中心极限定理的内涵和应用
统计学中心极限定理
统计学中心极限定理统计学中的中心极限定理是一项非常重要的定理，它在统计学中有着广泛的应用。
该定理的核心思想是，当我们从一个总体中抽取足够多的样本时，样本的均值近似服从正态分布。
本文将介绍中心极限定理的基本概念、原理以及其在实际应用中的重要性。
中心极限定理是统计学中的一项基本理论，它描述了随机现象中大量独立随机变量的和或均值的分布趋于正态分布的规律。
具体来说，假设有一个总体，它的均值为μ，标准差为σ。
我们从这个总体中抽取n个样本，并计算它们的均值。
根据中心极限定理，当样本容量n足够大时，这些样本的均值将近似服从均值为μ，标准差为σ/√n的正态分布。
中心极限定理的原理可以通过数学推导加以解释。
当样本容量n足够大时，由于样本之间是相互独立的，每个样本的随机性质会互相抵消。
根据大数定律，样本的均值将趋于总体的均值。
而由于样本之间的独立性，样本均值的方差将会减小，从而使得样本均值的分布逐渐接近正态分布。
中心极限定理在实际应用中具有重要的意义。
首先，它使得我们能够通过对样本均值的分析来推断总体均值的性质。
例如，我们可以通过抽取一部分样本，计算它们的均值，然后利用中心极限定理来估计总体均值的置信区间。
这在统计推断和参数估计中是非常常见和重要的。
中心极限定理也为假设检验提供了基础。
假设检验是统计学中常用的一种方法，用于判断一个假设是否成立。
通过比较样本均值与总体均值的差异，我们可以利用中心极限定理来计算样本均值的显著性，从而判断总体均值是否与假设值相符。
中心极限定理还为抽样调查和统计模型的建立提供了理论基础。
在抽样调查中，我们通常需要对样本进行统计分析，以了解总体的特征。
中心极限定理告诉我们，只要样本足够大，我们就可以通过样本均值来推断总体均值的分布。
而在统计模型的建立中，中心极限定理也是我们进行参数估计和模型检验的重要工具。
统计学中的中心极限定理是一项重要的定理，它描述了大量独立随机变量的和或均值的分布趋于正态分布的规律。
中心极限定理和蒂莫夫拉普拉斯中心极限定理
中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它描述了当从一个总体中随机抽取大量样本时，样本均值的分布会趋向于一个正态分布。
而蒂莫夫拉普拉斯中心极限定理是中心极限定理的一个特殊情况，它对二项分布和泊松分布进行了精确的描述和推导。
本文将详细介绍中心极限定理和蒂莫夫拉普拉斯中心极限定理的基本概念、证明过程和实际应用。
一、中心极限定理的基本概念中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它指出对于任意具有有限方差的总体，当从总体中抽取大量的样本进行均值的抽样分布，这些样本均值将会近似服从正态分布。
在具体说明之前，我们先来解释一下什么是总体、样本和样本均值。
总体是指我们研究的对象的整体，例如全国人口的身高数据或者某种产品的质量数据等；而样本则是从总体中抽取出的一部分数据；而样本均值就是这些样本数据的平均值。
在中心极限定理中，我们关心的是当从总体中抽取大量的样本时，这些样本均值的分布情况。
中心极限定理的核心内容可以总结为：当样本量足够大时，不论总体的分布形态是什么样子，抽样均值的分布都近似服从正态分布。
二、中心极限定理的证明过程中心极限定理有多种不同的证明方法，其中最著名的是林德伯格-列维中心极限定理和莫亚-李维中心极限定理。
林德伯格-列维中心极限定理是以两数相加得到一数为基本原理，从而证明了中心极限定理的一般形式；而莫亚-李维中心极限定理则是以特征函数的相乘得到一函数为基本原理，从而得出了中心极限定理的另一种形式。
无论哪种证明方法，它们的核心思想都是利用数学推导和统计学的方法，通过对样本均值进行适当的转换和处理，最终将证明样本均值的分布近似服从正态分布。
这些证明方法都需要一定的数学基础和技巧，对概率论和数理统计有一定的了解才能够深入理解其证明过程。
