用函数单调性定义证明
函数的单调性(定义法)
函数的单调性知识点：1.函数单调性定义(1).定义法,对任意的x1,x2∈D,D⊆I,x1＞x2 ,若f(x1)−f(x2)＞0则称f(x)在D 内是单增，若f(x1)−f(x2)＜0则称f(x)在D内是单减.(2). 对定义在D上的函数f(x),设x1,x2∈D, D⊆I , x1＜x2,则有：①f(x1)−f(x2)x1−x2＞0⇔f(x)是D上的单调递增函数；②f(x1)−f(x2)x1−x2＜0⇔f(x)是D上的单调递减函数.(注意：函数的单调性的局部性(注意：函数的单调性，从定义上来讲，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特征，在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调。
求单调区间时，必须先求出函数的定义域；单调区间只能用区间表示，若有多个单调区，应分别写),函数的单调性最值主要涉及初等函数、复合函数、抽象函数、分段函数等情况.)2.复合函数的单调性：3.几种常见函数的单调性：f(x)=ax+bcx+d (abcd≠0,bc≠ad);f(x)=ax +bx(ab≠0)例1.多种方法判断下列函数的单调性：(1).f(x)=x + 1x x∈(0,1)(2).y=x−1xx∈（0，+∞）; (3).y=x3x∈R;(4).f(x)=axx²−1，x∈（-1,1）（a≠0）(5).f(x)=x+√1+x2，x∈R例2.(1).已知f(x)=x（x≠a）,若a＞0且f（x）在（1.+∞）内单调递减，求a的x−a在区间[1，2]上都是减函数，求a的取值取值范围. (2).若f(x)=−x2+2ax,与g(x)=ax+1范围.(3).已知函数f（x）= √3−ax（a≠1）若f（x）在区间（0,1］上是减函数，则a−1实数a的取值范围.(4).已知函数f（x）=√x²+1–ax（a＞0）①.证明当a≥1时，函数f（x）在区间[0，+∞）上为单调减函数.②.若函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求a的取值范围。
证明函数单调性的方法总结
证明函数单调性的方法总结导读：1、定义法:利用定义证明函数单调性的一般步骤是：①任取x1、x2∈D，且x1 ②作差f(x1)－f(x2)，并适当变形(“分解因式”、配方成同号项的和等)；③依据差式的符号确定其增减性．2、导数法:设函数y＝f(x)在某区间D内可导．如果f′(x)>0，则f(x)在区间D内为增函数；如果f′(x) 注意：(补充)（1）若使得f′(x)=0的x的值只有有限个，则如果f ′(x)≥0，则f(x)在区间D内为增函数；如果f′(x) ≤0，则f(x)在区间D内为减函数．（2）单调性的判断方法：定义法及导数法、图象法、复合函数的单调性(同增异减)、用已知函数的单调性等（补充）单调性的有关结论1．若f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数．2．若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减(增)函数，如果同时有f(x)>0，则为减(增）函数，为增（减）函数3．互为反函数的两个函数有相同的单调性．4．y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的'单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)、g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数．简称”同增异减”5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．函数单调性的应用(1)求某些函数的值域或最值．(2)比较函数值或自变量值的大小．(3)解、证不等式．(4)求参数的取值范围或值．(5)作函数图象．【证明函数单调性的方法总结】1.函数单调性的说课稿2.高中数学函数的单调性的教学设计3.导数与函数的单调性的教学反思4.高中函数单调性的教学设计5.《函数的单调性》的说课稿6.函数单调性教案练习题7.函数单调性说课课件8.《函数的单调性》教学设计上文是关于证明函数单调性的方法总结，感谢您的阅读，希望对您有帮助，谢谢。
定义法证明函数的单调性课件
证明二次函数单调性
总结词
通过二次函数的对称轴和开口方向，可以判断其单调性。
详细描述
对于二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$，其对称轴为$x = -\frac{b}{2a}$。如果函数的 开口向上（即$a > 0$），那么函数在对称轴左侧是单调递减的，在对称轴右侧是单调 递增的；如果函数的开口向下（即$a < 0$），那么函数在对称轴左侧是单调递增的，
回顾本次课件的主要内容
介绍了定义法证明函 数单调性的基本步骤 ；
