人教版八年级数学上册课外辅导专题讲义： 12.1 全等三角形(无答案)-最新学习文档
人教版八年级数学上册 12.1 全等三角形 讲义(word版,无答案)
人教版八年级数学上册 12.1 全等三角形讲义（word版，无答案）八年级上册12.1 全等三角形题型一确定全等三角形的对应边和对应角 1.根据对应角找其他对应元素---------------------------------------------------------------------------------------如图，△AFB 全等于△AEC，∠A=60°，∠B=26°，求∠BOC 的度数？题型二利用全等三角形的性质求线段的长---------------------------------------------------------------------------------------如图，△ACF≌△DBE，若AD＝11，BC＝7，求线段AB 的长．题型三利用全等三角形的性质证明线段或角相等---------------------------------------------------------------------------------------如图，AB＝AC，AD＝AE，B，D，E，C 在同一条直线上.(1)BD 与CE 相等吗？请说明理由. 小华的思考过程如下：因为AB＝AC，所以∠B＝∠C 在△ABD 与△ACE 中，因为AB＝AC，∠B＝∠C，AD＝AE 所以△ABD≌△ACE，所以BD＝CE.请判断小华的思考过程是否正确，若正确，请说明每一步的理由；若不正确，请指出错在哪里？你的思考过程如何？请写出来，并说明每一步的理由；题型五利用全等三角形的性质判断线段的位置关系1.判定平行关系---------------------------------------------------------------------------------------如图，已知△ABC≌△DEF，小明观察图形后得出AB∥DE，EF∥CB 的结论，你能说明其中的道理吗？2.判定垂直关系---------------------------------------------------------------------------------------如图，Rt△ABC≌Rt△DEB，点A，B，D 在同一直线上，AC=1，DE=3，则△BCE 的面积为．题型六利用全等三角形的性质解决图形变换问题1.利用全等三角形的性质解决平移问题---------------------------------------------------------------------------------------如图，将直角△ABC 沿BC 方向平移得直角△DEF，其中AB=8，BE=10，DM=4，求阴影部分的面积．2.利用全等三角形的性质解决旋转问题---------------------------------------------------------------------------------------如图所示，将△ABC 绕点A 旋转之后得△ADE，则下列结论不正确的是（）A.BC=DEB.∠E=∠CC.∠EAC=∠BADD.∠B=∠E3.利用全等三角形的性质解决翻折问题---------------------------------------------------------------------------------------如图，将长方形ABCD 沿AE 折叠，使点D 落在边BC 上的点F 处.若∠BAF＝60°，则∠DAE 等于( ).A.15°B.30°C.45°D.60°题型七利用全等三角形的性质求图形的面积---------------------------------------------------------------------------------------如图，四边形ABCD 是梯形，AD∥BC，若DE 交BC 的延长线于点E，且△ADC≌△ECD,试问：梯形ABCD 的面积和△BDE 的面积相等吗？说明理由.题型8 利用全等三角形的性质探究动点问题---------------------------------------------------------------------------------------如图所示，已知△ABC 中，AB=AC=10cm，BC=8cm，D 为AB 的中点，点P 在线段BC 上以3cm/s 的速度由点B 向点C 运动，同时，点Q 在线段CA 上由点C 向点A 以a cm/s 的速度运动，设运动的时间为ts.（1）求CP 的长（用含t 的代数式表示）；（2）若以C，P，Q 为顶点的三角形和以B，D，P 为顶点的三角形全等，且∠B 和∠C 是对应角，求a 的值.。
人教版八年级数学上册 第12章 全等三角形(基础) 专题复习讲义 (无答案)
全等三角形（基础）考点与实例分析讲点1：概念及性质：概念、表示方法、对应边、对应角、性质【例1】如图，点B，D，E，C在一条直线上，△ABD≌△ACE，∠AEC＝110，则∠DAE 的度数是（）．A．30°B．40°C．50°D．60°解答过程：解体后的思考：_________________________________________________________________．练1．1 如图，△ABC≌△BAD那么AB＝6 cm，BD＝5 cm，AD＝4 cm，那么AC的长是（）．A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．无法确定''',∠BCB'＝30°，则∠ACA'的度数是（）．练1．2 如图，△ABC≌△A B CA．20°B．30°C．35°D．40°讲点2：基本变化形式：平移、翻折、旋转【例2】如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为（）．A．15°B．20°C．30°D．45°解答过程:解体后的思考：_________________________________________________________________．练2．1 如图，Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF，下列结论中错误的是（）．A．AC＝DF B．EC＝CF C．∠DEF＝90°D．△DEF≌△ABC练2．2 如图，△ABC中，∠BAC＝60°将△ABC绕着点A顺时针旋转40°后得到△ADE，则∠BAE＝_________．考点3：利用全都三角形性质求未知的边、角'',若∠BCB'＝40°，AC⊥A B''，则∠BAC的度数是【例3】如图，△ACB≌△A CB（）．A．50°B．60°C．70°D．80°解答过程：解体后的思考：_________________________________________________________________．练3．1 如图，△ACE≌△DBF，若AD＝8，BC＝2，则AB得到长度等于（）．A．6 B．4 C．2 D．3练3．2 如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD、BE相交于点F，△ACD≌△BDF，若BD＝4 cm，CD＝2 cm，则△ABC的面积为__________cm2．【例4 】如图，E，F在BC上，AB＝DC，AF＝DE，BE＝CF，求证：△ABF≌△DCE．解答过程：解体后的思考：_________________________________________________________________．练3．3 如图，已知ACFE,BC＝DE，点A，D，B，F在同一条直线上，要利用“SSS”证明△ABC≌△FDE，还需要添加一个条件（）．A．AD＝FB B．BF＝DB C．DE＝BD D．以上都不对考点与课堂练习1．全等三角形是（）．A．三个角对应相等的两个三角形B．周长相等的两个三角形C．面积相等的两个三角形D．能够完全重合的两个三角形2．如图，若△OAD≌OBC，且∠O＝65°，∠C＝20°，则∠OAD＝________．3．如图，AB＝AD，CB＝CD，∠B＝30°，∠BAD＝46°，则∠ACD的度数是（）．A．120°B．125°C．127°D．104°4．如图，AB＝AD，BE＝DE，BC＝DC，则图中全都三角形有（）．A．1对B．2对C．3对D．4对5．如图，将正方形ABCD折叠，使边AB，BC均落在对角线BD上，得折痕BE，BF，则∠EBF的大小为（）．A．15°B．30°C．45°D．60°6．如图，△ABC的周长为30cm，把△ABC的边长AC对折，是顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，连接AD，若AE＝4cm，则△ABD的周长是（）．A．22 cm B．20 cm C．18 cm D．15 cm7．如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，点B落在B'位置，点A落在点A'位置，若AC⊥A B''，则∠BAC＝________．