三、中心极限定理的实际应用中心极限定理在实际应用中有着广泛的用途。
例如在工程、经济、医学、环境科学等领域中，我们经常需要对一定的数据进行抽样统计，然后利用样本均值来推断总体的特征值，比如总体的均值、方差等。
大样本理论公式整理中心极限定理大数定律的推导与应用
大样本理论公式整理中心极限定理大数定律的推导与应用大样本理论公式整理：中心极限定理、大数定律的推导与应用在统计学中，大样本理论是一种基本的概念，它为我们提供了一些重要的工具来进行数据分析和推断。
其中，中心极限定理和大数定律是大样本理论中最为关键的两个定理。
本文将对这两个定理进行推导，并探讨它们在实际应用中的意义和应用方法。
一、中心极限定理的推导中心极限定理 (Central Limit Theorem, CLT) 是大样本理论的核心内容之一，它说明了在很多独立随机变量的和的情况下，当样本容量趋于无穷大时，该和的分布将近似服从正态分布。
设有n个独立随机变量X1, X2, ..., Xn，它们的期望值分别为μ，方差分别为σ^2。
令S_n = X1 + X2 + ... + Xn，则S_n的期望值为E(S_n)= μn，方差为Var(S_n) = σ^2n。
根据大样本理论，当n趋于无穷大时，S_n的分布将近似服从正态分布，即：S_n ～N(μn, σ^2n) (1)这意味着当我们对一个足够大的样本进行抽样和求和时，样本均值的分布将近似符合正态分布。
二、大数定律的推导大数定律 (Law of Large Numbers, LLN) 揭示了当样本容量趋于无穷大时，样本均值将收敛到总体均值。
设有n个独立同分布的随机变量X1, X2, ..., Xn，它们的期望值为μ，方差为σ^2。
令X = (X1 + X2 + ... + Xn)/n，表示样本的均值。
根据大数定律，当n趋于无穷大时，X将以概率1收敛到μ，即：lim(n→∞) P(|X - μ| ≥ ε) = 0 (2)其中ε为任意正数。
这表明当样本容量足够大时，样本均值将趋近于总体均值。
三、中心极限定理和大数定律的应用中心极限定理和大数定律作为统计学中重要的理论基础，广泛应用于实际数据分析和推断过程中。
1. 抽样分布的应用基于中心极限定理，我们可以利用样本均值的正态分布特性，进行抽样分布的推断。
概率论中的极限理论应用案例
概率论中的极限理论应用案例概率论是数学的一个分支，研究随机现象和随机事件出现的规律。
在概率论的学习中，极限理论是一个重要的内容，它涉及到概率的收敛性与极限的性质。
本文将介绍几个概率论中极限理论的应用案例。
一、中心极限定理的应用案例中心极限定理是概率论中最重要的定理之一，它描述了独立同分布随机变量的和的极限分布。
这个定理在统计学和实际生活中有广泛的应用。
案例一：酒吧内人数统计假设有一家酒吧，每天的客人人数是一个随机变量，服从某个分布。
我们希望了解每天酒吧内的平均客人人数。
由于酒吧客人人数是一个随机变量，我们可以通过中心极限定理来进行估计。
首先，随机选择多个不同的日期，每天记录酒吧内的客人人数。
然后，计算这些日期的客人人数的平均值。
重复进行多次实验，每次记录平均值。
根据中心极限定理，当样本量足够大时，这些平均值将近似服从正态分布。
通过计算这些样本的平均值，我们可以得到酒吧内平均客人数的一个置信区间。
这个置信区间可以为酒吧经营者提供参考，帮助他们评估酒吧的经营情况。
案例二：商品质量控制假设一个工厂生产一种产品，产品的重量是一个随机变量，服从某个分布。
工厂希望了解每个产品的平均重量是否符合要求。
为了进行质量控制，工厂在每个生产周期中随机选择一些产品进行称重。
然后，计算这些产品的平均重量。
重复进行多次实验，每次记录平均重量。
根据中心极限定理，当样本量足够大时，这些平均重量将近似服从正态分布。
通过计算这些样本的平均重量，我们可以得到产品平均重量的一个置信区间。
