概率论与数理统计教程习题(第四章大数定律与中心极限定理)
《概率论与数理统计》典型例题 第四章 大数定律与中心极限定理
= 0.15,
µn 为
5000
户中收视
该节目的户数，所以可应用棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，即二项分布以正态 分布为极限定理。
解 ： 设 µn 为 5000 户 中 收 视 该 节 目 的 户 数 ， 则 µn ~ B(n, p) ， 其 中
n = 5000, p = 0.15 。 由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理， µn − np 近似服从 np(1− p)
显然需用到前一不等式，则只需算出 E(X + Y ) 与 D(X + Y ) 即可。
解：由于 E(X + Y ) = 0 ，
D( X + Y ) = DX + DY + 2Cov( X , Y ) = DX + DY + 2ρ XY DX DY = 1+ 4 + 2×1× 2× (−0.5) = 3 ，
( D )服从同一离散型分布。
分析：林德伯格-列维中心极限定理要求的条件是 X 1, X 2,", X n,"相互独
立、同分布、方差存在，这时，当 n 充分大时， Sn 才近似服从正态分布。 根据 条件分析选项即可。
解：显然选项 A 与 B 不能保证 X 1, X 2 , ", X n 同分布，可排除。 选项 C 给出了指数分布，此时独立同分布显然满足，而且由于是指数分布， 方差肯定存在，故满足定理条件。 选项 D 只给出其离散型的描述，此时独立同分布显然满足。 但却不能保证 方差一定存在，因此也应排除。 故选 C 。 注：本例重在考察中心极限定理的条件。
P{ X
− EX
≥ ε}≤
E[g( X − EX )] 。 g(ε )
分析：证明的结论形式与切比雪夫不等式非常相似，利用切比雪夫不等式的 证明思想试试看。
茆诗松《概率论与数理统计教程》(第2版)(课后习题 大数定律与中心极限定理)【圣才出品】
是直线上的连续函数，试证：
证：若 g（x）是 m 次多项式函数，即 下证一般情况，对任意的 又选取 N1 充分大，使当
，则由上一题知有
，取 M 充分大，使有
时，有
，于是有
对取定的 M，因为 g（x）是连续函数，所以可以用多项式函数去逼近 g（x），并且在任意
有限区间上还可以是一致的，因而存在 m 次多项式
，于是有
，因为
，故存在充分
由 的任意性知，当
时，有
结论得证．
6．设 D（x）为退化分布： 试问下列分布函数列的极限函数是否仍是分布函数？（其中 n＝1，2，…）
（1）
（2）
（3）
解：（1）因为此时的极限函数为
性质： lim F x=0 ，所以不是分布函数． x－
，不满足分布函数的基本
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有
故当
时，
即
成立，进一步由
可得
，所以又有
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成立．
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（2）先证明
对任意的
，取 M 足够大（譬如
），使有
成立，对取定的 M，存在 N，当 n＞N 时，有
这时有
从而有
由 的任意性知
，同理可证
由上面（1）得
即
成立．
3．如果
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证：先证充分性，令
，则
，
故 f（x）是 x 的严格单调增函数，因而对任意的
，有
于是对任意的
，当
时，有参见 2.3 第 12 题．
充分性得证．
概率论与数理统计教程(茆诗松)第4章
解：用 Xi=1表示第i个部件正常工作, 反之记为Xi=0. 又记Y=X1+X2+…+X100，则 E(Y)=90，Var(Y)=9.
由此得：
P{Y
85}
ห้องสมุดไป่ตู้
1
85
0.5 9
90
0.966.
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第四章 大数定律与中心极限定理
第10页
二、给定 n 和概率，求 y
例4.4.4 有200台独立工作(工作的概率为0.7)的机床，
第6页
4.4.3 二项分布的正态近似
定理4.4.2 棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理
设n 为服从二项分布 b(n, p) 的随机变量，则当 n
充分大时，有
lim
n
P
n
np npq
y
( y)
是林德贝格—勒维中心极限定理的特例.