8．如图，将△ABC绕其顶点A顺时针旋转30°后，得到△AEF．（1）△ABC与△AEF的关系如何？（2）求∠EAB的度数．（3）△ABC绕其顶点A顺时针旋转多少度时，旋转后的△AEF的顶点F和△ABC的顶点C 与A在同一直线上？9．如图，已知△ABC≌△ADE，延长BC分别交AD，ED于点F、G，且∠CAD＝20°，∠B ＝∠D＝30°，∠EAB＝130°，求∠DFB和∠DGB的度数．10．如图，四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，求证：∠A＝∠C．11．如图，已知△ABC≌△DEF，且点D与点A对应，求证：（1）AB//DE；（2）DC＝AF．12．如图，AD＝BC，AB＝CD，求证：AB//CD．13．如图，AB＝DC，AC＝DB，求证：∠ABO＝∠DCO．14．如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的，若∠BAC＝150°，求∠ 的度数．课后反馈1．下列说法正确的是（）．A．全等三角形是指形状相同的两个三角形B．全等三角形是指面积相等的两个三角形C．全等三角形的周长和面积分别相等D．所有的等边三角形都是全都三角形2．如图，ABCAEF，则下列结论:①AB＝AE；②∠B＝∠E；③∠EAB＝∠F AB；④∠EAB＝∠F AC．其中正确的结论有（）．A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，△ABC≌△ADE，AB＝AD，AC＝AE，则∠BAE＝（）．A．∠ACB B．∠DAC C．∠CAE D．∠BAC4．如下图，D是BC上一点，AB＝AD，BC＝DE．（1）在条件①∠C＝∠E，②AC＝AE中，选择______可得△ABC≌△ADE（2）在（1）的条件下，求证：∠CDE＝∠BAD5．如图，△ABC≌△ADE，∠B＝∠D，则AC＝_______，∠BCA＝_______，∠BAE＝_______．6．如图，点B、F、C、E在同一直线上，△ABC≌△DEF，若BF＝2 cm，BC＝5 cm，则边BE的长为________ cm．7．如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BE＝CD．（1）求证：∠BAC＝∠EAD；（2）写出∠1，∠2，∠3之间的数量关系，并予以证明．8．如图，△AFB≌△AEC，∠A＝60°，∠B＝26°，求∠BOC的度数．9．如图，已知AD＝CB，DE＝BF，AF＝CE，求证：AD//CB。
八年级数学上册 12.1《全等三角形》知识讲解 全等三角形的概念和性质(提高)素材 (新版)新人教版
全等三角形的概念和性质〔提高〕【学习目标】1．理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确识别全等三角形的对应元素.2．掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题.【要点梳理】要点一、全等形形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.要点二、全等三角形能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.要点三、对应顶点，对应边，对应角1. 对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.要点诠释：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如以下列图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.2. 找对应边、对应角的方法〔1〕全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；〔2〕全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；〔3〕有公共边的，公共边是对应边；〔4〕有公共角的，公共角是对应角；〔5〕有对顶角的，对顶角一定是对应角；〔6〕两个全等三角形中一对最长的边〔或最大的角〕是对应边〔或角〕，一对最短的边〔或最小的角〕是对应边〔或角〕，等等.要点四、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等；要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.【典型例题】类型一、全等形和全等三角形的概念1、请观察以下列图中的6组图案，其中是全等形的是__________.【答案】〔1〕〔4〕〔5〕〔6〕；【解析】〔1〕〔5〕是由其中一个图形旋转一定角度得到另一个图形的，〔4〕是将其中一个图形翻折后得到另一个图形的，〔6〕是将其中一个图形旋转180°再平移得到的，〔2〕〔3〕形状相同，但大小不等.【总结升华】是不是全等形，既要看形状是否相同，还要看大小是否相等.举一反三：【变式1】全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形，假设△ABC和△A1B1C1是全等(合同)三角形，点A与点A1对应，点B 与点B1对应，点C与点C1对应，当沿周界A→B→C→A，及A1→B1→C1→A1环绕时，假设运动方向相同，那么称它们是真正合同三角形(如图1)，假设运动方向相反，那么称它们是镜面合同三角形(如图2)，两个真正合同三角形都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合，两个镜面合同三角形要重合，那么必须将其中一个翻转180°，以下各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是( )【答案】B；提示：抓住关键语句，两个镜面合同三角形要重合，那么必须将其中一个翻转180°，B答案中的两个三角形经过翻转180°就可以重合，应选B；其它三个选项都需要通过平移或旋转使它们重合.类型二、全等三角形的对应边，对应角2、如图，△ABD≌△CDB，假设AB∥CD，那么AB的对应边是〔〕A．DB B. BC C. CD D. AD【答案】C【解析】因为AB∥CD，所以∠CDB＝∠ABD，这两个角为对应角，对应角所对的边为对应边，所以，BC和DA为对应边，所以AB的对应边为CD.【总结升华】公共边是对应边，对应角所对的边是对应边.类型三、全等三角形性质3、如图，将长方形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果∠BAF＝60°，那么∠DAE等于〔〕．A.60°B.45°C.30°D.15°【思路点拨】△AFE是由△ADE折叠形成的，由全等三角形的性质，∠FAE＝∠DAE，再由∠BAD＝90°，∠BAF＝60°可以计算出结果.【答案】D；【解析】因为△AFE是由△ADE折叠形成的，所以△AFE≌△ADE，所以∠FAE＝∠DAE，又因为∠BAF＝60°，所以∠FAE＝∠DAE＝90602︒-︒＝15°.【总结升华】折叠所形成的三角形与原三角形是全等的关系，抓住全等三角形对应角相等来解题.举一反三：【变式】如图，在长方形ABCD中，将△BCD沿其对角线BD翻折得到△BED，假设∠1＝35°，那么∠2＝________.【答案】35°；提示：将△BCD沿其对角线BD翻折得到△BED，所以∠2＝∠CBD，又因为AD∥BC，所以∠1＝∠CBD，所以∠2＝35°.4、如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的，假设∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，∠α的度数是_________.【思路点拨】〔1〕由∠1，∠2，∠3之间的比例关系及利用三角形内角和可求出∠1，∠2，∠3的度数；〔2〕由全等三角形的性质求∠EBC，∠BCD的度数；〔3〕运用外角求∠α的度数.【答案】∠α＝80°【解析】∵∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，设∠1＝28x，∠2＝5x，∠3＝3x，∴28x＋5x＋3x＝36x＝180°，x＝5°即∠1＝140°，∠2＝25°，∠3＝15°∵△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的，∴△ABE≌△ADC≌△ABC∴∠2＝∠ABE，∠3＝∠ACD∴∠α＝∠EBC＋∠BCD＝2∠2＋2∠3＝50°＋30°＝80°【总结升华】此题涉及到了三角形内角和，外角和定理，并且要运用全等三角形对应角相等的性质来解决问题.见“比例〞设未知数x是比较常用的解题思路.举一反三：【变式】如图，在△ABC中，∠A:∠ABC:∠BCA ＝3:5:10，又△MNC≌△ABC，那么∠BCM：∠BCN等于〔〕A．1:2 B．1:3 C．2:3 D．1:4【答案】D；提示：设∠A＝3x，∠ABC＝5x，∠BCA＝10x，那么3x＋5x＋10x＝18x＝180°，x＝10°. 又因为△MNC≌△ABC，所以∠N＝∠B＝50°，CN＝CB，所以∠N＝∠CBN＝50°，∠ACB＝∠MCN＝100°，∠BCN＝180°－50°－50°＝80°，所以∠BCM：∠BCN＝20°：80°＝1：4.。
