中心极限定理及其应用论文
中心极限定理及其在统计学中的应用
中心极限定理及其在统计学中的应用中心极限定理是概率论中一个十分重要的定理，简称CLT。
它经常被用在统计学中，帮助我们了解所测量的数据中包含的误差大小，并且为我们的研究提供了很多的参考意见。
中心极限定理的证明很复杂，但是它本质上的含义很简单。
这个定理告诉我们，在许多同等规模的样本数据集中，每个数据点的变化趋势和总体数据的平均值之间的差异都是随机的，而这个随机性可以被用来去除数据中的误差。
假设我们进行了一个抽样调查，样本容量为n，每个样本数据都是来自同一总体分布，但是每个样本数据都有点小的差异。
如果我们把每个样本的平均值绘制在一个可视化图表中，我们会发现这些平均值随机地分布在总体平均值的周围。
当样本容量n足够大时，这些平均值会呈现出一种类似正态分布的形状。
这个正态分布的均值是总体平均值，而标准差可以被估算出来。
所以，如果我们要进行充分利用这个观察到的正态分布，我们可以用标准差来对测量误差进行纠正。
如果我们对一个样本进行多次测量，并得到一个平均值，标准差就是将这些结果四舍五入再取平均值之后的值。
中心极限定理可以帮助我们在不知道总体分布的情况下，做到对误差进行校正，这是多数数据收集和分析过程中必须做到的。
CLT可以被用来评估一组数据和总数据之间的关系，并且它们在统计学的应用中非常常见。
例如，当我们在统计化学实验中测量某个物质的属性时，如果我们重复测量多次，结果会有所不同。
中心极限定理告诉我们，如果我们可以收集到足够多的数据，我们就可以估计这个物质属性的平均值，并且计算出误差（标准差）。
中心极限定理也可以应用于数据分析，允许我们从样本数据中推断整个总体的信息。
例如，如果我们需要对一个产品进行质量控制，我们可以抽取样本并对其进行一系列的测试。
通过应用中心极限定理，我们可以比较容易地估计整个产品批次的平均实际值。
此外，我们还可以计算出我们测得的数据与总体平均值之间的差异，从而评估产品的质量。
总之，中心极限定理是统计学中一个十分重要的定理，它可以帮助我们准确地评估数据的误差和信心水平，并且可以用于预测整个总体的表现。
【毕业论文】中心极限定理的理论及其应用
摘 要本文从随机变量序列的各种收敛与它们间的关系谈起，通过对概率经典定理——中心极限定理在独立同分布和不同分布两种条件下的结论作了比较系统的阐述，揭示了随机现象最根本的性质——平均结果的稳定性。
经过对中心极限定理的讨论，给出了独立随机变量之和的分布用正态分布来表示的理论依据。
同样中心极限定理的内容也从独立分布与独立不同分布两个角度来进行讨论。
同时通过很多相关的正反例子，进行说明这些定理所给出的条件是否是充要条件;强调在实际问题中灵活的应用和辨别是否服从我们给出的定理条件。
最后了解一些简便的中心极限定理在数理统计、管理决策、近似计以及保险业等方面的应用，来进一步地阐明了中心极限定理分支学科中的重要作用和应用价值。
关键词：随机变量，独立随机变量，特征函数，中心极限定理Abstrac tThis paper concerns on the convergence and relation of the series of random variable. By means of the studying on laws of large numbers and central---limit theorems under the condition either of independent and identically distribution or independent but different---distributions comprehensively，we illuminate that the mean value is stable which is the essential property for the event. And we enplaned the rules that the sum of in dependent random variables submitted the normal distribution according to central--limit theorems. At the same time，we analyzed and stated the Markov theorem under the different terms and conditions，so its theorems，i.e. Chebyshev theorem，Bemoulli theorem，Poisson theorem