大数定律和中心极限定理习题和例题

三、给定 x 和概率，求 n
补充例5 用调查对象中的收看比例 k/n 作为某电视节
目的收视率 p 的估计。 要有 90％ 的把握，使k/n与p 的差异不大于0.05，问至少要调查多少对象？
解：用 Xn表示n 个调查对象中收看此节目的人数，则
Xn 服从 b(n, p) 分布，k 为Xn的实际取值。根据题意
所 以 ， 当 n 时 ， n次 服 务 时 间 的 算 术 平 均 值 1 ni n 1X i以 概 率 1 收 敛 于 2 （ 9分 钟 ） .
注：本题参考答案有误
中心极限定理的应用例题补充
一、给定 n 和 x，求概率
补充例3 100个独立工作(工作的概率为0.9)的部件组 成一个系统，求系统中至少有85个部件工作的概率.
解：用 Xi=1表示第i个部件正常工作, 反之记为Xi=0. 又记Y=X1+X2+…+X100，则 E[Y]=90，Var[Y]=9. 由此得：
P { Y 8 5 } 1 8 5 0 .9 5 9 0 0 .9 6 6 .
二、给定 n 和概率，求 x
补充例4 有200台独立工作(工作的概率为0.7)的机床，
间 的 算 术 平 均 值 1 n i n 1X i以 概 率 1 收 敛 于 何 值 ？
解 ： 依 题 意 ， 显 然 有 ， { X n} 是 一 个 独 立 同 分 布 的 随 机 变 量 序 列 ， 只 要 存 在 有 限 的 公 共 数 学 期 望 ， 则 { X n} 的 算 术 平 均 值 依 概 率 收 敛 于 其 公 共 数 学 期 望 ， 由 于 X i服 从 [ 5 , 5 3 ] 上 的 均 匀 分 布 ， 所 以 E [X i](5 3 5 )/22 9 ,i 1 ,2 , ,n
解: 设 X 表示命中的炮弹数, 则 X ~ b(500, 0.01)
( 1 ) P ( X 5 ) C 5 5 0 0 0 . 0 1 5 0 . 9 9 4 9 5 ＝0.17635
(2) 应用正态逼近: P(X=5) = P(4.5 < X < 5.5) 5.4 5. 95 54.4 5. 95 5 = 0.1742
所以，{Yn}也是独立同分布的随机变量序列，且
n
Yk X12 X2X3 X42 X5X6
X2 3n2
X3n1X3n
wk.baidu.comk1
E[Yk
]
E[
X2 3k2
X3k1X3k
]
E[
X2 3k2
]
E[
X3k
X 1 3k
]
Var[X3k2](E[X3k2])2 E[X3k1]E[X3k ]
644 14 k 1,2, ,n
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有关大数定律习题选讲
5.5设 {Xn}是 独 立 同 分 布 的 随 机 变 量 序 列 ， 且 假 设 E[Xn]2, Var[Xn]6,证 明 ： X12X2X3X4 2X5X6 X3 2n2X3n1X3n P a,n ,
n 并 确 定 常 数 a之 值 .
解：设Yk =X32k2 X3k X 1 3k ,由于{Xn}是独立同分布的随机变量序列
{Yn}满足辛钦大数定律条件，所以
n
Yk
k1
X12 X2X3 X42 X5X6
n
n
X2 3n2
X3n1X3n
Pa,n
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5 .1 1 假 设 某 洗 衣 店 为 第 i个 顾 客 服 务 的 时 间 X i服 从 区 间 [ 5 , 5 3 ] ( 单 位 ： 分 钟 ) 上 的 均 匀 分 布 ， 且 对 每 个 顾 客 是 相 互 独 立 的 ， 试 问 当 n 时 ， n 次 服 务 时
P X n / n p 0 . 0 5 2 0 . 0 5 n / p ( 1 p ) 1 0 . 9 0
从中解得 0.05n/p(1p)1.645
又由 p(1p)0.25 可解得 n270.6 n = 271
补充例6 设每颗炮弹命中目标的概率为0.01， 求500发炮弹中命中 5 发的概率.
每台机床工作时需15kw电力. 问共需多少电力, 才可 有95%的可能性保证供电充足?
解：用 Xi=1表示第i台机床正常工作, 反之记为Xi=0.
又记Y=X1+X2+…+X200，则 E[Y]=140，Var[Y]=42. 设供电量为x, 供电充足即为15Y≤x，则从
中解得P { x1 5 Y 2 25x } 2. x/1 5 0 4 .2 5 1 4 0 0 .9 5