人教版数学八年级上册第12章第1课-12.1全等三角形(教案)
反思今天的整个教学过程，我认为在以下几个方面可以做出改进：
1.对于全等三角形的判定方法，我可以设计更多的例题和练习，让学生们在课堂上即时巩固所学知识，提高解题技巧。
-应用全等三角形的性质与判定方法解决实际问题：培养学生将理论知识应用于实际问题的能力。
-举例：设计一些实际问题的题目，如测量不规则图形的面积，要求学生运用全等三角形的性质与判定方法来解决。
2.教学难点
-理解全等三角形的判定方法的应用：学生在理解判定方法的基础上，需要能够将方法灵活应用于不同的问题场景中。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调全等三角形的定义和四种判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS）这两个重点。对于难点部分，我会通过具体图形和实际例题来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与全等三角形相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如用纸片制作全等三角形，并验证它们之间的全等关系。
3.判定全等三角形的实际应用：通过实际案例分析，运用全等三角形的判定方法解决实际问题。
4.全等三角形的性质与判定方法的综合运用：结合实际题目，让学生学会运用全等三角形的性质和判定方法进行解题。
5.全等三角形在实际生活中的应用：举例说明全等三角形在建筑、艺术、工程等领域中的应用，增强学生的实际应用意识。
在实践活动中，分组讨论和实验操作让学生们积极参与，主动探索全等三角形的性质。我发现这种互动式的学习方式能够有效提高学生的几何直观和动手能力。然而，我也观察到部分小组在讨论过程中，学生们对于如何将理论知识应用到实际问题中的思考还不够深入，这可能需要我在引导讨论时，提供更多具体的案例和问题来激发他们的思考。
人教版八年级数学上册课外辅导专题讲义 第12章 全等中的基本模型 (1)
模块一 平移型全等把一个图形经过平移、翻折、旋转后，它们的位置虽然变化了，但是形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等. 我们把平移、翻折（轴对称）、旋转称为几何变换. 这一讲我们就来学习基本变换下的全等三角形. 常见平移模型【引例】如图，A E F B 、、、四点在一条直线上，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =．求证：CF DE =能力提升【例1】 如图1，A 、B 、C 、D 在同一直线上，AB CD =，DE AF ∥，且.DE AF =求证：AFC DEB △≌△如果将BD 沿着AC 边的方向平行移动，图2，B 点与C 点重合时；图3，B 点在C 点右侧时，其余条件不变，结论是否成立，如果成立，请选择一种情况请予证明；如果不成立，请说明理由．图1F EDC BA图2FE D(C )B A图3FEDCB A全等中的基本模型FE DCB A模块二 对称型全等知识导航常见轴对称模型夯实基础【例2】 ⑴如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，BD和CE 交于点O ，AO 的延长线交BC 于F ，则图中全等直角三角形的对数为（ ）A.3对B.4对C.5对D.6对⑵如图，ABE △和ADC △是ABC △分别沿着AB ，AC 翻折到同一平面内形成的．若1:2:315:2:1∠∠∠=，则4∠=________．能力提升【例3】 如图，AB AC =，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，AM CD ⊥于M ，AN BE ⊥于N ．求证：AM AN =．E D N M C B A 4321EDCBAD O FE CBA【教师备选】在正ABC △内取一点D ，使DA DB =，在ABC △外取一点E ，使DBE DBC ∠=∠，且BE BA =，求BED ∠．模块三 旋转型全等知识导航常见旋转模型：夯实基础【引例】如图，在ABC △中，::3:5:10A B ACB ∠∠∠=，若将ACB△绕点C 逆时针旋转，使旋转后的A B C ''△中的顶点B '在原三角形的边AC 的延长线上时，求BCA '∠的度数．D E CB AD E C B A A'B'CBA能力提升【教师铺垫】如图，点C 为线段AB 上一点，ACM △、CBN △是等边三角形．请你证明：⑴AN BM =； ⑵60MFA ∠=； ⑶DEC △为等边三角形； ⑷DE AB ∥.【例4】 如图1，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，M 、N 分别EB ，CD 的中点，易证：CD=BE ，△AMN 是等边三角形．⑴当把△ADE 绕A 点旋转到图2的位置时，CD=BE 是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；⑵当把△ADE 绕A 点旋转到图3的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明；若不是，请说明理由．图2图3图1MNMN N MA BCDE ABC D E ABC EDM D NEC BFA【例5】 如图1，若四边形ABCD 、GFED 都是正方形，显然图中有AG =CE ，AG ⊥CE ．⑴当正方形GFED 绕D 旋转到如图2的位置时，AG =CE 是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；⑵当正方形GFED 绕D 旋转到B ，D ，G 在一条直线 （如图3）上时，连结CE ，设CE 分别交AG 、AD 于P 、H ，求证：AG ⊥CE ．PHG GG图1图3图2FABCEF ABC DEABC DEF D模块四 辅助线添加初步知识导航辅助线：在几何学中用来帮助解答疑难几何图形问题,在原图基础之上另外所作的具有极大价值的直线或者线段. 添辅助线的作用：凸显和集散1. 揭示图形中隐含的性质：当条件与结论间的逻辑关系不明朗时，通过添加适当的辅助线，将条件中隐含的有关图形的性质充分揭示出来，以便取得过渡性的推论，达到推导出结论的目的.2. 聚拢集中原则：通过添置适当的辅助线，将图形中分散、远离的元素，通过变换和转化，使他们相对集中，聚拢到有关图形上来，使题设条件与结论建立逻辑关系，从而推导出要求的结论.3. 化繁为简原则：对一类几何命题，其题设条件与结论之间在已知条件所给的图形中，其逻辑关系不明朗，通过添置适当辅助线，把复杂图形分解成简单图形，从而达到化繁为简、化难为易的目的.4. 发挥特殊点、线的作用：在题设条件所给的图形中，对尚未直接显现出来的各元素，通过添置适当辅助线，将那些特殊点、特殊线、特殊图形性质恰当揭示出来，并充分发挥这些特殊点、线的作用，达到化难为易、导出结论的目的.5. 构造图形的作用：对一类几何证明题，常须用到某种图形，这种图形在题设条件所给的图形中却没有发现，必须添置这些图形，才能导出结论，常用方法有构造出线段和角的和差倍分、新的三角形、直角三角形、等腰三角形等.【例6】 如图△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DG ⊥BC 且平分BC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F .⑴说明BE =CF 的理由；⑵如果AB =a ，AC =b ，求AE 、BE 的长.【例7】 如图1，已知ABC △中，1AB BC ==，90ABC =︒∠，把一块含30︒角的直角三角板DEF 的直角顶点D 放在AC 的中点上(直角三角板的短直角边为DE ，长直角边为DF )，将直角三角板DEF 绕D 点按逆时针方向旋转．直线DE 交直线AB 于M ，直线DF 交直线BC 于N ． ⑴ 在图1中， ①证明DM DN =；②在这一旋转过程中，直角三角板DEF 与ABC △的重叠部分为四边形DMBN ，请说明四边形DMBN 的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；G D ABC EF⑵ 继续旋转至如图2的位置，DM DN =是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；⑶ 继续旋转至如图3的位置，DM DN =是否仍然成立？请写出结论，不用证明．