这个置信区间可以帮助工厂评估产品的质量，及时采取措施进行调整和改进。
二、大数定律的应用案例大数定律是概率论中另一个重要的定理，它描述了大样本情况下，随机变量的平均值接近其期望值的概率。
大数定律在实际生活中有许多应用。
案例三：投掷硬币概率假设我们有一枚均匀的硬币，我们想知道它朝上的概率是多少。
我们可以进行多次投掷实验，每次记录硬币朝上的次数，并计算这些次数的平均值。
中心极限定理的概念和意义
中心极限定理的概念和意义1. 什么是中心极限定理？中心极限定理，听起来像个高深的数学名词，其实它就像一道神奇的魔法，能够把许多复杂的事情简单化。
简单来说，中心极限定理告诉我们，当我们对一个大样本进行多次独立抽样时，不管原始数据的分布是什么样的，样本均值的分布都会逐渐趋向于正态分布，尤其是在样本量很大的时候。
就像你把各种水果放进果汁机，搅拌后，不管你放了苹果、香蕉还是橙子，最后出来的果汁看起来都是一样的好喝。
这就说明了，无论你起初的配方是什么，经过“搅拌”之后，结果会趋于一致。
再简单一点说，假如你在学校里收集了班上每个人的数学考试成绩，结果发现有些人考得很好，有些人却很糟糕，但当你把这所有的成绩加起来，算出平均分，你会发现这个平均值往往是一个相对稳定的数字，不管班上有多少人，成绩好坏参差不齐。
这种稳定性就是中心极限定理的魔力所在。
2. 中心极限定理的意义2.1 统计学的基石要说这个定理的重要性，那可真是“举足轻重”。
它是统计学中的一块基石，几乎所有的统计推断都离不开它。
比如，想知道一所学校学生的身高平均值，你不可能把每一个学生都量一遍，但你可以随机抽取一些学生，算出他们的平均身高。
根据中心极限定理，即使你只量了少数几个人，结果也能反映出全校的平均身高。
这种“以小见大”的智慧，简直就是统计界的“金钥匙”。
2.2 应用广泛再说说它的应用，中心极限定理简直是无处不在！比如在保险公司，他们要计算风险，得出保费，都会用到这个定理。
商家在做市场调查时，抽样调查也是通过它来推算出顾客的消费习惯。
这就好比打猎，猎人并不需要每一只动物的详细资料，只要找出一小部分的样本，就能知道整个森林里动物的情况，做到心中有数，真是一举两得。
3. 生活中的例子3.1 不怕风雨生活中，我们其实每天都在体验中心极限定理的作用。
比如你买彩票，很多人总是抱怨运气不佳，觉得自己永远不可能中大奖。
但是如果你从统计的角度来看，每次购买彩票的结果就是一个个小样本，虽然单个结果可能天差地别，但如果你连续购买彩票几次，最终的平均中奖概率会变得更加可预测。
中心极限定理及其应用
中心极限定理及其应用中心极限定理（Central Limit Theorem，CLT）是统计学中的一个重要定理，它描述了当随机变量具有一定的条件下，独立同分布的随机变量之和近似服从正态分布的现象。
具体来说，中心极限定理包括以下两个主要形式：1.林德伯格-列维中心极限定理（Lindeberg–Lévy CLT）：对于从任意分布中独立同分布抽取的n个随机变量的和，当n趋于无穷大时，这个和的标准化形式近似服从标准正态分布。
即使原始随机变量不是正态分布，这一定理仍然成立。
2.德梅勒-拉普拉斯中心极限定理（De Moivre–Laplace CLT）：对于二项分布或渐进服从二项分布的离散随机变量，经过适当的标准化处理，当抽样量n趋于无穷大时，其近似服从标准正态分布。
中心极限定理的应用广泛，以下是一些常见的应用场景：1.抽样分布的近似：当抽样量较大时，根据中心极限定理，我们可以使用正态分布来近似描述抽样分布，从而简化计算和推断统计。
2.参数估计与假设检验：中心极限定理可用于估计未知总体分布的参数，并进行统计推断。
例如，使用样本均值的抽样分布的近似可以进行置信区间估计和假设检验。
3.统计模型的诊断与推断：利用中心极限定理，我们可以对统计模型的残差进行正态性检验，以验证模型的合理性，并进行参数估计、模型比较和推断分析。
