概率论 中心极限定理
中心极限定理 大数定律
中心极限定理与大数定律介绍中心极限定理（Central Limit Theorem）和大数定律（Law of Large Numbers）是概率论中两个重要而基础的定理。
它们在统计学和各个领域的实际应用中起着至关重要的作用。
本文将深入探讨这两个定理的概念、应用和相关证明。
中心极限定理定义中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它说明了在特定条件下，一组随机变量的均值的分布会趋近于正态分布。
具体来说，对于任意独立同分布的随机变量的和，当样本容量足够大时，其均值的分布将会接近于正态分布。
证明中心极限定理的证明可以通过多种方法进行推导，其中最为经典的方法是使用特征函数的技巧。
通过对特征函数的逐步展开和极限取证，可以得出中心极限定理的结论。
应用中心极限定理在实际应用中有着广泛的应用。
以下是中心极限定理的几个重要应用：1.抽样分布的近似计算：通过中心极限定理，可以对抽样分布进行近似计算，从而推断总体参数。
2.假设检验：在统计学中，中心极限定理广泛应用于假设检验问题中。
通过对样本均值进行正态分布近似，可以进行对总体均值的假设检验。
3.建立置信区间：中心极限定理可用于建立置信区间。
通过计算样本均值的区间估计，确定总体均值的信心水平。
大数定律定义大数定律是概率论中的另一个重要定理，它说明了当独立同分布的随机变量重复进行实验时，其平均值会收敛于数学期望。
换句话说，随着实验次数的增加，样本均值会趋近于总体均值。
证明大数定律的证明有多种方法，其中最为著名的是切比雪夫不等式和辛钦大数定律。
不同的证明方法都有其特点和适用范围，但最终都能得出大数定律的结论。
应用大数定律在实际应用中也有着广泛的应用。
以下是大数定律的几个重要应用：1.统计估计：大数定律可用于建立统计估计方法，如最大似然估计和矩估计。
2.贝叶斯推断：大数定律在贝叶斯推断中起着重要的作用。
通过重复实验，可以逐渐更新对参数的先验分布，得到后验分布。
3.经济学和金融学：大数定律在经济学和金融学中有广泛的应用。
中心极限定理
中心极限定理中心极限定理（Central Limit Theorems）什么是中心极限定理大数定律揭示了大量随机变量的平均结果，但没有涉及到随机变量的分布的问题。
而中心极限定理说明的是在一定条件下，大量独立随机变量的平均数是以正态分布为极限的。
中心极限定理是概率论中最著名的结果之一。
它提出，大量的独立随机变量之和具有近似于正态的分布。
因此，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么有很多自然群体的经验频率呈现出钟形(即正态)曲线这一事实，因此中心极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具有很重要的地位，也使正态分布有了广泛的应用。
中心极限定理的表现形式中心极限定理也有若干个表现形式，这里仅介绍其中四个常用定理：（一）辛钦中心极限定理设随机变量相互独立，服从同一分布且有有限的数学期望a和方差σ2，则随机变量，在n无限增大时，服从参数为a和的正态分布即n→∞时，将该定理应用到抽样调查，就有这样一个结论：如果抽样总体的数学期望a和方差σ2是有限的，无论总体服从什么分布，从中抽取容量为n的样本时，只要n足够大，其样本平均数的分布就趋于数学期望为a，方差为σ2 / n的正态分布。
（二）德莫佛——拉普拉斯中心极限定理设μn是n次独立试验中事件A发生的次数，事件A在每次试验中发生的概率为P，则当n无限大时，频率设μn / n趋于服从参数为的正态分布。
即：该定理是辛钦中心极限定理的特例。
在抽样调查中，不论总体服从什么分布，只要n充分大，那么频率就近似服从正态分布。
（三）李亚普洛夫中心极限定理设是一个相互独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方差：。
记，如果能选择这一个正数δ>0，使当n→∞时，，则对任意的x有：该定理的含义是：如果一个量是由大量相互独立的随机因素影响所造成的，而每一个别因素在总影响中所起的作用不很大，则这个量服从或近似服从正态分布。
（四）林德贝尔格定理设是一个相对独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方差满足林德贝尔格条件，则当n→∞时，对任意的x，有。
概率论与数理统计 中心极限定理
每个部件的称量误差相互独立，试求机床重量的总误差的
绝对值不超过 10 kg 的概率。
作业： 第115页，习题5-2，A组：2.