图3图2图1FFFEEEDDC CBB AA【点评】本题的辅助线是根据实际描述所产生的连线，这属于辅助线里最基本的添加方式.【探究对象】常见的全等三角形题目证明思路及辅助线作法【探究目的】除基本模型外，教师可以在常见辅助线版块进行拓展【探究一】证明两条线段相等的步骤：⑴观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等；⑵若图中没有全等三角形，可以把求证线段用和它相等的线段代换，再证它们所在的三角形全等；⑶如果没有相等的线段代换，可设法作辅助线构造全等三角形．【变式一】如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM 且与ABC ∠外角的平分线交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系？GA NB CD EM M E D C B NA【探究二】在一个图形中有多个垂直关系时，常用同角（等角）的余角相等来证明两个角相等，进而创造证明全等的条件．【变式二】如图，在Rt △ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，过A 作任一条直线AN ，作BD ⊥AN于D ，CE ⊥AN 于E ，求证：DE =BD －CE321N E DC BA【探究三】有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长，可归结为“角分垂等腰归”．【变式三】如图，在Rt△ABC中，AB = AC，∠BAC =90°，∠1 = ∠2 ，CE⊥BD的延长线于E，求证：BD=2CE【探究四】有二倍角时常用的辅助线⑴构造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的顶角的外角【变式四】如图，在△ABC中，∠1=∠2，∠ABC=2∠C，求证：AB＋BD =AC．EDC BA21D C BA【变式五】已知，在△ABC中，BD⊥AC于D，∠BAC = 2∠DBC，求证：∠ABC = ∠ACB ⑵平分二倍角法一：【解析】作∠BAC的平分线AE交BC于E，则∠BAE = ∠CAE = ∠DBC⑶加倍小角法二：【解析】作∠FBD =∠DBC，BF交AC于FEDC BAFAB CD探索创新【例8】 如图所示：AF CD =，BC EF =，AB DE =，A D ∠=∠．求证：BC EF ∥．【教师备选】已知AB=CD=AE=BC ＋DE =2，∠ABC ＝∠AED ＝90°，求五边形ABCDE 的面积．A BCD EFE D CBA实战演练题型一 平移型全等 巩固练习【练习1】 ⑴ 如图⑴，若AB CD =，A E F C 、、、在一条直线上，AE CF =，过E F 、分别作DE AC ⊥，BF AC ⊥．求证：BD 平分EF ．⑵ 若将DEC △的边EC 沿AC 方向移动到图⑵的位置时，其他条件不变，上述结论是否成立？请说明理由．(2)(1)ABCDE F GGFEDC BA【点评】 此题难度不大，老师们可以给学生说明图形平移变换的形式和它的简单性质，以及综合题的命题形式和思路．题型二 对称型全等 巩固练习【练习2】 如图，已知Rt △ABC ≌Rt △ADE ，90ABC ADE ∠=∠=︒，BC 与DE 相交于点F ，连接CD 、EB ． ⑴图中还有几对全等三角形，请你一一列举； ⑵求证：CF=EF ．FED CB A题型三 旋转型全等 巩固练习【练习3】 如图，在Rt ABC △中，AB AC AD BC =⊥，，垂足为D ．E F 、分别是CD AD 、上的点，且CE AF =．如果62AED ∠=︒，那 么DBF ∠=__________．【练习4】 如图，已知ABD △和AEC △都是等边三角形，AF CD ⊥于F ，AH BE ⊥于H ，请问：AF 和AH 有何 关系？请说明理由．题型四 辅助线添加初步 巩固练习【练习5】 如图①，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O (点O 也是BD 中点)按顺时针方向旋转．⑴ 如图②，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测量BM ，FN 的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想；⑵ 若三角尺GEF 旋转到如图③所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长线相交于点M ，线段BD 的延长线与G 的延长线相交于点N ，此时，⑴中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．③②①OOCB DAFGENMEGFADBCCA(G)F BA O HF ED A课后测测1.已知，如图：ABC DEF ∠=∠，AB DE =，要说明ABC △≌DEF △ （1）若以“SAS ”为依据，还要添加的条件为 ； （2）若以“ASA ”为依据，还要添加的条件为 ；测2.已知：如图，点E 是正方形ABCD 的边AB 上任意一点，过点D 作DF DE ⊥交BC 的延长线于点F ．求证：DE DF =．测3.已知：如图，OP 是AOC ∠和BOD ∠的平分线，OA OC =， OB OD =.求证：AB CD =．FEDCBA OPDCB AEDB A参考答案模块一 平移型全等【引例】 【解析】 ∵AC CE ⊥，BD DF ⊥∴90ACE BDF ∠=∠=︒ 在Rt ACE △和Rt BDF △中 AC BDAE BF =⎧⎨=⎩∴()Rt Rt HL ACE BDF △≌△ ∴CE DF =，AEC BFD ∠=∠ ∴CEF DFE ∠=∠ 在CEF △和DFE △中 CE DF CEF DFE EF FE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴CEF DFE △≌△ ∴CF DE =能力提升【例9】 如图1，A 、B 、C 、D 在同一直线上，AB CD =，DE AF ∥，且.DE AF =求证：AFC DEB △≌△【解析】 ∵DE AF ∥，∴A D ∠=∠．∵AB CD =，∴AB BC CD BC +=+，即AC DB =．在AFC △和DEB △中，AC DB A D AF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AFC △≌DEB △(SAS )． 另两结论均成立，证明同上．模块二 对称型全等知识导航常见轴对称模型夯实基础【例10】⑴如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD和CE交于点O，AO的延长线交BC于F，则图中全等直角三角形的对数为（）A.3对B.4对C.5对D.6对⑵如图，ABE△和ADC△是ABC△分别沿着AB，AC翻折到同一平面内形成的．若1:2:315:2:1∠∠∠=，则4∠=________．【解析】⑴D；⑵60︒；由外角得()422360∠=∠+∠=°.能力提升【例11】如图，AB AC=，D、E分别是AB、AC的中点，AM CD⊥于M，AN BE⊥于N．求证：AM AN=．【解析】证法一：∵AB AC=，∴ABC ACB∠=∠．∵D、E是AB、AC的中点，∴DB EC=，AD AE=．在DBC△与ECB△中，BC CB=，DBC ECB∠=∠，DB EC=，∴DBC ECB△≌△．∴BDC CEB∠=∠∵ADM BDC∠=∠，AEN CEB∠=∠，∴ADM AEN∠=∠．在AMD△与ANE△中，90M N∠=∠=︒，AD AE=，ADM AEN∠=∠，∴AMD ANE△≌△，∴AM AN=．EDNMCBA4321EDC BADOFECBA证法二：∵AB AC =，D 、E 是AB 、AC 的中点，∴AD AE =．在DAC △与EAB △中， AB AC =，AE AD =，DAC EAB ∠=∠， ∴DAC EAB △≌△， ∴ACD ABE ∠=∠． 又∵AM CD ⊥于M ，AN BE ⊥于N ． ∴90M N ∠=∠=︒， 在AMC △与ANB △中，AC AB =，ACM ABN ∠=∠，M N ∠=∠， ∴AMC ANB △≌△， ∴AM AN =．证法三：∵AB AC =，D 、E 是AB 、AC 的中点， ∴12ADC ABC S S =△△，12AEB ABC S S =△△，AD AE =，∴ADC AEB S S =△△，在ADC △与AEB △中，AD AE =，AC AB =，DAC EAB ∠=∠，∴ADC AEB △≌△，∴CD BE =． ∴1122CD AM BE AN ⋅=⋅， ∴AM AN =．【教师备选】在正ABC △内取一点D ，使DA DB =，在ABC △外取一点E ，使DBE DBC ∠=∠，且BE BA =，求BED ∠．【解析】 如图所示，连接DC .因为AD BD =，AC BC =，CD CD =，则ADC BDC △≌△， 故30BCD ∠=︒.