中心极限定理
中心极限定理
概率论与数理统计第四章正态分布§13 中心极限定理暨南大学电气信息学院苏保河主讲第四章正态分布§13 中心极限定理主要内容一、林德伯格—莱维中心极限定理二、棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理三、李雅普诺夫中心极限定理暨南大学电气信息学院苏保河主讲例1炮火轰击敌方防御工事100 次, 每次轰击命中的炮弹数服从同一分布, 其数学期望为2, 均方差为1.5. 若各次轰击命中的炮弹数是相互独立的, 求100 次轰击(1)至少命中180发炮弹的概率;(2)命中的炮弹数不到200发的概率.一、林德伯格—莱维中心极限定理解设X k 表示第k 次轰击命中的炮弹数,2()2,() 1.5,1,,100,k k E X D X k ==="相互独立,12100,,,X X X "苏保河主讲设X 表示100 次轰击命中的炮弹数, 由独立同分布的中心极限定理, 例1 解(续1)2()2,() 1.5,k k E X D X ==苏保河主讲1001,k k X X ==∑则2()200,()15,E X D X ==~(200,225).X N 近似地有{180}P X ≥1((180200)/15)Φ≈−−(1.33)Φ=(1)至少命中180发炮弹的概率;1( 1.33)Φ=−−0.9082.=1{180}P X =−<设X 表示100 次轰击命中的炮弹数, 由独立同分布的中心极限定理,例1 解(续2)2()2,() 1.5,k k E X D X ==苏保河主讲1001,k k X X ==∑则()200,()225,E X D X ==2~(200,15).X N 近似地有(2)命中的炮弹数不到200发的概率.{0200}P X ≤<((200200)/15)((0200)/15)ΦΦ≈−−−(0)(13.33)ΦΦ=−−0.5000.=例2检验员逐个检查某产品, 每查一个需用10秒钟. 但有的产品需重复检查一次,再用去10 秒钟. 若产品需重复检查的概率为0.5, 求检验员在8 小时内检查的产品多于1900 个的概率.解在8 小时内检查的产品多于1900 个,即检查1900 个产品所用时间小于8 小时.设X为检查1900 个产品所用的时间(秒),设Xk 为检查第k个产品所用的时间(单位为秒), k= 1, 2, …, 1900.苏保河主讲例3某车间有200 台车床独立地工作,开工率为0.6, 开工时每台耗电为r 千瓦.问供电所至少要供给这个车间多少电力,才能以99.9% 的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产？解设至少要供给该车间a千瓦的电力, X为开工的车床台数, 则X~ B(200, 0.6),由棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理,X~ N(120, 48) (近似),欲求a, 使{0}99.9%.P rX a≤≤=苏保河主讲李雅普诺夫中心极限定理的意义如果随机变量X 可以看成许多相的总和,互独立的起微小作用的因素Xk则X 服从或近似服从正态分布.苏保河主讲苏保河主讲1. 离散型随机变量的数学期望第三章内容小结定义1设X 是离散型随机变量, 其分布律是P {X = x k } = p k (k = 1, 2, …),如果收敛, 定义X 的数学期望1||k k k x p ∞=∑1()k k k E X x p ∞==∑一、数学期望2. 连续型随机变量的数学期望定义2设X 是连续型随机变量,()()d E X x f x x∞−∞=∫收敛, 定义X 的数学期望||()d x f x x ∞−∞∫其密度函数为f (x ), 如果苏保河主讲4. 数学期望的性质1.设C 是常数, 则E (C ) = C .4.设X , Y 独立, 则E (XY ) = E (X )E (Y ).2.若k 是常数, 则E (kX ) = kE (X ).3.E (X 1 + X 2) =E (X 1) + E (X 2).条件: X 1,X 2, …, X n 相互独立.11()().n n i i i i i i E C X C E X ===∑∑推广:11()().n n i i i i E X E X ===∏∏推广:苏保河主讲3. 方差的性质1)设a 是常数, 则D (a ) = 0.2)若a 是常数, 则D (aX ) = a 2D (X ).4)若X 1 与X 2相互独立, 则D (X 1±X 2) = D (X 1) + D (X 2).推广：若X 1, X 2, …, X n 相互独立, 则11[](),n ni i i i D X D X ===∑∑211[]().n n i i i i i i D C X C D X ===∑∑3)若a , b 是常数, 则D (aX + b ) = a 2D (X ).苏保河主讲4. 协方差的定义定义对于二维随机变量(X, Y),称E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} 为X与Y 的协方差, 记为Cov(X, Y), 即Cov(X, Y) = E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}.5. 