(人教B版)高中数学必修四全册同步ppt课件：1-2-3
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(人教B版)高中数学必修四同步ppt课件：第3章全章回顾
1－ 10 1＋ 10 解得 sinα＝ 3 或 sinα＝ 3 (舍去)． 1－ 10 故 sinα＝ 3 .
例4
tanx＋1 已知 ＝3＋2 2，求： tanx－1
(1)1－2sinxcosx； sin3x＋cosx (2) . sinx－cosx
解析
tanx＋1 由 ＝3＋2 2，解得 tanx＝ 2. tanx－1
3－2m 9 3 ∵m≤4，∴ 2 ≥－4， 3 即 tan(α＋β)≥－ . 4 3 ∴tan(α＋β)的最小值为－ . 4
规律技巧
这一类问题要综合函数与方程的有关知识解
题， 本题注意利用韦达定理， 可求得 tan(α＋β)； 隐含条件 Δ≥0， 解题时一定不要丢掉．
二、转化与化归的思想 例 2 已知
第三章
三角恒等变换
本章回顾，总结升华
本章知识结构
本章回顾总结
数学思想方法
本章知识结构
梳理知识 夯实基础
本章回顾总结
梳理知识 夯实基础
1．在本章的学习中，化归的数学思想和方法被多次运用， 其中，既有从已知到未知的化归(如由余弦的差角公式，推出其 余的和(差)角公式)，也有从一般到特殊的化归(如从和角公式推 出倍角公式)．有了化归思想，就可以理解三角恒等式推导和变 形的思路．
式进行计算．
解析 (1)根据韦达定理，有 tanα＋tanβ＝－3 3，tanα· tanβ＝4， tanα＋tanβ －3 3 tan(α＋β)＝ ＝ ＝ 3， 1－tanαtanβ 1－4 ∴tan(α＋β)＝ 3.① 已知
π π α、β∈－2，2，也易知
tanα<0，tanβ<0，
2．利用本章各公式来进行三角式的恒等变形过程中，离不 开第一章所学的同角三角函数关系，诱导公式，以及三角函数 性质等基础知识．它们同属于三三角学有一个整体的把握． 3．把握公式的结构，这样才能准确应用公式，同时注意公 式的逆用、变形用．
(人教B版)高中数学必修四全册同步ppt课件：2-1-3
答案 D
例2
→ → → 如图所示，O 为△ABC 内一点，OA＝a，OB＝b，OC
＝c，求作 b＋c－a.
剖析
考查向量的三角形法则和平行四边形法则．
解析
→ → 解法 1： 以OB， OC为邻边作▱OBDC， 连接 OD、 AD，
→ → → 则OD＝OB＋OC＝b＋c， → → → ∴b＋c－a＝OD－OA＝AD，如图(1)所示．
(1)
(2)
→ → 解法 2：作CD＝OB＝b，连接 AD， → → → 则AC＝OC－OA＝c－a， → → → ∴b＋c－a＝b＋(c－a)＝CD＋AC＝AD，如图(2)所示．
规律技巧
运用三角形法则，作两个向量和的关键是作平
移，首尾连．作两个向量差的关键是作平移，共起点，两尾连， 指被减．当两向量不共线时，也可采用平行四边形法则．多个 向量相加减时要注意灵活运用运算律．
解析
→ → → → → → → OF－OE＝OF＋EO＝EO＋OF＝EF.
答案 B
4．在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是( → → A.AB＝DC → → → B.AD＋AB＝AC
)
→ → → → → C.AB－AD＝BD D.AD＋CB＝0
→ → → → 解析 AB－AD＝DB≠BD，故选C.
→ → → → (2)OP－QP－SQ－TS → → → → ＝OP＋PQ＋QS＋ST → ＝OT.
规律技巧
(1)向量的加、减法运算满足交换律、结合
律；(2)将向量的减法运算转化为向量的加法运算，一个向量 减去另一个向量就等于加上这个向量的相反向量．
变式训练1
化简下列各式：
→ → → → → → → ①AB＋BC＋CA；②AB－AC＋BD－CD； → → → → → → → ③OA－OD＋AD；④NQ＋QP＋MN－MP. 结果为零向量的个数是( A．1 B．2 ) C．3 D．4
例2
→ → → 如图所示，O 为△ABC 内一点，OA＝a，OB＝b，OC
＝c，求作 b＋c－a.
