中心极限定理与大数定理的关系

渤海大学学士学位论文题目: 中心极限定理与大数定理的关系系别: 渤海大学专业: 数学系班级: 2002级1班姓名：于丹指导教师：金铁英完成日期：2006年5月19日中心极限定理与大数定理的关系于丹（渤海大学数学系辽宁锦州 121000 中国）摘要：中心极限定理是概率与数理统计的一个重要分支，大数定理和中心极限定理都是讨论的随机变量序列的极限问题，它们是概率论中比较深入的理论结果。

本篇论文从研究大数定理开始，然后由大数定理以及收敛性引出了中心极限定理，最后通过对定理在实际应用中的举例和定理的一些反例的研究使我们弄清中心极限定理的内涵与外延，进一步弄清了大数定理与中心极限定理之间的关系。

关键词：大数定理中心极限定理收敛性The relation of the central limit theorem and largenumbers lawYu Dan(Department of Mathematics Bohai University Liaoning jinzhou 121000 China) Abstract：The Central limit theorem is an important branch of probability and mathematical statistic. The large numbers law and the central limit theorem is limit question of random variable sequence .They are the quite thorough theory result in the theory of probability.This paper commences from large numbers law,then the central limit theorem is cited by large numbers law and convergence.Eventually,we can understand connotation and extension of the central limit theorem by its examples and relationship between large numbers law and the central limit theorem .Key words:large numbers law ; the central limit theorem ; convergence.引言中心极限定理是概率与数理统计的一个重要分支，大数定理和中心极限定理都是讨论随机变量序列的极限问题。

它们是概率论中比较深入的理论结果。

中心极限定理表明，在相当一般的条件下，当独立随机变量的个数增加时，其和的分布趋于正态分布，这一事实阐明了正态分布的重要性。

中心极限定理也揭示了为什么实际应用中会经常遇到正态分布，也就是揭示了产生正态分布变量的源泉。

本文讨论的主题是大数定理和中心极限定理，通过列举一些例子让我们弄清中心极限定理的内涵与外延，进一步弄清楚了大数定理和中心极限定理之间的关系。

一 随机变量的收敛性随机变量收敛性的定义：设有一列随机变量12,,ηηη，如果对于任意的0ε>，有lim ()1n x P ηεη→∞-<=则称随机变量序列{}nη依概率收敛于η，并记作lim Pn x ηη→∞−−→或()P n n ηη−−→→∞。

下面给出随机变量收敛的几个性质： 1.设12(),(),()F x x x F F 是一列分布函数，如果对于()F x 的每个连续点x ,都有lim ()()n x x F x F →∞=成立，则称分布函数列{}()n x F 弱收敛于分布函数()F x ，并记作()()n x F x F ω−−→。

2.若随机变量序列12,ηη以概率收敛于随机变量η，即()Pn n ηη−−→→∞则相应的分布函数列12(),()F x F x 弱收敛于分布函数()F x ，即()()()n x F x n F ω−−→→∞ 3.随机变量序列C Pn ηη−−→≡（C 为常数）的充要条件是 ()()n F x F x ω−−→基数 4. 设{}{}{}12,n n kn ξξξ是k 个随机变量序列，并且,(1,2,,)Pin i a n i k ξ−−→→∞=又12(,,)k R x x x 是k 元变量的有理函数，并且12(,,)k k a a a ≠±∞，则有12(,,)Pn n kn R ξξξ−−→12(,,),k R a a a n →∞成立。

二 大数定理大数定理主要说明大数次重复试下所呈现的客观规律，若12,,ξξξ∞是随机变量序列，如果存在常数列12,,nb b b ，使得对任意的0ε>，有1li m {}1nii n x Pb nξε=→∞-<=∑成立，则称随机变量序列{}1ξ服从大数定理。

（一）大数定理的引入在实践中人们发现事件发生的“频率”具有稳定性，在讨论数学期望时，也看到在进行大量独立重复试验时“平均值”也具有稳定性，大数定理正是以严格的数学形式证明了“频率”和“平均值”的稳定性。

同时表达了这种稳定性的含义，即“频率”或“平均值”再依据概率收敛的意义下逼近某一常数。

此外我们所说的靠近并不是高等数学中的收敛，在高等数学中序列{}n x 收敛于a （即n n lim x a →+∞=）指对任意给定的0ε>，可找到N 0>，使得对所有的n N >，恒有n x a ε-<。

而且不会有例外。

而在概率论中，序列{}n x 是非确定性变量（随机变量），{}n x 以概率收敛于a ，是指对任意给定的0ε>，当n 充分大时，事件{}n x a ε-<发生的概率很大，接近于1（即{}n n lim x a 1ε→∞-<=），但并不排除事件{}n x a ε-≥的发生可能性。