则
n
近似
Xi ~ N (n, n 2 ) 或
i 1
即对任意的 x，有
n
X i n 近似
i 1
~ N (0,1)
n
Hale Waihona Puke nlimP
i 1
n
X i n n
x ( x)
例 5.2.1 为了测定一台机床的质量，把它分解成 75 个部件来称量。
第五章 中心极限定理
中心极限定理解决的问题：
n
大量的随机变量的和 X i 的近似分布是什么？ i 1
结论
n
一定条件下， X i 近似服从正态分布。 i 1
一 独立同分布中心极限定理（列维-林德贝格）
设随机变量序列 X1, X 2, , X n , 独立同分布，且数学
期望和方差存在：E(Xi ) , D(Xi ) 2 (i 1,2, , n)
概率论中心极限定理
例2 ：某餐厅每天接待400名顾客, 设每位顾的 消费额(元)服从(20, 100)上的均匀分布, 且顾客 的消费额是相互独立的. 试求: (1)该餐厅每天的平均营业额; (2)该餐厅每天的营业额在平均营业额760元 的概率.
解 设Xi为第i位顾客的消费额, Xi ~U20, 100. 所以 EXi 60, DXi 16003.
i1 n
i1
的分布函数Fn(x),对xR,一致地有
n
Xi n
lnim Fn
(
x)
limP(
n
i1
n
x)
x
1
t2
e 2 dtΦ(x).
2
（证略）
定理（说明）
n
Xi n
x
ln i mFn(x)ln i mP{i1 n
x}(x)
1 et2/2dt
2
即，n 充分大时，有
n
~ 可化为
X i n 近似地
2 (1 .6)4 1 5 0 .90
这表明:该餐厅每天的营业额在23240到24760 之间的概率近似为0.90.
例3： 某人钓鱼平均每次钓到2kg, 方差2.25kg2. 问: 至少钓多少次鱼, 才能使总重量不少200kg 的概率为0.95?
解 设此人共钓n次, 各次钓到的鱼 的重量为随机变量Xi , 则 EXi 2, DXi 2.25.
3 实际应用中当n很大时,
1 如果p很小而np不太大时, 采用泊松近似; 2 如果 np 5 和 n1 p 5 同时成立时,
采用正态近似.
下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近.
例4 设某保险公司有10000人投保,每人每年交保费12元,投保人每 年的死亡率为0.006.若投保人死亡,则公司付给死亡人家属1000元, 求(1)保险公司没有利润的概率;(2)每年利润不少于60000元的概率.
概率论与数理统计_20_中心极限定理
练习2解答（续）
方法二：把二项分布看成多个独立 同分布的1-0分布之和，再根据中心 极限定理用标准正态分布近似计算
练习2解答（续2）
方法二续
小结：当n很大时，二项分布 B(n,p)可看成是很多独立同分布 的1-0分布之和，从而可以用正 态分布的CDF连续函数来近似原 来二项分布的CDF（离散值）。 用Mathematica作图来对比，这 个近似很优秀。
k 1 n
练习1解答
练习2
某车间有200台车床，它们独立地工作着，开工 率为0.6,开工时耗电各为1千瓦，问供电所至少要 供给这个车间多少电力才能以99.9%的概率保证 这个车间不会因供电不足而影响生产？
练习2求。
……
用Mathematica可求得 r_min = 141
n
讨论Yn的极限分布是否为标准 正态分布
独立同分布的中心极限定理 设 X1,, X n , 是独立同分布的随机变量序 列，且 EX k ，DX k 2 0, (k 1,2,) 则 { X n } 服从中心极限定理，即：
lim P{
X
k 1
n
k
n x}
n
n
则 { X n } 服从中心极限定理，即：
lim P{
X
k 1 k k 1
n
n
k
n
DX k
k 1
n
1 x} 2
e
x
t2 2
dt
中心极限定理是概率论中最著名的结果之一， 它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的 简单方法，而且有助于解释为什么很多自然群体的 经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实.
