概率统计- 第5章 大数定律与中心极限定理复习要点
概率论与数理统计 第二版 第五章 大数定律及中心极限定理
解 设Xi表示 “装运的第i箱的重量”(单位:千克), n为所n求箱数,则X1, X2,
, X n相互独立同分布, n箱的总重量 T n =X1+X2+ +X n = Xi ,且 E(Xi)=50,
D(Xi)=25, 由林德伯格-列维中心极限定理知
n
i 1
n
P{Tn
5000}=P{
n i 1
Xi
5000
}=P
i
1
Xi 50n
5n
5000
50n
=P
i 1
5n
Xi 5
50n
1000
10n
n
n
( 1000 10n) >
0.977=(2) ,
解得 n < 98.0199 ,
n
所以每辆汽车最多装 98 箱 .
第五章 大数定律及中心极限定理 §5.2 中心极限定理
μ
|
ε}
1,
1 n
lim
n
P{|
n
i 1
Xi
μ|
ε}
0
.
第五章 大数定律及中心极限定理 §5.1 大数定律
例1 (P149例1)设随机变量X1 , X2 , , X n , 相互独立同服从参
数为 2的指数分布, 则当n∞时, Yn =
1 n
n
i 1
X
2 i
依概率收敛于
____
.
解 因为随机变量 X1 , X2 , , X n 相互独立同分布, 所以
定理1 (伯努利大数定律) 设随机变量序列 X1 , X2 , , X n ,
概率论与数理统计第五章大数定律及中心极限定理
概率论与数理统计第五章大数定律及中心极限定理课前导读概率论是研究大量试验后呈现出的统计规律性的一门理论。
数学中研究大量的工具是极限。
因此这一章学习概率论中的极限定理。
第一节大数定律随着试验次数的增大，事件的频率逐步稳定到事件的概率。
意味着随着试验次数的增多，在其中一种收敛意义下，频率的极限是概率。
大数定律解释了这一结论。
首先介绍切比雪夫不等式。
一、切比雪夫(Chebyshev)不等式随机变量X的取值总是围绕着其期望变动，若X的分布已知时，可以计算事件\{，X-E(X)，\geq \epsilon \}的概率。
切比雪夫不等式：对切比雪夫不等式的直观理解：方差越小，X在其期望附近取值的密集程度越高，原理期望的区域的概率上加越小。
进一步说明了方差的概率意义，方差时随机变量取值与其中心位置的偏离程度的一种度量指标。
当随机变量X的分布未知时，可由X的观测数据估计得到X的期望和方差，然后使用切比雪夫不等式估计X关于E(X)的偏离程度。
二、依概率收敛随机变量序列即由随机变量构成的一个序列。
不能用类似定义数列极限的方式定义随机变量序列的极限，因为序列中的每一个元素X_n是随机变量，取值不确定，不可能和一个常数c的距离任意小。
只能说一些事件A发生的频率f_n(A)收敛到A的概率P(A)。
依概率收敛的定义：定理2：三、大数定律三个大数定律：切比雪夫大数定律、辛钦大数定律和伯努利大数定律。
注意这三个大数定律的条件有何异同。
定理3 切比雪夫大数定律：若随机变量序列相互不相关，方差存在且一致有上界，当n充分大时，随机序列的前n项的算术平均值和自身的期望充分接近几乎总是发生的。
定理4 相互独立同分布的大数定律（辛钦大数定律）：辛钦大数定律为算术平均值法则提供了理论依据。
伯努利大数定律：伯努利大数定律是相互独立同分布大数定律的特例，限定分布为两点分布。
伯努利大数定律体现了：随着试验次数的增大，事件的频率逐步稳定到时间的概率，这里的稳定即为依概率收敛。
(完整版)大数定律和中心极限定理
第五章 大数定律和中心极限定理一、内容提要（一）切贝谢夫不等式 1. 切贝谢夫不等式的内容设随机变量X 具有有限的数学期望E （X ）和方差D （X ），则对任何正数ε，下列不等式成立。
(){}()(){}().1,22εεεεX D X E X P X D X E X P -≤-≤≥-2. 切贝谢夫不等式的意义（1）只要知道随机变量X 的数学期望和方差（不须知道分布律），利用切贝谢夫不等式，就能够对事件(){}ε≥-X E X 的概率做出估计，这是它的最大优点，今后在理论推导及实际应用中都常用到切贝谢夫不等式。