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第四章 大数定律与中心极限定理
第7页
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第四章 大数定律与中心极限定理
第5页
例4.4.2 设 X 为一次射击中命中的环数，其分布列为
X 10 9 8 7
6
P 0.8 0.1 0.05 0.02 0.03
求100次射击中命中环数在900环到930环之间的概率.
解: 设 Xi 为第 i 次射击命中的环数，则Xi 独立同分布，
且 E(Xi) =9.62，Var(Xi) =0.82，故
P
900
100 i 1
Xi
930
930 100 9.62 100 0.82
900 100 9.62 100 0.82
(第四章)大数定率与中心极限定理习题
第四章 大数定律及中心极限定理导 学——极限论在概率研究中的应用本章是承前启后的一章：明晰了“频率与概率的关系”，这是一个遗留问题。
并将《概率论》部分划上了一个句号，这是承前；说它启后，有定理设定：⋯⋯,21,,,n X X X独立同分布，这一设定在《数理统计》部分一直沿用了下去。
全章由四节组成，§1节特征函数，§2节大数定律，讲了三个定理， §3节随机变量序列的两种收敛性，§4节中心极限定理。
三个定理。
“大数”及“极限”均要求+∞→n ，在实际问题中，n 充分大即可。
§2节主要研究对象为：算术平均值()nXX nX +⋯+=11；§4节的主要研究对象为：n ni i X X X +⋯+=∑=11，比nX 1少了。
§2节的学习，不妨先从复习入手。
第二、三章已熟悉了()()⋅⋅D E 及,先推算出21)(,)(σμnX D X E =⋯==⋯=这是核心推导之一，后面学《数理统计》会反复使用，再由契比雪夫不等式及夹逼原理，可推出定理一，其中NX D 2)(σ=中的n1很宝贵。
定理二是由定理一推得的，关键点为：n A X X X n +⋯++=21及X X nnn ni i A ==∑=11，于是可用定理一了。
推导本身是一件很愉快的事。
§2节的三个定理可在比对中学习。
定理一（契）不要求⋯⋯,21,,,n X X X 一定为同分布，（贝）是由定理一（契）的特例。
定理二（马）不要求⋯⋯,21,,,n X X X 独立或同分布。
定理三（辛）不要求)(X D 一定存在，“契”“马”与“辛”的结论均为：μ−→−PX ,即算术平均值依概率收敛于数学期望。
“贝”的结论为：p nn PA −→−，即频率依概率收敛于概率。
这个结论很精致，十分简单了。
翻开§4节，一堆一堆的符号映入眼中，让人头大。
其实，若标准化方法娴熟，这一节并不难。
茆诗松《概率论与数理统计教程》(第版)-章节题库-第4~8章【圣才出品】
A．有相同的数学期望
B．服从同一离散型分布
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C．服从同一泊松分布
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D．服从同一连续型分布
【答案】C
【解析】直接应用辛钦大数定律的条件进行判断，C 项正确。事实上，应用辛钦大数定
律，随机变量序列{Xn，n≥l}必须是“独立同分布且数学期望存在”，A 项缺少同分布条件，
ε＝1，有
lim
P
n
n i 1
Xi
＜n
＝1，又
n i 1
Xi
＜n
n i1
X
i＜n
，
所以
lim
n
P
n i 1
X
i＜n
＝1。
3．设 Xn 表示将一硬币随意投掷 n 次“正面”出现的次数，则（ ）。
A． lim P{ Xn n x} (x)
n
n
B． lim P{ Xn 2n x} (x)
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解：设同时使用紫外线的分机数为 ， 设此单定安装的外线共有 条，则应用中心极限定理 又查表知
【答案】
【解析】题目要求我们计算
为此我们需要应用大数定律或依概率收