剖析
考查向量的三角形法则和平行四边形法则．
解析
→ → 解法 1： 以OB， OC为邻边作▱OBDC， 连接 OD、 AD，
→ → → 则OD＝OB＋OC＝b＋c， → → → ∴b＋c－a＝OD－OA＝AD，如图(1)所示．
(1)
(2)
→ → 解法 2：作CD＝OB＝b，连接 AD， → → → 则AC＝OC－OA＝c－a， → → → ∴b＋c－a＝b＋(c－a)＝CD＋AC＝AD，如图(2)所示．
规律技巧
运用三角形法则，作两个向量和的关键是作平
移，首尾连．作两个向量差的关键是作平移，共起点，两尾连， 指被减．当两向量不共线时，也可采用平行四边形法则．多个 向量相加减时要注意灵活运用运算律．
解析
→ → → → → → → OF－OE＝OF＋EO＝EO＋OF＝EF.
答案 B
4．在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是( → → A.AB＝DC → → → B.AD＋AB＝AC
)
→ → → → → C.AB－AD＝BD D.AD＋CB＝0
→ → → → 解析 AB－AD＝DB≠BD，故选C.
→ → → → (2)OP－QP－SQ－TS → → → → ＝OP＋PQ＋QS＋ST → ＝OT.
规律技巧
(1)向量的加、减法运算满足交换律、结合
律；(2)将向量的减法运算转化为向量的加法运算，一个向量 减去另一个向量就等于加上这个向量的相反向量．
变式训练1
化简下列各式：
→ → → → → → → ①AB＋BC＋CA；②AB－AC＋BD－CD； → → → → → → → ③OA－OD＋AD；④NQ＋QP＋MN－MP. 结果为零向量的个数是( A．1 B．2 ) C．3 D．4
(人教B版)高中数学必修四全册同步ppt课件：1-3-1-2
(2)最小正周期的定义 对于一个 周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个 最小的正数 ，那么这个最小正数 就叫做它的最小正周期．
2．正弦函数的图象和性质 函数
y＝sinx
图象
定义域 值域
奇偶性 周期
x∈R －1≤y≤1
奇函数 2π
函数
y＝sinx
单调性
在每一个闭区间 －π2＋2kπ，2π＋2kπ (k∈Z)上是 增函数； 在每一个闭区间 π2＋2kπ，32π＋2kπ(k∈Z )上是 减函数
(2)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω<0)，可先用诱导公式
转化为y＝－Asin(－ωx－φ)，则y＝－Asin(－ωx－φ)的增(减)区
间即为函数y＝Asin(ωx＋φ)的减(增)区间.
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
典例剖析
例1 求下列函数的值域． (1)y＝3－2sin2x(x∈R)； (2)y＝2sin2x＋3π－6π≤x≤π6； (3)y＝2cos2x＋5sinx－43π≤x≤56π. 剖析 利用正弦函数的值域求解．
x＋π2
＝
sinx，因此2π不是sinx的周期．
(2)“f(x＋T)＝f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内 的每一个值都成立，T是非零常数，周期T是使函数值重复出现 的自变量x的增加值．周期函数的周期不止一个，若T是周期， 则kT(k∈N＋)一定也是周期．
(3)对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最 小的正数，就称它为最小正周期，今后提到的三角函数的周 期，如未特别指明，一般都是指它的最小正周期．
答Байду номын сангаас C
4．下列大小关系正确的是( ) A．sin23π＜sin43π B．sin1＜sin3 C．sin116π＜sin43π D．sin－193π＜sin－256π
最新高中数学人教B版必修四1.1.2《弧度制和弧度制与角度制的换算》课件ppt.ppt
(1)把下列角化为2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)
①163π； ②－315°. (2)用弧度表示顶点在原点，始边重合于 x 轴的正半轴，终 边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图)．
[解析] (1)①163π＝4π＋43π. ∵0≤43π<2π，∴163π＝4π＋43π. ②－315°＝－315×1π80＝－74π＝－2π＋π4， ∵0≤π4<2π，∴－315°＝－2π＋π4. (2)135°＝135×1π80＝34π，225°可以看成是与－135°终边相 同的角，而－135°＝－34π， ∴阴影部分角的集合为{θ|－34π＋2kπ<θ<34π＋2kπ，k∈Z}．
• [答案] C
D．214π
[解析] －74π＝－2π＋π4，故选 C．
• 4．将－1 500°化为弧度是________．
[答案] －253π [解析] －1 500°＝－1 500×1π80＝－253π.
