概率统计与随机过程课件第六章 大数定律与中心极限定理-PPT精选文档
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大数定律与中心极限定理通用课件
01
中心极限定理
定义
中心极限定理：在大量独立同散布的 随机变量下，这些随机变量的平均值 的散布趋近于正态散布，即使这些随 机变量的散布本身并不一定是正态散 布。
中心极限定理是概率论和统计学中的 一个基本概念，它在许多领域都有广 泛的应用，如金融、生物、社会科学 等。
适用范围
中心极限定理适用于大量独立同散布的随机变量，这些随机变量的散布可以是任何散布，不一定是正 态散布。
实际应用案例
股票市场分析
总结词
股票市场分析
详细描述
大数定律和中心极限定理在股票市场分析中有着广泛的应用。股票价格的波动受到多种 因素的影响，包括市场情绪、公司事迹、宏观经济状况等。通过运用大数定律和中心极 限定理，投资者可以对股票价格进行概率分析和预测，从而做出更加理性的投资决策。
保险精算
总结词：保险精算
深化理论分析
虽然大数定律和中心极限定理已有较为完善的理论体系，但在某些特定场景下，其理论分析仍需进一步深化和完善。 例如，对于非独立同散布样本的情况，这两个定理的适用性和证明方法仍需进一步探讨和研究。
与其他理论的结合
大数定律和中心极限定理可以与其他概率论和统计学中的理论相结合，形成更为完善的理论体系。例如 ，可以与贝叶斯统计、马尔科夫链蒙特卡洛方法等理论相结合，用于解决更为复杂和实际的问题。
本课件采用了理论分析和实证研究相 结合的方法，对大数定律和中心极限 定理进行了深入探讨。通过分析大量 的实证数据，我们发现这两个定理在 许多实际场景中都得到了验证和应用 ，为相关领域的研究和实践提供了重 要的理论支持和实践指点。
未来研究方向
拓展应用领域
随着科技的发展和研究的深入，大数定律和中心极限定理的应用领域将不断拓展。例如，在人工智能和大数据领域， 这两个定理可以用于设计和优化算法，提高数据分析和预测的准确性和效率。
概率论与数理统计(浙大版)第五章第六章课件大数定律和中心极限定理
n
Yn x
lim P i1 n
n
x
x
证明略。
在实用上，n≥30
1
t2
e 2 dt
2
此定理表明，当n充分大时，Yn近似服从N 0,1.
n
即： X（i 近似）～N (n, n 2 ), i＝1
从而，P(a
n i 1
Xi
b)
(b n ) ( a n ).
n
n
答案：N (, 2 )
关键词： 总体 个体 样本 统计量
2 分布 t 分布 F 分布
23
引言：数理统计学是一门关于数据收集、整理、分析 和推断的科学。在概率论中已经知道，由于大 量的 随机试验中各种结果的出现必然呈现它的 规律 性，因而从理论上讲只要对随机现象进行 足够多次观察，各种结果的规律性一定能清楚 地呈现，但是实际上所允许的观察永远是有限 的，甚至是 少量的。 例如：若规定灯泡寿命低于1000小时者 为次 品，如何确定次品率？由于灯泡寿命试验是 破坏性试验，不可能把整批灯泡逐一检测，只 能抽取一部分灯泡作为样本进行检验，以样本 的信 息来推断总体的信息，这是数理统计学研 究的问题之一。
24
§1 总体和样本
总体：研究对象的全体。如一批灯泡。 个体：组成总体的每个元素。如某个灯泡。 抽样：从总体X中抽取有限个个体对总体进行观察的取值过程。 随机样本：随机抽取的n个个体的集合(X1,X2,…,Xn), n为样本容量 简单随机样本：满足以下两个条件的随机样本(X1,X2,…,Xn)称
2. 用泊松分布近似计算
np 400 0.02 8 查表得
P X 2 1 P X 0 P X 1 1 0.000335 0.002684 0.9969
Yn x
lim P i1 n
n
x
x
证明略。
在实用上，n≥30
1
t2
e 2 dt
2
此定理表明，当n充分大时，Yn近似服从N 0,1.
n
即： X（i 近似）～N (n, n 2 ), i＝1
从而，P(a
n i 1
Xi
b)
(b n ) ( a n ).