协方差的计算公式Cov(X,Y)=E(XY)–E(X)E(Y)推论: 若X 与Y 独立, 则Cov(X,Y) = 0.苏保河主讲6. 协方差的性质(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X)(2)Cov(aX,bY)=ab Cov(X,Y), a,b是常数(3)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)苏保河主讲若X 1, X 2, …, X n 两两独立, 则D (X +Y ) = D (X )+D (Y )+2Cov(X , Y )7. 随机变量和的方差与协方差的关系11()().n ni i i i D X D X ===∑∑11()()2Cov(,)n ni i i j i i i j D X D X X X ==<=+∑∑∑苏保河主讲9. 相关系数的性质2)|| 1.XY ρ≤0,XY ρ=1) X 和Y 独立时但其逆不真.定义对于随机变量X , 如果E (X k )( k = 1, 2, …) 存在, 则称它为X 的k 阶原点矩或k 阶矩.10. 矩和中心矩如果E {[X -E (X )]k } ( k = 1, 2, …) 存在, 则称它为X 的k 阶中心矩.苏保河主讲三、切比雪夫不等式与大数定理1. 马尔科夫不等式2. 切比雪夫不等式3. 切比雪夫大数定理4. 独立同分布下的大数定理5. 伯努利大数定理苏保河主讲用X 表示n 重伯努利试验中事件A 出现(成功)的次数, 其分布律称r.v. X 服从参数为n 和p 的二项分布, 注当n = 1 时, 称X 服从参数为p 的伯努利分布，或0-1 分布.1. 二项分布{}(1),k k n k n P X k C p p −==−0,1,,k n ="记作X ~ B (n , p ).苏保河主讲四、几个重要的随机变量苏保河主讲(),()(1).E X np D X np p ==−如果X ~ B (n , p ),结论：{}(1),k k n k n P X k C p p −==−0,1,,,k n ="2. 超几何分布定义将N个元素分为2 类, M个属于第一类, N－M个属于第二类, 从中按不放回抽样随机取n个元素. 令X表示这n 个元素中第一类元素的个数, 则称X服从超几何分布, 记为X h n N M~(,,)苏保河主讲。
5.2 中心极限定理
可将Xi ，i=1,2,…,n 视为独立同分布的随机 变量. 由林德伯格—列维定理知，Tn 近似服从正 态分布 N (50 n, 25 n).
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中 心 极 限 定 理
P{Tn 5000} P{
Tn 50n 5 n
5000 50n 5 n
}
(
故
1000 10n n
P{| f n ( A) P ( A) | 0.01} 0.99 其中 A ={ 出现正面 }
解
有P( A )=1/2，令
1, 第i次出现正面; Xi ( i 1,2,n) 否则, 0, 则随机变量序列{ Xi }，i = 1,2,…是相互独立 且同分布的. 而且有
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p = 1/3，若船舶遭受了90000次波浪冲击， 问其中有 29600 ~ 30500 次纵摇角大于3°的 概率是多少？ 解 假定船舶遭受波浪的各次冲击是独立的， 记 X 为90000次冲击下纵摇角大于3°的次数， 故有
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1 X ~ B(90000, ), 3
1 n 90000, p 3
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高尔顿钉板试验 装车问题
重复试验次数估计 报亭售报问题
定理5.2.2（棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理） 设随机变量序列{ Yn }，Yn ~ B( n, p ) ，n =1,2…， 对于任意的实数 x ，有
Yn np lim P n np(1 p)
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lim P{Yn y}
n
2
k
1
y
e
中心极限定理
∫
b − x2 / 2 e dx a
中心极限定理(3) 中心极限定理(3)
例 2.1
解
掷一粒骰子 1200,求点 6 发生的次数为181 ~ 210 次的概率.
p = 1/ 6 , q = 5 / 6 , n = 1200 .
ESn = np → ∞ , DSn = npq → ∞ ,
故要“缩少尺度”.
若缩为 S n / n ,则 D ( S n / n ) = pq / n → 0 ,也不好研究.