敛的定义与性质来计算。由题设知 X1，…，Xn 独立同分布：
且
，根据辛钦大数定律
4．设随机变量列 X1，X2，…，Xn…相互独立且同分布，则 X1，X2，…，Xn，…服从辛 钦大数定律，只要随机变量 X1______。
【答案】期望存在 【解析】辛钦大数定律的条件是 Xi 独立同分布，且期望存在，而切比雪夫大数定律的 条件是 不相关且方差有界。
《概率论与数理统计》习题 第四章 大数定律和中心极限定理
第四章 大数定律和中心极限定理一. 填空题1. 设Y n 是n 次伯努利试验中事件A 出现的次数, p 为A 在每次试验中出现的概率, 则对任意 ε > 0, 有=⎪⎭⎫ ⎝⎛≥-∞→ε||lim p n Y P n n __________. 解. =⎪⎭⎫ ⎝⎛≥-∞→ε||lim p n Y P n n 1－011||lim =-=⎪⎭⎫ ⎝⎛<-∞→εp n Y P n n 2. 设随机变量X 和Y 的数学期望是2, 方差分别为1和4, 而相关系数为0.5, 则根据切比雪夫不等式P(|X －Y| ≥ 6) ≤ _______.解. E(X －Y) = E(X)－E(Y) = 2－2 = 0D(X －Y) = D(X) + D(Y)－)()(2Y D X D XYρ= 1 + 4－2×0.5×1×2 = 3 所以 1213636)()6|(|2==-≤≥-Y X D Y X P二. 选择题1. 设随机变量n X X X ,,,21 相互独立, n n X X X S +++= 21, 则根据列维－林德伯格(Levy-Lindberg)中心极限定理, n S 近似服从正态分布, 只要n X X X ,,,21 ( A ) 有相同的数学期望 ( B ) 有相同的方差( C ) 服从同一指数分布 ( D ) 服从同一离散型分布解. 列维－林德伯格(Levy-Lindberg)中心极限定理要求n X X X ,,,21 既有相同的数学期望, 又有相同的方差, 因此( A ) 、( B )、 ( D )都不是答案, ( C )为答案.三. 计算题1. 某厂有400台同型机器, 各台机器发生故障的概率均为0,02, 假如各台机器相互独立工作, 试求机器出现故障的台数不少于2台的概率.解. 假设X 表示400台机器中发生故障的台数, 所以X ～B(400, 0.02)由棣莫佛－拉普拉斯定理:)(2198.002.040002.0400lim 22x dt e x X P x t n Φ==⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⨯⨯⨯-⎰∞--∞→π 所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-≤⨯⨯--=≤-=≥98.002.0400798.002.040081)1(1)2(X P X P X P ≈ 1－Φ(－2.5) = Φ(2.5) = 0.9938.2. 设供电网中有10000盏灯, 夜晚每一盏灯开着的概率都是0.7, 假设各灯开、关时间彼此无关, 计算同时开着的灯数在6800与7200之间的概率.解. 假设X 表示10000盏灯中开着的灯数, 所以X ～B(10000, 0.7)由棣莫佛－拉普拉斯定理:)(217.03.010*******lim 22x dt e x X P xt n Φ==⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⨯⨯-⎰∞--∞→π所以 )72006800(≤≤X P ⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-≤⨯⨯-≤⨯⨯-=7.03.010000700072007.03.010********.03.01000070006800X P ≈ Φ(4.36)－Φ(－4.36) = 2Φ(4.36)－1 = 2×0.999993－1 = 0.999.。
概率论与数理统计答案第四章大数定律与中心极限定理
第四章大数定律与中心极限定理4.1 设为退化分布：讨论下列分布函数列的极限是否仍是分布函数？解：（1）（2）不是；（3）是。