5．集合 A＝x|kπ＋π4<x<kπ＋π2，k∈Z，集合 B＝{x|6＋x－ x2≥0}，则 A∩B＝________.
(2)∵β1＝35π＝(35×180)°＝108°，与其终边相同的角为 108° ＋k·360°，k∈Z，
∴在－720°～0°范围内与 β1 有相同终边的角是－612°和－ 252°.
同理，β2＝－420°且在－720°～0°范围内与 β2 有相同终例讲练
•弧度制的概念问题
去设计一把富有美感的纸扇？要探索这个问题首先 要认识一种新的角度单位——弧度．
1．弧度制的概念 我们把弧长等于_半__径__长___的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的 角，用符号 rad 表示，读作弧度． 用__弧__度____作为单位来度量角的制度叫做弧度制． 用___度_____作为单位来度量角的制度叫做角度制．
①163π； ②－315°. (2)用弧度表示顶点在原点，始边重合于 x 轴的正半轴，终 边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图)．
[解析] (1)①163π＝4π＋43π. ∵0≤43π<2π，∴163π＝4π＋43π. ②－315°＝－315×1π80＝－74π＝－2π＋π4， ∵0≤π4<2π，∴－315°＝－2π＋π4. (2)135°＝135×1π80＝34π，225°可以看成是与－135°终边相 同的角，而－135°＝－34π， ∴阴影部分角的集合为{θ|－34π＋2kπ<θ<34π＋2kπ，k∈Z}．
• [答案] C
D．214π
[解析] －74π＝－2π＋π4，故选 C．
• 4．将－1 500°化为弧度是________．
[答案] －253π [解析] －1 500°＝－1 500×1π80＝－253π.
5．集合 A＝x|kπ＋π4<x<kπ＋π2，k∈Z，集合 B＝{x|6＋x－ x2≥0}，则 A∩B＝________.
(2)∵β1＝35π＝(35×180)°＝108°，与其终边相同的角为 108° ＋k·360°，k∈Z，
∴在－720°～0°范围内与 β1 有相同终边的角是－612°和－ 252°.
同理，β2＝－420°且在－720°～0°范围内与 β2 有相同终例讲练
•弧度制的概念问题
去设计一把富有美感的纸扇？要探索这个问题首先 要认识一种新的角度单位——弧度．
1．弧度制的概念 我们把弧长等于_半__径__长___的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的 角，用符号 rad 表示，读作弧度． 用__弧__度____作为单位来度量角的制度叫做弧度制． 用___度_____作为单位来度量角的制度叫做角度制．
(人教B版)高中数学必修四全册同步ppt课件：1-3-1-3
第一章 基本初等函数(Ⅱ)
1．3 三角函数的图象与性质
1．3.1 正弦函数的图象与性质
第三课时
正弦型函数y＝Asin(ω x＋φ )
课前预习目标
课Hale Waihona Puke 互动探究课前预习目标梳理知识 夯实基础
学习目标 1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义． 2．会用图象变换法画出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象.
自学导航 1.正弦型函数 2π (1)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0)中，周期T＝ ω ，频率f 1 ω ＝ ＝ . φ 叫做初相． T 2π (2)一般地，函数y＝Asinx的值域为[－|A|，|A|]φ，最大值为
|A| ，最小值为 －|A|， |A| 的大小，反映曲线y＝Asinx波动的大
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
典例剖析
例1
π 指出将 y＝sinx 的图象变换为 y＝sin(2x＋3)的图象的
两种方法． 剖析 1 π π x→2x→2(x＋ )＝2x＋ . 6 3
解析 1 y＝sinx
y＝sin2x
π π y＝sin 2 x＋6 ＝sin(2x＋3)．
)
A．最小正周期是π π B．直线x＝ 是f(x)图象的一条对称轴 12
π C．函数f(x)图象关于点－6，0对称
π D．f(x)的图象向右平移3个单位，可得到y＝sin2x的图象
π π 解析 f(x)的图象向右平移3个单位，得到函数y＝fx－3＝ π π π sin2 x－3＋3＝sin2x－3.