故 “缩少尺度”要适当.通常的方法是 “标准化” Sn ,即通过适 当的线性变换把 Sn 变为一个均值为 0,方差为 1 的随机变量
中心极限定理(1) 中心极限定理(1)
贝努利大数定律: 贝努利大数定律 : 设 X1 , X 2 ,L 是独立的随机变量序列,对每一 k
P 有 X k ~ B (1, p ) , Sn = X1 + ⋅⋅⋅ + X n .则 Sn / n p . →
考虑当 n → ∞ 的时候, Sn 的分布.因为
第十二周作业
• 补充习题 • 补50，补51，补52，补53 习题4 • 2*，8*
4
以 S12000 记点 6 出现的次数,则 S1200 ~ B (1200,1/ 6) .这时
于是由积分极限定理知
P (180 < S1200
180 − np S1200 − np 210 − np ≤ 210) = P ( < ≤ ) npq npq npq
S1200 − np 1 1 2 = P ( − 15 < ≤ 15) ≈ 5 5 npq 2π
中心极限定理的定义
中心极限定理的定义
中心极限定理（CLT）是一种令人印象深刻的数学理论，它允许研究者把一大堆随机数据统一归纳为一个统一的理论。
首先，要解释中心极限定理我们必须了解随机过程，它是一种特殊的计算方法，根据给定的概率分布及其参数，它可以确定一组具有一定概率的多元随机变量。
当我们对这些多元随机变量采样并计算它们的总和时，它会服从某种正态分布。
这就是中心极限定理（CLT）。
换句话说，中心极限定理（CLT）指出，即使参数中存在典型的极值，当大量样本被抽样时，变量的总和服从正态分布。
在概率论和统计学中，这是一个特别重要的定理。
它提供了一种计算变量之和概率的有效方法，使我们能够通过与正态分布相关的统计相关性来分析一些随机变量的总和。
此外，中心极限定理的概念也被用于提升统计领域的机器学习性能，例如在深度学习方面。
拿样本数据来说，假设我们有一组从服从均匀分布的均匀分布中抽样的样本数据。
如果我们知道均匀分布的参数并计算出每个样本的总和，样本总体的和将呈现出正态分布，用中心极限定理理解，就可以将样本总体和推广到总体上，求出总体服从正态分布的期望值和方差。
通过以上对中心极限定理的讲解，我们可以得知，这是一种十分具有普遍性的数学模型，它有助于研究者有效地去构建和推广某个样本的随机变量的总和，从而分析总体的分布情况。
第2节中心极限定理
lim P
nA np
x x
1
x t2
e 2 dt .
n np1 p
2
证:令 Xi ={第 i 次试验中 A 出现的次数},则 Xi ~ 0,1,
n
nA Xi ,且Xi 独立同分布, EXi p, D Xi p1 p ,由列维中心极 i 1
我们还可得 很大时, X ~ P X ~ N , . .
例:重复投掷硬币 100 次,设每次出现正面的概率均为 0.5,问 A={正面出
现次数小于 61,大于 50}的概率是多少?
解:设正面出现次数为 nH 则 nH ~ B 100,0.5
所以 nH ~ N 50, 25
们具有数学期望和方差:
E
Xk
k
,
D
Xk
2 k
0, k
1, 2,
n
记 Sn2
2 k
,
若存在正数
,使得当 n
时,
k 1
1 n
Sn2
E
k 1
Xk k 2
n
0 ,(即每个 Xi 对总和 X i 影响不大)则
i 1
n
n
n
n
Zn
n
n n
i 1
Xi
E i1
Xi
i 1
Xi
n
n
D Xi
n
i1
的分布函数 Fn x 对任意 x 满足
中心极限定理及其应用
中心极限定理及其应用中心极限定理（Central Limit Theorem，CLT）是统计学中的一个重要定理，它描述了当随机变量具有一定的条件下，独立同分布的随机变量之和近似服从正态分布的现象。
具体来说，中心极限定理包括以下两个主要形式：1.林德伯格-列维中心极限定理（Lindeberg–Lévy CLT）：对于从任意分布中独立同分布抽取的n个随机变量的和，当n趋于无穷大时，这个和的标准化形式近似服从标准正态分布。
即使原始随机变量不是正态分布，这一定理仍然成立。
2.德梅勒-拉普拉斯中心极限定理（De Moivre–Laplace CLT）：对于二项分布或渐进服从二项分布的离散随机变量，经过适当的标准化处理，当抽样量n趋于无穷大时，其近似服从标准正态分布。