4.2 设分布函数如下定义：问是分布函数吗？解：不是。
4.3设分布函数列弱收敛于分布函数，且为连续函数，则在上一致收敛于。
证：对任意的，取充分大，使有对上述取定的，因为在上一致连续，故可取它的分点：，使有，再令，则有（1）这时存在，使得当时有（2）成立，对任意的，必存在某个，使得，由（2）知当时有（3）（4）由（1），（3），（4）可得，即有成立，结论得证。
4.5 设随机变量序列同时依概率收敛于随机变量与，证明这时必有。
证：对任意的有，故即对任意的有成立，于是有从而成立，结论得证。
4.6 设随机变量序列，分别依概率收敛于随机变量与，证明：（1）；（2）。
证：（1）因为故即成立。
（2）先证明这时必有。
对任给的取足够大，使有成立，对取定的，存在，当时有成立.这时有从而有由的任意性知，同理可证，由前述（1）有故，结论成立。
4.7 设随机变量序列，是一个常数，且，证明。
证：不妨设对任意的，当时有，因而。
于是有。
结论成立。
4.9 证明随机变量序列依概率收敛于随机变量的充要条件为：证：充分性，令，则，故是的单调上升函数，因而，于是有对任意的成立，充分性得证。
必要性，对任给的，令，因为，故存在充分大的使得当时有，于是有，由的任意性知，结论为真。
4.10 设随机变量按分布收敛于随机变量，又数列，，证明也按分布收敛于。
证：先证明按分布收敛于。
时为显然，不妨设（时的修改为显然），若，，，的分布函数分别记作，，与，则=，当是的连续点时，是的连续点，于是有成立，结论为真。
由4.12知，再由4.6(1)知，于是由前述结论及4.11知按分布收敛于，结论得证。
4.11设随机变量序列按分布收敛于随机变量，随机变量序列依概率收敛于常数，证明按分布收敛于。
证：记的分布函数分别为，则的分布函数为，设是的连续点，则对任给的，存在，使当时有（1）由于F(x)在只能有有限个间断点，可取，使得都是的连续点，这时存在，当时有（2）（3）对取定的，存在，当时有（4）于是当时，由（1），（2），（4）式有又因为于是由（1），（3），（4）式有（6）由（5），（6）两式可得由的任意性即知按分布收敛于，结论得证。
概率论及数理统计教程习题(第四章大数定律及中心极限定理)
习题10 (切比雪夫不等式)•填空题1.设随机变量X的数学期望E(X) ,方差D(X) 2,则由切比雪夫不等式，得P(X 3 )2.随机掷6枚骰子，用X表示6枚骰子点数之和，则由切比雪夫不等式，得P(15 X 27)3.若二维随机变量(X,Y)满足，E(X) 2，E(Y) 2，D(X) 1，D(Y) 4，R(X,Y) 0.5，则由切比雪夫不等式，得P(X 丫 6)4.设X1, X2， ,X n，是相互独立、同分布的随机变量序列，且E(X i) 0, D(X i) 一致有n界(i 1,2, ,n,)，则lim P( X i n) .ni 1二•选择题1.若随机变量X的数学期望与方差都存在，对 a b，在以下概率中，( )可以由切比雪夫不等式进行取值大小的估计。
①P(a X b)；②P(a X E(X)b)；③P( a X a)；④P(X E(X)b a).12.随机变量X服从指数分布e()，用切比雪夫不等式估计P(X | -) ( )①；②2③4；④-.)1.lim P(nX i 2三•解答题1.已知正常男性成年人的血液里，每毫升中白细胞含量X 是一个随机变量，若 E(X) 7300,D(X ) 7002，利用切比雪夫不等式估计每毫升血液中白细胞含量在5200至9400之间的概率。
2.如果X-X 2, ,X n 是相互独立、同分布的随机变量序列，E(X i )3.设X i ，X 2， ,X n ，是相互独立、同分布的随机变量序列,E(X i 4)存在，且一致有界(i 1,2, ,n,).对任意实数 0，证明D(X i )8 (i 1,2, ,n) •记 XX i ， 由切比雪夫不等式估计概率p(X 4).E(X i ) 0，D(X i )•填空题1.若随机变量X 服从正态分布 N(2,4)，则P(X 3)P(0 X 4) ________________ ，P(X 1)5.