2011—2017年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编——15.几何证明选讲

A
B
C
D E F
G
15．几何证明选讲
一、解答题
（2016·22）【选修4-1：几何证明选讲】
如图，在正方形ABCD 中，E ，G 分别在边DA ，DC 上（不与端点重合），且DE =DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F . （Ⅰ）证明：B ，C ，G ，F 四点共圆；
（Ⅱ）若AB =1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积.
（2015·22）如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，⊙O 与△ABC 的底边BC 交于M 、N 两点，与底边上的高AD 交于点G ，且与AB ，AC 分别相切于E ，F 两点. （Ⅰ）证明：EF ∥BC ；
（Ⅱ）若AG 等于⊙O 的半径，且
AE=MN=EBCF 的面积.
（2014·22）如图，P 是⊙O 外一点，P A 是切线，A 为切点，割线PBC 与⊙O 相交
于点B 、C ，PC =2P A ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E . 证明：（Ⅰ）BE = EC ；
（Ⅱ）AD ·DE = 2PB 2.
（2013·22）如图，CD 为ABC △外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，
E ，
F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且BC AE DC AF ⋅=⋅，B 、E 、F 、C 四
点共圆.
（Ⅰ）证明：CA 是ABC △外接圆的直径；
（Ⅱ）若DB BE EA ==，求过B 、E 、F 、C 四点的圆的面积与ABC △外接圆面积的比值.
（2012·22）如图，D ，E 分别为△ABC 边AB ，AC 的中点，直线DE 交于△ABC 的外接圆于F ，G 两点，若CF // AB ，证明： （Ⅰ）CD = BC ； （Ⅱ）△BCD ∽△GBD .
（2011·22）如图，D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 上的点，且不与△ABC 的顶点重合. 已知AE 的长为
m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程x 2-14x +mn =0的两个根. （Ⅰ）证明：C 、B 、D 、E 四点共圆；
（Ⅱ）若∠A =90º，且m =4，n =6，求C 、B 、D 、E 所在圆的半径.
A
B C
D E F
G
15．几何证明选讲（逐题解析版）
（2016·22）【选修4-1：几何证明选讲】
如图，在正方形ABCD 中，E ，G 分别在边DA ，DC 上（不与端点重合），且DE =DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F .
（Ⅰ）证明：B ，C ，G ，F 四点共圆；
（Ⅱ）若AB =1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积.
22. 证明：（Ⅰ）∵DF CE ⊥，∴Rt Rt DEF CED △∽△，∴GDF DEF BCF ∠=∠=∠，
DF CF DG BC =，∵DE DG =，CD BC =，∴DF CF
DG BC =，∴GDF BCF △∽△，
∴CFB DFG ∠=∠，∴GFB GFC CFB ∠=∠+∠90GFC DFG DFC =∠+∠=∠=︒， ∴180GFB GCB ∠+∠=︒．∴B ，C ，G ，F 四点共圆．
（Ⅱ）∵E 为AD 中点，1AB =，∴1
2DG CG DE ===，∴在Rt GFC △中，GF GC =，连接GB ，
Rt Rt BCG BFG △≌△，∴111
2=21=222BCG BCGF S S =⨯⨯⨯△四边形．
（2015·22）如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，⊙O 与△ABC 的底边BC 交于M 、N 两点，与底边上的高AD 交于点G ，且与AB ，AC 分别相切于E ，F 两点. （Ⅰ）证明：EF ∥BC ；
（Ⅱ）若AG 等于⊙O 的半径，且
AE=MN=EBCF 的面积.
（2015·22）解析：（Ⅰ）由于ABC ∆是等腰三角形，AD BC ⊥，所以AD 是CAB
∠的平分线，又因为⊙O 分别与AB ，AC 相切于点E ，F ，所以AE AF =，故A D E F ⊥，从而//EF BC . （Ⅱ）由（Ⅰ）知，AE AF =，AD EF ⊥，故AD 是EF 的垂直平分线.又EF 为⊙O 的弦，所以O 在AD 上. 连结,OE OM ，则OE AE ⊥，由AG 等于⊙O 的半径得
2AO OE =，所以30OAE ∠=，因此ABC ∆和AEF ∆都是等边三角形.