（2）不足之处为要计算(){}ε≥-X E X P 的值时，切贝谢夫不等式就无能为力，只有知道分布密度或分布函数才能解决。
另外，利用本不等式估值时精确性也不够。
（3）当X 的方差D (X )越小时，(){}ε≥-X E X P 的值也越小，表明X 与E (X )有较大“偏差”的可能性也较小，显示出D (X )确是刻画X 与E (X )偏差程度的一个量。
（二）依概率收敛如果对于任何ε＞0，事件{}ε a X n -的概率当n →∞时，趋于1，即{}1lim =-∞→ε a X P n n ，则称随机变量序列X 1,X 2,…,X n ,…当n →∞时依概率收敛于α。
（三）大数定律 1. 大数定律的内容（1）大数定律的一般提法若X 1,X 2,…,X n ,…是随机变量序列，如果存在一个常数序列α1,…,αn ,…，对任意ε＞0，恒有11lim 1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∑=∞→ε n i n i n a X n P ， 则称序列{X n }服从大数定律（或大数法则）。
（2）切贝谢夫大数定律设随机变量X 1,X 2,…,X n ,…相互独立，分别有数学期望E(X i )和方差D(X i )，且它们的方差有公共上界C ，即()().,,,2,1, n i C X D i =≤则对于任意的ε＞0，恒有()111lim 11=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∑∑==∞→ε n i ni i i n X E n X n P 。
大数定律与中心极限定理总结
大数定律与中心极限定理总结大数定律与中心极限定理是概率论与数理统计中的两个重要定理，用于描述随机变量序列的性质。
下面我将分别对这两个定理进行总结，并给出相关的参考内容。
一、大数定律大数定律是概率论中的一个基本定理，描述了随机变量序列的极限性质。
大数定律可以分为弱大数定律和强大数定律两种。
1. 弱大数定律弱大数定律是指对于一个随机变量序列，如果序列的均值存在，并且均值收敛于某个常数，那么这个序列就满足弱大数定律。
弱大数定律的代表是辛钦大数定律。
具体来说，如果一个随机变量序列X1, X2, ..., Xn，其中Xi是相互独立、同样分布的随机变量序列，它们的均值为μ，方差为σ^2。
那么对于任意给定的正数ε，有：lim(n→∞)P( |X1+X2+...+Xn)/n - μ| ≤ ε ) = 1这意味着当样本数量趋向于无穷大时，样本均值的概率逼近于1，即样本均值趋近于总体均值μ。
2. 强大数定律强大数定律是指对于一个随机变量序列，如果序列的均值存在，并且均值以概率1收敛于某个常数，那么这个序列就满足强大数定律。
强大数定律的代表是伯努利大数定律和切比雪夫大数定律。
伯努利大数定律是对于一个独立随机变量序列X1, X2, ..., Xn，其中每个随机变量取值为0或1，概率为p或1-p，那么对于任意给定的正数ε，有：lim(n→∞)P( |X1+X2+...+Xn)/n - p| ≤ ε ) = 1切比雪夫大数定律是对于一个独立随机变量序列X1, X2, ..., Xn，其具有相同的均值μ和方差σ^2，那么对于任意给定的正数ε，有：lim(n→∞)P( |X1+X2+...+Xn)/n - μ| ≤ ε ) = 1以上的大数定律说明了随机变量序列的均值具有稳定的性质，当样本数量足够大时，样本均值可以准确地反映总体均值。
二、中心极限定理中心极限定理是概率论与数理统计中的一个基本定理，描述了独立随机变量和的分布的极限性质。
大数定律与中心极限定理知识点整理
大数定律与中心极限定理知识点整理大数定律和中心极限定理是概率论与数理统计中两个重要的概念，它们在统计学和经济学等领域中具有广泛的应用。
下面将对它们的主要知识点进行整理。
一、大数定律（Law of Large Numbers）大数定律是关于随机变量序列均值的收敛性的一个法则。
它表明，当独立同分布的随机变量不断增加时，其均值将会趋近于理论期望。