including Khintchine theorem based on the distribution. Moreover，we have got the strong law of large numbers in the sense of its probability with1 by generalization. Central---limit theorems were studied in the same way. In addition，we showed the relations between various law of large numbers，Various central---limit theorems and themselves mutually. The more interesting is that plenty of correlative examples including Positive and negative are illustrated to emphasize the importance of identifying the conditions of these theorems in all sorts of their applications. At last，we brought forth the value of laws of large numbers and central---limit Theorems in some subjects such as mathematical statistics，administrative Decision---making，approximate calculation，insurance and so on.Keywords: convergence of random variables，independent random variables，Characteristic function，central－limit theorem目录第一章 绪论 (1)1.1课题的研究意义 (1)1.2国内外研究现状 (1)1.3研究目标 (2)第二章 中心极限定理 (3)2.1中心极限定理的提法 (3)2.2独立同分布情形 (6)2.3独立不同分布情形下的中心极限定理 (9)第三章 中心极限定理的应用和推广 (10)3.1中心极限定理在经济中的应用 (13)3.2中心极限定理在商场管理中的应用 (19)参考文献 (20)致 谢 (21)声 明 (22)第一章 绪 论1.1 课题的研究意义概率统计学是一门研究随机现象统计规律性的数学学科，它的应用十分广泛，涉及自然科学、社会经济学科、工程技术及军事科学、农医学科、企业管理部门等。
中心极限定理及其应用
中心极限定理及其应用在统计学中，中心极限定理是一个十分重要的理论，它指出，对于任何分布，如果进行足够多次的独立随机实验，那么其各自的样本平均值的分布将变得越来越接近正态分布。
这个定理在实际应用中有着广泛的应用，可以帮助我们更好地理解许多不同领域的现象。
一、中心极限定理的原理首先，我们需要理解中心极限定理的原理。
其基本假设是，我们有一个特定的总体（即一个随机变量的总体），其均值为μ、方差为σ2。
我们对这个总体进行随机抽样实验，每次实验都独立于前一次实验。
如果我们将每次实验的结果加起来，那么总和将逐渐趋近于正态分布。
具体来说，如果我们进行n次实验，每次实验得到的随机变量的分布都相同，且有限，那么这些随机变量的总和的分布将逐渐趋近于正态分布，而随着n的增加，趋近的速度会越来越快。
但是注意：这个定理只适用于样本中的随机变量的数量足够多，而且不能是无限多。
二、中心极限定理的应用中心极限定理在实际应用中有着非常广泛的用途。
它可以帮助我们更好地理解许多不同领域的现象。
1. 物理学在物理学中，中心极限定理可以帮助我们更好地理解热力学的基本原理。
热力学是描述物质在不同状态下的性质的一门学科，其中体积、温度、压力等参数都是连续变化的。
中心极限定理告诉我们，当我们观察足够多个分子时，它们的运动状态将趋向于正态分布，从而使我们更好地理解宏观物理系统的运动规律。
2. 经济学在经济学中，中心极限定理可以帮助我们更好地理解市场的波动。
市场波动是一个复杂而强烈的现象，但中心极限定理告诉我们，当我们对市场涨跌幅进行足够多的抽样时，这些涨跌幅的总和将趋向于正态分布。
这使得经济学家能够更好地预测市场的走向，从而使投资策略更加精细化。
3. 生物学中心极限定理也可以应用于生物学中，帮助我们更好地理解生物群落的变化。