概率论与数理统计
概率论与数理统计§中心极限定理
• 引言 • 中心极限定理的基本概念 • 中心极限定理的证明 • 中心极限定理的应用 • 中心极限定理的扩展与推广 • 案例分析与实践应用 • 总结与展望
01
引言
主题简介
中心极限定理是概率论与数理统计中的重要概念，它描述了在独立同分布的随机 变量序列下，无论这些随机变量的分布是什么，它们的平均值的分布将趋近于正 态分布。
03
中心极限定理的证明
证明方法概述
方法一：基于特征函数的 证明
方法二：基于概率密度函 数的证明
ABCD
通过对特征函数的性质进 行分析，利用泰勒展开和 收敛性质，证明中心极限 定理。
通过分析概率密度函数的 性质，利用大数定律和收 敛定理，证明中心极限定 理。
重要极限公式
公式一： $lim_{{n to infty}} frac{S_n}{sqrt{n}} = N(0,1)$
中心极限定理的应用范围广泛，不仅限于金融、保险、医学等领域，还涉来研究的展望
01
随着大数据时代的到来，中心极限定理在处理大规模数据和复杂 随机现象方面的应用价值将更加凸显。未来研究可以进一步探索 如何优化中心极限定理的应用，提高其在实际问题中的适用性和 准确性。
02
随着数学和其他学科的交叉融合，中心极限定理与其他理 论或方法的结合应用将成为一个重要的研究方向。例如， 如何将中心极限定理与机器学习、人工智能等新兴技术相 结合，以解决更加复杂和具体的问题。
03
中心极限定理的理论基础和证明方法仍有进一步完善的空 间。未来研究可以深入探讨中心极限定理的数学原理，发 现新的证明方法和技巧，推动概率论与数理统计理论的进 一步发展。
07
总结与展望
高考数学中的概率统计中的中心极限定理
高考数学中的概率统计中的中心极限定理概率统计是高考数学中非常重要的一部分，它与我们日常生活息息相关。
而中心极限定理则是概率统计中非常重要的一个定理，这个定理集成了众多科学家的智慧，为我们提供了一个可靠的方法来研究随机事件的概率与分布。
一、中心极限定理的概念中心极限定理是指在一定条件下，对于一个总体随机变量X，由n个相互独立的随机变量X1、X2、…、Xn所组成的样本平均值所满足的一些统计规律。
简单来说，中心极限定理是在满足一些条件的情况下，样本的均值会服从于一个特定的分布。
二、中心极限定理的条件中心极限定理并不是所有情况下都适用的，它需要满足一些特定的条件，这些条件包括：（1）总体分布必须存在方差；（2）样本数量n足够大；（3）样本的选取必须是独立的。
三、中心极限定理的应用中心极限定理在实际生活中的应用非常广泛，特别是在大数据分析领域中，中心极限定理被广泛地应用于数据的分布与统计分析。
以投掷一颗骰子为例，假设我们将骰子投掷10000次，那么我们可以通过中心极限定理来研究投掷结果所服从的分布规律。
根据中心极限定理，当选取的样本数量够大时，样本的平均值将在正态分布之间波动。
这个例子中，我们可以通过投掷骰子的结果来观察到中心极限定理在实际应用中的作用。
当我们投掷骰子的数量越来越多，投掷结果的分布也会越来越接近正态分布，这是中心极限定理的一个典型表现。
四、中心极限定理的意义中心极限定理是概率论中的一项重要成果，它为我们研究随机事件的概率分布提供了一个可靠的方法。
中心极限定理不仅限于数学领域，它在生物学、物理学、社会学等领域中的应用也是非常广泛的。
总之，中心极限定理是高考数学概率统计中非常重要的一个定理。
了解中心极限定理的概念、条件及应用，对我们在概率统计的学习和实践中都有着重要的作用。
概率论中心极限定理