中心极限定理的应用广泛，以下是一些常见的应用场景：1.抽样分布的近似：当抽样量较大时，根据中心极限定理，我们可以使用正态分布来近似描述抽样分布，从而简化计算和推断统计。
2.参数估计与假设检验：中心极限定理可用于估计未知总体分布的参数，并进行统计推断。
例如，使用样本均值的抽样分布的近似可以进行置信区间估计和假设检验。
3.统计模型的诊断与推断：利用中心极限定理，我们可以对统计模型的残差进行正态性检验，以验证模型的合理性，并进行参数估计、模型比较和推断分析。
4.投资与金融分析：中心极限定理可以用于模拟股票价格、利率等金融变量的分布，从而帮助分析风险、定价衍生品等。
总之，中心极限定理是统计学中非常重要和有用的一个定理，它为我们提供了一种近似描述随机变量和抽样分布的方法，广泛应用于统计推断、参数估计、模型诊断和金融分析等领域。
概率论与数理统计§中心极限定理
• 引言 • 中心极限定理的基本概念 • 中心极限定理的证明 • 中心极限定理的应用 • 中心极限定理的扩展与推广 • 案例分析与实践应用 • 总结与展望
01
引言
主题简介
中心极限定理是概率论与数理统计中的重要概念，它描述了在独立同分布的随机 变量序列下，无论这些随机变量的分布是什么，它们的平均值的分布将趋近于正 态分布。
03
中心极限定理的证明
证明方法概述
方法一：基于特征函数的 证明
方法二：基于概率密度函 数的证明
ABCD
通过对特征函数的性质进 行分析，利用泰勒展开和 收敛性质，证明中心极限 定理。
通过分析概率密度函数的 性质，利用大数定律和收 敛定理，证明中心极限定 理。
重要极限公式
公式一： $lim_{{n to infty}} frac{S_n}{sqrt{n}} = N(0,1)$
中心极限定理的应用范围广泛，不仅限于金融、保险、医学等领域，还涉来研究的展望
01
随着大数据时代的到来，中心极限定理在处理大规模数据和复杂 随机现象方面的应用价值将更加凸显。未来研究可以进一步探索 如何优化中心极限定理的应用，提高其在实际问题中的适用性和 准确性。
02
随着数学和其他学科的交叉融合，中心极限定理与其他理 论或方法的结合应用将成为一个重要的研究方向。例如， 如何将中心极限定理与机器学习、人工智能等新兴技术相 结合，以解决更加复杂和具体的问题。
03
中心极限定理的理论基础和证明方法仍有进一步完善的空 间。未来研究可以深入探讨中心极限定理的数学原理，发 现新的证明方法和技巧，推动概率论与数理统计理论的进 一步发展。
07
总结与展望
高考数学中的概率统计中的中心极限定理
高考数学中的概率统计中的中心极限定理概率统计是高考数学中非常重要的一部分，它与我们日常生活息息相关。
而中心极限定理则是概率统计中非常重要的一个定理，这个定理集成了众多科学家的智慧，为我们提供了一个可靠的方法来研究随机事件的概率与分布。
一、中心极限定理的概念中心极限定理是指在一定条件下，对于一个总体随机变量X，由n个相互独立的随机变量X1、X2、…、Xn所组成的样本平均值所满足的一些统计规律。
简单来说，中心极限定理是在满足一些条件的情况下，样本的均值会服从于一个特定的分布。
二、中心极限定理的条件中心极限定理并不是所有情况下都适用的，它需要满足一些特定的条件，这些条件包括：（1）总体分布必须存在方差；（2）样本数量n足够大；（3）样本的选取必须是独立的。
三、中心极限定理的应用中心极限定理在实际生活中的应用非常广泛，特别是在大数据分析领域中，中心极限定理被广泛地应用于数据的分布与统计分析。
以投掷一颗骰子为例，假设我们将骰子投掷10000次，那么我们可以通过中心极限定理来研究投掷结果所服从的分布规律。
根据中心极限定理，当选取的样本数量够大时，样本的平均值将在正态分布之间波动。
这个例子中，我们可以通过投掷骰子的结果来观察到中心极限定理在实际应用中的作用。
当我们投掷骰子的数量越来越多，投掷结果的分布也会越来越接近正态分布，这是中心极限定理的一个典型表现。
四、中心极限定理的意义中心极限定理是概率论中的一项重要成果，它为我们研究随机事件的概率分布提供了一个可靠的方法。
中心极限定理不仅限于数学领域，它在生物学、物理学、社会学等领域中的应用也是非常广泛的。
总之，中心极限定理是高考数学概率统计中非常重要的一个定理。
了解中心极限定理的概念、条件及应用，对我们在概率统计的学习和实践中都有着重要的作用。