答案
D
4．函数y＝Asin(ωx＋φ)
π A＞0，ω＞0，|φ|＜ 2
1．3 三角函数的图象与性质
1．3.1 正弦函数的图象与性质
第三课时
正弦型函数y＝Asin(ω x＋φ )
课前预习目标
课Hale Waihona Puke 互动探究课前预习目标梳理知识 夯实基础
学习目标 1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义． 2．会用图象变换法画出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象.
自学导航 1.正弦型函数 2π (1)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0)中，周期T＝ ω ，频率f 1 ω ＝ ＝ . φ 叫做初相． T 2π (2)一般地，函数y＝Asinx的值域为[－|A|，|A|]φ，最大值为
|A| ，最小值为 －|A|， |A| 的大小，反映曲线y＝Asinx波动的大
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
典例剖析
例1
π 指出将 y＝sinx 的图象变换为 y＝sin(2x＋3)的图象的
两种方法． 剖析 1 π π x→2x→2(x＋ )＝2x＋ . 6 3
解析 1 y＝sinx
y＝sin2x
π π y＝sin 2 x＋6 ＝sin(2x＋3)．
)
A．最小正周期是π π B．直线x＝ 是f(x)图象的一条对称轴 12
π C．函数f(x)图象关于点－6，0对称
π D．f(x)的图象向右平移3个单位，可得到y＝sin2x的图象
π π 解析 f(x)的图象向右平移3个单位，得到函数y＝fx－3＝ π π π sin2 x－3＋3＝sin2x－3.
答案
D
4．函数y＝Asin(ωx＋φ)
π A＞0，ω＞0，|φ|＜ 2
(人教B版)高中数学必修四全册同步ppt课件：1-3-2-1
解析 π μ＝x＋ 6 x y＝cosμ 0 π － 6 1 π 2 2 π 6 0 π 5 π 6 －1 3 π 2 8 π 6 0 2π 11 π 6 1
描点作图(如图)．
例2
求下列函数的值域．
π π π (1)y＝3－2cos2x－3，x∈6，2；
(2)y＝－3sin
∴函数的值域为[1,4]． (2)y＝－3sin2x－4cosx＋4＝3cos2x－4cosx＋1.
π 2π 1 1 设t＝cosx，x∈3， 3 ，∴t∈－2，2.
∴y＝3t
2
1 1 －4t＋1在t∈－2，2时单调递减，
1 15 ∴当t＝－2时，ymax＝ 4 ，
π x＋ 2
的图象相同，
π 于是把正弦曲线向左平移 2 个单位就可以得到余弦函数的图 象． (2)余弦函数图象上有五个起关键作用的点，这五个点是
(0,1) 、π，0、 (π，－1) 、3π，0、 (2π，1)． 2 2
2．余弦函数的性质： (1)定义域为R，值域为 [－1,1] ，周期为2π.
)
答案 C
名师点拨 1.正弦曲线与余弦曲线的关系 把y＝sinx的图象向左平移 π 2 个单位就得到y＝cosx的图
象．这说明余弦曲线的形状和正弦曲线相同，只是位置不同而 已．学了余弦曲线以后，应在同一坐标系中，画出[0,2π]上的 正弦曲线和余弦曲线，标出两条曲线与坐标轴的交点坐标并观 察曲线，弄明白它们的相同点和不同点．抓住[0,2π]上这一周 期的曲线的区别，就不会将两条曲线混淆．
自测自评
π 1.下列函数中，在 0，2 上为增函数且以π为周期的函数是
(
) x A．y＝sin 2 C．y＝－cosx B．y＝sin2x D．y＝－cos2x
(人教B版)高中数学必修四全册同步ppt课件：1-3-3
[0，π] 上有唯一的x值和它对应，记为 x＝arccosy 1,1])，那么在
(其中－1≤y≤1,0≤x≤π)，即 arccosy表示[0，π]上余弦值等于y 的那个角． 3．一般地，对于正切函数y＝tanx，x∈ 每一个正切值y，在开区间
π π － ， 2 2 π π － ， 2 2
π π (1)α∈－2，2；
(2)α∈[0,2π]； (3)α为第三象限角； (4)α∈R.