如果X 是连续型随机变量.=≥-}|)X (E X {|P ε()dx x |)X (E x |⎰≥-εϕ()()dx x )X (E x |)X (E x |⎰≥--≤εϕε22()()⎰∞+∞--≤dx x )X (E x ϕε222εDX=思考题解答:本课程的主要内容:中心极限定理:1.李雅普诺夫定理;2.推论:独立同分布定理;3.拉普拉斯定理(独立同分布定理推论);4.拉普拉斯局部极限定理;抽样分布:设ΛΛn X ,X ,X 21是相互独立的随机变量有期望值i i EX α=及方差+∞<=2ii DX σ()Λ21,i =若每个i X 对总和∑=ni iX 1的影响不大.一.定理5.3: (李雅普诺夫定理)11()()n i i n i i E X x D X =→∞=⎫⎪⎪≤=⎬⎪⎪⎭∑∑2212tx e dt π--∞⎰()x Φ=1121lim n n i i i i n n i i X a P x σ===⎧⎫-⎪⎪⎪⎪≤=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭∑∑∑}{lim 1x nn XP ni in ≤-∑=∞→σμ⎰∞=x-2t -dt e 212π设X 1,X 2, …是独立同分布的随机变量序列，且E (X i )= ，D (X i )= ，i =1,2,…，则2σμ列维一林德伯格（Levy －Lindberg ）定理.推论（独立同分布下的中心极限定理）请看演示中心极限定理的直观演示说明:在定理条件下:()()11~0,1nii Xn N nμσ=-∑()12~ni i X =∑()2,N n n μσ和函数的正态性;()11~0,1/ni i X n N nμσ=-∑算术均值的正态性;或()113~ni i X n =∑2,N n σμ⎛⎫⎪⎝⎭n 较大的情况下,一般n>30;例3在一个罐子中,装有10个编号为0-9的同样的球，从罐中有放回地抽取若干次，每次抽一个，并记下号码.问对序列{X k },能否应用大数定律？诸X k 独立同分布，且期望存在，故能使用大数定律.解: ,9.01.001~⎭⎬⎫⎩⎨⎧k X k =1,2, …E (X k )=0.1,⎩⎨⎧=否则次取到号码第001k X k (1) 设，k =1,2, …∑=∞→=<-nk k n X n P 11}|1.01{|lim ε即对任意的ε>0,解: ,9.01.001~⎭⎬⎫⎩⎨⎧k X k =1,2, …E (X k )=0.1,诸X k 独立同分布，且期望存在，故能使用大数定律.(2) 至少应取球多少次才能使“0”出现的频率在0.09-0.11之间的概率至少是0.95?解：设应取球n 次，0出现频率为∑=nk k X n 11,n .)X (E nk k 101=∑=n.)X (D nk k 0901=∑=由题可知:95011010901.}.X n .{P nk k ≥≤≤∑=由中心极限定理近似N (0,1)nnX nk k 3.01.01-∑=nX n nk k 3.01.011-=∑=}11.0109.0{1≤≤∑=nk k X n P 1)30(2-≈n ΦnX n nk k 3.01.011-∑=近似N (0,1)}n/...n /..X n n /...{P n k k 30101103010130100901-≤-≤-=∑=}n n/..X n n {P nk k 3030101301≤-≤-=∑=95.01)30(2≥-n Φ欲使975.0)30(≥n Φ即96.130≥n 查表得从中解得3458≥n 即至少应取球3458次才能使“0”出现的频率在0.09-0.11之间的概率至少是0.95.(3) 用中心极限定理计算在100次抽取中,数码“0”出现次数在7和13之间的概率.解：在100次抽取中, 数码“0”出现次数为∑=1001k k X 3101001-∑=k k X 即近似N (0,1)由题:所求概率为:∑=≤≤1001)137(k k X P =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=1001k k X E 1010100=⨯.=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=1001k k X D 9090100=⨯.即在100次抽取中，数码“0”出现次数在7和13之间的概率为0.6826.∑=≤≤1001)137(k k XP =0.68263101001-∑=k k X近似N (0,1))13101(1001≤-≤-=∑=k k X P )1()1(-Φ-Φ≈1)1(2-Φ=例1 根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布. 