n
n
答案：N (, 2 )
关键词： 总体 个体 样本 统计量
2 分布 t 分布 F 分布
23
引言：数理统计学是一门关于数据收集、整理、分析 和推断的科学。在概率论中已经知道，由于大 量的 随机试验中各种结果的出现必然呈现它的 规律 性，因而从理论上讲只要对随机现象进行 足够多次观察，各种结果的规律性一定能清楚 地呈现，但是实际上所允许的观察永远是有限 的，甚至是 少量的。 例如：若规定灯泡寿命低于1000小时者 为次 品，如何确定次品率？由于灯泡寿命试验是 破坏性试验，不可能把整批灯泡逐一检测，只 能抽取一部分灯泡作为样本进行检验，以样本 的信 息来推断总体的信息，这是数理统计学研 究的问题之一。
24
§1 总体和样本
总体：研究对象的全体。如一批灯泡。 个体：组成总体的每个元素。如某个灯泡。 抽样：从总体X中抽取有限个个体对总体进行观察的取值过程。 随机样本：随机抽取的n个个体的集合(X1,X2,…,Xn), n为样本容量 简单随机样本：满足以下两个条件的随机样本(X1,X2,…,Xn)称
2. 用泊松分布近似计算
np 400 0.02 8 查表得
P X 2 1 P X 0 P X 1 1 0.000335 0.002684 0.9969
大数定律及中心极限定理.ppt
高斯在研究误差理论时已经用到正态分布，以炮弹射击误
差为例，设靶心是坐标原点，多次射击的结 Y
果，炮弹弹着点为(X,Y)，它是二维随机变 量，都认为它服从正态分布，它的每一 个
M (X,Y)
y
分量X和Y服从正态分布，这到底为什么？ 要搞清误差是怎样？
一般来说，如果某个随机变量是由大量相互独立的随机因 素综合影响形成的，而其中每一项因素对总和的影响是“均 匀微小的”，那么可以断定这个随机变量服从或近似服从正 态分布中心极限定理是用极严格的数学推导来论证这一事 实。下面介绍中心极限定理的基本形式。
二、两个中心极限定理
定理3（同分布的中心极限定理）设随机变量X1, X2, …,X n…独立同分布,且E(Xk)= ,D(Xk)=2≠0，
n n
引人随机变量
Xk
1，在第k次试验中A发生 0，在第k次试验中A不发生, k
1，2，, n
n
因而 n
X
，
k
k 1
X
1，X
，
2
X
n
相互独立均服从两点分布，
EXk p，DXk p1 p，
由切比雪夫大数定律，有
1
lim
n
P
|
n
n
Xk
k 1
p
|
l i m P | n
n n
p | 1
X = X1 + X2 + X3 + X4 + ······
而且这些小误差可以看成彼此相互是独立的，因此要讨论 X的分布，就要讨论独立随机变量和的分布问题，中心极限 定理就是研究在什么条件下独立随机变量序列和的极限分布 服从正态分布的一系列定理的总称。由于正态分布在概率论 理论和应用中占有中心地位，因此这些定理称为中心极限定 理。
大数定律和中心极限定理课件
决策制定
中心极限定理可以帮助我们在不确定 的情况下做出决策。例如，通过模拟 大量可能的结果并计算其分布，可以 评估不同决策的风险和收益。
04
大数定律与中心极限定理的 关联与区别
关联性分析
大数定律和中心极限定理都是概率论中 的重要定理，它们在某些方面存在关联。
大数定律描述了在大量独立重复试验中， 大数定律是中心极限定理的一种特例， 某一事件的相对频率趋于该事件的概率， 当随机变量数量趋于无穷时，中心极限
而中心极限定理则说明无论独立随机变 定理可以看作是大数定律的一种推广。 量的分布是什么，它们的和或积的分布
都趋于正态分布。
差异性分析
大数定律和中心极限定理在适用范围和表现形式 上存在差异。
大数定律的结论是相对频率趋于概率，而中心极 限定理的结论是随机变量和的分布趋于正态分布。
大数定律适用于大量独立重复试验中某一事件的 相对频率，而中心极限定理则适用于独立随机变 量的和或积的分布。