（二）常见的几种大数定理在介绍大数定理之前，先介绍契贝晓夫不等式：契贝晓夫不等式：设x 为随机变量，且有有限方差，则对任意0ε>，有2D(x )P (X E(x))εε-≥≤或者D(x)P(X E(x))12εε-<≤-1、贝努里大数定理：设n μ是n 重贝努里试验中事件A 出现的次数，又A 在每次试验中出现的概率为P (0P 1)<<，则对任意的0ε>有n n lim P P 1n με→∞⎧⎫-<=⎨⎬⎩⎭或者n n lim P P 0n με→∞⎧⎫-≥=⎨⎬⎩⎭证明：令i 1,i A 1i n 0,i A ξ⎧=≤≤⎨⎩在第次试验中出现在第次试验中不出现则12n ,,ξξξ是n 个相互独立的随机变量，且i i E p,D p(1p)pq(q=1-p,i=1,2,n)ξξ==-=而n 1ni i μξ==∑于是由契贝晓夫不等式有n12211D()p(p p(E()n )nn ni n ni i i i i ξμξξεε===-=-≥≤∑∑∑又由独立性知道有i 11D()D npq n ni i i i ξξξ=====∑∑，从而有n 222npq 1pq p(p )0,n n n q n q με-≥≤=→→∞所以n n lim p{p }1nμε→∞-<=成立。

2、契贝晓夫大数定理：设12n,,ξξξ是一列两两不相关的随机变量，又设它们的方差有界，即存在常数C 0>，使得i D C,i 1,2ξ≤=则对任意的0ε>有n 1111lim p{E }1n n n ni i i i ξξε→∞==-<=∑∑ 证明：仍利用契贝晓夫不等式，有因为{}i ξ两两不相关，且由它们的方差有界即可得到 从而有21111Cp[E ]0,n nnn nni ii i ξξεε==-≥≤→→∞∑∑ 所以有n 1111lim p[E ]1n n n ni i i i ξξε→∞==-<=∑∑ 得证3、辛钦大数定理：设12n,,ξξξ是一列独立的同分布的随机变量，且数学期望存在，i E a (i 1,2,)ξ==则对任意的0ε>有n 11lim p(a )1nni i ξε→∞=-<=∑成立（三）大数定律的应用1、设随机变量X 的数学期望E(x)μ=，方差2D(x)σ=，则根据契贝晓夫不等式估计{}p x 4μσ-≥≤。

[解]：由题意设4εσ=，由契贝晓夫不等式()2D(x)p X E(x)εε-≥≤得{}221p X 4(4)16σμσσ-≥≤=，故结果为1162、设12n x ,x ,,x 相互独立同分布随机变量序列，且n E(X )0=则n 1lim p(n)ni i X →∞=<=∑？[解]：由于{}i x (i 1,2,)=是相互独立同分布，所以由辛饮大数定理有取n 11(1)lim p(01)1n n i i X ε→∞==-<=∑，即n 11lim p(1)1n ni i X →∞=<=∑又显然有111(1)(n)n nni i i i X X ==<⊂<∑∑ 故n n 111lim p(n)lim p(1)1nn ni ii i X X →∞→∞==<≥<=∑∑三 中心极限定理（一）中心极限定理的引入我们在研究许多随机变量时，都认为它们会遵循正态分布。

那么什么会这样呢？仅仅是一些人的经验猜测还是有理论依据。

高斯在研究误差理论时已经用到了正态分布。

现在不妨来考察一下“误差”是怎样一个随机变量，以炮弹射击误差为例，设靶心是坐标原点，多次射击的结果，炮弹的着地点的坐标为(),ξη，它是一个二维随机变量，一般认为它服从二维正态分布，我们知道ξ和η分别表示弹着点与靶心之间的横向与纵向误差，即使炮手瞄准后不再改变，那么在每次射击以后，它也会因为震动而造成微小的误差，每发炮弹外型上的细小差别而引起空气阻力的不同而出现的误差等等诸多原因。

这些误差有正的有负的，都是随机的而弹着点的总误差ξ()η是这样多的随机误差的总合即i iξξ=∑而这些小误差{}i ξ是彼此间相互独立的，要研究这些独立的随机变量的和的分布问题，就需要利用前面所讲的大数定理。

前面的贝努里大数定理告诉我们：110,nni iPi i E n nηη==-−−→→∞∑∑这是因为事先进行了“中心化”并且在分母中有一个因子n ，它比分子的取值增长得快，所以整个分式以概率收敛于0，显然，如果把分母换成1(0)n ηη+>，则上述结论仍然成立。

因为这时分母增长得更快，讨论这种情形也就没有什么意义了。