解析
π π (1)∵正弦函数在闭区间 －2，2 上是增函数，∴符
1 合sinα＝－2条件的角只有一个．
π 1 π 又∵sin－6＝－2，∴α＝－6.
1 (2)∵sinα＝－ 2 <0，∴α是第三或第四象限角，由正弦函数 1 的单调性，符合sinα＝－2条件的角有两个．
第一章 基本初等函数(Ⅱ)
1．3 三角函数的图象与性质
1．3.3 已知三角函数值求角
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
学习目标 1.会由已知三角函数值求角． 2．了解反正弦、反余弦、反正切的意义，并会用符号 arcsinx，arccosx，arctanx表示角.
自学导航 已知三角函数值求角的相关概念 1．一般地，对于正弦函数y＝sinx，如果已知函数值y(y∈
π π 1 根据诱导公式sinπ＋6＝－sin6＝－2和 π π 1 7 11 sin2π－6＝－sin6＝－2得α＝6π或α＝ 6 π.
7 (3)∵α是第三象限角，在闭区间[0,2π]内有α＝ 6 π，∴符合
7π 1 . x | x ＝ ＋ 2 k π ， k ∈ Z 条件sinα＝－2的第三象限角的集合是 6
(其中－1≤y≤1,0≤x≤π)，即 arccosy表示[0，π]上余弦值等于y 的那个角． 3．一般地，对于正切函数y＝tanx，x∈ 每一个正切值y，在开区间
π π － ， 2 2 π π － ， 2 2
π π (1)α∈－2，2；
(2)α∈[0,2π]； (3)α为第三象限角； (4)α∈R.
解析
π π (1)∵正弦函数在闭区间 －2，2 上是增函数，∴符
1 合sinα＝－2条件的角只有一个．
π 1 π 又∵sin－6＝－2，∴α＝－6.
1 (2)∵sinα＝－ 2 <0，∴α是第三或第四象限角，由正弦函数 1 的单调性，符合sinα＝－2条件的角有两个．
第一章 基本初等函数(Ⅱ)
1．3 三角函数的图象与性质
1．3.3 已知三角函数值求角
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
学习目标 1.会由已知三角函数值求角． 2．了解反正弦、反余弦、反正切的意义，并会用符号 arcsinx，arccosx，arctanx表示角.
自学导航 已知三角函数值求角的相关概念 1．一般地，对于正弦函数y＝sinx，如果已知函数值y(y∈
π π 1 根据诱导公式sinπ＋6＝－sin6＝－2和 π π 1 7 11 sin2π－6＝－sin6＝－2得α＝6π或α＝ 6 π.
7 (3)∵α是第三象限角，在闭区间[0,2π]内有α＝ 6 π，∴符合
7π 1 . x | x ＝ ＋ 2 k π ， k ∈ Z 条件sinα＝－2的第三象限角的集合是 6
(人教B版)高中数学必修四全册同步ppt课件：2-2-3
解析
∵a＝(x,1)，b＝(4，x)，
若 a∥b，则 x· x－1×4＝0， 即 x2＝4，∴x＝± 2. 当 x＝－2 时，a 与 b 方向相反． ∴当且仅当 x＝2 时，a 与 b 共线且方向相同．
答案
2
名 师 点 拨 x1 y1 1.设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．若 ＝ ，则一定有 a∥b， x2 y2 但反过来则不一定． 2．利用向量平行的坐标表示可以解决的问题有： (1)三点共线的问题． (2)判断两条直线平行问题． 注意：0 与任何一个向量都平行．
5 5 3 1 M2，2，N2，2， 5 5 5 5 → ∴AM＝2，2－(0,0)＝2，2， 5 3 1 5 → CN＝2，2－(4,3)＝－2，－2.
5 5 5 5 又∵2×－2－2×－2＝0， → → ∴AM与CN共线．
例2
→ → → 已知向量OA＝(k,12)，OB＝(4,5)，OC＝(－k,10)，且
A、B、C 三点共线，则 k＝________. 剖析 → → → → 若 A、 B、 C 三点共线， 则AB∥BC； 反过来若AB∥BC，
则 A、B、C 三点共线．
解析
→ → → AB＝OB－OA＝(4－k，－7)，
解析
∵a∥b，∴1×4－2x＝0，∴x＝2.