02
中心极限定理
定义
• 中心极限定理：在大量独立同分布的随机变量下，这些随机变 量的平均值的分布趋近于正态分布，即无论这些随机变量的分 布是什么，只要样本量足够大，其平均值的分布都将呈现出正 态分布的特征。
适用范 围
中心极限定理适用于大量独立同分布的随机变量，这些随 机变量的分布可以是离散的也可以是连续的。
在金融领域，中心极限定理也被广泛应用。例如，股票价格的波动可以看作是大 量投资者决策的独立同分布的随机变量，因此股票价格的平均值（即指数）的分 布也呈现出正态分布的特征。
03
大数定律与中心极限定理的 应用
在统计学中的应用
样本均值和总体均值的近似
大数定律表明，当样本量足够大时，样本均值趋近于总体均值，这为统计学中的参数估计提供了基础。
中心极限定理可以帮助我们在不确定 的情况下做出决策。例如，通过模拟 大量可能的结果并计算其分布，可以 评估不同决策的风险和收益。
04
大数定律与中心极限定理的 关联与区别
关联性分析
大数定律和中心极限定理都是概率论中 的重要定理，它们在某些方面存在关联。
大数定律描述了在大量独立重复试验中， 大数定律是中心极限定理的一种特例， 某一事件的相对频率趋于该事件的概率， 当随机变量数量趋于无穷时，中心极限
而中心极限定理则说明无论独立随机变 定理可以看作是大数定律的一种推广。 量的分布是什么，它们的和或积的分布
都趋于正态分布。
差异性分析
大数定律和中心极限定理在适用范围和表现形式 上存在差异。
大数定律的结论是相对频率趋于概率，而中心极 限定理的结论是随机变量和的分布趋于正态分布。
大数定律适用于大量独立重复试验中某一事件的 相对频率，而中心极限定理则适用于独立随机变 量的和或积的分布。
02
中心极限定理
定义
• 中心极限定理：在大量独立同分布的随机变量下，这些随机变 量的平均值的分布趋近于正态分布，即无论这些随机变量的分 布是什么，只要样本量足够大，其平均值的分布都将呈现出正 态分布的特征。
适用范 围
中心极限定理适用于大量独立同分布的随机变量，这些随 机变量的分布可以是离散的也可以是连续的。
在金融领域，中心极限定理也被广泛应用。例如，股票价格的波动可以看作是大 量投资者决策的独立同分布的随机变量，因此股票价格的平均值（即指数）的分 布也呈现出正态分布的特征。
03
大数定律与中心极限定理的 应用
在统计学中的应用
样本均值和总体均值的近似
大数定律表明，当样本量足够大时，样本均值趋近于总体均值，这为统计学中的参数估计提供了基础。
概率统计大数定律与中心极限定理课件
在样本量较大时，利 用大数定律证明统计 量的收敛性和稳定性 。
在样本量较大时，利 用大数定律提高估计 的准确性。
03
中心极限定理
棣莫弗-拉普拉斯定理
棣莫弗-拉普拉斯定理是中心极限定理的一种特殊形式，它描 述了当试验次数趋于无穷时，二项分布的累积分布函数收敛 于正态分布。
棣莫弗-拉普拉斯定理指出，当试验次数n足够大时，二项分 布B(n,p)的累积分布函数近似于正态分布N(np, np(1-p))，其 中p是成功概率。这个定理在概率论和统计学中有着广泛的应 用，因为它提供了二项分布和正态分布之间的联系。
THANKS
感谢观看
中心极限定理的应用
中心极限定理在统计学、金融、社会学等领域有着广 泛的应用，它帮助我们理解大量数据的分布规律和预 测未来的趋势。
中心极限定理的应用非常广泛。在统计学中，它用于 分析样本数据并推断总体特征，如计算置信区间和假 设检验。在金融领域，中心极限定理用于分析股票价 格、收益率等金融数据的分布，从而进行风险评估和 投资决策。在社会学中，中心极限定理用于研究人口 普查、选举投票等数据的分布规律，以了解社会现象 和预测未来趋势。此外，中心极限定理还在许多其他 领域中有着广泛的应用。
离散型随机变量
离散型随机变量的取值是 离散的，其概率分布可以 用概率质量函数或概率函 数表示。