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中心极限定理
中心极限定理（Central Limit Theorems）
什么是中心极限定理
大数定律揭示了大量随机变量的平均结果，但没有涉及到随机变量的分布的问题。
而中心极限定理说明的是在一定条件下，大量独立随机变量的平均数是以正态分布为极限的。
中心极限定理是概率论中最著名的结果之一。
它提出，大量的独立随机变量之和具有近似于正态的分布。
因此，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么有很多自然群体的经验频率呈现出钟形(即正态)曲线这一事实，因此中心极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具有很重要的地位，也使正态分布有了广泛的应用。
中心极限定理的表现形式
中心极限定理也有若干个表现形式，这里仅介绍其中四个常用定理：
（一）辛钦中心极限定理
设随机变量相互独立，服从同一分布且有有限的数学期望a和方差σ2，则随机变量，在n无限增大时，服从参数为a和的正态分布即n→∞时，
将该定理应用到抽样调查，就有这样一个结论：如果抽样总体的数学期望a和方差σ2是有限的，无论总体服从什么分布，从中抽取容量为n的样本时，只要n足够大，其样本平均数的分布就趋于数学期望为a，方差为σ2 / n的正态分布。
（二）德莫佛——拉普拉斯中心极限定理
设μ
n是n次独立试验中事件A发生的次数，事件A在每次试验中发生的概率为P，则当n
无限大时，频率设μ
n / n趋于服从参数为的正态分布。
即：
该定理是辛钦中心极限定理的特例。
在抽样调查中，不论总体服从什么分布，只要n充分大，那么频率就近似服从正态分布。
（三）李亚普洛夫中心极限定理
设是一个相互独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方差：。
记，如果能选择这一个正数δ>0，使当n→∞时，
，则对任意的x有：
该定理的含义是：如果一个量是由大量相互独立的随机因素影响所造成的，而每一个别因素在总影响中所起的作用不很大，则这个量服从或近似服从正态分布。
（四）林德贝尔格定理
设是一个相对独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方差满足林德贝尔格条件，则当n→∞时，对任意的x，有。
中心极限定理案例分析
案例一：中心极限定理在商业管理中的应用
水房拥挤问题：假设西安邮电学院新校区有学生5000人，只有一个开水房，由于每天傍晚打开水的人较多，经常出现同学排长队的现象，为此校学生会特向后勤集团提议增设水龙头。
假
设后勤集团经过调查，发现每个学生在傍晚一般有1％的时间要占用一个水龙头，现有水龙头45个，现在总务处遇到的问题是：
（1）未新装水龙头前，拥挤的概率是多少？
（2）至少要装多少个水龙头，才能以95％以上的概率保证不拥挤？
解：（1）设同一时刻，5000个学生中占用水龙头的人数为X，则
X～B（5000，0.01）
拥挤的概率是
有定理2，n=5000，p=0.01，q=0.985，
故
即拥挤的概率
P(ζ > 45) = 1 − 0.2389 = 0.7611
（2）欲求m，使得
即
由于
即
查表
即
需装62个水龙头。
问题的变形：
（3）至少安装多少个水龙头，才能以99%以上的概率保证不拥挤？
解：欲求m，使得
即
由
即
查表
即m≥66.4
故需要装67个水龙头。
（4）若条件中已有水龙头数量改为55个，其余的条件不变,1,2两问题结果如何？解：（1）
（2）同上。
（5）若条件中的每个学生占用由1%提高到1.5%，其余的条件不变，则（1），（2）两问题结果如何?
解：(1)设同一时刻，5000个学生中占用水龙头的人数为X，则
X-B(5000，0.015)
已知n=5000，p=0.015，q=0.985，np=75，
拥挤的概率达
(2)欲求m，使得
即
由
即
查表
即m≥89.14
故需装90个水龙头。
中心极限定理以严格的数学形式阐明了在大样本条件下，不论总体的分布如何，样本的均值总是近似地服从正态分布。
如果一个随机变量能够分解为独立同分布的随机变量序列之和，则可以直接利用中心极限定理进行解决。
总之，恰当地使用中心极限定理解决实际问题有着极其重要意义。