因
为
AE =，所以4,2AO OE ==. 因
为
1
2,32
O M O E
D M N ====所以1OD =. 于是5,AD
=3
AB =
. 所以四边形EBCF
的面积为22112
2⨯⨯=
（2014·22）如图，P 是⊙O 外一点，P A 是切线，A 为切点，割线PBC 与⊙O 相交
于点B 、C ，PC =2P A ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E . 证明：（Ⅰ）BE = EC ；
（Ⅱ）AD ·DE = 2PB 2.
（2014·22）解析：（Ⅰ）∵PC =2P A ，PD =DC ，∴P A =PD ，△P AD 为等腰三角形. 连接AB ，则∠P AB = ∠DEB =β，∠BCE =∠BAE =α，∵∠P AB +∠BCE =∠P AB +∠BAD =∠P AD =∠PDA =∠DEB +∠DBE ，∴β+α=β+∠DBE ，即α=∠DBE ，亦即∠BCE =∠DBE ，所以BE =EC .
（Ⅱ）∵AD ·DE =BD ·DC ，P A 2=PB ·PC ，PD =DC =P A ， ∴BD ·DC =(P A -PB ) ·P A =PB ·PC -PB ·P A =PB ·(PC -P A )， ∴PB ·P A =PB ·2PB =2PB 2.
（2013·22）如图，CD 为ABC △外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，
E ，
F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且BC AE DC AF ⋅=⋅，B 、E 、F 、C 四
点共圆.
（Ⅰ）证明：CA 是ABC △外接圆的直径；
（Ⅱ）若DB BE EA ==，求过B 、E 、F 、C 四点的圆的面积与ABC △外接圆面积的比值.
（2013·22）解析：（Ⅰ）因为CD 为△ABC 外接圆的切线，所以∠DCB ＝∠A ，由题设知
BC DC
FA EA
=
，故△CDB ∽△AEF ，所以∠DBC ＝∠EF A .因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以∠CFE ＝∠DBC ，故∠EF A ＝∠CFE ＝90°.所以∠CBA ＝90°，因此CA 是△ABC 外接圆的直径．
（Ⅱ）连结CE ，因为∠CBE ＝90°，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE ，由DB ＝BE ，有CE ＝DC ，又BC 2＝DB ·BA ＝2DB 2，所以CA 2＝4DB 2＋BC 2＝6DB 2. 而DC 2＝DB ·DA ＝3DB 2，故过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为12
.
（2012·22）如图，D ，E 分别为△ABC 边AB ，AC 的中点，直线DE 交于△ABC 的外接圆于F ，G 两点，若CF // AB ，证明： （Ⅰ）CD = BC ； （Ⅱ）△BCD ∽△GBD .
（2012·22）解析：（Ⅰ） ∵D ，E 分别为△ABC 边AB ，AC 的中点，∴DE //BC . ∵CF //AB ，DF //BC ，∴CF //BD 且CF =BD ，∵又D 为AB 的中点，∴CF //AD 且CF =AD ，∴CD =AF . ∵CF //AB ，∴BC =AF ，∴CD =BC .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC //GF ，∴GB =CF =BD ，∠BGD =∠BDG =∠DBC =∠BDC ，∴△BCD ∽△GBD .
（2011·22）如图，D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 上的点，且不与△ABC 的顶点重合. 已知AE 的长为
m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程x 2-14x +mn =0的两个根. （Ⅰ）证明：C 、B 、D 、E 四点共圆；
（Ⅱ）若∠A =90º，且m =4，n =6，求C 、B 、D 、E 所在圆的半径.
G
（2011·22）解析：（Ⅰ）连结DE ，根据题意在△ADE 和△ACB 中，AD ×AB =mn =AE ×AC ，即
AB
AE
AC AD
，又∠DAE =∠CAB ，从而△ADE ∽△ACB ，因此∠ADE =∠ACB ，所以C 、B 、D 、E 四点共圆.
（Ⅱ）m =4，n =6，方程x 2-14x +mn =0的两根为2，12. 即AD =2，AB =12，取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G 、F 作AC 、AB 的垂线，两垂线交于点H ，连结D 、H ，因为C 、B 、D 、E 四点共圆，所
以圆心为H ，半径为DH . 由于∠A =90º，故GH ∥AB ，HF ∥AC . 从而HF =AG =5，DF =5，故半径为。