具体来说，大数定律包含以下几个重要概念：1. 弱大数定律（Weak Law of Large Numbers）弱大数定律指的是当随机变量序列无限增加时，其均值以概率1收敛于理论期望。
这个定律要求序列中的随机变量具有有限的方差和独立同分布的性质。
2. 强大数定律（Strong Law of Large Numbers）强大数定律指的是当随机变量序列无限增加时，其均值几乎处处收敛于理论期望。
与弱大数定律相比，强大数定律要求序列中的随机变量只需要具有独立性，而不需要具有方差的有限性。
二、中心极限定理（Central Limit Theorem）中心极限定理是关于随机变量和其样本均值之间关系的一个重要定理。
它表明，当样本量增加时，随机变量的分布将趋近于正态分布。
中心极限定理包含以下几个关键点：1. 独立同分布的随机变量之和的分布趋近于正态分布。
2. 标准化后的样本均值的分布趋近于标准正态分布。
3. 样本量越大，越接近正态分布。
总结：大数定律和中心极限定理是概率论与数理统计中非常重要的概念。
大数定律研究随机变量序列均值的收敛性，而中心极限定理研究随机变量和其样本均值的分布趋近于正态分布的关系。
它们的应用广泛，对于统计学、经济学等领域的研究与实践具有重要意义。
概率论与数理统计----第五章大数定律及中心极限定理
= 1 − Φ(3.54)
=0.0002
一箱味精净重大于20500的概率为 的概率为0.0002. 一箱味精净重大于 的概率为
推论:
特别，若X～Ｂ（n，p）,则当n充分大时， 特别， ～Ｂ（n 则当n充分大时，
Ｘ～Ｎ（np，npq） Ｘ～Ｎ（np，npq） np
若随机变量Ｘ～Ｂ（ Ｘ～Ｂ（n， ），则对任意实数x有 ），则对任意实数 即 若随机变量Ｘ～Ｂ（ ，p），则对任意实数 有
不等式证明 P{-1<X<2n+1}≥(2n+1)/(n+1)(n+1)
3. 设P{|X-E(X)|<ε}不小于 不小于0.9,D(X)=0.009.则用 不小于 则用
切比绍夫不等式估计ε的 最小值是( 切比绍夫不等式估计 的 最小值是
0.3 ).
4.(894) 设随机变量 的数学期望为 设随机变量X的数学期望为 的数学期望为µ, 标准差为σ,则由切比绍夫不等式 标准差为 则由切比绍夫不等式 P{|X-µ|≥3σ}≤( ). 1/9 5. 设随机变量X的分布律为 设随机变量 的分布律为 P{X=0.3}=0.2, P{X=0.6}=0.8, 用切比绍夫不等式估计 |X-E(X)|<0.2的概率 的概率. 的概率
1 n lim P ∑ Xi − µ < ε = 1 n→∞ n i =1
定理（贝努里利大数定律） 设每次实验中事件A发生的概率 定理（贝努里利大数定律） 设每次实验中事件A 为p，n次重复独立实验中事件A发生的次数为nA，则对任 次重复独立实验中事件A发生的次数为n 意的ε>0 意的ε>0 ，事件的频率 nA ，有 ε>
∫
+∞
−∞
第五章 大数定律与中心极限定理
【解】 设 X i 表示“该射手第 i 次射击的得分”，则 Y = X i 表示射手所得总分，
i=1
Xi (i =1, 2, , 200) 独立同分布，分布表如下：
Xi
0
2
3
4
5
p
由于
0.1
0.1
0.2
0.2
0.4
E( Xi ) = 0×0.1+ 2×0.1+ 3×0.2 + 4×0.2 + 5×0.4 = 3.6 ；
试验中发生的概率，这个定律以严格的数学形式刻画了频率的稳定性，在实际应用中，当试 验次数很大时，便可以用事件发生的频率来替代事件的概率.
3、辛钦大数定律
设随机变量序列 X , X , 12
，Xn,
相互独立且服从相同的分布,具有相同的数学期望
E(X i
)
=
μ
,（
i
=
1,
2,
） ,则对任意给定的正数 ε ，有
) ,则对任意实数 x ，有
∑ ⎧
⎪
n
X − nμ i
⎫ ⎪
⎨ lim P i=1
≤ x⎬ =
⎪ n→∞
nσ
⎪
⎩
⎭
∫ 1
2π
x −t2
e
−∞
2 dt = Φ(x) .