生物群落中的物种数量随着时间或空间的变化而发生变动，并且往往受到众多因素的影响。
中心极限定理告诉我们，当我们对大量的随机抽样进行实验时，这些样本的总数将趋向于正态分布。
中心极限定理的内涵和应用
中心极限定理的涵和应用在概率论与数理统计中，中心极限定理是非常重要的一节容，而且是概率论与数理统计之间承前启后的一个重要纽带。
中心极限定理是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理。
这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量之和近似服从于正态分布的条件。
故为了深化同学们的理解并掌握其重要性，本组组员共同努力，课外深入学习，详细地介绍了中心极限定理的涵及其在生活实践中的应用。
一、独立同分布下的中心极限定理及其应用在对中心极限定理的研究中，我们不妨由浅入深地来学习，为此我们先来研究一下在独立同分布条件下的中心极限定理，即如下的定理1：定理l （林德伯格-勒维中心极限定理）设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，且0)(,)(2>==σμi i X Var X E 存在，若记nn XY ni in σμ-=∑=1则对任意实数y ，有{}⎰∞--∞→=Φ=≤yt n n t y y Y P .d e π21)(lim 22（1） 证明：为证明(1)式，只须证}{n Y 的分布函数列弱收敛于标准正态分布。
由定理可知：只须证}{n Y 的特征函数列收敛于标准正态分布的特征函数。
为此,设μ-n X 的特征函数为)(t ϕ，则n Y 的特征函数为nY n t t n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=)()(σϕϕ又因为E(μ-n X )=0，Var(μ-n X )=2σ,所以有()0ϕ'=0，2)0(σϕ-=''。
于是，特征函数)(t ϕ有展开式)(211)(2)0()0()0()(22222t o t t o t t +-=+''+'+=σϕϕϕϕ从而有=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+∞→+∞→nn Y n n t o nt t n )(21lim )(lim 22ϕ22t e -而22t e-正是N(0,1)分布的特征函数，定理得证。
这个中心极限定理是由林德贝格和勒维分别独立的在1920年获得的，定理告诉我们，对于独立同分布的随机变量序列，其共同分布可以是离散分布，也可以是连续分布，可以是正态分布，也可以是非正态分布，只要其共同分布的方差存在，且不为零，就可以使用该定理的结论。
中心极限定理及其初步应用
中心极限定理及其初步应用【摘要】中心极限定理的产生具有一定的客观背景，最常见的是德莫佛-拉普拉斯中心极限定理和林德贝格-勒维中心极限定理。
它们表明了当n充分大时，方差存在的n个独立同分布的随机变量和近似服从正态分布，在实际中的应用相当广泛。
本文讨论了中心极限定理在定期寿险业、决策问题及生产供应需求三个方面的应用，说明其与现实有紧密的联系。
【关键词】中心极限定理，定期寿险, 决策问题【Abstract】The production of the central limit theorem has objective background, the most common forms are the De Moivre -Laplace central limit theorem and Lindeberg-Levy central limit theorem. They show that when n is sufficiently large and variance exists, the sum of n independence identity distribution random variables approximates normal distribution. So it has widespread application in reality. The article discusses the application of the central limit theorem in three aspects, which are the regular life insurance industry, the policy-making question and producti on’s supply and demand. They have the close relation with the reality.