而DBE DBC ∠=∠，BE AB BC ==，BD BD =， 因此BDE BDC △≌△，故30BED BCD ∠=∠=︒.E D N M C B A ED N M C B AD E CB AD E C B A模块三 旋转型全等【引例】如图，在ABC △中，::3:5:10A B ACB ∠∠∠=，若将ACB△绕点C 逆时针旋转，使旋转后的A B C ''△中的顶点B '在原三角形的边AC 的延长线上时，求BCA '∠的度数．【解析】 ∵::3:5:10A B ACB ∠∠∠=∴1018010018ACB ∠=︒⨯=︒∵由ACB △绕点C 旋转得到A'B'C △ ∴100A'CB'∠=︒∵180ACB A'CB'BCA'∠+∠-∠=︒ ∴100218020BCA'∠=︒⨯-︒=︒能力提升【教师铺垫】如图，点C 为线段AB 上一点，ACM △、CBN △是等边三角形．请你证明：⑴AN BM =； ⑵60MFA ∠=； ⑶DEC △为等边三角形； ⑷DE AB ∥.【解析】 此图是旋转中的基本图形．其中蕴含了许多等量关系．60MCN ∠=︒,AN BM =，CD CE =，AD ME =，ND BE =；AM CN ∥，CM BN ∥；DE AB ∥；ACN MCB △≌△，ADC MCE △≌△，NDC BEC △≌△；DEC △为等边三角形． ⑴∵ACM △、CBN △是等边三角形，∴MC AC =，CN CB =，ACN MCB ∠=∠ ∴ACN MCB △≌△，∴AN BM =. (找出图中所有的全等三角形，及相等的线段)⑵ 60MFA NAB MBA BMC MBA MCA ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒. (找出图中所有的60︒角) ⑶由ACN MCB △≌△易推得NDC BEC △≌△，所以CD CE =，又60MCN ∠=，进而可得DEC △为等边三角形． ⑷由⑶易得DE AB ∥．AFC BFC ∠=∠以后学习证明．【例12】 如图1，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，M 、N 分别EB ，CD 的中点，易证：CD=BE ，△AMN 是等边三角形．⑴当把△ADE 绕A 点旋转到图2的位置时，CD=BE 是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；⑵当把△ADE 绕A 点旋转到图3的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明；若不是，请说明理由．A'B'CBAMD NE C BFA图2图3图1MNMN N MA BCDE ABC D E ABC ED【解析】⑴CD =BE ．理由如下：∵△ABC 和△ADE 为等边三角形∴AB=AC ，AE=AD ，∠BAC=∠EAD =60o ∵∠BAE =∠BAC －∠EAC =60o －∠EAC ， ∠DAC =∠DAE －∠EAC =60o －∠EAC ， ∴∠BAE=∠DAC ， ∴△ABE ≌ △ACD （SAS ） ∴CD=BE⑵△AMN 是等边三角形．理由如下：∵△ABE ≌ △ACD （SAS ）， ∴∠ABE =∠ACD ． ∵M 、N 分别是BE 、CD 的中点，∴BM =1122BE CD CN ==又∵AB=AC ，∴△ABM ≌ △ACN （SAS ） ∴AM=AN ，∠MAB=∠NAC ．∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC =60o ∴△AMN 是等边三角形．【例13】 如图1，若四边形ABCD 、GFED 都是正方形，显然图中有AG =CE ，AG ⊥CE ．⑴当正方形GFED 绕D 旋转到如图2的位置时，AG =CE 是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；⑵当正方形GFED 绕D 旋转到B ，D ，G 在一条直线 （如图3）上时，连结CE ，设CE 分别交AG 、AD 于P 、H ，求证：AG ⊥CE ．PHG GG图1图3图2FABCEF ABC DEABC DEF D【解析】⑴AG CE =成立．∵四边形ABCD 、四边形DEFG 是正方形，∴,,GD DE AD DC == ∠GDE =∠90ADC =︒. ∴ ∠GDA =90°－∠ADE =∠EDC . ∴ △AGD ≌△CED (SAS) ∴ AG CE =⑵由⑴可知△AGD ≌△CED ， ∴∠GAD ＝∠ECD .∵∠EHA ＝∠DHC ，∠DHC ＋∠ECD ＝90°， ∴∠EHA ＋∠GAD ＝90° ∴∠APH ＝90︒. ∴AG CE ⊥．模块四 辅助线添加初步【例14】 如图△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DG ⊥BC 且平分BC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F .⑴说明BE =CF 的理由；⑵如果AB =a ，AC =b ，求AE 、BE 的长.【解析】⑴连接BD 、DCDG 垂直平分BC ，故△BDG ≌△CDG （SAS ） ∴BD ＝DC又∵AD 平分∠BAC ， DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，故△AED ≌△AFD （AAS ） ∴ED ＝DF故Rt △DBE ≌Rt △DFC （HL ） ∴BE ＝CFGDAB C EFGDABC E F⑵AB +AC ＝2AE2a bAE += 2a bBE -=【例15】 如图1，已知ABC △中，1AB BC ==，90ABC =︒∠，把一块含30︒角的直角三角板DEF 的直角顶点D 放在AC 的中点上(直角三角板的短直角边为DE ，长直角边为DF )，将直角三角板DEF 绕D 点按逆时针方向旋转．直线DE 交直线AB 于M ，直线DF 交直线BC 于N ． ⑴ 在图1中， ①证明DM DN =；②在这一旋转过程中，直角三角板DEF 与ABC △的重叠部分为四边形DMBN ，请说明四边形DMBN 的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；⑵ 继续旋转至如图2的位置，DM DN =是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；⑶ 继续旋转至如图3的位置，DM DN =是否仍然成立？请写出结论，不用证明．图3图2图1FFFEEEDDC CBB AA【解析】 ⑴ ①方法一：连接BD ，在Rt ABC △中， ∵AB BC =，AD DC =．∴DB DC AD ==，90BDC =︒∠．∴45ABD C ==︒∠∠．∵90MDB BDN CDN BDN +=+=︒∠∠∠∠， ∴MDB NDC =∠∠． ∴BMD CND △≌△． ∴DM DN =． 方法二：∵45A DBN ==︒∠∠．90ADM MDB BDN MDB +=+=︒∠∠∠∠． ∴ADM BDN =∠∠．NMEFDCBA∴ADM BDN △≌△． ∴DM DN =．②四边形DMBN 的面积不发生变化； 由①知：BMD CND △≌△， ∴BMD CND S S =△△．∴1124DBN DMB DBN DNC DBC ABC DMBN S S S S S S S =+=+===△△△△△△四边形．⑵ DM DN =仍然成立，证明：连接DB ． 在Rt ABC △中，∵AB BC =，AD DC =， ∴DB DC =，90BDC =︒∠． ∴45DCB DBC ==︒∠∠． ∴135DBM DCN ==︒∠∠．∵90CDN CDM BDM CDM +=+=︒∠∠∠∠， ∴CDN BDM =∠∠．∴CDN BDM △≌△．∴DM DN =．⑶ DM DN =．【探究一】证明两条线段相等的步骤：【变式一】如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM ⊥且与ABC ∠外角的平分线交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系？GA NB CD EM M E D C B NA【解析】 DM MN =.在AD 上截取AG AM =，∴DG MB =，∴45AGM =︒∠∴135DGM MBN ==︒∠∠，∴ADM NMB =∠∠， ∴DGM MBN ∆∆≌（ASA ），∴DM MN =．