4.投资与金融分析：中心极限定理可以用于模拟股票价格、利率等金融变量的分布，从而帮助分析风险、定价衍生品等。
总之，中心极限定理是统计学中非常重要和有用的一个定理，它为我们提供了一种近似描述随机变量和抽样分布的方法，广泛应用于统计推断、参数估计、模型诊断和金融分析等领域。
概率论与数理统计§中心极限定理
• 引言 • 中心极限定理的基本概念 • 中心极限定理的证明 • 中心极限定理的应用 • 中心极限定理的扩展与推广 • 案例分析与实践应用 • 总结与展望
01
引言
主题简介
中心极限定理是概率论与数理统计中的重要概念，它描述了在独立同分布的随机 变量序列下，无论这些随机变量的分布是什么，它们的平均值的分布将趋近于正 态分布。
03
中心极限定理的证明
证明方法概述
方法一：基于特征函数的 证明
方法二：基于概率密度函 数的证明
ABCD
通过对特征函数的性质进 行分析，利用泰勒展开和 收敛性质，证明中心极限 定理。
通过分析概率密度函数的 性质，利用大数定律和收 敛定理，证明中心极限定 理。
重要极限公式
公式一： $lim_{{n to infty}} frac{S_n}{sqrt{n}} = N(0,1)$
中心极限定理的应用范围广泛，不仅限于金融、保险、医学等领域，还涉来研究的展望
01
随着大数据时代的到来，中心极限定理在处理大规模数据和复杂 随机现象方面的应用价值将更加凸显。未来研究可以进一步探索 如何优化中心极限定理的应用，提高其在实际问题中的适用性和 准确性。
02
随着数学和其他学科的交叉融合，中心极限定理与其他理 论或方法的结合应用将成为一个重要的研究方向。例如， 如何将中心极限定理与机器学习、人工智能等新兴技术相 结合，以解决更加复杂和具体的问题。
03
中心极限定理的理论基础和证明方法仍有进一步完善的空 间。未来研究可以深入探讨中心极限定理的数学原理，发 现新的证明方法和技巧，推动概率论与数理统计理论的进 一步发展。
07
总结与展望
概率论中的极限定理及其应用
概率论中的极限定理及其应用概率论是数学中的一个重要分支，研究随机事件及其概率规律。
而在概率论中，极限定理是其中重要的一部分，它描述了随机现象在大量重复试验下的稳定行为。
本文将介绍概率论中的极限定理及其应用，并探讨其在实际生活中的意义。
一、极限定理的概念极限定理是概率论中的重要理论之一，它研究大量独立随机变量的某种综合现象能够趋向于确定的极限。
极限定理主要包括三个方面的内容：大数定律、中心极限定理和辛钦大数定理。
大数定律（Law of Large Numbers）是极限定理的基础，它指出当随机事件重复进行时，其平均结果趋于稳定。
根据大数定律，当试验次数趋于无穷时，事件的实际频率会接近于其理论概率。
中心极限定理（Central Limit Theorem）是概率论中的核心定理之一，它描述了大量独立随机变量和的和的分布会趋向于正态分布。
中心极限定理不仅揭示了正态分布的特殊地位，还为后续的统计推断提供了基础。
辛钦大数定理（SLLN，Strong Law of Large Numbers）是大数定律的强化形式，它更加详细地描述了当试验次数达到无穷时，随机事件的实际频率趋于理论概率的过程。
辛钦大数定理在概率论的数理推理中具有重要作用。
二、极限定理的应用极限定理在现实生活中有着广泛的应用，尤其是在统计学和概率推断方面。
下面将介绍几个常见的应用场景。
1. 抽样理论：在统计学中，我们经常需要通过抽样对总体进行估计。
根据中心极限定理，当样本容量足够大时，样本均值的分布将近似于正态分布，从而使我们能够使用正态分布的性质进行估计和推断。
2. 置信区间：在统计推断中，为了评估估计值的准确程度，我们常常使用置信区间。
通过利用中心极限定理，我们可以根据样本均值的分布特性构造置信区间，从而对总体参数进行估计，并提供相应的置信水平。
3. 假设检验：在假设检验中，我们需要根据样本数据来判断总体参数是否符合某种假设。
