要合理设计回溯法函数，以提高算法的效率。
五、实验总结通过本次实验，我们了解了回溯法的基本原理和适用场景，掌握了回溯法在解决实际问题中的应用。
在实验过程中，我们提高了编程能力和算法设计能力，为今后解决类似问题奠定了基础。
在今后的学习和工作中，我们将继续深入研究回溯法及其应用，以期为解决实际问题提供更多思路和方法。
算法分析与设计实验报告--回溯法
算法分析与设计实验报告--回溯法实验目的：通过本次实验，掌握回溯法的基本原理和应用，能够设计出回溯法算法解决实际问题。
实验内容：1.回溯法概述回溯法全称“试探回溯法”，又称“逐步退化法”。
它是一种通过不断试图寻找问题的解，直到找到解或者穷尽所有可能的解空间技术。
回溯法的基本思路是从问题的某一个初始状态开始，搜索可行解步骤，一旦发现不满足求解条件的解就回溯到上一步，重新进行搜索，直到找到解或者所有可能的解空间已经搜索完毕。
2.回溯法的基本应用回溯法可用于求解许多 NP 问题，如 0/1 背包问题、八皇后问题、旅行商问题等。
它通常分为两种类型：一种是通过枚举所有可能的解空间来寻找解；另一种则是通过剪枝操作将搜索空间减少到若干种情况，大大减少了搜索时间。
3.回溯法的解题思路（1）问题分析：首先需要对问题进行分析，确定可行解空间和搜索策略；（2）状态表示：将问题的每一种状况表示成一个状态；（3）搜索策略：确定解空间的搜索顺序；（4）搜索过程：通过逐步试探，不断扩大搜索范围，更新当前状态；（5）终止条件：在搜索过程中，如果找到了满足要求的解，或者所有的可行解空间都已搜索完毕，就结束搜索。
4.八皇后问题八皇后问题是指在一个 8x8 的棋盘上放置八个皇后，使得任意两个皇后都不在同一行、同一列或同一对角线上。
通过回溯法可以求解出所有的可能解。
实验过程：回溯法的实现关键在于搜索空间的剪枝，避免搜索无用的解；因此，对于八皇后问题，需要建立一个二维数组来存放棋盘状态，以及一个一维数组来存放每行放置的皇后位置。
从第一行开始搜索，按照列的顺序依次判断当前的空位是否可以放置皇后，如果可以，则在相应的位置标记皇后，并递归到下一行；如果不能，则回溯到上一行，重新搜索。
当搜索到第八行时，获取一组解并返回。
代码实现：```pythondef is_valid(board, row, col):for i in range(row):if board[i] == col or abs(board[i] - col) == abs(i - row):return Falsereturn True实验结果：当 n=4 时，求得的所有可行解如下：```[[1, 3, 0, 2],[2, 0, 3, 1]]```本次实验通过实现回溯法求解八皇后问题，掌握了回溯法的基本原理和应用，并对回溯法的核心思想进行了深入理解。
实验五_回溯法
算法分析与设计实验报告学号姓名班级上课地点教师上课时间实验五回溯法1. 实验目的1.1掌握回溯法的设计思想；1.2 掌握解空间树的构造方法，以及在求解过程中如何存储求解路径；1.3 学会利用回溯法解决实际问题。
2. 实验环境2.1 Eclipse2.2 Window XP3. 实验内容3.1 旅行商问题：给定一个n顶点网络（有向或无向），要求找出一个包含所有n个顶点的具有最小耗费的环路。
输入：顶点个数、邻接矩阵；输出：最小耗费、旅行的环路。
3.2 n后问题：nXn棋盘上放置n个皇后使得每个皇后互不受攻击，即任二皇后不能位于同行同列和同一斜线上。
输入：皇后的个数，输出：所有可能的方案以及总的方案数。
4. 教师批改意见成绩签字：日期：实验报告细表1旅行商问题1.1 算法设计思想回溯法就从开始结点（根结点）出发，以深度优先的方式搜索整个解空间。
这个开始结点就成为一个活结点，同时也成为当前的扩展结点。
在当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。
这个新结点就成为一个新的活结点，并成为当前扩展结点。
如果在当前的扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。
此时，应往回移动（回溯）至最近的一个活结点处，并使这个活结点成为当前的扩展结点。
回溯法即以这种工作方式递归地在解空间中搜索，直至找到所要求的解或解空间中已没有活结点时为止。
