中心极限定理的一个推广及其应用
谈谈中心极限定理及其应用
谈谈中心极限定理及其应用作者：付苗苗来源：《科学导报·学术》2020年第55期【摘要】中心极限定理是概率论与数理统计课程中一个非常重要的定理，衔接着概率论的知识与数理统计的相关知识，既是教学重点又是难点。
中心极限定理证明了，一般的情况下，无论随机变量服从什么样的分布，个相互独立的随机变量的和，当趋向于无穷大时的极限分布，就是正态分布。
本文仅介绍其中两个最基本的中心极限定理，并通过举例简介它的应用。
【关键词】中心极限定理;正态分布;随机变量;应用在概率论与数理统计中，正态分布是一种最重要的分布，它不仅最常见，而且还具有良好的性质。
在现实生活中，许多随机变量都服从正态分布，即使有些原来并不服从正态分布的独立的随机变量序列，它们的和的分布也近似服从正态分布，一般地，如果随机现象的某个数量指标受到众多不确定因素的影响，而且这些不确定因素彼此之间没有什么依存关系，且谁也没有特别突出的影响，那么，这些不确定因素对该数列指标影响的“累积效应”将会使该数列指标近似地服从正态分布。
中心极限定理从理论上证明了，在一般的情况下，无论随机变量服从什么样的分布，个相互独立的随机变量的和，当趋向于无穷大时的极限分布，就是正态分布。
因此，中心极限定理不仅给我们提供了计算相互独立随机变量之和的概率的近似简单方法，而且解释了在现实生活中，为什么很多数量指标都服从或近似服从正态分布这一事实。
根据不同的假设条件，有多个中心极限定理。
这里我们仅介绍两个常用的最基本的中心极限定理，然后，再加以应用。
一、独立同分布的中心极限定理定理1（林德贝格一列维定理）（独立同分布的中心极限定理）：设随机变量序列相互独立，且服从同一分布，又具有有限的相同的数学期望和方差，且，则对于随机变量，有。
定理中随机变量的相互独立是说随机变量之间不相互影响，而同分布是指随机变量在序列的前n项部分和中的地位相同，或者说，每个随机变量对前n项的部分和的影响都是微小的。
中心极限定理
概率论与数理统计第四章正态分布§13 中心极限定理暨南大学电气信息学院苏保河主讲第四章正态分布§13 中心极限定理主要内容一、林德伯格—莱维中心极限定理二、棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理三、李雅普诺夫中心极限定理暨南大学电气信息学院苏保河主讲例1炮火轰击敌方防御工事100 次, 每次轰击命中的炮弹数服从同一分布, 其数学期望为2, 均方差为1.5. 若各次轰击命中的炮弹数是相互独立的, 求100 次轰击(1)至少命中180发炮弹的概率;(2)命中的炮弹数不到200发的概率.一、林德伯格—莱维中心极限定理解设X k 表示第k 次轰击命中的炮弹数,2()2,() 1.5,1,,100,k k E X D X k ==="相互独立,12100,,,X X X "苏保河主讲设X 表示100 次轰击命中的炮弹数, 由独立同分布的中心极限定理, 例1 解(续1)2()2,() 1.5,k k E X D X ==苏保河主讲1001,k k X X ==∑则2()200,()15,E X D X ==~(200,225).X N 近似地有{180}P X ≥1((180200)/15)Φ≈−−(1.33)Φ=(1)至少命中180发炮弹的概率;1( 1.33)Φ=−−0.9082.=1{180}P X =−<设X 表示100 次轰击命中的炮弹数, 由独立同分布的中心极限定理,例1 解(续2)2()2,() 1.5,k k E X D X ==苏保河主讲1001,k k X X ==∑则()200,()225,E X D X ==2~(200,15).X N 近似地有(2)命中的炮弹数不到200发的概率.{0200}P X ≤<((200200)/15)((0200)/15)ΦΦ≈−−−(0)(13.33)ΦΦ=−−0.5000.=例2检验员逐个检查某产品, 每查一个需用10秒钟. 但有的产品需重复检查一次,再用去10 秒钟. 若产品需重复检查的概率为0.5, 求检验员在8 小时内检查的产品多于1900 个的概率.解在8 小时内检查的产品多于1900 个,即检查1900 个产品所用时间小于8 小时.设X为检查1900 个产品所用的时间(秒),设Xk 为检查第k个产品所用的时间(单位为秒), k= 1, 2, …, 1900.