连续型随机变量
连续型随机变量的取值是 连续的，其概率分布可以 用概率密度函数表示。
02
大数定律
弱大数定律
弱大数定律定义
在独立同分布的随机试验中，随 着试验次数的增加，样本均值的
期望值趋近于总体均值。
弱大数定律的证明
的结论。
区别
大数定律主要研究随机变量的平均值的稳定性，即当随机变量的数量趋于无穷大时，它们的 平均值将趋近于某个常数。而中心极限定理则研究随机变量和的分布特性，即当独立同分布 的随机变量数量趋于无穷大时，它们的和的分布趋近于正态分布。
大数定律及中心极限定理通用教学课件
VS
不同点
大数定律主要研究随机变量的算术平均值 在样本容量趋于无穷大时的性质，而中心 极限定理则研究随机变量的算术平均值在 样本容量趋于无穷大时的散布情况。
大数定律与中心极限定理的联系与区分
联系
大数定律和中心极限定理都是研究随机变量的性质和散布，它们都是概率论中的重要理论。
区分
大数定律主要研究随机变量的算术平均值在样本容量趋于无穷大时的性质，而中心极限定理则研究随机变量的算 术平均值在样本容量趋于无穷大时的散布情况。
总结词
金融风险管理中中心极限定理的应用
详细描述
中心极限定理在金融风险管理中有着广泛的 应用。通过将多个独立同散布的随机变量相 加，中心极限定理可以近似描述这些随机变 量的散布特征。在金融风险管理领域，可以 利用中心极限定理对投资组合进行优化，降
低投资组合的风险。
案例三
总结词
大数据分析中的大数定律与中心极限定理应用
社会科学等。
对未来学习的展望和建议
深入学习概率论和统计学
大数定律和中心极限定理是概率论和统计学中的基础知识，但它们的 应用范围非常广泛，需要进一步深入学习。
学习其他相关课程
除了概率论和统计学，还可以学习其他相关课程，如回归分析、时间 序列分析、多元统计分析等，以更全面地掌握数据分析的方法。
关注实际应用
详细描述
在大数据分析中，大数定律和中心极限定理可以共同发挥作用。通过收集大量数据，利 用大数定律计算出数据的统计特征，然后利用中心极限定理对数据进行近似描述。这种
方法可以应用于数据发掘、机器学习等领域，帮助我们更好地理解和分析大数据。
06
CATALOGUE
总结与展望
本课程的主要内容总结
概率统计和随机过程课件第六章大数定律与中心极限定理
P(|
X
|
)
E(| X
k
|k
)
推论 2 ——切贝雪夫（ chebyshev ）不等式 设随机变量 X 的方差 D ( X )存在，
则对于任意实数 > 0,
P(|
X
E(X
)
|
)
D( X
2
)
或 P(| X E(X ) | ) 1 D( X )
课件
2
3
例1 设有一大批种子，其中良种占1/6. 试估计 在任选的 6000 粒种子中, 良种所占比例与 1/6 比较上下小于1%的概率.
k 1
课件
19
定理2 德莫佛 — 拉普拉斯中心极限定理 （DeMoivre-Laplace ）
Yn 是n次独立试验中事件A出现的次数，
p为A发生概率，即
Y n ~ B( n , p) , 0 < p < 1, n = 1,2,…
则对任一实数 x，有
lim P Yn np x 1
x t2
6000 6
1059 k 941
Ck 6000
1 6
k
5 6
6000k
0.959036
用Poisson 分布近似计算：
取 = 1000
P
X 6000
1 6
0.01
P940
X
1060
1059 1000k e1000 0.937934
k 941
k!
课件
5
例2 设每次试验中，事件 A 发生的概率为 0.75, 试用 Chebyshev 不等式估计, n 多大时, 才 能在 n 次独立重复试验中, 事件 A 出现的 频率在0.74 ~ 0.76 之间的概率大于 0.90?
第六章.ppt数理统计
用频率近似概率
例：从鱼塘里捞一条鱼,这条鱼为鲤鱼的概率?