现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的. 求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率.由题给条件知，诸X i 独立，同分布.16只元件的寿命的总和为∑==161k kX Y 解: 设第i 只元件的寿命为X i , i =1,2, …,16E (X i )=100, D (X i )=10000依题意，所求为P (Y >1920)由于E (Y )=1600,D (Y )=160000由中心极限定理,近似N (0,1)4001600-Y P (Y >1920)=1-P (Y ≤1920)).(801Φ-≈=1-0.7881=0.2119⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤--=4001600192040016001Y P ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤--=8040016001.Y P})1({lim x p np np Y P n n ≤--∞→设随机变量服从参数n, p (0<p <1)的二项分布，则对任意x ，有n Y dte xt ⎰∞--=2221π定理表明，当n 很大，0<p <1是一个定值时（或者说，np (1-p )也不太小时），二项变量的分布近似正态分布N (np ,np (1-p )).n Y 二.定理(棣莫佛－拉普拉斯定理）例:一复杂的系统由100个相互独立起作用的部件组成,在整个运行期间每个部件损坏的概率为0.1,为使整个系统起作用,至少必须有85个部件正常工作求整个系统起作用的概率一复杂的系统由n 个相互独立起作用的部件所组成,每个部件的可靠性为0.9,且必须至少有80%的部件工作才能使整个的系统正常工作,问n 至少为多大才能使系统的可靠性不低于0.95?解:设100中个正常工作数为X,()~100,0.9X B ()85P X ≥=()185P X -<851000.911000.90.1-⨯⎛⎫=-Φ ⎪⨯⨯⎝⎭()1 1.67=-Φ-=0.95252) X~B(n, 0.9)()0.80.95P X n ≥≥()10.80.95P X n -<≥0.80.90.050.90.1n n n -⨯⎛⎫Φ≤ ⎪⨯⨯⎝⎭21.640.0924.20.01n ⨯=≈由题意可知即:()0.80.05P X n <≤0.90.8 1.960.90.1n n n -⨯≈⨯⨯查表得:解方程:至少25件.例2. (供电问题)某车间有200台车床,在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调换工件等常需停车. 设开工率为0.6, 并设每台车床的工作是独立的，且在开工时需电力1千瓦.问应供应多少瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产?设需要x千瓦电力.由题意得:()999≤0.P≥Xx用X 表示在某时刻工作着的车床数，解：对每台车床的观察作为一次试验，每次试验观察该台车床在某时刻是否工作，工作的概率为0.6，共进行200次试验.依题意，X ~B (200,0.6),现在的问题是：P (X ≤x )≥0.999的最小的x .求满足设需x 千瓦电力，（由于每台车床在开工时需电力1千瓦，x 台工作所需电力即x 千瓦.）由德莫佛-拉普拉斯极限定理)1(p np npX --近似N (0,1),于是P (X ≤x )= P (0≤X ≤x )这里np =120,np (1-p )=48)()x (4812048120---≈ΦΦ)x (48120-≈Φ查正态分布函数表得由≥0.999，)x (48120-Φ从中解得x ≥141.5,即所求x =142.(千瓦)也就是说, 应供应142 千瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产.999.0)1.3(=Φ48120-x ≥3.1,故三.