苏保河主讲例3某车间有200 台车床独立地工作,开工率为0.6, 开工时每台耗电为r 千瓦.问供电所至少要供给这个车间多少电力,才能以99.9% 的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产？解设至少要供给该车间a千瓦的电力, X为开工的车床台数, 则X~ B(200, 0.6),由棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理,X~ N(120, 48) (近似),欲求a, 使{0}99.9%.P rX a≤≤=苏保河主讲李雅普诺夫中心极限定理的意义如果随机变量X 可以看成许多相的总和,互独立的起微小作用的因素Xk则X 服从或近似服从正态分布.苏保河主讲苏保河主讲1. 离散型随机变量的数学期望第三章内容小结定义1设X 是离散型随机变量, 其分布律是P {X = x k } = p k (k = 1, 2, …),如果收敛, 定义X 的数学期望1||k k k x p ∞=∑1()k k k E X x p ∞==∑一、数学期望2. 连续型随机变量的数学期望定义2设X 是连续型随机变量,()()d E X x f x x∞−∞=∫收敛, 定义X 的数学期望||()d x f x x ∞−∞∫其密度函数为f (x ), 如果苏保河主讲4. 数学期望的性质1.设C 是常数, 则E (C ) = C .4.设X , Y 独立, 则E (XY ) = E (X )E (Y ).2.若k 是常数, 则E (kX ) = kE (X ).3.E (X 1 + X 2) =E (X 1) + E (X 2).条件: X 1,X 2, …, X n 相互独立.11()().n n i i i i i i E C X C E X ===∑∑推广:11()().n n i i i i E X E X ===∏∏推广:苏保河主讲3. 方差的性质1)设a 是常数, 则D (a ) = 0.2)若a 是常数, 则D (aX ) = a 2D (X ).4)若X 1 与X 2相互独立, 则D (X 1±X 2) = D (X 1) + D (X 2).推广：若X 1, X 2, …, X n 相互独立, 则11[](),n ni i i i D X D X ===∑∑211[]().n n i i i i i i D C X C D X ===∑∑3)若a , b 是常数, 则D (aX + b ) = a 2D (X ).苏保河主讲4. 协方差的定义定义对于二维随机变量(X, Y),称E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} 为X与Y 的协方差, 记为Cov(X, Y), 即Cov(X, Y) = E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}.5. 协方差的计算公式Cov(X,Y)=E(XY)–E(X)E(Y)推论: 若X 与Y 独立, 则Cov(X,Y) = 0.苏保河主讲6. 协方差的性质(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X)(2)Cov(aX,bY)=ab Cov(X,Y), a,b是常数(3)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)苏保河主讲若X 1, X 2, …, X n 两两独立, 则D (X +Y ) = D (X )+D (Y )+2Cov(X , Y )7. 随机变量和的方差与协方差的关系11()().n ni i i i D X D X ===∑∑11()()2Cov(,)n ni i i j i i i j D X D X X X ==<=+∑∑∑苏保河主讲9. 相关系数的性质2)|| 1.XY ρ≤0,XY ρ=1) X 和Y 独立时但其逆不真.定义对于随机变量X , 如果E (X k )( k = 1, 2, …) 存在, 则称它为X 的k 阶原点矩或k 阶矩.10. 矩和中心矩如果E {[X -E (X )]k } ( k = 1, 2, …) 存在, 则称它为X 的k 阶中心矩.苏保河主讲三、切比雪夫不等式与大数定理1. 马尔科夫不等式2. 切比雪夫不等式3. 切比雪夫大数定理4. 独立同分布下的大数定理5. 