154
第五章 大数定律与中心极限定理
n
∑ 【评注】 n 个相互独立同分布、方差存在的随机变量之和 Xi ，当 n 充分大时，近似 i =1
第五章 大数定律与中心极限定理
本章学习要点
① 了解切比雪夫不等式； ② 了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量的大
第五章大数定律与中心极限定理
Note：1.X1+X2+…Xn~N(nu, na2)
2.和的期望等于期望之和；和的方方差等于方方差的和（独立立,同分布）
2.拉普拉斯中心心极限定理理
1.条件：服从二二项分布，结论
2.实际上是林林德伯格的中心心极限定理理的特殊情况
定义：Xn依概率收敛于a（概率上收敛，但概率推不不出事件）（类似于极限的定义）
2.切比比雪夫大大数定律律
1.条件：相ห้องสมุดไป่ตู้独立立，期望，方方差均存在，方方差有上界
2.结论：1／n（Xi）依概率收敛于1／n（EXi）（依概率收敛于期望）
3.特别的，若独立立，同分布，有EX，DX（存在）
Note：和的期望等于期望之和；和的方方差等于方方差的和（独立立）
第五章 大大数定律律与中心心极限定理理
一一 切比比雪夫不不等式 二二 大大数定律律 三 中心心极限定理理
一一 切比比雪夫不不等式（作估计）
1.公式形式（大大小小）
2.意义：EX很有用用，偏离的越多，概率越小小
3.有上限的，最多
4.“由切比比雪夫不不等式”才能用用
二二 大大数定律律
1.依概率收敛
3.辛辛钦大大数定律律
1.条件：独立立，同分布，期望存在等于u（3个）
2.结论：1／n（Xk）依概率收敛于u
4.伯努利利大大数定律律
1.条件：X为n重伯努利利发生生的次数，发生生概率为p
2.X／n依概率收敛于p
三 中心心极限大大数定律律
1.列列维——林林德伯格中心心极限定理理
1.条件：独立立，同分布，期望，方方差存在
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å å 1
n
n i =1
Xi
¾P¾® 1 n
n i =1
EX i
å n 次观察的算术平均值
X
=
1 n
n i =1
Xi
依概率收敛于期望值 m
，辛钦大数定律从理
论上肯定了用算术平均值来估计期望值的合理性.
事件 A 发生的频率依概率收敛于事件 A 的概率，以严密的数学形式论证了频率的 稳定性。当试验次数 n 很大时，就可以利用事件发生的频率来近似地代替事件的概
依概率收敛的直观意义是：当 n 充分大时， X n 几乎总是取接近于 a 的值．
频率的稳定性有了严格的数学描述，也使得当试验次数较大时，用事件的频率来代 替概率的做法有了理论依据．
1){X n} 是独立同分布
2） EXi = m , DXi = s 2
å ìlimP Nhomakorabeaïï í
n i =1
Xi
- nm
£
ò =
e 2 dt = F(x)
2p -¥
○2 当 n 较大， p 较小, l = np 适中时，用泊松分布近似公式
P{X = k} » lk e-l , (k = 0,1, 2,L) 。 k!
○3 当 n 较大, p 不太大时，用正态分布近似：
P {a
<
X
<
b}
=
P
ìï í
a
- np
<
X
- np
<
D. X1, 2X 2 ,L, nX n ,L
例 2 已知随机变量序列 X1, X 2 ,L, X n ,L 相互独立,且都在 (-1,1) 上服从均
å 匀分布,根据独立同分布中心极限定理有
lim
P
ì í
n
î n ®¥ i =1
Xi
£
n
ü ý
等于(
C
).
þ
A. F(0)
B. F(1)
C. F( 3)
例 3 下列命题正确的是( B ) .
A.由辛钦大数定律可以得出切比雪夫大数定律.
B.由切比雪夫大数定律可以得出伯努利大数定律.
D. F(2)
C.由伯努利大数定律可以得出切比雪夫大数定律.
D.由切比雪夫大数定律可以得出辛钦大数定律.
n
å 例 4 设随机变量序列 X1, X 2 ,L, X n ,L 相互独立， X = Xi .根据林德伯
典型例题
例 1 设随机变量序列 X1, X 2 ,L, X n ,L 相互独立， X n 服从参数为 n 的指数
分布 (n ³ 1) ,则下列随机变量序列中不服从切比雪夫大数定律的是( C ).
A.