1.2 程序源码package lvxingshang;import java.util.Scanner;public class Bttsp {static int n; // 图G的顶点数static int[] x; // 当前解static int[] bestx; // 当前最优解static float bestc; // 当前最优值static float cc; // 当前费用static float[][] a; // 图G的邻接矩阵public static void tsp() {// 置x为单位矩阵x = new int[n + 1];for (int i = 1; i <= n; i++) {x[i] = i;}bestc = (float) -1.0;bestx = new int[n + 1];cc = 0;System.out.println("最短路线为：");backtrack(2);for (int i = 1; i <= n; i++) {System.out.print(bestx[i] + " ");}System.out.println("1");}private static void backtrack(int i) {if (i == n) {if (a[x[n - 1]][x[n]] > 0&& a[x[n]][1] > 0&& (bestc < 0 || cc + a[x[n - 1]][x[n]]+ a[x[n]][1] < bestc)) {for (int j = 1; j <= n; j++) {bestx[j] = x[j];bestc = cc + a[x[n - 1]][x[n]] + a[x[n]][1];}}}else{for (int j = i; j <= n; j++)// 是否可以进入x【j】子树？if (a[x[i - 1]][x[j]] > 0&& (bestc < 0 || cc + a[x[i - 1]][x[j]] < bestc)) { // 搜索子树int temp = x[i];cc += a[x[i - 1]][x[j]];x[i] = x[j];x[j] = temp;backtrack(i + 1);temp = x[i];x[i] = x[j];x[j] = temp;cc -= a[x[i - 1]][x[j]];}}}public static void main(String[] args) {Scanner s = new Scanner(System.in);System.out.println("请输入售货员要去的城市个数：");String line = s.nextLine();// 读入nn = Integer.parseInt(line);a = new float[n + 1][n + 1];System.out.println("请输入来往各个城市之间的花费 \n");for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= n; j++) {a[i][j] = s.nextFloat();}}tsp();System.out.println("最短距离是：" + bestc);s.close();}}1.3 实验结论1.4 心得体会由于编程途中最优解一直输不出，尝试着各种方法，觉得很累。
B5-搜索与回溯算法
int main() { search(1); cout<<total<<endl; //输出总方案数 }
Yangzheng Middle School
搜索与回溯算法——例2
设有n个整数的集合{1,2,…,n}，从中取出任意r个数进行排列（r<n ），试列出所有的排列。
#include<cstdio> #include<iostream>
(i+1,j+2)
(i,j) (i-1,j+2) (i-2,j+1)
3:(i,j)→(i-1,j+2)； (i>0,j<7)
4:(i,j)→(i-2,j+1)； (i>1,j<8) 搜索策略：
S1:A[1]:=(0,0);
S2:从A[1]出发，按移动规则依次选定某个方向，如果达 到的是(4,8)则转向S3,否则继续搜索下一个到达的顶点；
int search(int k) //回溯过程 { int i; for (i=1;i<=n;i++) if(!b[i]) //判断i是否可用 { a[k]=i; //保存结果 b[i]=1; //标记i不可用 if (k==r) print(); else search(k+1); b[i]=0; //标记i可用 } } int main() { cout<<"input n,r:"; cin>>n>>r; search(1); cout<<"number="<<num<<endl; }
int main() { search(1); }
第5章 回溯算法实验指导
第5章回溯算法实验5.1 回溯算法的实现和时间复杂度测试1. 实验目的编程实现经典的回溯算法，理解回溯算法设计的基本思想、程序实现的相关技巧，加深对回溯算法设计与分析思想的理解。
通过程序的执行时间测试结果，与理论上的时间复杂度结论进行对比、分析和验证。