随机变量X 1,X 2相互独立，且都服从标准正态分布，记丫 2 3X 1 4X 2，则丫概率密度f Y (y)_________________ . ________________•选择题6.若随机变量 X 1,X 2 ,,X n 相互独立，且X i ~ N(,2) (i 1 n1,2, ,n),则 D(— X i )n i 1( )①2 ；②n2; ③2/n ；④2/n 2.7.若随机变量 X,Y 相互独立, 且都服从正态分布N(:,2).设X Y ,X Y ，则cov(,)( ).①2 2 ;②1 ;③ 1;④0.X Y8.若随机变量 X,Y 满足 X ~ N(1, 32) , Y ~ N(0, 42) , R(X,Y) 1/2，则 D( ) 3 2( ).④2.11 (特征函数)2.若随机变量X ~ N (2)，且 P(X c) P(X c)，则 c3.若随机变量X ~ N(2, 2)，且P(2 X4) 0.3，则 P(X 0)4.若X 服从正态分布 N ( 2)，记 P( k X当 0.9时，k，当 0.95 时，k•解答题1.某种电池的寿命X (单位：h )服从正态分布N(300, 352) . (1)求寿命大于250小时的概率，(2)求x，使寿命在300 x之间的概率不小于092.测量某一目标的距离时，随机误差X ~ N(0, 402)(单位：m)(1)求P(X 30)，(2)若作三次独立测量，求至少有一次测量误差的绝对值不超过30米的概率。
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习题10（切比雪夫不等式）
一．填空题
1. 设随机变量X 的数学期望μ=)(X E ，方差2)(σ=X D ，则由切比雪夫不等式，得
≤≥-)3(σμX P .
2. 随机掷6枚骰子，用X 表示6枚骰子点数之和，则由切比雪夫不等式，得
≥<<)2715(X P .
3. 若二维随机变量),(Y X 满足，2)(-=X E ，2)(=Y E ，1)(=X D ，4)(=Y D ，
5.0),(-=Y X R ，则由切比雪夫不等式，得≤≥+)6(Y X P .
4. 设 ,,,,21n X X X 是相互独立、同分布的随机变量序列，且0)(=i X E ，)(i X D 一致有界),,,2,1( n i =，则=<∑=∞
→)(
lim 1
n X
P n
i i
n .
二．选择题
1. 若随机变量X 的数学期望与方差都存在，对b a <，在以下概率中，（ ）可以由切比雪夫不等式进行取值大小的估计。
① )(b X a P <<； ② ))((b X E X a P <-<；
③ )(a X a P <<-； ④ ))((a b X E X P -≥-.
2. 随机变量X 服从指数分布)(λe ，用切比雪夫不等式估计≤≥
-)1
(λ
λX P （ ）.
① λ； ② 2
λ ③ 4
λ； ④
λ
1
.
三．解答题
1. 已知正常男性成年人的血液里，每毫升中白细胞含量X 是一个随机变量，若7300)(=X E ，2700)(=X D ，利用切比雪夫不等式估计每毫升血液中白细胞含量在5200至9400之间的概率。
2. 如果n X X X ,,,21 是相互独立、同分布的随机变量序列，μ=)(i X E ，
8)(=i X D ),,2,1(n i =.记∑==n
i i X n X 1
1，由切比雪夫不等式估计概率)4(<-μX p .
3. 设 ,,,,21n X X X 是相互独立、同分布的随机变量序列，0)(=i X E ，2)(σ=i X D ，
)(4i X E 存在，且一致有界),,,2,1( n i =.对任意实数0>ε，证明1)1(lim 1
22
=<-∑=∞→εσn i i n X n P .
11（特征函数）
一．填空题
1. 若随机变量X 服从正态分布)4,2(N ，则=≥)3(X P . =<<)40(X P ，=≤)1(X P .
2. 若随机变量~X ),(2σμN ，且)()(c X P c X P ≥=≤，则=c .
3. 若随机变量~X ),2(2σN ，且3.0)42(=<<X P ，则=<)0(X P .
