概率论中心极限定理
中心极限定理
中心极限定理中心极限定理（Central Limit Theorems）什么是中心极限定理大数定律揭示了大量随机变量的平均结果，但没有涉及到随机变量的分布的问题。
而中心极限定理说明的是在一定条件下，大量独立随机变量的平均数是以正态分布为极限的。
中心极限定理是概率论中最著名的结果之一。
它提出，大量的独立随机变量之和具有近似于正态的分布。
因此，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么有很多自然群体的经验频率呈现出钟形(即正态)曲线这一事实，因此中心极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具有很重要的地位，也使正态分布有了广泛的应用。
中心极限定理的表现形式中心极限定理也有若干个表现形式，这里仅介绍其中四个常用定理：（一）辛钦中心极限定理设随机变量相互独立，服从同一分布且有有限的数学期望a和方差σ2，则随机变量，在n无限增大时，服从参数为a和的正态分布即n→∞时，将该定理应用到抽样调查，就有这样一个结论：如果抽样总体的数学期望a和方差σ2是有限的，无论总体服从什么分布，从中抽取容量为n的样本时，只要n足够大，其样本平均数的分布就趋于数学期望为a，方差为σ2 / n的正态分布。
（二）德莫佛——拉普拉斯中心极限定理设μn是n次独立试验中事件A发生的次数，事件A在每次试验中发生的概率为P，则当n无限大时，频率设μn / n趋于服从参数为的正态分布。
即：该定理是辛钦中心极限定理的特例。
在抽样调查中，不论总体服从什么分布，只要n充分大，那么频率就近似服从正态分布。
（三）李亚普洛夫中心极限定理设是一个相互独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方差：。
记，如果能选择这一个正数δ>0，使当n→∞时，，则对任意的x有：该定理的含义是：如果一个量是由大量相互独立的随机因素影响所造成的，而每一个别因素在总影响中所起的作用不很大，则这个量服从或近似服从正态分布。
（四）林德贝尔格定理设是一个相对独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方差满足林德贝尔格条件，则当n→∞时，对任意的x，有。
为什么中心极限定理是正态分布证明过程
中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它表明在一定条件下，大量独立同分布随机变量的和的分布会趋近于正态分布。
正态分布在统计学和自然科学中具有重要地位，因此中心极限定理的证明过程对于理解正态分布的性质和应用具有重要意义。
本文将通过以下几个方面解析为什么中心极限定理是正态分布的证明过程。
1. 中心极限定理的概念和表述中心极限定理是指在一定条件下，大量独立同分布随机变量的和的分布会趋近于正态分布。
具体来说，设X1，X2，...，Xn是n个独立同分布的随机变量，它们具有相同的数学期望μ和方差σ^2，那么它们的和Sn=(X1+X2+...+Xn)在n趋向于无穷大时，其分布函数将趋近于正态分布的分布函数。
2. 大数定律与中心极限定理的关系中心极限定理与大数定律都是描述随机变量序列的性质的定理，但它们的对象不同。
大数定律是描述随机变量序列的数学期望的性质，而中心极限定理是描述随机变量序列的和的分布的性质。
在证明过程中，我们会分析这两个定理之间的通联和区别。
3. 极限定理的数学推导为了证明中心极限定理，首先需要利用数学分析和概率论的理论知识，对随机变量序列的和的分布进行推导。
我们将会详细介绍中心极限定理的数学推导过程，包括利用特征函数进行推导、应用Moments生成函数以及利用独立同分布的性质等。
4. 中心极限定理的应用与意义我们将讨论中心极限定理在实际问题中的应用和意义。
正态分布在自然界和社会现象中具有广泛的应用，而中心极限定理为我们理解和应用正态分布提供了重要的理论基础。
我们也将介绍中心极限定理在统计学、金融学、医学等领域中的实际应用，以及它对于风险管理、决策分析和科学研究的重要意义。
5. 总结通过对中心极限定理的证明过程进行分析和讨论，我们将更深入地理解中心极限定理的内在含义和数学原理，以及它在现实生活中的重要应用。
也能够更好地理解正态分布的性质和特点，为进一步深入研究概率论和统计学提供理论基础和指导。
中心极限定理是概率论中的一个基本概念，它向我们展示了独立随机变量的和的分布是如何趋向于正态分布的。
概率论与数理统计：中心极限定理
k 1
E(X ) 300, D(X ) 600
X ~ N (300,600) (近似)
P(280
X
320)
320 300 600
280603000
2
20 600
1
2 0.8165 1 0.5878
中心极限定理的意义
在实际问题中，若某随机变量可以看 作是有相互独立的大量随机变量综合作用 的结果，每一个因素在总的影响中的作用 都很微小，则综合作用的结果服从正态分 布.