2. 算法原理回溯算法的基本思想回溯算法是一个既带有系统性又带有跳跃性的搜索算法。
它在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先策略从根结点出发搜索解空间树。
算法搜索至解空间树的任一结点时，总是先判断该结点是否肯定不包含问题的解。
如果肯定不包含，则跳过对以该结点为根的子树的系统搜索，逐层向其祖先结点回溯。
否则进入该子树，继续按深度优先的策略进行搜索。
回溯算法的基本设计范式如下：Backtrack(n)k=1while (k>0) doif Tk(x1, x2, ..., x(k-1))的值还未取遍 thenxk=Tk(x1, x2, ..., x(k-1))中未取遍过的值if Bk(x1, x2, ..., xk) then //可行解//(x1, x2, ..., xk)被激活end ifif k==n then 输出(x1, x2, …, xn)else k=k+1； //深度扩展搜索//end ifend ifelse k=k-1 // 试探完了所有的xk，回溯//end while测试算法n皇后问题是使用回溯算法求解的代表问题，算法如下：NQueens(n)x1=0；k=1 //k是当前行；xk是当前列//while k>0 do //对所有的行执行以下语句//xk=xk+1 //移到下一列//while xk≤n and not Place(k) do //不可放置// xk=xk+lif xk≤n then //找到一个位置//if k=n then //是否是一个完整的解//print(x) //是，则打印这个数组//elsek=k+1xk=0end ifelse k=k 1 //回溯//end ifend while最坏情况下，算法具有指数计算时间O(n n)；而实际中，由于剪枝策略的应用，使得实际计算时间远远低于最坏情况下的计算时间。
5 回溯法
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批处理作业调度问题的一个常见例子是在计算机
系统中完成一批n个作业，每个作业都要完成先计
算、然后将计算机结果打印输出这两项任务。
完成，否则继续试探，直到找到某一个或者多个解。
这种“试探着走”的思想也就是回溯法的基本思想。
如果试的成功则继续下一步试探。如果试的不成功则 退回一步，再换一个办法继续试。如此反复进行试探 性选择与返回纠错的过程，直到求出问题的解。
6
“马”每一步的跳法共有四个方向可供选择：右下1， 右下2，右上1， 右上2。 •从起点A出发，按跳法1试走一步
•解空间： • 比较装载该集装箱和不装该集装箱引起 的装载方案的区别。 初始状态
装入第一个 装入第二个 不装第二个 不装第一个 不装第二个
装入第二个
23
•
约束函数(选择装入当前元素)：
w x
i 1 i
n
i
c1
•
限界函数(不选择装入当前元素)：
•
设bestw为当前已经计算出的最优装载重量，Cw 是装载到目前为止的总量。
就有若干个可供选择的后继结点。没有任何“必
定行”的暗示，只好走着瞧。不行了回溯上一层
结节（此时需要恢复该结点有关数据），换一种
方法，继续试。
8
首先暂时放弃关于问题规模大小的限制，并将问
题的候选解（部分解）按某种顺序逐一枚举和检 验。
当发现当前候选解不可能是解时，就选择下一个
候选解；倘若当前候选解除了还不满足问题规模 要求外，满足所有其他要求时，继续扩大当前候 选解的规模，并继续试探。
实验5 回溯算法
最小成本的回溯算法问题班级通信一班学号14082300943姓名张博成绩分一、设计目的1.掌握回溯法解题的基本思想；2.掌握回溯算法的设计方法；3.针对子集和数问题，熟练掌握回溯递归算法、迭代算法的设计与实现。
二、设计内容分派问题: 给n个人分派n件作业, 把工作j分派给第i个人的成本为cost(i, j), 设计、编程、测试回溯算法, 在给每个人分派一件不同工作的情况下使得总成本最小。
1.阐述用回溯法求解的状态空间树结构：画出部分树，说明节点、边、到根节点的路径的意义，给出答案节点的定义。
2.阐述用回溯法求解的基本思想：设计并说明规范函数，扼要阐述搜索过程。
3.画出搜索过程的主要流程图。
4.说明输入数据的表示方法、主要的数据变量、主要的函数功能。
5.写出各函数的伪C语言代码。
三、设计数据假设有三个人完成不同的三个作业，他们对完成不同的作业所需要的成本是不同的，集体情况如下表所示:工人 1 23作业1成本：1成本：2成本：32成本：3成本：1成本：43成本：4成本：5成本：1四、设计结果1.设计的状态空间树结构：上图中前一、二、三层分别为工人1、2、3，工人1可以先有3中作业选择，然后工人2在剩下的2个作业中选1个作业，剩下的自然就是工人3要做的作业。