重复捞取鱼1000次，每次捞一条,有100次左右是鲤鱼,
近似认为再捞一次鱼是鲤鱼的概率为10%。
用频率近似概率
3、主观定义 人们根据经验和所掌握的信息对事件发 生的可能性给以主观的估计。
例：本拉登活着的概率；估计自己能考上大学 的概率；上一个新项目能否赚钱的概率。
（3）不可能事件：每次试验必然不会发生的事件 称为不可能事件。
上例中，观察正反面正面出现的次数为3次——这一事件为不可
能事件
二、事件的关系和运算
（1）包含——事件A发生必然导致B发生， A包含于B
例：抛两个硬币，观察正反面情况：可能结果：①1正2 反，②1反2正，③12全正，④12全反四个基本事件。
解：P（A）=40%，P（B）=50%，P（AB）=30%， P（A+B）=40%+50%-30%=60%； P（A/B）（抽一个公司，已知它进行销售预测，那么它研究 广告效果的概率）=P（AB）/P（B）=30%/50%=60%。 P（B/A）（已知这个公司研究广告效果，那么它进行销售 预测的概率是多少）=P（AB）/P（A）=30%/40%=75%。
（二）概率的运算法则
1、加法公式
两个互斥事件A、B，P（A+B）=P（A）+P（B） A、B互斥（A、B没有交集），P（A+B）（A、B至少 一个发生的概率）=P（A）+P（B）
2、乘法公式
（1）条件概率（事件B已经发生的条件下 事件A发生的概率）。 P（A/B）=P（AB）/P（B）
例：将一枚硬币掷两次，观察出现正反面的情况，设事件 A为“至少一次为正面”，事件B为“两次掷出同一面”， 现在来求已知事件A已经发生的条件下事件B发生的概率 P（B/A）。 解：S={正正、正反、反正、反反}， A={正正、正反、反正}， B={正正，反反}， A已经发生（抛两次硬币后，知道至少有一次正面）， 那么掷出同一面的概率是1/3。
例：从鱼塘里捞一条鱼,这条鱼为鲤鱼的概率?
重复捞取鱼1000次，每次捞一条,有100次左右是鲤鱼,
近似认为再捞一次鱼是鲤鱼的概率为10%。
用频率近似概率
3、主观定义 人们根据经验和所掌握的信息对事件发 生的可能性给以主观的估计。
例：本拉登活着的概率；估计自己能考上大学 的概率；上一个新项目能否赚钱的概率。
（3）不可能事件：每次试验必然不会发生的事件 称为不可能事件。
上例中，观察正反面正面出现的次数为3次——这一事件为不可
能事件
二、事件的关系和运算
（1）包含——事件A发生必然导致B发生， A包含于B
例：抛两个硬币，观察正反面情况：可能结果：①1正2 反，②1反2正，③12全正，④12全反四个基本事件。
解：P（A）=40%，P（B）=50%，P（AB）=30%， P（A+B）=40%+50%-30%=60%； P（A/B）（抽一个公司，已知它进行销售预测，那么它研究 广告效果的概率）=P（AB）/P（B）=30%/50%=60%。 P（B/A）（已知这个公司研究广告效果，那么它进行销售 预测的概率是多少）=P（AB）/P（A）=30%/40%=75%。
（二）概率的运算法则
1、加法公式
两个互斥事件A、B，P（A+B）=P（A）+P（B） A、B互斥（A、B没有交集），P（A+B）（A、B至少 一个发生的概率）=P（A）+P（B）
2、乘法公式
（1）条件概率（事件B已经发生的条件下 事件A发生的概率）。 P（A/B）=P（AB）/P（B）
例：将一枚硬币掷两次，观察出现正反面的情况，设事件 A为“至少一次为正面”，事件B为“两次掷出同一面”， 现在来求已知事件A已经发生的条件下事件B发生的概率 P（B/A）。 解：S={正正、正反、反正、反反}， A={正正、正反、反正}， B={正正，反反}， A已经发生（抛两次硬币后，知道至少有一次正面）， 那么掷出同一面的概率是1/3。
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5000 E ( X ) 1000 ,D ( X ) 6 X 1 P 0 .01 5000 6 6000 83 6 0 . 7685 P (| X 1000 | 60 ) 1 108 60 2
4
实际精确计算：
k 1059 k 6000 k 941 6000 k
第六章 大数定律与中心极限定理
本章要解决的问题 1. 为何能以某事件发生的频率 作为该事件的 概率的估计？ 2. 为何能以样本均值作为总体 期望的估计？ 3. 为何正态分布在概率论中占 有极其重要的地位？ 4. 大样本统计推断的理论基础 是什么？