4. 若X 服从正态分布),(2σμN ，记ασμσμ=+<<-)(k X k P .
当9.0=α时，=k ，当95.0=α时，=k .
5. 随机变量21,X X 相互独立，且都服从标准正态分布，记21432X X Y -+=， 则Y 概率密度=)(y f Y .
二．选择题
6. 若随机变量n X X X ,,,21 相互独立，且),(~2
σμN X i ),,2,1(n i =，则=
∑=)1(1
n
i i X n D （ ）
① 2
σ； ② 2
σn ； ③ n /2
σ； ④ 2
2
/n σ.
7. 若随机变量Y X ,相互独立，且都服从正态分布),(2
σμN .设Y X +=ξ，Y X -=η，则
=),cov(ηξ（ ）.
① 2
2σ； ② 1； ③ 1-； ④ 0.
8. 若随机变量Y X ,满足)3,1(~2
N X ，)4,0(~2
N Y ，2/1),(-=Y X R ，则=+)2
3(Y
X D （ ）.
① 5； ② 4； ③ 3； ④ 2.
三．解答题
1. 某种电池的寿命X （单位：h ）服从正态分布)35,300(2N .（1）求寿命大于250小时的概率，（2）求x ，使寿命在x ±300之间的概率不小于0.9.
2. 测量某一目标的距离时，随机误差)40,0(~2N X （单位：m ）.
（1）求)30(≤X P ，
（2）若作三次独立测量，求至少有一次测量误差的绝对值不超过30米的概率。
3. 一商店对某种家电采用先使用后付款的方式销售，使用寿命X （单位：年）与销售单价Y （单位：元）关系如下：
若X~N (5, 4), 求平均售价。
4. 若随机变量)1,0(~N X ，设X
e Y =，求随机变量Y 的概率密度)(y
f Y .
12（中心极限定理）
一．填空题
1. 若随机变量X 与Y 相互独立，且都服从标准正态分布，则),(Y X 的联合概率密度为
=),(y x f .
2. 若二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为
),(,31),(]3)2(3
)2)(1()1[(3222∞+<-∞+∞<<-∞=
-+--+--y x e y x f y y x x π
则=)(X D ，=)(Y D ，=),(Y X R .
3. 若随机变量X 服从二项分布)8.0,10000(B ，由中心极限定理，有
≈<-)408000(X P . 二．选择题
1. 若二维随机变量),(Y X 服从二元正态分布),,,,(2
2r N y x y x σσμμ,则X 与Y 不相关是X
与Y 不相互独立的（ ）条件。
① 充分且必要； ② 充分但不必要； ③ 必要但不充分； ④ 即不充分也不必要.
2. 若随即变量序列 ,,,,21n X X X 相互独立，且都服从参数为λ的泊松分布)(λP ，当=X （ ）时.)()(lim x x X P n Φ=≤∞
→.（其中)(x Φ为标准正态分布的分布函数）.
①
n
n X
n
i i
∑=-1
λ； ②
λ
λ
n n X
n
i i
∑=-1
；
③
λ
λ
n n X
n
i i
∑=-1
； ④
λ
λ
n n X
n
i i
∑=-1
.
三．解答题
1. 30个独立使用的电子元件，它们的寿命i T 都服从指数分布，且每个元件的平均寿命都为100（h ），其使用情况是：一个损坏后，另一个立即起用。
记∑==30
1
i i
T
T ，求总寿命T 超过3500
（h ）的概率。
2. 如果计算机在进行加法运算时，对每个加数取整，若每个加数产生的误差i X 是相互独立，且服从区间)5.0,5.0(-上的均匀的随机变量。
(1) 求将1500个数相加时，误差总和的绝对值超过15的概率，
(2) 问最多几个数相加，可使误差总和的绝对值小于10的概率不小于90%.
3. 某车间有200台独立工作的机床，同一时刻只有60%的机床在开动。
每台机床开动时耗电量为E ，问至少要供给该车间多少电能才能以99.9%的概率保证车间不因供电不足而影响生产。