答案
D
2．已知平面向量 a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且 a∥b，则 2a ＋3b＝( )
A．(－5，－10) B．(－4，－8) C．(－3，－6) D．(－2，－4)
解析
∵a∥b，∴1×m－2×(－2)＝0，
∴m＝－4. ∴2a＋3b＝(2,4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．
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第一章 基本初等函数(Ⅱ)
1.2 任意角的三角函数
1．2.3
同角三角函数的基本关系式
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
学习目标 1.掌握同角三角函数的基本关系式． 2．能正确运用同角三角函数的基本关系式进行求值、化 简和证明.
自学导航 同角三角函数的基本关系：
2 2 sin α ＋ cos α＝1 . 1．平方关系：
自测自评 3 1.已知α是第四象限角，且sinα＝－ ，则tanα＝( 5 3 A. 4 4 C.3 3 B．－ 4 4 D．－3 )
解析
∵α是第四象限角，∴cosα>0，由sin2α＋cos2α＝
4 sinα 3 1，得cosα＝ ，∴tanα＝ ＝－ . 5 cosα 4
答案 B
2．若sinα＋3cosα＝0，则tanα的值为( A．3 1 C.3 B．－3 1 D．－3
5 由α在第三象限知cosα＝－ 5 . 解法2：(锐角示意图法) 先视α为锐角，作锐角示意图，如图，则 5 cos∠ABC＝ 5 . 5 ∵α是第三象限角，∴cosα＝－ 5 .
规律技巧 也需要掌握好．
解法1是比较基础的作法，而解法2比较精巧，
变式训练1
(1)若sinα＝－
4 5
，且α是第三象限角，求
2 sinA ＝ 9 2 2 2 cos A 3 由 得，cos A＝11，∴sin A＝11. 2 2 sin A＋cos A＝1 22 ∴sinA＝ . 11
答案 22 11
名师点拨 1.当已知一个角的某一个三角函数值时，利用两个关系 式，就可以求出这个角的另外两个三角函数值．用平方关系时 注意符号的选取． 2．除了掌握两个基本公式外，还要熟练掌握其等价形 式： sin2α＋cos2α＝1⇔sin2α＝1－cos2α⇔cos2α＝1－sin2α； sinα tanα＝cosα⇔sinα＝tanα· cosα.
2
3 1 2 ＝2tan α－2tanα＋5· 2 1＋tan α 9 1 1 103 ＝ 2×9＋2＋5 · ＝ . 20 10
2
1－
6 3 2 ＝ ， 3 3
6 sinα 3 tanα＝ ＝ ＝ 2. cosα 3 3 当α是第四象限角时， sinα＝－ 1－cos α＝－ sinα tanα＝cosα＝－ 2.
2
1－
6 3 2 ＝－ 3 . 3
2 (3)∵tanα＝－ 2 <0，∴α是第二、四象限角． sinα 2 tanα＝ ＝－ 2 ， 1 2 2 2 cos α 由 可得sin α＝3，cos α＝3. 2 2 sin α＋cos α＝1， 3 6 当α是第二象限角时，sinα＝ 3 ，cosα＝－ 3 . 3 6 当α是第四象限角时，sinα＝－ ，cosα＝ . 3 3
子，一般来说，关于sinα和cosα的齐次式都可化为关于tanα的 函数式．
解析
sinα 1 (1)由tanα＝ cosα ＝－ 3 得cosα＝－3sinα，代入所求
4sinα－2－3sinα 10 sinα 5 式得 ＝ ＝－6. 5－3sinα＋3sinα －12 sinα 3 2sin α－2cosα· sinα＋5cos2α (2)原式＝ cos2α＋sin2α
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
典例剖析
例1 剖析
已知α是第三象限角且tanα＝2，求cosα的值． 考查同角三角函数的两个基本关系式．
解析
解法1：(公式法)由tanα＝2知
sinα cosα
＝2，sinα＝
2cosα，sin2α＝4cos2α，而sin2α＋cos2α＝1， 1 ∴4cos2α＋cos2α＝1，cos2α＝5.