伯努利大数定理苏保河主讲用X 表示n 重伯努利试验中事件A 出现(成功)的次数, 其分布律称r.v. X 服从参数为n 和p 的二项分布, 注当n = 1 时, 称X 服从参数为p 的伯努利分布，或0-1 分布.1. 二项分布{}(1),k k n k n P X k C p p −==−0,1,,k n ="记作X ~ B (n , p ).苏保河主讲四、几个重要的随机变量苏保河主讲(),()(1).E X np D X np p ==−如果X ~ B (n , p ),结论：{}(1),k k n k n P X k C p p −==−0,1,,,k n ="2. 超几何分布定义将N个元素分为2 类, M个属于第一类, N－M个属于第二类, 从中按不放回抽样随机取n个元素. 令X表示这n 个元素中第一类元素的个数, 则称X服从超几何分布, 记为X h n N M~(,,)苏保河主讲。
中心极限定理的发展
中心极限定理的创立和发展1141010113 万帅关键词：中心极限定理，创立，严格证明，新的发展，三阶段。
引言：这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量近似服从正态分布的条件。
该定理为人们用正态分布来描述和解决大量的概率问题提供了坚实的理论基础。
中心极限定理，是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理。
这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量近似服从正态分布的条件。
该定理为人们用正态分布来描述和解决大量的概率问题提供了坚实的理论基础。
“中心极限定理”这一名称的来源有两种说法。
波利亚认为这个定理十分重要，在概率论中具有中心地位，所以他加上了“中心”这一名称，于1920年引入这一术语。
另一种说法是，现代法国概率论学派认为极限定理描述了分布函数中心的情况，而不是尾部的情况。
历史上有不少数学家对中心极限定理的研究做出了贡献。
中心极限定理的发展主要分为三个阶段。
创立阶段：1733-----1853年人们通常认为，法国数学家隶莫弗在1733年首次证明了，二项发布近似正态分布。
然而，当时正态发布的概念，隶莫弗并不知道自己本质上证明了“中心极限定理”法国数学家拉普拉斯写了很多论文，想推广棣莫弗的工作。
他意识到需要一种新的数学技巧，并在1785年成功地发明了这个技巧：特征函数的简单形式和反演公式。
拉普拉斯把他的两个主要研究方向结合起来得到了这个方法-----母函数和积分的监禁展开。
通过把母函数中的t换成it e ，就得到了特征函数。
然而，直到1810年他才发表了特征函数与反演公示的一般理论，并证明了中心极限定理。
他之所以推迟到1810年，有一种解释是，从1786年开始，他就专注于《天体力学》的写作，这本书1805年才完成。
1810年，拉普拉斯证明了中心极限定理，先是服从均匀发布的连续随机变量的情形，接着是服从任意分布的随机变量。
拉普拉斯的证明显然对独立有界的随机变量和成立，证明过程使用了现在所谓的特征函数，或傅里叶变换，即itXEe(t为实数）。
大数定律和中心极限定理课件
中心极限定理可以帮助我们在不确定 的情况下做出决策。例如，通过模拟 大量可能的结果并计算其分布，可以 评估不同决策的风险和收益。
04
大数定律与中心极限定理的 关联与区别
关联性分析
大数定律和中心极限定理都是概率论中 的重要定理，它们在某些方面存在关联。
大数定律描述了在大量独立重复试验中， 大数定律是中心极限定理的一种特例， 某一事件的相对频率趋于该事件的概率， 当随机变量数量趋于无穷时，中心极限
而中心极限定理则说明无论独立随机变 定理可以看作是大数定律的一种推广。 量的分布是什么，它们的和或积的分布
都趋于正态分布。
差异性分析
大数定律和中心极限定理在适用范围和表现形式 上存在差异。
大数定律的结论是相对频率趋于概率，而中心极 限定理的结论是随机变量和的分布趋于正态分布。
大数定律适用于大量独立重复试验中某一事件的 相对频率，而中心极限定理则适用于独立随机变 量的和或积的分布。
02
中心极限定理
定义
• 中心极限定理：在大量独立同分布的随机变量下，这些随机变 量的平均值的分布趋近于正态分布，即无论这些随机变量的分 布是什么，只要样本量足够大，其平均值的分布都将呈现出正 态分布的特征。