NME FD CB A N M E F DC BA【变式二】如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，过A作任一条直线AN，作BD⊥AN 于D，CE⊥AN于E，求证：DE=BD－CE【解析】∵∠BAC=90°，BD⊥AN∴∠1＋∠2 =90°∠1＋∠3=90°∴∠2 =∠3∵BD⊥AN，CE⊥AN∴∠BDA =∠AEC = 90°在△ABD和△CAE中，∠BDA =∠AEC∠2 = ∠3AB = AC∴△ABD ≌△CAE（AAS）∴BD = AE且AD = CE∴AE－AD = BD－CE∴DE = BD－CE【变式三】如图，在Rt△ABC中，AB = AC，∠BAC =90°，∠1 = ∠2 ，CE⊥BD的延长线于E，求证：BD=2CE【解析】分别延长BA、CE交于F∵BE⊥CF∴∠BEF =∠BEC =90°在△BEF和△BEC中∠1 = ∠2BE=BE∠BEF =∠BEC∴△BEF ≌△BEC (ASA)∴CE = FE =12 CF∵∠BAC = 90°, BE⊥CF ∴∠BAC = ∠CAF = 90°∠1＋∠BDA = 90°∠1＋∠BFC = 90°∠BDA = ∠BFC在△ABD和△ACF中∠BAC = ∠CAF∠BDA = ∠BFCAB = AC∴△ABD ≌△ACF(AAS) ∴BD = CF∴BD = 2CE321NEDCBAEDCBA21FEDCBA【变式四】如图，在△ABC 中，∠1=∠2，∠ABC =2∠C ，求证：AB ＋BD =AC ． 【解析】延长AB 到E ，使BE = BD ，连结DE则∠BED = ∠BDE∵∠ABD =∠E ＋∠BDE ∴∠ABC =2∠E ∵∠ABC =2∠C∴∠E = ∠C在△AED 和△ACD 中∠E = ∠C ∠1 = ∠2AD = AD∴△AED ≌△ACD (AAS)∴AC = AE∵AE = AB ＋BE ∴AC = AB ＋BE 即AB ＋BD = AC【变式五】已知，在△ABC 中，BD ⊥AC 于D ，∠BAC = 2∠DBC ，求证：∠ABC = ∠ACB ⑵平分二倍角 法一：【解析】作∠BAC 的平分线AE 交BC 于E ，则∠BAE = ∠CAE = ∠DBC∵BD ⊥AC∴∠CBD ＋∠C =90°∴∠CAE ＋∠C = 90°∵∠AEC =180°－∠CAE －∠C =90°∴AE ⊥BC∴△ABE ≌△ACE (ASA)∴∠ABC = ∠ACB⑶加倍小角 法二：【解析】作∠FBD =∠DBC ，BF 交AC 于F∴△FBD ≌△CBD (ASA) ∴∠BFC =∠C∵∠BFC =∠A +∠ABF ∠ABC =∠FBC +∠ABF ∵∠A = 2∠DBC=∠FBC ∴∠BFC =∠ABC =∠C E 21D CBA ED CBAF ABCD即∠ABC = ∠ACB探索创新【例16】如图所示：AF CD=，BC EF=，AB DE=，A D∠=∠．求证：BC EF∥．【解析】分别连接BF、CE、BE，利用SAS证得ABF△≌DEC△，∴BF CE=，利用SSS证得BFE△≌ECB△，∴BEF EBC∠=∠，∴BC EF∥．【点评】充分考虑已给条件，添加辅助线凸显条件.【教师备选】已知AB=CD=AE=BC＋DE=2，∠ABC＝∠AED＝90°，求五边形ABCDE的面积．【解析】延长CB至F，使BF=DE，连结AF∵∠ABC＝∠AED＝90°，AB=AE∴△ABF ≌△AED (SAS)∴AF=AD再证△ACF ≌△ACD (SSS)∴S△ACF=S△ACD=12CD AB=2∴S五边形ABCDE =4ABC DEFEDCBAFBACDEABC DEF实战演练题型一 平移型全等 巩固练习【练习6】 ⑴ 如图⑴，若AB CD =，A E F C 、、、在一条直线上，AE CF =，过E F 、分别作DE AC ⊥，BF AC ⊥．求证：BD 平分EF ．⑵ 若将DEC △的边EC 沿AC 方向移动到图⑵的位置时，其他条件不变，上述结论是否成立？请说明理由．(2)(1)ABCDE F GGFEDC BA【解析】 ⑴ ∵AE CF =，∴AE EF CF EF +=+，即AF CE =，∵DE AC ⊥，BF AC ⊥，∴90AFB CED ∠=∠=︒ ∴Rt Rt ABF CDE △≌△， ∴BF DE =，又BGF DGE ∠=∠， ∴BGF DGE △≌△，∴EG FG =，即BD 平分EF⑵ 仍然成立．证明方法同上，不再赘述． 【点评】 此题难度不大，老师们可以给学生说明图形平移变换的形式和它的简单性质，以及综合题的命题形式和思路．题型二 对称型全等 巩固练习【练习7】 如图，已知Rt △ABC ≌Rt △ADE ，90ABC ADE ∠=∠=︒，BC 与DE 相交于点F ，连接CD 、EB ． ⑴图中还有几对全等三角形，请你一一列举； ⑵求证：CF=EF ．【解析】⑴△ADC ≌△ABE ，△CDF ≌△EBF ⑵证法一：连接CE ∵Rt △ABC ≌Rt △ADE∴AC=AE ，ACB AED ∠=∠ ∴ACE AEC ∠=∠ ∴ACE ACB AEC AED ∠-∠=∠-∠即BCE DEC ∠=∠ FE D CB A FE D C B A∴CF=EF证法二：∵Rt △ABC ≌Rt △ADE∴AC=AE ，AD=AB ，CAB EAD ∠=∠ ∴CAB DAB EAD DAB ∠-∠=∠-∠即CAD EAB ∠=∠∴△ADC ≌△ABE (SAS) ∴CD=EB ，ADC ABE ∠=∠ 又∵ADE ABC ∠=∠ ∴CDF EBF ∠=∠ 又∵DFC BFE ∠=∠∴△CDF ≌△EBF (AAS) ∴CF=EF证法三：连接AF∵Rt △ABC ≌Rt △ADE∴,,90AB AD BC DE ABC ADE ==∠=∠=︒又∵AF AF =∴Rt ABF △≌Rt (HL)ADF ∆ ∴BF DF = 又∵BC=DE∴BC BF DE DF -=- 即CF=EF题型三 旋转型全等 巩固练习【练习8】 如图，在Rt ABC △中，AB AC AD BC =⊥，，垂足为D ．E F 、分别是CD AD 、上的点，且CE AF =．如果62AED ∠=︒，那 么DBF ∠=__________．【解析】28︒.【练习9】 如图，已知ABD △和AEC △都是等边三角形，AF CD ⊥于F ，AH BE ⊥于H ，请问：AF 和AH 有何 关系？请说明理由．【解析】 ∵ABD △和AEC △都是等边三角形，∴AD AB =，AC AE =，60DAB CAE ∠=∠=︒， ∴DAC BAE ∠=∠， ∴ADC ABE △≌△， ∴ADF ABH ∠=∠，∵AF CD ⊥，AH BE ⊥，F EDBA O HF ED CA FEDCBAFEDCBA∴90AFD AHB ∠=∠=︒， ∴ADF ABH △≌△， ∴AF AH =．题型四 辅助线添加初步 巩固练习【练习10】 如图①，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O (点O 也是BD 中点)按顺时针方向旋转．⑶ 如图②，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测量BM ，FN 的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想；⑷ 若三角尺GEF 旋转到如图③所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长线相交于点M ，线段BD 的延长线与G 的延长线相交于点N ，此时，⑴中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．③②①OOCB DAFGENMEGFADBCCA(G)【解析】 ⑴BM FN =．∵GEF △是等腰直角三角形，四边形ABCD 是正方形，∴45ABD F ∠=∠=︒，OB OF =．又∵BOM FON ∠=∠，∴OBM OFN △≌△．即BM FN =． ⑵BM FN =仍然成立．理由是：∵GEF △是等腰直角三角形，四边形ABCD 是正方形， ∴45DBA GFE ∠=∠=︒，OB OF =． ∴135MBO NFO ∠=∠=︒． 又∵BOM FON ∠=∠， ∴OBM OFN △≌△． ∴BM FN =．③②①OOCBDAFGE MN NMEGF ADBCCA(G)课后测测4.已知，如图：ABC DEF ∠=∠，AB DE =，要说明ABC △≌DEF △ （1）若以“SAS ”为依据，还要添加的条件为 ； （2）若以“ASA ”为依据，还要添加的条件为 ；【解析】 ⑴BE=CF 或BC=EF⑵∠A =∠D测5. 已知：如图，点E 是正方形ABCD 的边AB 上任意一点，过点D 作DF DE ⊥交BC 的延长线于点F ．求证：DE DF =．【解析】 ∵ADC EDF ∠=∠∴ADE CDF ∠=∠ 在ADE △和CDF △中 DAE DCF AD CD ADE CDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ADE CDF △≌△ ∴DE DF =测6.已知：如图，OP 是AOC ∠和BOD ∠的平分线，OA OC =， OB OD =.求证：AB CD =．【解析】 证明：∵OP 是AOC ∠和BOD ∠的平分线，∴,AOP COP BOP DOP ∠=∠∠=∠ ∴AOB COD ∠=∠在AOB △和COD △中， ,,,OA OC AOB COD OB OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AOB COD △≌△ ∴AB CD =FED C B A OPDCB AF ED C B A。