定理5.4(拉普拉斯局部极限定理）当时,n →∞()P X k =≈()2212k n p n p qen p qπ--01()k np npqnpqϕ-=例:10部机器独立工作,每部停机得概率为0.2,求3部机器同时停机的概率?解:设10部中同时停机的数为X,()~10,0.2X B ()3P X ==013100.2()100.20.8100.20.8ϕ-⨯⨯⨯⨯⨯01(0.79)1.265ϕ==0.2308统计量既然是依赖于样本的，而后者又是随机变量，故统计量也是随机变量，因而就有一定的分布，这个分布叫做统计量的“抽样分布”.§7.4几个常用统计量的分布主要介绍正态总体下的统计量的分布.设总体X ()2σμ,N ~()n X ,X ,X Λ21是总体X 的一个样本.由此构成的样本函数:∑==ni iX n X 11()∑=--=ni i X X n S 12211它们服从什么分布?()n,,i ,N ~X i Λ212=σμ一.关于样本均值的分布的定理设X 1,X 2,…,X n 是取自正态总体),(2σμN 的样本，则有),(~2nN X σμ)1,0(~N nX σμ-(1)(2)令U=)1,0(~N nX σμ-U-分布的临界值:它是指在一定的概率之下,随机变量取值落入某一区间内的区间上限或下限.例:P{ξ≤λ}=α,λ称为U 分布的临界值λα已知α的值可查表求临界值λ.即:由左边面积求U 的临界值二.关于样本方差S 2的分布定理(一)()2n χ分布()2n χ分布的密度函数为()1222102(2)00n x n x e x f x n x --⎧≥⎪=Γ⎨⎪<⎩来定义.1>=⎰∞--r ,dx e x )r (x r Γ其中伽玛函数通过积分)r (ΓE (X )=n , D (X )=2n演示χ2 分布()2n χ分布的上分位点:α2()n αχ例如:0.1,25n α==20.1(25)χ=34.4 当n 充分大时,有费歇(R.A.Fisher)公式:()221()212n z n ααχ≈+-例如:20.05(50)χ≈()21 1.65992+=67.28定理2.1: 设相互独立, 都服从标准正态分布N (0,1), 则随机变量：服从的分布为自由度为n 的分布.n X X X ,,,21Λ222212nX X X +++=Λχ2χ(0,1)N 定理2.2:设相互独立, 都服从标准正态分布n X X X ,,,21Λ则(二)标准正态分布下平方和分布定理∑==n i i X n X 11(1) 与()∑=-ni i X X 12相互独立.(2) ()21~ni i X X=-∑()21n χ-作业:1.预习:抽样分布2. 练习P116 7---163思考题:A组:甲乙两个戏院在竞争1000名观众,假定每个观众完全随机地选择一个戏院,且观众之间选择是彼此独立的,问每个戏院应该设有多少个座位才能保证因缺少座位而使观众离去的概率小于1%?B组:总结算术平均的分布.X。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 可化为 n X i 近似地 i 1 / n
则有
Xi
i 1
~ ~ ~
近似地
n
~
N (0,1)
N (0,1)
1 n 记 X Xi n i 1
大样本统计推 断的基础
N (0,1)
N ( nu, n 2 )
例1：某汽车销售点每天出售汽车数服从参数 为2的泊松分布. 若一年365天都经营汽车销售, 且每天出售的汽车是相互独立的, 求一年中售出 700辆以上汽车的概率. 解 记Xi为第i天出售的汽车数量, Y X1 X 2 X 365 为一年的总销量. 利用林德贝格-列维中心极限定理, 可得
Yn
X
i 1
n
i
E ( X i )
i 1 n
n
D( X i )
i 1
X
i 1
n
i
n
近似地
n
~
N (0,1)
考虑特殊情况: 均服从参数为p的0-1分布 于是有 棣莫弗-拉 普拉斯中心 极限定理
X
i 1
n
i
np 近似地
np(1 p)
n
x
1 e 2
t2 2
dt Φ ( x ) .