适用范 围
中心极限定理适用于大量独立同分布的随机变量，这些随 机变量的分布可以是离散的也可以是连续的。
在金融领域，中心极限定理也被广泛应用。例如，股票价格的波动可以看作是大 量投资者决策的独立同分布的随机变量，因此股票价格的平均值（即指数）的分 布也呈现出正态分布的特征。
03
大数定律与中心极限定理的 应用
在统计学中的应用
样本均值和总体均值的近似
大数定律表明，当样本量足够大时，样本均值趋近于总体均值，这为统计学中的参数估计提供了基础。
概率论与数理统计§中心极限定理
• 引言 • 中心极限定理的基本概念 • 中心极限定理的证明 • 中心极限定理的应用 • 中心极限定理的扩展与推广 • 案例分析与实践应用 • 总结与展望
01
引言
主题简介
中心极限定理是概率论与数理统计中的重要概念，它描述了在独立同分布的随机 变量序列下，无论这些随机变量的分布是什么，它们的平均值的分布将趋近于正 态分布。
03
中心极限定理的证明
证明方法概述
方法一：基于特征函数的 证明
方法二：基于概率密度函 数的证明
ABCD
通过对特征函数的性质进 行分析，利用泰勒展开和 收敛性质，证明中心极限 定理。
通过分析概率密度函数的 性质，利用大数定律和收 敛定理，证明中心极限定 理。
重要极限公式
公式一： $lim_{{n to infty}} frac{S_n}{sqrt{n}} = N(0,1)$
中心极限定理的应用范围广泛，不仅限于金融、保险、医学等领域，还涉来研究的展望
01
随着大数据时代的到来，中心极限定理在处理大规模数据和复杂 随机现象方面的应用价值将更加凸显。未来研究可以进一步探索 如何优化中心极限定理的应用，提高其在实际问题中的适用性和 准确性。
02
随着数学和其他学科的交叉融合，中心极限定理与其他理 论或方法的结合应用将成为一个重要的研究方向。例如， 如何将中心极限定理与机器学习、人工智能等新兴技术相 结合，以解决更加复杂和具体的问题。
03
中心极限定理的理论基础和证明方法仍有进一步完善的空 间。未来研究可以深入探讨中心极限定理的数学原理，发 现新的证明方法和技巧，推动概率论与数理统计理论的进 一步发展。
07
总结与展望
（完整版）8-第五章大数定律和中心极限定理解析
（完整版）8-第五章⼤数定律和中⼼极限定理解析第五章⼤数定律和中⼼极限定理⼤数定律和中⼼极限定理是概率论中两类极限定理的统称，前者是从理论上证明随机现象的“频率稳定性”，并进⼀步推⼴到“算术平均值法则”；⽽后者证明了独⽴随机变量标准化和的极限分布是正态分布或近似正态分布问题，这两类极限定理揭⽰了随机现象的重要统计规律，在理论和应⽤上都有很重要的意义。
§5.1 ⼤数定律设ΛΛ,,,,21n X X X 是互相独⽴的⼀列随机变量，每个随机变量取值于⼆元集合{0，1}，并有相同的概率分布函数()()0,1,1j j P X q P X p p q ====+=易计算它们的数学期望和⽅差为 (),()j j E X p D X pq ==如果取这些j X 的部分和 n n X X X S +++=Λ21并考虑它们的平均值∑==n j j n n Xn S 1/)(/，易知它的数学期望和⽅差为;nnS S pq E p D n n n == ? ?利⽤定理4.2.13给出的切⽐雪夫不等式可知：对任何⼀个正数t 有2n S pq P p t n t n-≥≤ ? 令∞→n ，有2lim lim 0n n n S pq P p t n t n→∞→∞??-≥≤= 即lim 0n n S P p t n →∞??-≥=(5.1.1) 可见当n 很⼤时，部分和的平均值/n S n 与p 相距超过任何⼀个数0>t 的概率都很⼩，⽽当∞→n 时, 这个概率趋于0。
(5.1.1)式的结果称为弱⼤数定律，也称伯努利⼤数定律, 因为这个定律是伯努利在1713年⾸先证明的，是从理论上证明随机现象的频率具有稳定性的第⼀个定律。
注意式(5.1.1)等价于lim 1n n S P p t n →∞??-≤=(5.1.2) 把它完整地叙述如以下定理：定理5.1.1（伯努利⼤数定律）设ΛΛ,,,,21n X X X 是互相独⽴的取值于⼆元集合{0，1}的⼀列随机变量，并有相同的概率分布函数()()0,1,1j j P X q P X p p q ====+=⼜设 n n X X X S +++=Λ21则 lim 0n n S P p t n →∞??-≥=或等价地lim 1n n S P p t n →∞??-≤=。