提供了练习题，帮助 学生巩固所学知识。
通过例题演示了如何 运用定义法证明函数 单调性；
提出下一次课件的预告和要求
下一次课件将介绍函数的奇偶性 和周期性；
要求学生提前预习相关基础知识 ；
准备相关问题及疑惑，便于课堂 讨论和解答。
THANK YOU
单调函数的图像特征
递增函数的图像呈上升趋势，递减函数的图像呈下降趋势。
单调函数的性质
如果$f(x)$在区间$I$上单调递增，那么对于任意的$x_{1}, x_{2}$满足$x_{1} < x_{2}$， 都有$f(x_{1}) < f(x_{2})$；同样地，如果$f(x)$在区间$I$上单调递减，那么对于任意的 $x_{1}, x_{2}$满足$x_{1} < x_{2}$，都有$f(x_{1}) > f(x_{2})$。
数
练习题：证明$y=2x+1$在 $\mathbf{R}$上是增函数
二次函数单调性证明练习
总结词：理解二次函数的单调性
输标02入题
二次函数的一般形式是$y=ax^{2}+bx+c$，当 $a>0$时，函数在区间$( - \infty,\frac{-b}{2a})$上是 减函数，在区间$(\frac{-b}{2a},+\infty)$上是增函数
证明函数单调性的方法总结归纳
证明函数单调性的方法总结归纳1、定义法:利用定义证明函数单调性的一般步骤是：①任取x1、x2∈D，且x1②作差f(x1)－f(x2)，并适当变形(“分解因式”、配方成同号项的和等)；③依据差式的符号确定其增减性．2、导数法:设函数y＝f(x)在某区间D内可导．如果f′(x)>0，则f(x)在区间D 内为增函数；如果f′(x)注意：(补充)（1）若使得f′(x)=0的x的值只有有限个，则如果f ′(x)≥0，则f(x)在区间D内为增函数；如果f′(x) ≤0，则f(x)在区间D内为减函数．（2）单调性的判断方法：定义法及导数法、图象法、复合函数的单调性(同增异减)、用已知函数的单调性等（补充）单调性的有关结论1．若f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数．2．若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减(增)函数，如果同时有f(x)>0，则为减(增）函数，为增（减）函数3．互为反函数的两个函数有相同的单调性．4．y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)、g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数．简称”同增异减”5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．函数单调性的应用(1)求某些函数的值域或最值．(2)比较函数值或自变量值的大小．(3)解、证不等式．(4)求参数的取值范围或值．(5)作函数图象．搜集整理，仅供参考学习，请按需要编辑修改。
高中数学函数单调性的判定和证明方法(详细)
函数单调性的判定和证明方法（一）、定义法步骤：①取值，设x1＜x2, 并是某个区间上任意二值;②作差：；或作商：,≠0；③变形向有利于判断差值符号的方向变形；,≠0向有利于判断商的值是否大于1方向变形；（常用的变形技巧有：1、分解因式，当原函数是多项式时，作差后进行因式分解；2、通分，当原函数是分式函数时，作差后往往进行通分再进行因式分解；3、配方，当原函数是二次函数时，作差后考虑配方便于判定符号；4、分子有理化，当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化等）；④定号，判断的正负符号，当符号不确定时，需进行分类讨论；⑤下结论，根据函数单调性的定义下结论。
作差法：例1.判断函数在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．解：设－1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝＝∵－1<x1<x2，∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0.∴当a>0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递增．当a<0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．例2.证明函数在区间和上是增函数；在上为减函数。