1
x t2
e 2 dt
2
即对任意的 a < b,
lim P a Yn np b
n
np(1 p)
1
b t2
e 2 dt
2 a
Y n ~ N (np , np(1-p)) (近似)
正态分布的概率密度的图形
x
二项分布的随机变量可看作许多相互独立的0-1
分布的随机变量之和, 下面是当x-B(20,0.5)时, x的
k 1
定理2 李雅普诺夫(Liapunov)定理
设随机变量序列 X1, X 2,, X n , 相互 独立，且有有限的期望和方差：
E(Xk ) k ,
D(X k
)
2 k
0
,
k 1,2,
记
n
n
Bn2
D(X k )
2 k
k 1
k 1
若 0,
1
B 2 n
n
E(| X k
k 1
k
|2 ) n0
n
lim P k1
x
n
n
1
x t2
e 2 dt
林德伯格勒维中心极限定理公式
林德伯格勒维中心极限定理公式
林德伯格勒维中心极限定理（Lindeberg–Lévy Central Limit Theorem）是概率论和统计学中一个重要的结果，它描述了独立随机变量和的和的极限分布。
该定理是中心极限定理的一个特例，它对于每个随机变量都允许有不同的均值和方差。
设X, X, ..., X是n个独立同分布的随机变量，它们的均值为μ，方差为σ。
令S = X + X + ... + X，那么根据林德伯格勒维中心极限定理，当n趋向于无穷大时，标准化后的随机变量(S - nμ)/√(n σ)的分布趋近于标准正态分布。
具体而言，对于给定的ε > 0，当n足够大时，有以下的近似概率：
P((S - nμ)/√(nσ) ≤ x) ≈Φ(x)，其中Φ(x)为标准正态分布的累积分布函数。
林德伯格勒维中心极限定理的意义在于，它指出了当我们把大量独立随机变量的和标准化后，其极限分布接近于标准正态分布。
这一结果在统计推断和假设检验中具有广泛的应用。
需要注意的是，林德伯格勒维中心极限定理对于随机变量的独立性和同分布性假设是非常重要的。
如果这些假设不满足，那么该定理可能
不适用。
总结起来，林德伯格勒维中心极限定理提供了一种在统计学中处理大量独立同分布随机变量和的方法。
它指出，当样本容量足够大时，我们可以使用标准正态分布来近似描述和的分布情况。
这个定理在实际应用中具有重要的意义，因为它为我们提供了一种处理和的统计推断方法。
概率论与数理统计_20_中心极限定理
练习2解答（续）
方法二：把二项分布看成多个独立 同分布的1-0分布之和，再根据中心 极限定理用标准正态分布近似计算
练习2解答（续2）
方法二续
小结：当n很大时，二项分布 B(n,p)可看成是很多独立同分布 的1-0分布之和，从而可以用正 态分布的CDF连续函数来近似原 来二项分布的CDF（离散值）。 用Mathematica作图来对比，这 个近似很优秀。
k 1 n
练习1解答
练习2
某车间有200台车床，它们独立地工作着，开工 率为0.6,开工时耗电各为1千瓦，问供电所至少要 供给这个车间多少电力才能以99.9%的概率保证 这个车间不会因供电不足而影响生产？
练习2求。
……
用Mathematica可求得 r_min = 141
n
讨论Yn的极限分布是否为标准 正态分布
独立同分布的中心极限定理 设 X1,, X n , 是独立同分布的随机变量序 列，且 EX k ，DX k 2 0, (k 1,2,) 则 { X n } 服从中心极限定理，即：
lim P{
X
k 1
n
k
n x}
n
n
则 { X n } 服从中心极限定理，即：
lim P{
X
k 1 k k 1
n
n
k
n
DX k
k 1
n
1 x} 2
e
x
t2 2
dt
中心极限定理是概率论中最著名的结果之一， 它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的 简单方法，而且有助于解释为什么很多自然群体的 经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实.