通过利用中心极限定理，我们可以将样本均值的分布近似为正态分布，从而构造假设检验的统计量，进行显著性检验。
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中心极限定理的内涵和应用在概率论与数理统计中，中心极限定理是非常重要的一节内容，而且是概率论与数理统计之间承前启后的一个重要纽带。
中心极限定理是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理。
这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量之和近似服从于正态分布的条件。
故为了深化同学们的理解并掌握其重要性，本组组员共同努力，课外深入学习，详细地介绍了中心极限定理的内涵及其在生活实践中的应用。
一、独立同分布下的中心极限定理及其应用在对中心极限定理的研究中，我们不妨由浅入深地来学习，为此我们先来研究一下在独立同分布条件下的中心极限定理，即如下的定理1：定理l （林德伯格-勒维中心极限定理）设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，且0)(,)(2>==σμi i X Var X E 存在，若记nn X Y n i i n σμ-=∑=1 则对任意实数y ，有 {}⎰∞--∞→=Φ=≤y t n n t y y Y P .d e π21)(lim 22（1） 证明：为证明(1)式，只须证}{n Y 的分布函数列弱收敛于标准正态分布。
由定理可知：只须证}{n Y 的特征函数列收敛于标准正态分布的特征函数。
为此,设μ-n X 的特征函数为)(t ϕ，则n Y 的特征函数为nY n t t n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=)()(σϕϕ 又因为E(μ-n X )=0，Var(μ-n X )=2σ,所以有()0ϕ'=0，2)0(σϕ-=''。
于是，特征函数)(t ϕ有展开式)(211)(2)0()0()0()(22222t o t t o t t +-=+''+'+=σϕϕϕϕ 从而有=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+∞→+∞→n n Y n n t o nt t n )(21lim )(lim 22ϕ22t e - 而22t e -正是N(0,1)分布的特征函数，定理得证。
这个中心极限定理是由林德贝格和勒维分别独立的在1920年获得的，定理告诉我们，对于独立同分布的随机变量序列，其共同分布可以是离散分布，也可以是连续分布，可以是正态分布，也可以是非正态分布，只要其共同分布的方差存在，且不为零，就可以使用该定理的结论。
定理1的结论告诉我们：只有当n 充分大时,n Y 才近似服从标准正态分布)1,0(N ，而当n 较小时，此种近似不能保证。
也就是说，在n 充分大时，可用)1,0(N 近似计算与n Y 有关事件的概率，而n 较小时，此种计算的近似程度是得不到保障的。
当)1,0(~N Y n 时，则有),(~),,(~221n N X n n N X n i i σμσμ∑=经过多方面的理论研究，我们可知定理1主要适用于以下两个方面；应用一：求随机变量之和n S 落在某区间的概率（例如例2.）。
应用二：已知随机变量之和n S 取值的概率，求随机变量的个数n 。
在日常生活中，我们会发现其实有很多的例子均可用林德伯格-勒维中心极限定理来解决。
在此我们从中选择了几个典型而又带有新意的例子，仅供大家参考。
例1．用中心极限定理说明在正常的射击条件下，炮弹的射程服从或近似服从正态分布。
[1]解：设a 为理论射程，ξ为实际射程，则η=ξ-a 为实际射程对理论射程的偏差，显然ξ=η+a ，故只需证η～N(μ，2σ)。