)
解析 sinα ＝－3. cosα
∵sinα＋3cosα＝0，∴sinα＝－3cosα，∴tanα＝
答案 B
3．若sin4α＋cos4α＝1，则sinα＋cosα的值为( A．± 2 C．－1 B．1 D．± 1
)
解析
sin4α＋cos4α＝(sin2α＋cos2α)2－2sin2αcos2α＝1－
cosα，tanα的值； 3 (2)若cosα＝ ，求sinα，tanα的值； 3 2 (3)若tanα＝－ ，求sinα，cosα的值． 2
解析
4 (1)∵sinα＝－ ，α是第三象限角， 5
2
3 ∴cosα＝－ 1－sin α＝－ ， 5 sinα 4 5 4 tanα＝cosα＝－5×－3＝3. 3 (2)∵cosα＝ >0，∴α是第一、四象限角． 3 当α是第一象限角时， sinα＝ 1－cos α＝
例2
1 已知tanα＝－3，求下列各式的值．
4sinα－2cosα (1) ； 5cosα＋3sinα 3 (2)2sin α－2sinαcosα＋5cos2α；
2
1 (3) . 1－sinαcosα
剖析
由于已知条件为切，所求式为弦，故应想办法将切
化弦，或将弦化切(这是一种分析综合的思想)．若切化弦，应 sinα 1 把条件tanα＝cosα＝－3代入所求式，消去其中一种函数名，再 进一步求值；若弦化切，应把所求式化成用 tanα表示的式
sinα tanα＝cosα 2．商数关系： .
思考探究 1.同角三角函数的基本关系式对任意角α都成立吗？ 提示 平方关系对任意角都成立．商数关系对任意不等于
π kπ＋2(k∈Z)的角都成立．
2．你知道“同角”的含义吗？ 提示 “同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对
“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)的关系式都成立， 与角的表达形式无关．如：sin23α＋cos23α＝1等.
2sin2αcos2α＝1. ∴sin2α· cos2α＝0，即sinα· cosα＝0. 当sinα＝0时，cosα＝± 1. 当cosα＝0时，sinα＝± 1. ∴sinα＋cosα＝± 1.
答案
D
2 4．在△ABC中，若tanA＝ 3 ，则sinA＝________.
解析
2 ∵tanA＝ 3 ，∴∠A是锐角，∴cosA>0，sinA>0，
1.2 任意角的三角函数
1．2.3
同角三角函数的基本关系式
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
学习目标 1.掌握同角三角函数的基本关系式． 2．能正确运用同角三角函数的基本关系式进行求值、化 简和证明.
自学导航 同角三角函数的基本关系：
2 2 sin α ＋ cos α＝1 . 1．平方关系：
自测自评 3 1.已知α是第四象限角，且sinα＝－ ，则tanα＝( 5 3 A. 4 4 C.3 3 B．－ 4 4 D．－3 )
解析
∵α是第四象限角，∴cosα>0，由sin2α＋cos2α＝
4 sinα 3 1，得cosα＝ ，∴tanα＝ ＝－ . 5 cosα 4
答案 B
2．若sinα＋3cosα＝0，则tanα的值为( A．3 1 C.3 B．－3 1 D．－3
5 由α在第三象限知cosα＝－ 5 . 解法2：(锐角示意图法) 先视α为锐角，作锐角示意图，如图，则 5 cos∠ABC＝ 5 . 5 ∵α是第三象限角，∴cosα＝－ 5 .
规律技巧 也需要掌握好．
解法1是比较基础的作法，而解法2比较精巧，
变式训练1
(1)若sinα＝－
4 5
，且α是第三象限角，求
2 sinA ＝ 9 2 2 2 cos A 3 由 得，cos A＝11，∴sin A＝11. 2 2 sin A＋cos A＝1 22 ∴sinA＝ . 11
答案 22 11
名师点拨 1.当已知一个角的某一个三角函数值时，利用两个关系 式，就可以求出这个角的另外两个三角函数值．用平方关系时 注意符号的选取． 2．除了掌握两个基本公式外，还要熟练掌握其等价形 式： sin2α＋cos2α＝1⇔sin2α＝1－cos2α⇔cos2α＝1－sin2α； sinα tanα＝cosα⇔sinα＝tanα· cosα.