（增两端，减中间）证明：设，则因为，所以,所以，所以所以设则，因为，所以，所以所以同理，可得作商法：例3.设函数y=f（x）定义在R上，对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n）且当x＞0时，0＜f（x）＜1（1）求证：f（0）=1 且当x＜0时，f（x）＞1（2）求证：f（x）在R上是减函数．证明：（1）∵对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），令m=1，n=0，可得f（1）=f（1）•f（0），∵当x＞0时，0＜f（x）＜1，∴f（1）≠0．∴f（0）=1．令m=x＜0，n=-x＞0，则f（m+n）=f（0）=f（-x）•f（x）=1，∴f（-x）f（x）=1，又∵-x＞0时，0＜f（-x）＜1，∴f(x)=1f(-x)＞1．（1）设x1＜x2，则x1-x2＜0，根据（1）可知 f（x1-x2）＞1，f（x2）＞0．∵f（x1）=f[（x1-x2）+x2]=f（x1-x2）•f（x2）＞f（x2），∴函数f（x）在R上单调递减．（二）、运算性质法.v1.0 可编辑可修改函数函数表达式单调区间特殊函数图像一次函数)0(≠+=kbkxy当0>k时，y在R上是增函数；当0<k时，y在R上是减函数。
函数单调的充要条件的证明
函数单调的充要条件的证明函数单调是数学中常用的术语，可以定义为图象上任意两点位置的变化情况，在函数的增加或减少方面表现为同一类型的增加或减少。
它是一种基本的函数性质，广泛应用于分析、统计及工程仿真中。
本文旨在为函数单调性提供一个可证明的充要条件，让读者能够从数学角度对函数单调性有更深入的认识。
首先，我们来定义函数单调性。
在函数的增加或减少方面，函数单调性定义为函数在图象上，任意二点（点A和点B）间的变化情况，在函数的增加或减少方面表现为同一类型的增加或减少。
在具体的例子中，可以把函数的减少看成负的增加，这样，就可以把函数的增加和减少一起考虑到单调性上。
接下来，我们来讨论函数单调性的充要条件。
一般来说，充要条件指的是，给定一系列条件，如果这些条件中的任何一个不能满足，则函数单调性不能被满足。
根据单调性定义的性质，充要条件可以总结如下：1.果在函数上的某两点之间，函数值的增量发生变化，且增量的符号（正负号）和大小一致，则说明该函数满足单调性；2.果在函数上的某两点之间，函数值的增量发生变化，且增量的符号（正负号）不一致，即增量大于或小于零时，则说明该函数不满足单调性。
总结以上内容，即可推出函数单调性的充要条件：如果函数在某两点之间，函数值的增量的符号（正负号）与其增量的大小保持一致，则该函数为单调函数。
接下来，我们来说明上述充要条件的有效性。
这里我们以二元函数为例，对函数单调性的充要条件进行证明。
首先，假设给定的函数f(x,y)在区间[a,b]上可导，且在[a,b]上函数f(x,y)的增量的符号（正负号）与其增量的大小保持一致，即增量大于或小于零时，增量的符号（正负号）具有一致性。
考虑函数f(x,y)在(x,y)处的偏导数和偏导数的三角表示：$frac{partial f(x,y)}{partial x}=left(frac{partialf}{partial x}(x,y)right)_{{rm y}}$$frac{partial f(x,y)}{partial y}=left(frac{partialf}{partial y}(x,y)right)_{{rm x}}$则有：${frac{partial f}{partial x}(x,y)} cdot {frac{partial f}{partial y}(x,y)} le 0$由此可推出，当函数f(x,y)在(x,y)处的增量的符号（正负号）与其增量的大小保持一致时，则函数f(x,y)在区间[a,b]上单调，且满足函数单调性的充要条件。
判断并证明函数的单调性
判断并证明函数的单调性
函数一般被定义为把一个或多个实数或复数等变量作为参数输入到定
义域中的一个实数的映射，舍入范围为实数，一般表示为f(x)。
在函数
的单调性分析中，我们探讨的是该函数的单调性，即符号表示f(x)的单
调增加或单调下降。
根据定义，如果满足两个式子，f(x_1)≤f(x_2)和f(x_2)≤f(x_1)，其中x_1<x_2，则f(x)是单调函数。
事实上，函数的单调性可以从它的导
数来判断，如果函数的导数全部为正，则函数是单调递增的，而如果函数
的导数全部为负，函数是单调递减的。
此外，函数的单调性也可以从函数的图形图中判断。
如果函数的图形
图是从左到右的单调递增，则函数是单调递增的；如果函数的图形图是从
左到右的单调递减，则函数是单调递减的。
换句话说，如果函数f(x)的图形表示为箭头从x_1的位置指向x_2
的位置，且x_1<x_2，则函数f(x)是单调增的；如果函数f(x)的图形表
示为箭头从x_2的位置指向x_1的位置，且x_2<x_1，则函数f(x)是单调
减的。
此外，可以通过根据函数f(x)对极值点的分析来判断函数的单调性。
当函数f(x)在曲线上从左到右连续递减时，即函数的导数全部为负，f(x)是单调减的；当函数f(x)在曲线上从左到右连续递增时，即函数的导数
全部为正，f(x)是单调增的。
函数单调性的判断或证明方法
函数单调性的判断或证明方法.（1）定义法。