由于在实际射击中，有很多不可控制的随机因素在不断变化，所以造成了实际射程对理论射程的偏差，若设1ξ：射击时炮身振动引起的偏差，2ξ：炮弹外形差异引起的偏差，3ξ：炮弹内火药的成分引起的偏差，4ξ：射击时气流的差异引起的偏差……，n ξ：……，显然有η=∑=n i i 1ξ∵影响实际射程的因素是大量的，∴这里的n 一定很大，又∵炮身的振动、炮弹的外形、火药的成分、气流的变化…….这些因素之间没有什么关系(或有微弱关系)。
∴由它们引起的1ξ，2ξ，……n ξ可看做是相互独立的。
而正常的射击条件也就是对射程有显著影响的因素已被控制，所以1ξ，2ξ，……n ξ所起的作用可看做是同样微小。
∴由中心极限定理可知η～N(μ，2σ)。
∵η可正，可负且相会均等 ∴p=0 ∴η～N(0，2σ)。
则),(~2σηξa N a +=从这个例子来看，虽然看上去有点复杂，但是我们还是很清晰地可以看到如果一个随机变量能表示成大量独立随机变量的和，并且其中每一个随机变量所起的作用都很微小，则这个随机变量服从或近似服从正态分布，这给我们的计算带来很大方便。
现在的旅游、汽车等行业越来越受欢迎，为了体现中心极限定理的重要性，我们不妨从现实生活中的热门行业说起，看看它到底起到怎样的重要性。
例2．某汽车销售点每天出售的汽车服从参数为λ=2的泊松分布，若一年365天都经营汽车销售，且每天出售的汽车数是相互独立的，求一年中售出700辆以上汽车的概率。
[1]解：设i ξ为第i 天出售的汽车的数量，则36521......ξξξξ+++=为一年的总销量，由2)()(==i i Var E ξξ，知=)(ξE 365×2=730利用中心极限定理得P(ξ>700)=1-P(ξ≤700)≈1—)730730700(-Φ=1-Φ(一1．11)=0.8665从此例可以看出，中心极限定理揭示了离散型随机变量与连续型随机变量的内在关系，即离散型随机变量的极限分布是正态分布。
事实上，在现实生活中的很多方面，我们都能清晰地看到中心极限定理的存在。
那么在理论中，我们也可用它来解决一些比较抽象的问题，比如下面的极限求解问题。
例3．利用中心极限定理证明：21!lim 0=∑=-∞→n k k n n k n e [1] 证明：设{k ξ}独立同分布且k ξ～P(1)，k=1，2…….则a=()k E ξ=l ，2σ=()k Var ξ=1∵由泊松分布的可加性知∑=nk k 1ξ～P(n) ∴n n k k n k n i i n k k e k n k P n P -====∑∑∑∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎭⎫ ⎝⎛≤0011!ξξ又∵由中心极限定理知：()⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤-=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===010111k n k n k k n k k P n P n P ξξξ ()()00111Φ→⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤-=∑=n k k n P ξ ()∞→=n 21 ∴21!lim 0=∑=-∞→n k k n n k n e如果在林德伯格-勒维中心极限定理中，n X 服从二项分布，就可以得到以下的定理：定理2（棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理）设n 重伯努利试验中，事件A 在每次试验中出现的概率为p （0<p<1），记n S 为n 次试验中事件A 出现的次数，且记npq npS Y n n -=*，则对任意实数y ，有dt e y y Y P yt n n ⎰∞--∞→==≤2*221)()(lim πφ该定理是林德伯格-莱维中心极限定理的特殊情况，是最早的中心极限定理。