【Keywords】central limit theorem，regular life insurance, policy-making question目录第一章中心极限定理 (4)1.1中心极限定理产生的客观背景 (4)1.2常见的中心极限定理 (4)1.2.1德莫佛-拉普拉斯中心极限定理 (4)1.2.2林德贝格-勒维中心极限定理 (4)1.3中心极限定理的意义 (5)第二章中心极限定理的应用 (6)2.1中心极限定理在定期寿险中的应用 (6)2.1.1保险学的概率论数学原理 (6)2.1.2定期寿险的保险金给付模型 (7)2.1.3定期寿险业的盈亏预测 (9)2.1.4实例分析 (10)2.2中心极限定理在决策问题中的应用 (11)2.3中心极限定理在生产供应需求中的应用 (14)2.1.1根据现有生产能力及用户需求状态，估算能满足社会需求的可靠程度 (14)2.1.2根据社会需求状态来确定生产任务 (15)2.1.3根据需求及产品质量情况来确定生产量 (15)2.1.4例题分析 (16)第三章结束语 (19)参考文献 (20)致谢 (21)附录一：文献综述 (22)附录二：外文文献译文1 (25)原文1 (31)译文2 (37)原文2 (43)附录三：远雄人寿千喜男性一年定期寿险费率表 (49)附录四：中国人寿保险业经验生命表（1990－1993）（男性） (50)第一章 中心极限定理1.1 中心极限定理产生的客观背景在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生的总的影响，如测量误差、炮弹射击的落点与目标的偏差等。
论中心极限定理及应用
似地 服从 均值为 方差 为 ｏ ａ ／ ２的正态 分布． 这 一结果 是数
理统计 中大样 本统计推 断的理论基础．
２ 棣 莫 佛 一 拉 普 拉 斯定 理
量 独 立 随 机 变 量 和 的问 题 ．
注 ２ ： 易见 ， 棣莫弗一拉普 拉斯 中心极 限定理就 是 Ｌ ｉ ｎ — ｄ ｅ ｂ ｅ ｒ ｇ － － － Ｌ ｅ ｖ ｙ中心极限定理的一个特殊情况． 注 ３ ：中心极 限定理存在 的条件 整理为如 下几个关 键 词： 独立 、 同分 布、 数学期望与方差存在 ； 当随机 变量序列满 足 中心极 限定理时 ，难点是求解 随机变量 和函数的数学期 望和方差 ，进而进行标准化就可 以得 到近似服从标 准正态
Ｅ （ Ｘ ） ＝ １ ０ ０ Ｘ Ｅ （ Ｘ Ｏ ＝ Ｉ Ｏ ０ ０ ０ ， 、 俪
有
＝ ｌ ｏ ｏ ， 由中心极限定理
１
注 １ ： 该 定 理 表 明： 当 ｎ充 分 大 时 ， ｎ个 具 有 期 望 和 方 差 的
独立 同分布 的随机变量之和近似服从 正态分 布． 虽然在一般 情况下 ，我们很难求 出 ｘ ＋ ｘ ： ＋ ． ． ・ ＋ ｘ 的分布 的确切形式 ， 但
分布．
３ 应 用 举 例
中心极 限定理回答了大量独立随机变量 和的近似分布 问题 ， 其结论表 明： 当一个量受许多随机 因素（ 主导 因素除外）
的共 同影 响而随机取值，则它的分布就近似服从正态 分布． 而正 态分 布有许多完美 的理论 ，从而可 以获得 即实用又简 单 的统计分析结果．本文仅介 绍其 中两个最基本 的结论 ， 并
中心极限定理应用[五篇范例]
![中心极限定理应用[五篇范例]](https://img.taocdn.com/s3/m/2aa288a0dc88d0d233d4b14e852458fb770b382f.png)
中心极限定理应用[五篇范例]第一篇：中心极限定理应用中心极限定理及其应用【摘要】中心极限定理的产生具有一定的客观背景，最常见的是德莫佛-拉普拉斯中心极限定理和林德贝格-勒维中心极限定理。
它们表明了当n充分大时，方差存在的n个独立同分布的随机变量和近似服从正态分布，在实际中的应用相当广泛。
本文讨论了中心极限定理的内容、应用与意义。
【关键词】：中心极限定理正态分布随机变量一、概述概率论与数理统计是研究随机现象、统计规律性的学科。
随机现象的规律性只有在相同条件下进行大量重复的实验才会呈现出来，而研究大量的随机现象常常采用极限的形式，由此导致了对极限定理的研究。
极限定理的内容很广泛，中心极限定理就是其中非常重要的一部分内容。
中心极限定理主要描述了在一定条件下，相互独立的随机变量序列X1、X2、…Xn、…的部分和的分布律：当n→∞时的极限符合正态分布。
因此中心极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具有很重要的地位，也使得中心极限定理有了广泛的应用。