用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①取值，设，且；②作差，求；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）向有利于判断差值符号的方向变形；④定号，判断的正负符号，当符号不确定时，应分类讨论；⑤下结论，根据函数单调性的定义下结论。
例1.判断函数在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．解：设－1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝＝∵－1<x1<x2，∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0.∴当a>0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递增．当a<0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．例2.证明函数在区间和上是增函数；在上为减函数。
（增两端，减中间）证明：设，则因为，所以,所以，所以所以设则，因为，所以，所以所以同理，可得（2）运算性质法.①在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．（增+增=增；减+减=减；增-减=增，减-增=减）②若.③当函数.④函数二者有相反的单调性。
⑤运用已知结论，直接判断函数的单调性，如一次函数、反比例函数等。
（3）图像法.根据函数图像的上升或下降判断函数的单调性。
例3.求函数的单调区间。
解：在同一坐标系下作出函数的图像得所以函数的单调增区间为减区间为.（4）复合函数法.（步骤：①求函数的定义域；②分解复合函数；③判断内、外层函数的单调性；④根据复合函数的单调性确定函数的单调性.⑤若集合是内层函数的一个单调区间，则便是原复合函数的一个单调区间，如例4；若不是内层函数的一个单调区间，则需把划分成内层函数的若干个单调子区间，这些单调子区间便分别是原复合函数的单调区间，如例5.）设，，都是单调函数，则在上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。
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用函数单调性定义证明
例1、用函数单调性定义证明:
(1)为常数)在上是增函数.
(2)在上是减函数.
分析：虽然两个函数均为含有字母系数的函数，但字母对于函数的单调性并没有影响，故无须讨论.
证明: (1)设是上的任意两个实数，且，
则
=
由得，由得， .
，，即 .
于是即 .
在上是增函数.
(2) 设是上的任意两个实数，且，
则
由得，由得
.又
， .
于是
即
.
在 上是减函数.
小结：由(1)中所得结论可知二次函数的单调区间只与对称轴的位置和开口方向有关，与常数 无关.若函数解析式是分式，通常变形时需要通分，将分子、分母都化成乘积的形式便于判断符号.
根据单调性确定参数
例1、函数
在
上是减函数，求 的取值集合.
分析：首先需要对 前面的系数进行分类讨论，确定函数的类型，再做进一步研究. 解：当 时，函数此时为
，是常数函数，在
上不
具备增减性. 当
时， 为一次函数，若在 上是减函数，则有
，解得
.故所求 的取值集合为
.
小结：此题虽比较简单，但渗透了对分类讨论的认识与使用.
例1、 设函数ax x x f -+=1)(2，其中0>a ，求a 的取值范围，使函数)(x f 在
区间[]+∞,0上是单调函数．
分析：由于函数的单调性不易直接判断，而且含有字母系数，求解过程中需要讨论字母的范围，因此可以从单调性定义出发，从定义求解释一种基本的方法，不可忽视．
解：
在[]+∞,0上任取1x ，2x ，使得21x x <
)()(21x f x f -
)(11212
221x x a x x --+-+=
)(1
12122
212
2
21x x a x x x x --+++-=
)1
1)(
(22
21
2121a x x x x x x -++++-=
（Ⅰ）当1≥a 时，因为11
122
21
21<++++x x x x ，
01
122
21
21<-++++a x x x x ，又
021<-x x ，
所以0)()(21>-x f x f ，即)()(21x f x f >
所以当1≥a 时，函数)(x f 在区间[]+∞,0上是单调递减函数 （Ⅱ）当10<<a 时，在区间[]+∞,0上存在两点01=x ，2
212a
a
x -=
，满足1)(1=x f ，1)(2=x f ，即)()(21x f x f =，所以函数)(x f 在区间[]+∞,0上不是单调函数．
综上，当且仅当1≥a 时，函数)(x f 在区间[]+∞,0上是单调递减函数． 当10<<a 时，函数)(x f 在区间[]+∞,0上不是单调函数．
小结：求解函数的单调性常用方法是将函数通过换元转化为熟悉函数，利用函数的性质求解，对于不熟悉的函数通常通过单调性的定义研究，还可以通过图象观察．。