中心极限定理及其意义

题目：中心极限定理及意义

课程名称：概率论与数理统计

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2012年5月25日

摘要：

本文从随机变量序列的各种收敛与他们的关系谈起，通过对概率经典定理——中心极限定理在独立同分布和不同分布两种条件下的结论做了比较系统的阐述，揭示了随机现象最根本的性质——平均结果的稳定性。经过对中心极限定理的讨论，给出了独立随机变量之和的分布用正态分布来表示的理论依据。同样中心极限定理的内容也从独立分布与独立不同分布两个角度来研究。同时通过很多相关的正反例题，进行说明这些定理所给出的条件是否是充要条件；签掉在实际问题中灵活的应用和辨别是否服从我们给出的定理条件。最后了解一些简单简便的中心极限定理在数理统计、管理决策、仅是计算以及保险业务等方面的应用，来进一步的阐明了中心极限定理分支学课中的中重要作用和应用价值。

关键词：

随机变量，独立随机变量，特征函数，中心极限定理

引言：

在客观实际中有许多随机变量，他们是由大量的相互独立的随机因数的综合

影响所形成的，而其中每一个别因数在总的影响中所起的作用都是渺小的，这种随机变量往往近似地服从正态分布，这种现象就是中心极限定理的客观背景。

中心极限定理自提出至今，其内容已经非常丰富。在概率论中，把研究在什么条件下，大量独立随机变量和的分布以正态分布为极限的这一类定理称为中心极限定理。但其中最常见、最基本的两个定理是德莫佛-拉普拉斯中心极限定理和林德贝格-勒维中心极限定理。

一、三个重要的中心极限定理 1.独立同分布的中心极限定理

设随机变量⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,,,21n X X X 相互独立，服从统一分布，具有数学期望和方差

()())

,2,1(0,2⋅⋅⋅=>==k X D X E k k σμ，则随机变量之和

∑=n

k k

X

1

的标准化变量，

σ

μ

n n X

X D X E X Y n

k k

n k k n k k n

k k n -=⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑∑∑====1

111

的分布函数)(x F n 对于任意x 满足，

()x dt e x n n X P x F t x n k k n n n Φ==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪

⎭⎪

⎪⎬⎫

≤-=-∞-=∞→∞→⎰∑2/1221lim )(lim πσμ

2.李雅普诺夫定理

设随机变量⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,,,21n X X X 相互独立，它们具有数学期望和方差

()())

,2,1(0,2⋅⋅⋅=>==k X D X E k k k k σμ，

记

∑==n

k k n B 12

2σ．

若存在正数δ，使得当∞→n 时，

}{0

1122→-∑=++n

k k

n

X

E B

δ

δ

μ

，

则随机变量之和

∑=n

k k

X

1

的标准化量化，

n

n

k k

n k k

n k k n k k n

k k

n B X X D X E X Z ∑∑∑∑∑=====-=⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫

⎝⎛-=1

1

111

μ

的分布函数)(x F n 对于任意x 满足，

()x dt e x B X P x F t x n n

k k n k k n n n Φ==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪

⎭⎪⎪⎬⎫

≤-=-∞-==∞→∞→⎰∑∑2/1

1221lim )(lim πμ

3.棣莫弗—拉普拉斯定理

设随机变量),2,1(⋅⋅⋅=n n η服从参数为)10(,<

()x dt e x p np np P t x n n Φ==⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪

⎬⎫≤---∞-∞→⎰2/221)1(lim πη

二、中心极限定理的意义： 首先，中心极限定理的核心内容是只要n 足够大，便可以把独立同分布的随机变量和的标准化当作正态变量，所以可以利用它解决很多实际问题，同时这还有助于解释为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实，从而正态分布成为概率论中最重要的分布，这就奠定了中心极限定理的首要功绩。其次，中心极限定理对于其他学科都有着重要作用。例如数理统计中的参数（区间）估计、假设检验、抽样调查等；进一步，中心极限定理为数理统计在统计学中的应用铺平了道路，用样本推断总体的关键在于掌握样本特征值的抽样分布，而中心极限定理表明只要样本容量足够地大，得知未知总体的样本特征值就近似服从正态分布。从而，只要采用大量观察法获得足够多的随机样本数据，几乎就可以把数理统计的全部处理问题的方法应用于统计学，这从另一个方面也间接地开辟了统计学的方法领域，其在现代推断统计学方法论中居于主导地位.

三、中心极限定理的应用： 1.1保险学的概率论数学原理

保险体现了“人人为我，我为人人”的互助思想，它以数理统计为依据。保险中的风险单位是发生一次风险事故可能造成标的物损失的范围，也就是遭受损失的人、场所或事物。风险单位是保险公司确定其能够承担的最高保险责任的计

算基础。理想状态下的风险单位应独立同分布，这种现象的意义在于保险人可以据此向每个潜在的被保险人收取同样的保费。同时根据中心极限定理，含有n

个风险单位的随机样本的平均损失符合正态分布，这个结论对保险费率的厘定极为重要。保险公司各险种的交费标准是经过精算后以同期银行利率比照制定的，所以在此基础上应尽可能地多承保风险单位，也就越可能有足够的资金赔付保险期内发生的所有索赔，从而使保险公司的运营更加平稳，也就越有利于投保人或被保险人.

既然可利用中心极限定理能合理地厘定保险费率，为何老年人投保一再被提高门槛呢？京江晚报3月28日就有报道“对保险公司来说，老年人属于高风险人群，存在的不确定因素较多，老年人发生医疗费用支出和意外事故的风险要比年轻人大。所以，从赔付率的角度考虑，保险产品在推出前会经过精密测算，设置相应的年龄门槛和不同的缴费标准”.

我们以最简单的一年定期寿险为例说明保险公司为何对中老年人保险总提高门槛，老年人投保寿险与年轻人有何区别。如表1所示是台湾远雄人寿千喜男性一年定期寿险的部分费率及死亡率（见附录三、四）。为说明问题，我们选取25-29岁作为年轻人的代表，61-65岁为老年人的代表，将这两个年龄段进行比较。

远雄人寿千喜男性一年定期寿险的部分费率及死亡率表1

年龄保费死亡率年龄保费死亡率

25 18 0.000945 61 215 0.014892

26 18 0.000925 62 235 0.016361

27 18 0.000915 63 257 0.017972

28 18 0.000918 64 281 0.019740

29 19 0.000933 65 308 0.021677 总保费=1000 ⨯单个人的保费（元）=0.1 ⨯单个人的保费（万元），

赔付额=

4

101000

i i i

E E E i

ξξξ

⨯=

(元)（万元），为个年龄为岁的个体在一年内死亡的期望。

不同年龄的总保费及赔付额表2

年龄25 26 27 28 29 61 62 63 64 65 总保费 1.8 1.8 1.8 1.8 1.9 21.5 23.5 25.7 28.1 30.8 赔付额0.95 0.93 0.92 0.92 0.93 14.9 16.4 18.0 19.7 21.7

导致赔付额的基数较大，所以还不能很好的解释问题，这里再引入赔付率（赔付率=赔付额/总保费），得出表3。

年龄25 26 27 28 29 61 62 63 64 65 赔付率52.851.751.151.148.969.369.870.070.170.5