二、定理及应用1、定理一（林德贝格—勒维定理）若ξk1，=a,ξ2，…是一列独立同分布的随机变量，且EξDξk=kσ⎰x2(σ2>0),k=1,2,…则有limp(k=1n→∞∑ξn-na≤x)=σnn12π-∞e-t22dt。
当n充分大时，∑ξk=1k-naσn~N（0,1），k=1∑ξnk~N（na,nσ）22、定理二（棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理）在n重伯努利试验中,事件A在每次试验中出现的概率为错误！未找到引用源。
, 错误！未μ找到引用源。
为n次试验中事件A出现的次数,则limp(n→∞n-npnpq≤x)=⎰2π1x-∞e-t22dt其中q=1-p。
这个定理可以简单地说成二项分布渐近正态分布，因此当n充分大时，可以利用该定理来计算二项分布的概率。
同分布下中心极限定理的简单应用独立同分布的中心极限定理可应用于求随机变量之和Sn落在某区间的概率和已知随机变量之和Sn取值的概率，求随机变量的个数。
理解中心极限定理及其应用
理解中心极限定理及其应用中心极限定理是统计学中一项重要的概念，它描述了当样本容量足够大时，样本均值的分布将接近于正态分布。
这个定理在实际应用中具有广泛的意义，可以帮助我们更好地理解和分析数据。
首先，让我们来了解一下中心极限定理的基本原理。
假设我们有一个总体，其中包含了许多独立同分布的随机变量。
我们从这个总体中抽取出一定数量的样本，并计算这些样本的均值。
根据中心极限定理，当样本容量足够大时，这些样本均值的分布将近似于正态分布。
这个定理的应用非常广泛。
例如，在市场调研中，我们经常需要对一定数量的样本进行调查，并通过分析这些样本的均值来推断总体的特征。
中心极限定理告诉我们，当样本容量足够大时，我们可以使用正态分布来描述样本均值的分布情况，从而更准确地进行推断。
此外，在质量控制中，中心极限定理也扮演着重要的角色。
假设我们要检验某个生产过程的平均值是否符合要求。
通过抽取一定数量的样本，并计算这些样本的均值，我们可以利用中心极限定理来推断总体平均值的分布情况。
如果样本均值的分布接近于正态分布，并且符合要求，我们可以认为生产过程的平均值是可接受的。
中心极限定理还可以应用于假设检验。
假设我们想要判断某个总体的均值是否等于某个特定值。
通过抽取一定数量的样本，并计算这些样本的均值，我们可以利用中心极限定理来推断总体均值的分布情况。
如果样本均值的分布接近于正态分布，并且与特定值之间存在显著差异，我们可以得出结论，总体均值不等于特定值。
除了上述应用外，中心极限定理还可以帮助我们进行抽样调查的样本容量确定。
在进行抽样调查时，我们需要确定样本的大小，以保证推断结果的准确性。
中心极限定理告诉我们，当样本容量足够大时，样本均值的分布将近似于正态分布。
因此，我们可以根据所需的推断精度和置信水平，利用中心极限定理来确定样本容量的大小。
总之，中心极限定理是统计学中一项重要的概念，它描述了当样本容量足够大时，样本均值的分布将接近于正态分布。
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青岛农业大学本科生课程论文题目：中心极限定理及其应用姓名：学院：专业：班级：学号：指导教师：2012 年06 月27 日青岛农业大学课程论文任务书论文题目中心极限定理及其应用要求完成时间 2012年 07 月 02 日论文内容（需明确列出研究的问题）：研究中心极限定理的目的就是为了更深入的了解中心极限定理，更好的了解中心极限定理的作用，更好地使用它解决现实生活中的问题。
资料、数据、技术水平等方面的要求论文要符合一般学术论文的写作规范，具备学术性、科学性和一定的创造性。
文字要流畅、语言要准确、论点要清楚、论据要准确、论证要完整、严密，有独立的观点和见解。
内容要理论联系实际，计算数据要求准确，涉及到他人的观点、统计数据或计算公式等要标明出处，结论要写的概括简短。
参考文献的书写按论文中引用的先后顺序连续编码。
指导教师签名：年月日中心极限定理及其应用信息与计算科学专业（学生姓名）指导教师（老师姓名）摘要：中心极限定理在概率论与数理统计中占有重要地位，本文阐述了中心极限定理的内容并简单介绍了它在实际中的应用。