八年级数学上册 12.1《全等三角形》导学案2(无答案)(新版)新人教版
《全等三角形》使用说明：学生利用自习先预习课本，然后35分钟独立做完学案。
正课由小组讨论交流10分钟，25分钟展示点评，10分钟整理落实，对于有疑问的题目教师点拨、拓展。
【学习目标】1、了解全等形、全等三角形的概念，明确全等三角形对应边、对应角相等。
2、在列举生活中常见的的全等图形的过程中，学会判断对应边、对应角的方法。
3、积极投入，激情展示，做最佳自己。
教学重点：全等三角形的性质及寻找全等三角形的对应边、对应角。
教学难点：寻找全等三角形的对应边、对应角。
【学习过程】一、自主学习1、全等形。
回忆：举出现实生活中能够完全重合的图形的例子? 同一张底片洗出的同大小照片是能够完全重合的（如图）；能够完全重合的两个图形叫做 .(1) 一个图形经过平移,翻转,旋转后,位置变化了,但和都没有改变,即平移,翻转,旋转前后的图形。
(2) 如果两个图形全等，它们的形状大小一定都相同吗？全等形的特征是和2、全等三角形。
能够完全重合的两个三角形叫做（如下图）。
“全等”用符号“≌”来表示，读作“全等于”，如上图记作△ABC≌△A1B1C1叫对应顶点，A←→A1,B←→B1,C←→C1叫对应边，AB←→A1B1,AC←→ , ←→B1C1叫对应角,∠A←→∠A1,∠B←→∠ ,∠C←→∠注意：书写全等式时要求把对应顶点字母放在的位置上。
3、全等三角形的性质。
全等三角形的相等，相等。
用符号表示为∵△ABC≌△A1B1C1∴ AB=A1B1, BC=B1C1, AC=A1C1（全等三角形的 )∴∠ A= ∠ A1, ∠ B= ∠B1 ,∠ C= ∠C1（全等三角形的 )二、合作探究1、在找全等三角形的对应元素时一般有什么规律？有公共边的，公共边是对应边有公共角的，公共角是对应角有对顶角的，对顶角是对应角. 一对最长的边是对应边，一对最短的边是对应边；一对最大的角是对应角，一对最小的角是对应角。
根据上面的提示，你能总结寻找对应边、角的规律吗？2、如图:△ABC≌△DBF,找出图中的对应边,对应角.三、学以致用1、如图△ABC≌△ADE,若∠D=∠B，∠C= ∠AED，则∠DAE= ；∠DAB= 。
八年级数学上册同步精品讲义(人教版)：全等三角形(教师版)
【点睛】此题主要考查全等图形的判定，根据定义能够完全重合的两个图形叫做全等形得出是解题关键．
【知识拓展 2】全等图形相关问题 例 2．（2022·全国·八年级专题练习）下列说法不正确的是（ ） A．如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同 B．图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关 C．全等图形的面积相等，面积相等的两个图形是全等图形 D．全等图形的周长相等，面积相等 【答案】C
A．
B．
C．
D．
【答案】C 【分析】分析题目信息，要得到与另外三张不同的卡片，即依据全等图形的概念及旋转变换进行判断． 【详解】解：可知将选项 A 中的图形顺时针旋转 180°，即可与选项 B 中的图形重合， 将选项 B 中的图形顺时针旋转 90°，即可得到选项 D 中的图形， 故 A、B、D 中的三个图形全等， 分析 C 中图片人物，结合四个图片可以看出 C 选项中图形与其他三个不同．故选：C． 【点睛】本题考查了图形全等及变换，常见的图形变换包括平移、旋转、对称等几种情况，掌握图形全等 的概念是解本题的关键． 【即学即练】
【点睛】此题主要考查了全等图形的定义与性质，正确掌握全等图形的性质是解题关键．
【即学即练】
2.（2022·江苏·八年级专题练习）下列说法：①两个形状相同的图形称为全等图形；②边、角分别对应相等
的两个多边形全等；③全等图形的形状、大小都相同；④面积相等的两个三角形全等．其中正确的是（ ）
A．①②③
B．①②④
知识点 02 全等三角形
知识点 全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如三角形△ABC 和△DEF 全等，记作△ABC≌△ DEF。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 【微点拨】 （1）字母顺序确定法∶根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角。 （2）图形位置确定法：①公共边一定是对应边；②公共角一定是对应角；③对顶角一定是对应角; （3）图形大小确定法∶两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角），最小的边（角）是对应边（角）。 【知识拓展 1】全等三角形的定义
人教版八年级上册数学讲义：12.1全等三角形
问题一图P E 4321CB A课题:全等三角形中考要求1.了解全等三角形的有关概念。
2.探索两个三角形全等的条件。
3.掌握两个三角形全等的条件。
4.解决全等三角形与其他知识的综合问题。
知识梳理3.角平分线的性质：到角平分线上的点到角的两边的距离相等.4.角平分线性质的逆定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上.典例解析例1.阅读下题：如图，P 是△ABC 中BC 边上一点，E 是AP 上的一点，若EB ＝EC ，∠1＝∠2，求证：AP ⊥BC 。
证明：在△ABE 和△ACE 中，EB ＝EC ，AE ＝AE ，∠1＝∠2 ∴△ABE ≌△ACE （第一步） ∴AB ＝AC ，∠3＝∠4（第二步） ∴AP ⊥BC （等腰三角形三线合一） 上面的证明过程是否正确？若正确，请写出每一步的推理依据；若不正确，请指出关键错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程。
例2.已知：AB 、CD 相交于点O ，AC ∥DB ，OC=OD,E 、F 为AB 上两点，且AE=BF.求证：CE=DF例3.如图，已知在△ABC 中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2，求证：AB ＝AC ＋CD 。
分析：采用截长补短法，延长AC 至 E ，使AE ＝AB ，连结DE ；也可在AB 上 截取AE ＝AC ， 再证明EB ＝CD （证明略）。
例4.如图，已知AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，E 在BC 上，AE ＝AD ，AB ＝BC 。
求证：CE ＝CD 。
例2图21ED CBA 1．一般三角形全等的判定(1)如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为“SSS”； (2)如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为“SAS”； (3)如果两个三角形的两角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为“ASA”；(4)如果三角形的两角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为“AAS”．2．直角三角形全等的判定(1)两直角边对应相等的两直角三角形全等； (2)一边一锐角对应相等的两个直角三角形全等；(3)如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等，简记为“HL”．例1图 F EDCB A 分析：作AF ⊥CD 的延长线，寻求全等的条件，在证明两条线段（或两个角）相等时，若它们所在的两个三角形不全等，就必须添加辅助线，构造全等三角形，常见辅助线有：①连结某两个已知点；②过已知点作某已知直线的平行线；③延长某已知线段到某个点，或与已知直线相交；④作一角等于已知角。
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全等三角形【考点总汇】一、全等三角形的性质及判定定理 1.性质（1）全等三角形的对应边 ，对应角 。
（2）全等三角形的对应边的中线 ，对应角平分线 ，对应边上的高 ，全等三角形的周长 ，面积 。
2.判定定理（1）三边分别 的两个三角形全等（简写“边边边”或“ ”）。
（2）两边和它们的夹角分别 的两个三角形全等（简写“边角边”或“ ”）。
（3）两角和它们的夹边分别 的两个三角形全等（简写“角边角”或“ ”）。
（4）斜边和一条直角边分别 的两个直角三角形全等（简写“斜边、直角边”或“ ”）。
微拨炉：二、角的平分线1.性质：角的平分线上的点到角的两边的距离 。
2.判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在 。
3.三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离 。