X1,
1 2
X 2,L,
1 n
X n ,L
.
B. X1, X 2 ,L, X n ,L
C. X1, 22 X 2 ,L, n2 X n ,L
大数定律与中心极限定理
大数定律
切比雪夫 大数定律
辛钦大数 定律
伯努利大 数定律
切比雪夫 不等式
依概率收 敛
林德伯格列维中心 极限定理
å å 随机变量序列{Xn} ，若
1 n
n i =1
Xi
¾P¾®
1 n
n i =1
EX i
，称{X n} 服从大数定律．算数平均值在一定的条件下稳定于数学期望的算数平均值.
b-
np üï ý
»
F(b -
np ) - F( a
-
np )
ïî npq npq npq ïþ
npq
npq
中心极限 定理的客 观背景
某一个随机变量，只要由大量的相互独立的随机因素综合影响形成的，而其中每一个因素在总的影响中所起的作用都很微笑，那么这种随 机变量近似服从“正态分布”。
沈阳师范大学 计算机与数 1 学基础教学部 杨淑辉
率，从而为估计概率提供了一种方法.
E( X ), D( X ) 存在. a 为常数, 任意e > 0
{P
X
- EX
³e }£
DX e2
P{
X
- EX
< e} ³ 1-
DX e2
{ } lim P
n ®¥
Xn -a ³ e
=0
{ } lim P
n ®¥
Xn -a < e
=1
方差反映随机变量的取值对其分布中心 EX 的集中程度的数量指标. DX 越小，随 机变量 X 取值于开区间 (EX - e , EX + e ) 的概率就越大.
ü
x
ïï ý
n®¥ ï
ns
ï
ïî
ïþ
1
x -t2
ò =
e 2 dt = F(x)
2p -¥
n
å 若独立同分布序列{X n} 期望、方差都存在，当 n 充分大时， X i 的分布函数， i =1
n
n
å Xi - nm
å 可用正态分布近似. Xi ~ N (nm, ns 2 ) ，
i =1
i =1
ns
~ N (0,1)
二项分布的极限分布是正态分布.称为“二项分布的正态近似”.
○1 当 n 不太大时，直接计算： P{X = k} = Cnk pk qn-k , k = 0,1, 2,L, n 。
棣莫弗-拉 普拉斯中 心极限定
理
X ~ B(n , p )
lim
P
ìï í
X
-
np
£
xüïý
n®¥ ïî npq ïþ
1
x -t2
条件
结论
含义
1）{X n} 两两不相关； 2） DX i £ c .
注：不要求同分布
å 算术平均值
X
=
1 n
n i =1
Xi
比较紧密地聚集在它的数学期望 E X
的附近，可以作为
对其期望平均值的一种估计.肯定了取平均值的合理性。
1）{X n} 是独立同分布
2） EX i = m 存在
注：不要求方差存在
ï
ïî
ïþ
例 6 已知随机变量序列 X1, X 2 ,L, X n ,L 相互独立,且都服从泊松分布
å P(1)
,根据独立同分布中心极限定理有
lim
P
ì í
n
î n ®¥ i =1
Xi
£
n
ü ý
等于(
þ
A
).
A. F(0)
B. F(1)
C. F( 3)
D. F(2)
{ } 例 7 设 DX = 0.004 ,则由切比雪夫不等式可知 P X - EX < 0.2 ³ 0.9 .
i =1
格—列维中心极限定理，当 n 充分大时， X 近似服从正态分布，只要
{X n , n ³ 1} ( C ).
A.有相同的数学期望.
B.有相同的方差.
C.服从同一泊松分布.
D.服从同一连续型分布.
例 5 下列各式成立的是( B ).
å ì n
ü
A.
lim
P
ïï í
i =1
Xi
-
n
£
xïïý
=
F( x)
n®¥ ï
n
ï
ïî
ïþ
å B.
lim
P
ì ïï
l
í
n i =1
Xi
-
n
£
ü xïïý
=
F( x)
n®¥ ï
n
ï
ïî
ïþ
å C.
lim
ì
P
ïï í
n i =1
Xi
-l
£
ü
x
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=
F(x)
n®¥ ï nl
ï
ïî
ïþ
å D.
lim
P
ì ïï í
n i =1
Xi
-
n
£
ü xïïý
=
F( x)
n®¥ ï nl