关键词：中心极限定理；正态分布；随机变量Central limit theorem and its applicationStudent majoring in Information and Computing Science Specialty （学生英文名）Tutor （老师英文名）Abstract:The central limit theorem in probability theory and mathematical statistics plays an important role,this paper expounds the content of the central limit theorem and briefly introduces its application in practice.Key words: Central limit theorem Normal distribution Random variable引言：最早的中心极限定理是讨论n重伯努力试验中，事件A出现的次数渐近于正态分布的问题。
1716年前后莫弗对n重伯努力实验中每次事件A出现的概率为0.5的情况进行了讨论，随后拉普拉斯和李雅普诺夫等进行了推广和改进。
自莱维在1919-1925年系统的建立了特征函数理论起，中心极限定理的研究得到了很快的发展，先后产生了普遍极限定理和布局极限定理等。
极限定理是概率论的重要内容，也是数理统计学的基石之一，其理论成果也比较完美。
长期以来，对于极限定理的研究所形成的概率轮分析方法，影响着概率论的发展。
同时新的极限理论问题也在实际中不断产生。
1 中心极限定理的表现形式中心极限定理也有若干个表现形式，这里仅介绍其中四个常用定理：1.1 辛钦中心极限定理设随机变量相互独立，服从同一分布且有有限的数学期望a 和方差σ2，则随机变量，在n无限增大时，服从参数为a和的正态分布即n→∞时，将该定理应用到抽样调查，就有这样一个结论：如果抽样总体的数学期望a 和方差σ2是有限的，无论总体服从什么分布，从中抽取容量为n的样本时，只要n足够大，其样本平均数的分布就趋于数学期望为a，方差为σ2 / n的正态分布。
1.2 德莫佛——拉普拉斯中心极限定理设μn是n次独立试验中事件A发生的次数，事件A在每次试验中发生的概率为P，则当n无限大时，频率设μn / n趋于服从参数为的正态分布。
即：该定理是辛钦中心极限定理的特例。
在抽样调查中，不论总体服从什么分布，只要n充分大，那么频率就近似服从正态分布。
1.3 李亚普洛夫中心极限定理当随机变量Xi独立，但不一定同分布时，中心极限定理也成立。
定理3[2](李雅普诺夫定理)：设X1，X2，…，Xn，…为独立随机变量序列，且E(Xn)=an，D(Xn)=σn2存在，Bn2= σn2（n=1，2，…），若存在δ>0，使得：也就是说，无论各个随机变量Xi服从什么分布，只要满足李雅普诺夫条件，当n很大时，它们的和近似服从正态分布。
由于在大学本科阶段接触的不同分布的样本较少，本文对它的应用将不举例说明。
中心极限定理以严格的数学形式阐明了在大样本条件下，不论总体的分布如何，样本均值总是近似地服从正态分布。
正是这个结论使得正态分布在生活中有着广泛的应用。
设是一个相互独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方差：。
记，如果能选择这一个正数δ>0，使当n→∞时，，则对任意的x有：该定理的含义是：如果一个量是由大量相互独立的随机因素影响所造成的，而每一个别因素在总影响中所起的作用不很大，则这个量服从或近似服从正态分布。
中心极限定理以严格的数学形式阐明了在大样本条件下，不论总体的分布如何，样本均值总是近似地服从正态分布。
正是这个结论使得正态分布在生活中有着广泛的应用。
1.4 林德贝尔格定理定理[1]：设x1，X2，…，Xn，…是独立同分布随机变量，EXi=μDXi=σ2（i=1，2，…，n)则它表明当n充分大时，n个具有期望和方差的独立同分布的随机变量之和近似服从正态分布。
定理1也称为林德伯格定理或列维——林德伯格定理。
其中上下同除n，分子中有，其在数理统计中可表示样本的均值，可见独立同分布的样本均值近似地服从正态分布。
这使得中心极限定理在数理统计中有着广泛而重要的作用。
而上述定理应用到伯努利实验序列的情形，我们可以得到如下定理。
定理2[1](拉普拉斯定理)，在n重伯努利试验中，事件A在每次实验中出现的概率P(0<P<1)，μn为n次试验中事件A出现的次数，则2 中心极限定理的应用2.1 同分布下中心极限定理的简单应用独立同分布的中心极限定理可应用于求随机变量之和Sn落在某区间的概率和已知随机变量之和Sn取值的概率，求随机变量的个数。
例1[3]：设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立且服从相同的分布，其数学期望为0.5kg，均方差为0.1kg，问5000只零件的总重量超过2510kg的概率是多少?解：设Xi(i=1，2，…，5000)表示第i个零件的重量X1，X2，…，X5000独立同分布且E(Xi)=0.5，D(Xi)=0.12。