定理（说明）
P{ lim Fn ( x ) lim n
n
X
i 1
n
i
n x} ( x )
n
i
x
1 t 2 / 2 e dt 2
即，n 充分大时，有
Yn
n
X
i 1
n
n 近似地
主要内容
问题提出 林德贝格-列维 (中心极限定理) 棣莫佛-拉普拉斯定理 归纳小结
一、问题的提出
中心极限定理的客观背景 在很多实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生的 总的影响。
例如: 考虑大炮的射程.
大炮的射程受很多随机因素的影响:
如大炮炮身结构导致的误差；
瞄准时的误差； 受风速、风向影响产生的误差； 发炮士兵技术引起的误差等等。 对我们来说重要的是这些随机因素的总的影响。
令 Z Xi ,
i 1 n
根据林德贝格-列维中心极限定理, Z近似服从 N 2n, 2.25n.
则有
Z 2n 200 2n PZ 200 P 2.25n 2.25n
200 2n 0.95. 2.25n
Yn
X
i 1
n
i
E ( X i )
i 1 n
n
D( X i )
i 1
X
i 1
n
i
n
n
的 分 布 函 数 Fn ( x ) , 对 x R , 一 致 地 有
lim Fn ( x ) lim P ( i 1
n
X
n
i
n x)
（证略）
n
这表明:该餐厅每天的营业额在23240到24760 之间的概率近似为0.90.
例3： 某人钓鱼平均每次钓到2kg, 方差2.25kg2. 问: 至少钓多少次鱼, 才能使总重量不少200kg 的概率为0.95?
解 设此人共钓n次, 各次钓到的鱼 的重量为随机变量Xi , 则 EXi 2, DXi 2.25.
例2 ：某餐厅每天接待400名顾客, 设每位顾的 消费额(元)服从(20, 100)上的均匀分布, 且顾客 的消费额是相互独立的. 试求: (1)该餐厅每天的平均营业额; (2)该餐厅每天的营业额在平均营业额760元 的概率. 解 设Xi为第i位顾客的消费额, Xi ~U20, 100. 所以 EXi 60, DXi 16003.
而该餐厅每天的营业额为Y X i .
i 1
400
(1)该餐厅每天的营业额为
E (Y ) E ( X i ) 400 60 24000
(2)利用林德贝格-列维中心极限定理, 知
i 1
400
Y ~N(24000,400 1600/3)
760 P ( 760 Y 24000 760) 2Φ( )1 400 1600 3 2(1.645 ) 1 0.90
200 2n 查表得 1.645. 即n满足方程 1.5 n
n 1.23375 n 100 0
解方程, 得n=113.12. 因此, 取n=114即可.
定理4.7 棣莫佛-拉普拉斯定理
设随机变量 X 1 , X 2 , , X n , 独立同分布，且具有数学期 望和方差：E ( X k ) , D( X k ) 2 0( k 1,2,), 记
Yn
X
i 1
n
i
E ( X i )
i 1 n
n
D( X i )
i 1
X
i 1
n
i
n
的分布函数的极限.
n
可以证明，满足一定的条件，上述极限分布是标准正态分布.
二、中心极限定理
定理4.6 林德贝格-列维 (中心极限定理)
设 随 机 变 量 X 1 , X 2 , , X n , 相 互 独 立 , 服 从 同 一
由E Xi D Xi 2
700 730 则有P Y 700 1 P Y 700 1 730 1 1.11 0.8665.
则一年售出700辆以上汽车的概率近似为0.8665.
Y ~ N (730,730)
2 E ( X ) D ( X ) 0 ( i 1,2, ) , 则 分 布 ,且 有 , i i
随机变量之和
n
X
i 1
i
n
i
的标准化变量
n
Yn
X
i 1
E ( X i )
i 1 n
X
i 1
n
i
n
D( X i )
i 1
n
的 分 布 函 数 Fn ( x ) , 对 x R , 一致地有
研究表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响 所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大. 则这种 量一般都服从或近似服从正态分布. 下面我们来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题. 由于无穷个随机变量之和可能趋于∞，故我们不研究n个 随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量
当n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？