2
3 1 2 ＝2tan α－2tanα＋5· 2 1＋tan α 9 1 1 103 ＝ 2×9＋2＋5 · ＝ . 20 10
2
1－
6 3 2 ＝ ， 3 3
6 sinα 3 tanα＝ ＝ ＝ 2. cosα 3 3 当α是第四象限角时， sinα＝－ 1－cos α＝－ sinα tanα＝cosα＝－ 2.
2
1－
6 3 2 ＝－ 3 . 3
2 (3)∵tanα＝－ 2 <0，∴α是第二、四象限角． sinα 2 tanα＝ ＝－ 2 ， 1 2 2 2 cos α 由 可得sin α＝3，cos α＝3. 2 2 sin α＋cos α＝1， 3 6 当α是第二象限角时，sinα＝ 3 ，cosα＝－ 3 . 3 6 当α是第四象限角时，sinα＝－ ，cosα＝ . 3 3
子，一般来说，关于sinα和cosα的齐次式都可化为关于tanα的 函数式．
解析
sinα 1 (1)由tanα＝ cosα ＝－ 3 得cosα＝－3sinα，代入所求
4sinα－2－3sinα 10 sinα 5 式得 ＝ ＝－6. 5－3sinα＋3sinα －12 sinα 3 2sin α－2cosα· sinα＋5cos2α (2)原式＝ cos2α＋sin2α
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
典例剖析
例1 剖析
已知α是第三象限角且tanα＝2，求cosα的值． 考查同角三角函数的两个基本关系式．
解析
解法1：(公式法)由tanα＝2知
sinα cosα
＝2，sinα＝
2cosα，sin2α＝4cos2α，而sin2α＋cos2α＝1， 1 ∴4cos2α＋cos2α＝1，cos2α＝5.
)
解析 sinα ＝－3. cosα
∵sinα＋3cosα＝0，∴sinα＝－3cosα，∴tanα＝
答案 B
3．若sin4α＋cos4α＝1，则sinα＋cosα的值为( A．± 2 C．－1 B．1 D．± 1
)
解析
sin4α＋cos4α＝(sin2α＋cos2α)2－2sin2αcos2α＝1－
cosα，tanα的值； 3 (2)若cosα＝ ，求sinα，tanα的值； 3 2 (3)若tanα＝－ ，求sinα，cosα的值． 2
解析
4 (1)∵sinα＝－ ，α是第三象限角， 5
2
3 ∴cosα＝－ 1－sin α＝－ ， 5 sinα 4 5 4 tanα＝cosα＝－5×－3＝3. 3 (2)∵cosα＝ >0，∴α是第一、四象限角． 3 当α是第一象限角时， sinα＝ 1－cos α＝
例2
1 已知tanα＝－3，求下列各式的值．
4sinα－2cosα (1) ； 5cosα＋3sinα 3 (2)2sin α－2sinαcosα＋5cos2α；
2
1 (3) . 1－sinαcosα
剖析
由于已知条件为切，所求式为弦，故应想办法将切
化弦，或将弦化切(这是一种分析综合的思想)．若切化弦，应 sinα 1 把条件tanα＝cosα＝－3代入所求式，消去其中一种函数名，再 进一步求值；若弦化切，应把所求式化成用 tanα表示的式
sinα tanα＝cosα 2．商数关系： .
思考探究 1.同角三角函数的基本关系式对任意角α都成立吗？ 提示 平方关系对任意角都成立．商数关系对任意不等于
π kπ＋2(k∈Z)的角都成立．
2．你知道“同角”的含义吗？ 提示 “同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对
“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)的关系式都成立， 与角的表达形式无关．如：sin23α＋cos23α＝1等.
2sin2αcos2α＝1. ∴sin2α· cos2α＝0，即sinα· cosα＝0. 当sinα＝0时，cosα＝± 1. 当cosα＝0时，sinα＝± 1. ∴sinα＋cosα＝± 1.
答案
D
2 4．在△ABC中，若tanA＝ 3 ，则sinA＝________.
解析
2 ∵tanA＝ 3 ，∴∠A是锐角，∴cosA>0，sinA>0，