大约在1733年，棣莫弗对p=21证明了上述定理，后来拉普拉斯把它推广至p 是任意一个小于l 的正数上去。
它表明，n 充分大时，npq npS Y n n -=*分布近似服从与标准正态分布，常称为“二项分布收敛于正态分布”，正态分布是二项分布的极限分布，当n 充分大时，我们可以利用该定理的结论来计算二项分布的概率。
由于此定理有更广泛的实际应用，我们将在下面的部分具体地分析棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理在实际生活中的应用。
二、独立不同分布下的中心极限定理及其应用前面我们已经在独立同分布的条件下，解决了随机变量和的极限分布问题。
在实际问题中说诸i X 具有独立性是常见的，但是很难说诸i X 是“同分布”的随机变量。
比如在我们的生活中所遇到的某些加工过程中的测量误差n Y ，由于其是由大量的“微小的”相互独立的随机因素i X 叠加而成的，即∑==ni i n X Y 1，诸iX 间具有独立性，但不一定同分布。
在此，我们还要深入地研究在独立不同分布的前提下，各随机变量和的极限分布问题，目的是给出极限分布为正态分布的条件。
为使极限分布是正态分布，必须对∑==ni i n X Y 1的各项有一定的要求。
譬如若允许从第二项开始都等于0，则极限分布显然由1X 的分布完全确定，这时就很难得到什么有意思的结果。
这就告诉我们，要使中心极限定理成立，在和的各项中不应有起突出作用的项，或者说，要求各项在概率意义下“均匀地小”。
下面我们来分析如何用数学式子来明确表达这个要求。
设}{X n 是一个相互独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方差： i i X E μ=)(,2)(i i X Var σ=,.,2,1⋅⋅⋅=i要讨论随机变量的和∑==ni i n X Y 1，我们先将其标准化，即将它减去均值、除以标准差，由于,)(21n n Y E μμμ+⋅⋅⋅++=）（n Y σ=)(n Y Var =22221n σσσ+⋅⋅⋅++，且记）（n Y σ=n B ,则n Y 的标准化为∑=*-=+⋅⋅⋅++-=n i n i i n n n nB X B Y Y 121)(μμμμ。
如果要求中各项ni i B X μ-“均匀地小”，即对任意的,0>τ要求事件}{}{n i i n ii ni B X B X A τμτμ>-=>-=发生的可能性小，或直接要求其概率趋于0.为达到这个目的，我们要求0)max (lim1=>-≤≤∞→n i i ni n B X P τμ。
因为 ∑==≤≤>-≤>-=>-ni n i i ni n i i n i i n i B X P B X P B X P 111)())(()max (τμτμτμ ， 若设诸i X 为连续随机变量，其密度函数为)(x p i ，则上式右边=∑⎰∑⎰=>-=>--≤n i B x i i n n i B x i n i n i dx x p x B dx x p 12221)()(1)(τμτμμτ因此，只要对任意的,0>τ有0)()(1lim 1222=-∑⎰=>-∞→n i B x i i n n n i dx x p x B τμμτ， )2(就可保证*n Y 中各加项“均匀地小”。
上述条件（2）称为林德伯格条件[2]。
林德伯格证明了满足（2）条件的和*n Y 的极限分布是正态分布，这就是下面给出林德伯格中心极限定理。
定理3(林德伯格中心极限定理) 设独立的随机变量序列设}{X n 满足（2）林德伯格条件，则对任意的x ，有dt e x X B P xt n i i i n n ⎰∑∞--=∞→=≤-21221))(1(lim πμ.假如独立随机变量序列}{X n 具有同分布和方差有限的条件，则必定满足以上（2）林德伯格条件，也就是说定理l 是定理3的特例。