概率论与数理统计
列维林德伯格中心极限定律公式
列维林德伯格中心极限定律公式列维-林德伯格中心极限定理是概率论中一个非常重要的定理，它给出了随机变量和平均值之间的关系。
这个定理在统计学和大数据分析中有着广泛的应用，能够帮助我们更好地理解和解释数据。
中心极限定理的核心思想是，当独立随机变量的个数足够大时，这些随机变量的平均值的分布将呈现出一种稳定的形态，称为正态分布。
正态分布也被称为高斯分布，具有均值和标准差来刻画其特征。
为了更好地说明中心极限定理，让我们举一个例子。
假设我们有一组骰子投掷的数据，每次投掷结果是一个1到6的整数。
我们重复投掷骰子1000次，并记录每次投掷的结果。
然后我们计算这1000次投掷中的平均值。
根据中心极限定理，当我们在足够多的次数内重复进行该实验时，这1000个平均值将呈现出一个正态分布的特征。
这意味着，这些平均值将围绕着骰子的期望值（3.5）上下波动，波动范围与实验的次数和骰子的标准差有关。
中心极限定理的一大优点是，它适用于大多数随机变量，不论其分布形态如何。
例如，我们可以将其应用于人口普查数据、股票市场收益率等各种不同的数据类型中。
通过计算这些数据的平均值，我们可以获得更准确、更稳定的结果，并且可以更好地理解和分析数据。
在实际应用中，中心极限定理也为我们提供了一种估计总体参数的方法。
通过计算样本数据的平均值和标准差，我们可以利用中心极限定理来推断总体的平均值和标准差。
这为我们在实际问题中的决策提供了指导，例如在质量控制中确定产品的合格范围、在市场调研中估计总体的偏好等。
总之，列维-林德伯格中心极限定理是概率论中的一项重要成果，它揭示了随机变量和平均值之间的关系。
通过该定理，我们可以更好地理解和分析数据，并且可以利用它在实际问题中进行估计和决策。
无论是在统计学领域还是大数据分析中，中心极限定理都有着广泛的应用，为我们的研究和实践提供了重要的指导意义。
概率论与数理统计§中心极限定理
• 引言 • 中心极限定理的基本概念 • 中心极限定理的证明 • 中心极限定理的应用 • 中心极限定理的扩展与推广 • 案例分析与实践应用 • 总结与展望
01
引言
主题简介
中心极限定理是概率论与数理统计中的重要概念，它描述了在独立同分布的随机 变量序列下，无论这些随机变量的分布是什么，它们的平均值的分布将趋近于正 态分布。
03
中心极限定理的证明
证明方法概述
方法一：基于特征函数的 证明
方法二：基于概率密度函 数的证明
ABCD
通过对特征函数的性质进 行分析，利用泰勒展开和 收敛性质，证明中心极限 定理。
通过分析概率密度函数的 性质，利用大数定律和收 敛定理，证明中心极限定 理。
重要极限公式
公式一： $lim_{{n to infty}} frac{S_n}{sqrt{n}} = N(0,1)$
中心极限定理的应用范围广泛，不仅限于金融、保险、医学等领域，还涉来研究的展望
01
随着大数据时代的到来，中心极限定理在处理大规模数据和复杂 随机现象方面的应用价值将更加凸显。未来研究可以进一步探索 如何优化中心极限定理的应用，提高其在实际问题中的适用性和 准确性。
02
随着数学和其他学科的交叉融合，中心极限定理与其他理 论或方法的结合应用将成为一个重要的研究方向。例如， 如何将中心极限定理与机器学习、人工智能等新兴技术相 结合，以解决更加复杂和具体的问题。
03
中心极限定理的理论基础和证明方法仍有进一步完善的空 间。未来研究可以深入探讨中心极限定理的数学原理，发 现新的证明方法和技巧，推动概率论与数理统计理论的进 一步发展。
07
总结与展望
高考数学中的概率统计中的中心极限定理
高考数学中的概率统计中的中心极限定理概率统计是高考数学中非常重要的一部分，它与我们日常生活息息相关。
而中心极限定理则是概率统计中非常重要的一个定理，这个定理集成了众多科学家的智慧，为我们提供了一个可靠的方法来研究随机事件的概率与分布。