微拨炉：高频考点1、全等三角形的判定与性质【范例】如图，在△ABC 中，CB AB =，90=∠ABC ，D 为AB 延长线上一点，点E 在BC 边上，且BD BE =，连接AE 、DE 、DC 。
（1）求证：△ABE ≌△CBD （2）若 30=∠CAE ，求BDC ∠的度数 得分要领：判定全等三角形的基本思路1.已知两边：（1）找夹角（SAS ）；（2）找直角（HL 或SAS ）；（3）找第三边（SSS ）。
2.已知两角：（1）找夹边（ASA ）；（2）找一边（AAS ）。
3.已知一边一角：（1）边为角的对边，找一角（AAS ）；（2）边为角的邻边①找夹边角（ASA ）；②找边的对角（AAS ）；③找夹角边（SAS ） 【考题回放】1.如图，AC 和BD 相交于点O ，OC OA =，OD OB =，求证：AB ∥CD 。
2.如图，已知：在△AFD 和△CEB 中，点C F E A ,,,在同一直线上，CF AE =，D B ∠=∠，AD ∥BC 。
求证：BC AD =。
3.已知，如图所示：AC AB =，CD BD =，AB DE ⊥于点E ，AC DF ⊥于点F ，求证：DF DE =。
高频考点2、角平分线的性质与判定【范例】如图，AD 是△ABC 中BAC ∠的平分线，ABDE ⊥于点E ，7=∆ABC S ，2=DE ，4=AB ，则AC 长是（ ） A.3 B.4 C.6 D.5 得分要领：解答与角平分线有关的题目时常作的辅助线： 1.过角平分线上一点向角两边作垂线，构造相等线段。
2.过角平分线上一点，作与角的一边平行的直线，构造等腰三角形。
3.过角平分线上一点，作角平分线的垂线，构造等腰三角形。
4.遇与角平分线垂直的线段时，延长垂线段与角的另一边相交，构造等腰三角形。
【考题回放】1.如图，△ABC 中，4=AB ，3=AC ，AE AD ,分别是其角平分线和中线，过点C 作AD CG ⊥于F ，交G AB 于，连接EF ，则线段EF 的长为（ ） A.21 B.1 C.27D.43 2.已知OC 是AOB ∠的平分线，点P 在OC 上，OA PD ⊥，OB PE ⊥，垂足分别为点E D ,，10=PD ，则PE 的长度为 。
3.如图，△ABC 中，90=∠C ，30=∠A 。
（1）用尺规作图作AB 边上的中垂线DE ，交AC 于点D ，交AB于点E （保留作图痕迹，不要求写作法和证明）。
（2）连接BD ，求证：BD 平分CBA ∠。
高频考点3、尺规作图【范例】如图，已知线段a 及O ∠，只用直尺和圆规，求作△ABC ，使a BC =，O B ∠=∠，B C ∠=∠2（在指定作图区域作图，保留作图痕迹，不写作法）。
得分要领：利用“尺规”作三角形的“五种类型” 1.已知三角形的三边，求作三角形。
2.已知三角形的两边及其夹角，求作三角形。
3.已知三角形的两角及其夹边，求作三角形。
4.已知三角形的两角及其中一角的对边，求作三角形。
5.已知直角三角形的一直角边和斜边，求作三角形。
【考题回放】1.用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹。
已知；线段a ，a ∠。
求作：△ABC ，使a AC AB ==，a B ∠=∠。
2.如图，在△ABC 中，先作BAC ∠的角平分线AD 交BC 于点D ，再以AC 边上的一点O 为圆心，过D A ,两点作⊙O （用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）。
3.如图，点D 在△ABC 的边AB 上，且A ACD ∠=∠。
（1）作BDC ∠的平分线DE ，交BC 于点E （用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）。
（2）在（1）的条件下，判断直线DE 与直线AC 的位置关系（不要求证明）。
4.如图，在Rt △ABC 中，90=∠ACB 。
（1）用尺规在边BC 上作一点P ，使PB PA =（不写作法，保留作图痕迹）。
（2）连接AP ，当B ∠为 度时，AP 平分CAB ∠。
【错误诊断】分析下面解题的错误并纠正在右边【例题】已知，如图，60=∠MON ，点B A ,为射线OM ，ON 上O 的动点（点B A ,不与点O 重合），且34=AB ，在MON ∠的内部、△AOB 的外部有一点P ，且BP AP =， 120=∠APB 。
（1）求AP 的长。
（2）求证：点P 在MON ∠的平分线上。
解：（1）过点P 作AB PQ ⊥于点Q 。
在Rt △APQ 中，设x PQ =，则x AP 2= 则有222)2()32(x x =+ 解得：2±=x∵0>x ∴2=x 即2=PQ 4=AP …………② （2）∵BP AP =∴点P 在MON ∠的平分线上………………………③【规避策略】1.理解定理的条件。
在运用角的平分线的判定定理时，一定要注意“距离”必须有垂直的条件，这是正确应用定理的前提。
2.显现基本图形。
通过作辅助线，显现出角的平分线定理的基本图形，为正确应用定理奠定基础。
【实战演练】1.如图，在△ABC 中，45=∠ABC ，8=AC ，F 是高AD 和BE 的交点，则BF 的长是（ ） A.4 B.6 C.8 D.9第1题 第2题2.如图，直线321,,l l l 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（ ）A.1处B.2处C.3处D.4处 3.如图，在△ABC 和△DEC 中，ACD BCE ∠=∠，EC BC =，请你添加一个条件，使得△ABC 和△DEC全等，并加以证明。
你添加的条件是 。
4.在Rt △ABC 中，90=∠ACB ，2=BC cm ，AB CD ⊥，在AC 上取一点E ，使BC EC =，过点E 作AC EF ⊥交CD 的延长线于点F ，若5=EF cm ，则=AE cm 。
5.如图，AD ∥BC ，ABC ∠的平分线BP 与BAD ∠的平分线AP 相交于点P ，作AB PE ⊥于点E 。
若2=PE ，则两平行EAB线AD 与BC 间的距离为 。
6.如图，Rt △ABC 中，90=∠ACB ，D 是边BC 上一点，点F E ,分别是线段AD AB ,中点，连接EF CF CE ,,。
求证：△CEF ≌△AEF 。
7.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线BD 平分ABC ∠，BAD ∠的平分线AE 交BC 于G F E ,,分别是ADAB ,的中点。
求证：EG EF =。
8.不再添加其他线段，如图，△ABC 与△ABD 中，AD 与BC 相交于O 点，21∠=∠，请你添加一个条件，不再标注或使用其他字母， 使BD AC =，并给出证明。
你添加的条件是： 。
9.如图，D B ∠=∠，请在不添加辅助线的情况下，添加一个适当的条件，使△ABC ≌△ADE 并证明。
（1）添加的条件是 。
（2）证明你的结论。
【限时小测】建议用时30分钟。
总分50分 一、选择题（每小题3分，共12分）1.如图，已知点F C D A ,,,在同一条直线上，DE AB =，EF BC =， 要使△ABC ≌△DEF ，还需要添加一个条件是（ ） A.F BCA ∠=∠ B.E B ∠=∠ C.BC ∥EF D.EDF A ∠=∠2.如图，已知△ABC 中，45=∠ABC ，4=AC ，点H 是高AD 和BE 的交点，则线段BH 的长度为（ ）A .4 B.5 C.32 D.63.如图，在Rt △ABC 中，90=∠C ，BC AC =，AD 是BAC ∠的平分 线，AB DE ⊥于点E 。
10=AB cm ，则△DBE 的周长是（ ） A.10cm B.8cm C.12cm D.9cm 4.如图，在△ABC 和△BDE 中，点C 在边BD 上，边AC 交边BE 于ACB点F 。
若BD AC =，ED AB =，BE BC =，则ACB ∠等于（ ） A.EDB ∠ B.BED ∠ C.AFB ∠21D.ABF ∠2 二、填空题（每小题4分，共12分）5.如图，AC AB =，要使△ABE ≌△ACD ，应添加的条件是 （添加一个条件即可）。
第5题 第6题6.如图，在Rt △ABC 中，90=∠A ，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，3=AD ，10=BC ，则△DBC 的面积是 。
7.点O 是△ABC 内一点，且点O 到三边的距离相等，60=∠A ，则BOC ∠的度数是 。
三、解答题（共26分）8.（12分）如图，在Rt △ABC 中，90=∠C ，AD 平分CAB ∠，AB DE ⊥于点E 。
若6=AC ，8=BC ，3=CD 。
（1）求DE 的长。
（2）求△ADB 的面积。
【培优训练】9.（14分）已知，如图2，∠1＝∠2，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于D ，AB+BC ＝2BD ，求证：∠BAP+∠BCP ＝180°。