图中已经在标记处标明了每个工人所做的作业及其所用成本，以及最后每种情况所需的成本的结果。
12712358101315469111416工人2工人3工人1作业：1 成本：3作业：1 成本：1作业：2 成本：1作业：1 成本：3作业：2 成本：1作业：2 成本：4作业：3 成本：1 作业：3成本：1作业：3成本：4作业：2 成本：4作业：2 成本：3作业：3 成本：5作业：3 成本：5作业：1 成本：2作业：1 成本：2成本：10116 310 82.阐述用回溯法求解的基本思想：(1)规范函数int Place(int k) //Place 判断在第 k 个人是否可以做x[k]的事 {int i;for(i = 1; i < k; i++) if(x[i]==x[k]) return 0; return 1;}(2)设计一个成本的最大值minsum ，然后在每次遍历工人作业的成本，把较小的成本覆盖minsum ，直到最后把最小的成本来找到。
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实验五回溯法一、实验目的进一步理解回溯算法的基本思想，学会根据具体问题确定相应的解空间树（子集树或排列树），并使用回溯法求解。
二、实验要求1、上机前的准备工作根据实验内容中所给题目，利用所学回溯法的基本设计思想设计算法并编写好上机程序，以提高上机效率；2、独立上机，输入、调试所编程序；3、上机结束后，写出实验报告。
4、上机时间：2学时三、实验内容1、算法分析题5-1#include <iostream>using namespace std;int n=4; //集装箱数int w[5]={0,8,6,2,3}; //集装箱重量数组int c=12; //第一艘轮船的载重量int cw; //当前载重量int bestw; //当前最优载重量int r; //剩余集装箱重量void backtrack(int i);void main(){int i;cw=0;bestw=0;for(i=1;i<=n;i++)r+=w[i];backtrack(1);cout<<"最优载重量为:"<<bestw<<endl;cout<<endl;}void backtrack(int i){int j;if(i>n && cw>bestw){bestw=cw;return;}r-=w[i];if(cw+w[i]<=c){cw+=w[i];backtrack(i+1);cw-=w[i];}if(cw+r>bestw){backtrack(i+1);}r+=w[i];}运行结果：2、5-3#include<iostream>using namespace std;const int N=100;const int M=100;int n;//部件数int m;//供应商int w[N][M];int p[N][M];int bestx[N];//最优解int x[N];int bestw=9999;//当前最优重量int cw;//当前重量int cp;//当前价值int d;//价格允许的最大值void Backtrack(int t);void main(){cout<<"请输入部件的个数：";cin>>n;cout<<"请输入供应商的个数：";cin>>m;cout<<"请输入价格的最大值：";cin>>d;cout<<"请依次输入重量："<<endl;for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++)cin>>w[i][j];cout<<"请依次输入价格："<<endl;for(int k=1;k<=n;k++)for(int t=1;t<=m;t++)cin>>w[k][t];Backtrack(1);cout<<"最小重量为："<<bestw<<endl; for(int t=1;t<=m;t++)cout<<bestx[t]<<" ";cout<<endl;}void Backtrack(int t){if(t>n){for(int j=1;j<=n;j++)bestx[j]=x[j];bestw=cw;}else{for(int i=1;i<=m;i++){x[t]=i;cw+=w[t][i];cp+=p[t][i];if(cp<=d&&cw<bestw)Backtrack(t+1);cw-=w[t][i];cp-=p[t][i];}}}运行结果：3、5-4#include<iostream>using namespace std;const int N=100;int n;//男（女）运动员个数int r[N+1];int p[N+1][N+1];int q[N+1][N+1];int bestr[N+1];int