一、中心极限定理的概念中心极限定理是指在一定条件下，对于一个总体随机变量X，由n个相互独立的随机变量X1、X2、…、Xn所组成的样本平均值所满足的一些统计规律。
简单来说，中心极限定理是在满足一些条件的情况下，样本的均值会服从于一个特定的分布。
二、中心极限定理的条件中心极限定理并不是所有情况下都适用的，它需要满足一些特定的条件，这些条件包括：（1）总体分布必须存在方差；（2）样本数量n足够大；（3）样本的选取必须是独立的。
三、中心极限定理的应用中心极限定理在实际生活中的应用非常广泛，特别是在大数据分析领域中，中心极限定理被广泛地应用于数据的分布与统计分析。
以投掷一颗骰子为例，假设我们将骰子投掷10000次，那么我们可以通过中心极限定理来研究投掷结果所服从的分布规律。
根据中心极限定理，当选取的样本数量够大时，样本的平均值将在正态分布之间波动。
这个例子中，我们可以通过投掷骰子的结果来观察到中心极限定理在实际应用中的作用。
当我们投掷骰子的数量越来越多，投掷结果的分布也会越来越接近正态分布，这是中心极限定理的一个典型表现。
四、中心极限定理的意义中心极限定理是概率论中的一项重要成果，它为我们研究随机事件的概率分布提供了一个可靠的方法。
中心极限定理不仅限于数学领域，它在生物学、物理学、社会学等领域中的应用也是非常广泛的。
总之，中心极限定理是高考数学概率统计中非常重要的一个定理。
了解中心极限定理的概念、条件及应用，对我们在概率统计的学习和实践中都有着重要的作用。
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1(3.54)= 0.0002 故一箱味精的净重大于20500克的概率为0.0002. (很小)
主讲：于红香
概率论
例2 设 X 为一次射击中命中的环数，其分布列为
EX 1 n
lim
B n 2 n i1
2
i i 0
李雅普诺夫条件
则
1 n
limP n B
n
i1
(Xi i)y(y)
主讲：于红香
概率论
例7 设 X1, X2 , …. , X99相互独立, 且服从不同的
0--1分布 PXi1pi110i0,
试求
P
99
Xi
60
i1
解: 设 X100, X101, ….相互独立, 且与X99同分布,
概率论
概率论
4-4：中心极限定理
主讲：于红香
概率论
误差的产生由大量微小的相互独立的随机因素
n
叠加而成，若误差记为 Yn X i i 1
当n充分大时，其分布是我们所关心的问题。 用卷积公式可以计算，但无疑相当复杂，不易实现。 见书中例4.4.2，
分析上例的趋势，我们应该先将随机和先标准化。 再研究其分布是否为标准正态分布。
设{Xn }为独立随机变量序列，若任对 > 0，有
1 n
lim
B n
2
2 n i1
xi Bn(xi)2pi(x)dx0
林德贝格条件
则
limP1
n Bn
n
(Xi i)y(y)
i1
主讲：于红香
概率论
李雅普诺夫中心极限定理
林德贝格条件较难验证. 定理4 李雅普诺夫中心极限定理
设{Xn }为独立随机变量序列，若存在 > 0，满足：
主讲：于红香
概率论
§4.4 中心极限定理
独立随机变量和
设 {Xn} 为独立随机变量序列，记其和为
n
Yn X i i 1
➢ 讨论独立随机变量和的极限分布,
➢ 并指出极限分布为正态分布.
主讲：于红香
概率论
独立同分布下的中心极限定理
定理1 林德贝格—勒维中心极限定理
设 {Xn} 为独立同分布随机变量序列，数学期
P Y n /n p 0 . 0 5 2 0 . 0 5 n /p ( 1 p ) 1 0 . 9 0
从中解得 0.05 n/p(1p)1.645
17,20
又由 p(1p)0.25 可解得 n270.6 n = 271
主讲：于红香
概率论
独立不同分布下的中心极限定理
定理3 林德贝格中心极限定理
每台机床工作时需15kw电力. 问共需多少电力, 才可 有95%的可能性保证正常生产?
解：用 Xi=1表示第i台机床正常工作, 反之记为Xi=0.