由独立同分布的中心极限定理可知=I-φ（1.414）=1-0.9215=0.0785例2[3]：一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的且同分布，设每箱平均重50kg，标准差为5kg，若用最大载重为50吨的汽车承运，每辆车最多可以装多少箱才能保证不超载的概率大于0.977？解：设Xi(i=1，2，…，n)是装运第i箱的重量，n为所求箱数。
由条件可把X1，X2，…，Xn看作独立同分布的随机变量，而n箱的总重量为Tn=X1+X2+…+Xn，是独立同分布的随机变量之和。
由E(Xi)=50、D(Xi)=52得：E(Tn)=50n，D(Tn)=52n根据独立同分布的中心极限定理：即最多可以装98箱。
例3[2]：报名听心理学课程的学生人数K是服从均值为100的泊松分布的随机变量，负责这门课的教授决定，如果报名人数不少于120，就分成两班，否则就一班讲授。
问该教授讲授两个班的概率是多少?分析：该教授讲授两个班的情况出现当且仅当报名人数x不少于120，精确解为P（x≥120）=e-100 100i/i！很难求解，如果利用泊松分布的可加性，想到均值为100的泊松分布随机变量等于100个均值为1的独立泊松分布随机变量之和，即X= Xi，其中每个Xi具有参数1的泊松分布，则我们可利用中心极限定理求近似解。
解：可知E(X)=100，D(X)=100 即教授讲授两个班的概率是0.023。
例4[1]：火炮向目标不断地射击，若每次射中目标的概率是0、1。
(1)求在400次射击中击中目标的次数在区间［30，50］内的概率。
(2)问最少要射击多少次才能使击中目标的次数超过10次的概率不小于0.9？分析：显然火炮射击可看作是伯努利实验。
我们知道，正态分布可近似于二项分布，而且泊松分布可近似于二项分布，当二项分布b(n，p)，n较大、p较小时可用泊松分布估计近似值。
如果p接近1，有q=l-p很小，这时也可用泊松分布计算；但是当n较大，p不接近0或1时，再用泊松分布估计二项分布的概率就不够精确了，这时应采用拉普拉斯定理来计算。
解：(1)设在射击中击中目标的次数为Yn，所求概率(30≤Yn<50)等于：最小正整数n=147就是所要求的最小射击数。
以上例子都是独立同分布的随机变量，可以用中心极限定理近似估算，但是如果不同分布，中心极限定理是否也成立呢?2.2 中心极限定理在商业管理中的应用[4]水房拥挤问题：假设西安邮电学院新校区有学生5000人，只有一个开水房，由于每天傍晚打开水的人较多，经常出现同学排长队的现象，为此校学生会特向后勤集团提议增设水龙头。
假设后勤集团经过调查，发现每个学生在傍晚一般有1％的时间要占用一个水龙头，现有水龙头45个，现在总务处遇到的问题是：1、未新装水龙头前，拥挤的概率是多少？2、至少要装多少个水龙头，才能以95％以上的概率保证不拥挤？3、至少安装多少个水龙头，才能以99%以上的概率保证不拥挤？4、若条件中已有水龙头数量改为55个，其余的条件不变, （1），（2）两问题结果如何？5、若条件中的每个学生占用由1%提高到1.5%，其余的条件不变，则（1），（2）两问题结果如何?解：1、设同一时刻，5000个学生中占用水龙头的人数为X，则X～B（5000,0.01）拥挤的概率是有定理2，n=5000，p=0.01，q=0.985，故即拥挤的概率P(ζ > 45) = 1 − 0.2389 = 0.76112、欲求m，使得，即，由于，即，查表，即，需装62个水龙头。
问题的变形：3、至少安装多少个水龙头，才能以99%以上的概率保证不拥挤？解：欲求m，使得，即，由，即，查表，即m≥66.4，故需要装67个水龙头。
4、若条件中已有水龙头数量改为55个，其余的条件不变, （1），（2）两问题结果如何？解：（1）（2）5、若条件中的每个学生占用由1%提高到1.5%，其余的条件不变，则（1），（2）两问题结果如何?解：(1)设同一时刻，5000个学生中占用水龙头的人数为X，则X-B(5000，0.015)已知n=5000，p=0.015，q=0.985，np=75，。
拥挤的概率达。
(2)欲求m，使得，即，由，即，查表，即m≥89.14 ，故需装90个水龙头。
中心极限定理以严格的数学形式阐明了在大样本条件下，不论总体的分布如何，样本的均值总是近似地服从正态分布。
如果一个随机变量能够分解为独立同分布的随机变量序列之和，则可以直接利用中心极限定理进行解决。