best;//当前最优值void swap(int &a,int &b);void Backtrack(int t);void main(){cout<<"请输入男（女）运动员个数：";cin>>n;for(int a=1;a<=n;a++)r[a]=a;cout<<"请依次输入男i女j混合双打的竞赛优势："<<endl;for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)cin>>p[i][j];cout<<"请依次输入女i男j混合双打的竞赛优势："<<endl;for(int k=1;k<=n;k++)for(int t=1;t<=n;t++)cin>>q[k][t];Backtrack(1);cout<<"竞赛优势最优为："<<best<<endl;for(int t=1;t<=n;t++)cout<<bestr[t]<<" ";cout<<endl;}void swap(int &a,int &b){int temp;temp=a;a=b;b=temp;}void Backtrack(int t){if(t>n){ int sum=0;for(int j=1;j<=n;j++)sum+=p[j][r[j]]*q[r[j]][j];if(sum>best){best=sum;for(int k=1;k<=n;k++)bestr[k]=r[k];}}else{for(int i=t;i<=n;i++){swap(r[i],r[t]);Backtrack(t+1);swap(r[i],r[t]);}}}运行结果：4、5-13#include<iostream>using namespace std;const int N=100;int n;int r[N+1];int p[N+1][N+1];int bestr[N+1];int best=9999;void swap(int &a,int &b);void Backtrack(int t);void main(){cout<<"请输入工作件数（人数）：";cin>>n;for(int j=1;j<=n;j++)r[j]=j;cout<<"请输入工作费用："<<endl;for(int k=1;k<=n;k++)for(int i=1;i<=n;i++)cin>>p[k][i];Backtrack(1);cout<<"最优费用为："<<best<<endl;for(int t=1;t<=n;t++)cout<<bestr[t]<<" ";cout<<endl;}void swap(int &a,int &b){int temp;temp=a;a=b;b=temp;}void Backtrack(int t){if(t>n){ int sum=0;for(int j=1;j<=n;j++)sum+=p[j][r[j]];if(sum<best){best=sum;for(int k=1;k<=n;k++)bestr[k]=r[k];}}else{for(int i=t;i<=n;i++){swap(r[i],r[t]);Backtrack(t+1);swap(r[i],r[t]);}}}运行结果：5、5-15#include <iostream>using namespace std;const int N=100;const int K=100;int best=9999;int n; //任务数int k; //机器数int len[K];int t[N];int x[N];int bestx[N];void backtrack(int a);void main(){cout<<"请输入任务的个数：";cin>>n;cout<<"请输入机器的个数：";cin>>k;cout<<"请依次输入各个任务的时间：";for(int i=1;i<=n;i++)cin>>t[i];backtrack(1);cout<<"最优时间为："<<best<<endl;for(int j=1;j<=n;j++)cout<<"第"<<j<<"个任务在"<<bestx[j]<<"号机器上"<<endl; }void backtrack(int a){if(a>n){for(int j=1;j<=n;j++)bestx[j]=x[j];int time=0;//for循环内求完成任务的时间for(int i=1;i<=k;i++){if(len[i]>time)time=len[i];}if(time<best)best=time;}else{for(int i=1;i<=k;i++){len[i]+=t[a];x[a]=i;if(len[i]<best)backtrack(a+1);len[i]-=t[a];}}}运行结果：。