大数 定律
中心极 限定理
1
6.1 大数定律
重要不等式
1 P |X | 3 0 . 1111 9 1 P |X | 2 0 . 25 4 由 Chebyshev 不等式，可看出 D (X) 反映了 X 偏离 E(X ) 的程度. 固定 ， 较小者，
较小. Chebyshev 不等式对于 2 2 无实际意义
0 . 1875 n P |X 0 . 75 n | 0 . 01 n 1 2 ( 0 . 01 n )
令
0 .1875 n 1 0 .90 2 (0 .01 n )
解得 n 18750
7
若 E(X ) = , D(X ) = 2, 类似于正态分布的3 原理，由 Chebyshev 不等式可估计
故
n A lim P p 0 n n
11
贝努里（Bernoulli） 大数定律的意义： 在概率的统计定义中，事件 A 发生的频率
n
A
n “ 稳定于”事件 A 在一次试验中发生的概率是 指： nA nA 频率 与 p 有较大偏差 p 是 n n
2
推论 1 设随机变量 X 的k阶绝对原点矩 E( |X |k)存在， 则对于任意实数 > 0, k E (| X |) P (| X | ) k
推论 2 ——切贝雪夫（ chebyshev ）不等式 设随机变量 X 的方差 D ( X )存在， 则对于任意实数 > 0, D ( X ) P (| X E ( X ) | ) 2
马尔可夫（Markov） 不等式
设非负随机变量 X 的期望 E( X )存在， 则对于任意实数 > 0,
E (X ) P (X )
证 仅证连续型随机变量的情形 x P ( X ) f ( x ) dx f (x)dx
1 E(X ) 0 xf(x )dx
E ( X ) 0 . 75 n , D ( X ) 0 . 1875 n
X 要使 P 0 . 74 0 . 76 0 . 90 ，求 n n
6
即 P 0 . 74 n X 0 . 76 n 0 . 90
即 P | X 0 . 75 n | 0 . 01 n 0 . 90 由 Chebyshev 不等式， = 0.01n ,故
9
证 引入随机变量序列{Xk}
, 第 k 次试验 A 发生 1 X k , 第 k 次试验 A 发生 0
设P ( X ) p , D ( X ) pq ( X 1 ) p ,则 E k k k
X ,X , ,X 1 2 n 相互独立， nA X k
1n pq 记 Yn Xk , E ( Y ) p , D ( Y ) n n n k1 n
或
D ( X ) P (| X E ( X ) | ) 1 2
3
例1 设有一大批种子，其中良种占1/6. 试估计 在任选的 6000 粒种子中, 良种所占比例与 1/6 比较上下小于1%的概率. 解 设 X 表示 6000 粒种子中的良种数 , X ~ B (6000,1/6 )
小概率事件, 因而在 n 足够大时, 可以用频率 近似代替 p . 这种稳定称为依概率稳定.
12
k 1
n
由Chebyshev 不等式
10
n A 0P p n
P n Xk Xk k 1 E k 1 n n
n
1 pq 2 P Y E ( Y ) n n n
X 1 P 0 . 01 P 940 X 1060 6 6000
1 5 C 6 6
取 = 1000
0 . 036
用Poisson 分布近似计算：
X 1 P 0 .01 P 940 X 1060 6 6000 k 1000 1059 1000 e 0 . 937934 k ! k 941
2 P |X |
2
8
大数定律 贝努里（Bernoulli） 大数定律
设 nA 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生的 次数, p 是每次试验中 A 发生的概率，则
有 0
n A lim P p 0 n n
或
n A lim P p 1 n n
5
例2 设每次试验中，事件 A 发生的概率为 0.75, 试用 Chebyshev 不等式估计, n 多大时, 才 能在 n 次独立重复试验中, 事件 A 出现的 频率在0.74 ~ 0.76 之间的概率大于 0.90? 解 设 X 表示 n 次独立重复试验中事件 A 发生 的次数 , 则
X ~ B(n,0.75)