又记Y=X1+X2+…+X200，则 E(Y)=140，Var(Y)=42. 设供电量为y, 则从
P{15Yy} y/150 4.2 51400.95 中解得 y 2252.
二项分布是离散分布，而正态分布是连续分布， 所以用正态分布作为二项分布的近似时，可作 如下修正：
Pk1nk2 P k 1 0 .5 n k2 0 .5
k20n.p5qnpk10n.5pqnp
Pn k P k0.5nk0.5
k0n.5pqnpk0n.5pqnp
主讲：于红香
概率论
例 设每颗炮弹命中目标的概率为0.01， 求500发炮弹中命中 5 发的概率.
(3) 应用泊松逼近: P(X=5) = 0.616-0.440=0.176
主讲：于红香
注 意 点 (2)
概率论
中心极限定理的应用有三大类：
i) 已知 n 和 y，求概率； ii) 已知 n 和概率，求y ； iii) 已知 y 和概率，求 n .
主讲：于红香
概率论
一、给定 n 和 y，求概率
例3 100个独立工作(工作的概率为0.9)的部件组成一 个系统，求系统中至少有85个部件工作的概率.
16,18
主讲：于红香
概率论 三、给定 y 和概率，求 n
例5 用调查对象中的收看比例 k/n 作为某电视节
目的收视率 p 的估计。 要有 90％ 的把握，使k/n与p 的差异不大于0.05，问至少要调查多少对象？
解：用 Yn表示n 个调查对象中收看此节目的人数，则
Yn 服从 b(n, p) 分布，k 为Yn的实际取值。根据题意
解：用 Xi=1表示第i个部件正常工作, 反之记为Xi=0. 又记Y=X1+X2+…+X100，则 E(Y)=90，Var(Y)=9.
由此得：
P{Y85}1 850.9 5900.966.
3,4,7
主讲：于红香
概率论
二、给定 n 和概率，求 y
例4 有200台独立工作(工作的概率为0.7)的机床，
(3.53) (6.85)= 0.99979
主讲：于红香
二项分布的正态近似
概率论
定理2 棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理
设sn 为服从二项分布 b(n, p) 的随机变量，则当 n 充 分大时，有
nli mPsnnpnqp
y(y)
是林德贝格—勒维中心极限定理的特例.
主讲：于红香
注 意 点 (1)
概率论
主讲：于红香
概率论
作业4-4 11，19
主讲：于红香
则可以验证{Xn}满足 =1的李雅普诺夫条件，且
99
E i 1X i 49.5,
99
V ar i 1X i 16.665,
由此得
P i9 9 1Xi60 P i9 9 1X 16 i. 66 45 9.560 1 6.4 69 6.5 5 1 2.57350.005
解: 设 X 表示命中的炮弹数, 则 X ~ b(500, 0.01)
( 1 )P ( X 5 ) C 5 5 0 0 0 .0 1 5 0 .9 9 4 9 5 ＝0.17635
(2) 应用正态逼二近项: 分布的近似原则： P(X=当5当) p=n较pP>小(54时.时5 ，<，X用用<正泊5态.松5)分分布布近近5.似45似.9较5较5好好 。；4.45.955 = 0.1742
X 10 9 8 7
6
P 0.8 0.1 0.05 0.02 0.03
求100次射击中命中环数在900环到930环之间的概率.
解: 设 Xi 为第 i 次射击命中的环数，则Xi 独立同分布，
且 E(Xi) =9.62，Var(Xi) =0.82，故
P 9 0 0 1 i0 0 1 X i 9 3 0 9 3 0 1 0 1 0 0 0 0 .8 9 2 .6 2 9 0 0 1 0 1 0 0 0 0 .8 9 2 .6 2
望为, 方差为 2>0，则当 n 充分大时，有
n
Xi n
证明？
limP{i1
y}(y)
n
n
应用之例: 正态随机数的产生； 误差分析
主讲：于红香
概率论
例1 每袋味精的净重为随机变量，平均重量为 100克，标准差为10克. 一箱内装200袋味精，求一 箱味精的净重大于20500克的概率?
解: 设箱中第 i 袋味精的净重为 Xi, 则Xi 独立同分布， 且 E(Xi)=100，Var(Xi) =100， 由中心极限定理得，所求概率为：