泊松分布极限-概述说明以及解释
泊松分布极限-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述泊松分布是概率论中重要的分布之一，它描述了在一定时间或空间范围内随机事件发生的次数。
泊松分布常常被用于模拟和分析各种实际问题，如交通流量、电话呼叫数量、网站访问量等。
本文旨在介绍泊松分布的定义、特征以及它在实际应用领域中的重要性。
同时，我们将讨论泊松分布的极限定理，即当事件发生的次数足够多时，泊松分布将趋近于正态分布。
在正文部分，我们首先会详细介绍泊松分布的定义和特征。
泊松分布是一种离散概率分布，描述了在一个固定的时间间隔或空间区域内，某事件发生的次数符合泊松分布的概率。
其次，我们将探讨泊松分布在各个应用领域中的重要性。
由于其简单性和灵活性，泊松分布被广泛应用于各种实际问题的建模和分析中。
例如，在交通领域中，泊松分布可以用来描述车辆通过某个路口的速率和流量。
在通信领域，泊松分布可以用来模拟电话呼叫的数量和到达时间间隔。
在互联网领域，泊松分布可以用来分析网站的访问量和用户的点击行为。
最后，我们将研究泊松分布的极限定理。
当事件发生的次数足够多时，根据中心极限定理，泊松分布的近似分布将趋近于正态分布。
这一定理在实际应用中具有重要的意义，它使得我们可以应用正态分布的性质来分析和预测泊松分布相关问题。
总结起来，本文将介绍泊松分布的定义、特征和应用领域，并分析其极限定理。
通过对泊松分布的深入研究，我们可以更好地理解和应用这一概率分布，为实际问题的建模和解决提供更精确和有效的方法。
对于未来的研究和应用方向，我们也将展望泊松分布在更多领域中的发展和思考。
1.2文章结构文章结构文章将按照以下结构展开：1. 引言1.1 概述1.2 文章结构1.3 目的2. 正文2.1 泊松分布的定义和特征2.2 泊松分布的应用领域2.3 泊松分布的极限定理3. 结论3.1 总结泊松分布的重要性和应用3.2 对泊松分布极限的意义和影响进行讨论3.3 展望泊松分布在未来的研究和应用方向在本文中，我们将首先在引言部分对泊松分布进行简要介绍和背景阐述。
中心极限定理应用
中心极限定理及其应用【摘要】中心极限定理的产生具有一定的客观背景，最常见的是德莫佛-拉普拉斯中心极限定理和林德贝格-勒维中心极限定理。
它们表明了当n 充分大时，方差存在的n 个独立同分布的随机变量和近似服从正态分布，在实际中的应用相当广泛。
本文讨论了中心极限定理的内容、应用与意义。
【关键词】：中心极限定理 正态分布 随机变量一、概述概率论与数理统计是研究随机现象、统计规律性的学科。
随机现象的规律性只有在相同条件下进行大量重复的实验才会呈现出来，而研究大量的随机现象常常采用极限的形式，由此导致了对极限定理的研究。
极限定理的内容很广泛，中心极限定理就是其中非常重要的一部分内容。
中心极限定理主要描述了在一定条件下，相互独立的随机变量序列X1、X2、…Xn 、…的部分和的分布律：当n →∞时的极限符合正态分布。
因此中心极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具有很重要的地位，也使得中心极限定理有了广泛的应用。
二、定理及应用1、定理一（林德贝格—勒维定理）若ξ1，ξ2，…是一列独立同分布的随机变量，且E kξ=a,D kξ=σ2(σ2>0) ,k=1,2,…则有dt ex nnap xt nk kn ⎰∑∞--=∞→=≤-21221)(lim πσξ。
当n 充分大时，nnank kσξ∑=-1~N （0,1），∑=nk k1ξ~N （2,σn na ）2、定理二（棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理）在n 重伯努利试验中,事件A 在每次试验中出现的概率为错误！未找到引用源。
, 错误！未找到引用源。
为n 次试验中事件A 出现的次数,则dt ex npqnpp xt nn ⎰∞--∞→=≤-2221)(lim πμ其中1q p =-。
这个定理可以简单地说成二项分布渐近正态分布，因此当n 充分大时，可以利用该定理来计算二项分布的概率。
同分布下中心极限定理的简单应用独立同分布的中心极限定理可应用于求随机变量之和Sn落在某区间的概率和已知随机变量之和Sn取值的概率，求随机变量的个数。