临沂一中高二数学上学期期末考试试题
2016-2017学年山东省临沂市高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2016-2017学年山东省临沂市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）在△ABC中，若a=2，b=2，A=30°，则B为（）A．60°B．60°或120°C．30°D．30°或150°2．（5分）已知等差数列{a n}中，a2=7，a4=15，则前10项的和S10=（）A．100 B．210 C．380 D．4003．（5分）已知向量=（2m+1，3，m﹣1），=（2，m，﹣m），且∥，则实数m的值等于（）A．B．﹣2 C．0 D．或﹣24．（5分）已知两点F1（﹣2，0），F2（2，0），且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P 的轨迹方程是（）A．+=1 B．+=1C．+=1 D．+=15．（5分）关于x的不等式ax﹣b＜0的解集是（1，+∞），则关于x的不等式（ax+b）（x﹣3）＞0的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）B．（1，3） C．（﹣1，3）D．（﹣∞，1）∪（3，+∞）6．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc．若sin B•sin C=sin2A，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形7．（5分）已知不等式组表示的平面区域为D，若∀（x，y）∈D，|x|+2y≤a为真命题，则实数a的取值范围是（）A．[10，+∞）B．[11，+∞）C．[13，+∞）D．[14，+∞）8．（5分）已知正项等比数列{a n}满足：a3=a2+2a1，若存在两项a m，a n，使得，则的最小值为（）A．B．C．D．不存在9．（5分）“双曲线C的方程为（a＞0，b＞0）”是“双曲线C的渐近线方程为y=”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件10．（5分）若正数a，b满足，的最小值为（）A．1 B．6 C．9 D．1611．（5分）如图，多面体ABCDPE的底面ABCD是平行四边形，AD=AB=2，•=0，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=2EC=2，则二面角A﹣PB﹣E的大小为（）A． B．C．D．12．（5分）双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F1作曲线C2：x2+y2=a2的切线，设切点为M，延长F1M交曲线C3：y2=2px（p＞0）于点P，其中C1与C3有一个共同的焦点，若M为F1P的中点，则双曲线C1的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）在△ABC中，边a，b，c分别是角A，B，C的对边，cosA=，b=2，△ABC的面积S=3，则边a的值为．14．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和S n满足S3=0，S5=﹣5，数列{}的前2016项的和为．15．（5分）已知命题p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0；命题q：∃x0∈R，使得+（a﹣1）x0+1＜0．若“p或q”为真，“p且q”为假，则实数a的取值范围．16．（5分）已知m，n，s，t∈R+，m+n=2，+=9，其中m，n是常数，当s+t取最小值时，m，n对应的点（m，n）是椭圆+=1的一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）已知命题p：实数x满足x2﹣5ax+4a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（Ⅰ）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．（10分）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinAsinB+bcos2A=a．（1）求；（2）若c2=a2+b2，求角C．19．（12分）已知在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，M，N分别是BC，AE，D1C的中点，AD=AA1，AB=2AD．（Ⅰ）证明：MN∥平面ADD1A1；（Ⅱ）求直线AD与平面DMN所成角θ的正弦值．20．（12分）北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入万作为技改费用，投入（50+2x）万元作为宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．21．（13分）在数列{a n}，{b n}中，已知a1=2，b1=4，且﹣a n，b n，a n+1成等差数列，﹣b n，a n，b n+1也成等差数列．（Ⅰ）求证：数列{a n+b n}和{a n﹣b n}都是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若c n=（a n﹣3n）log3[a n﹣（﹣1）n]，求数列{c n}的前n项和T n．22．（13分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，左，右焦点分别是F1，F2，以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）线段PQ是椭圆C过点F2的弦，且=λ．（i）求△PF1Q的周长；（ii）求△PF1Q内切圆面积的最大值，并求取得最大值时实数λ的值．2016-2017学年山东省临沂市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）（2016秋•临沂期末）在△ABC中，若a=2，b=2，A=30°，则B为（）A．60°B．60°或120°C．30°D．30°或150°【分析】利用正弦定理和题设中两边和一个角的值求得B．【解答】解：由正弦定理可知=，∴sinB==∵B∈（0，180°）∴∠B=60°或120°°故选B．【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．正弦定理常用来运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系．属于基础题．2．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）已知等差数列{a n}中，a2=7，a4=15，则前10项的和S10=（）A．100 B．210 C．380 D．400【分析】由第二项和第四项的值可以求出首项和公差，写出等差数列前n项和公式，代入n=10得出结果．【解答】解：d=，a1=3，∴S10==210，故选B【点评】若已知等差数列的两项，则等差数列的所有量都可以求出，只要简单数字运算时不出错，问题可解．3．（5分）（2016•黄冈校级模拟）已知向量=（2m+1，3，m﹣1），=（2，m，﹣m），且∥，则实数m的值等于（）A．B．﹣2 C．0 D．或﹣2【分析】根据两向量平行的充要条件建立等式关系，然后解二元一次方程组即可求出m的值．【解答】解：∵空间平面向量=（2m+1，3，m﹣1），=（2，m，﹣m），且∥，∴（2m+1，3，m﹣1）=λ （2，m，﹣m）=（2λ，λm，﹣λm），∴，解得m=﹣2．故选：B．【点评】本题主要考查了平空间向量共线（平行）的坐标表示，以及解二元一次方程组，属于基础题．4．（5分）（2016秋•临沂期末）已知两点F1（﹣2，0），F2（2，0），且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程是（）A．+=1 B．+=1C．+=1 D．+=1【分析】根据题意，分析可得|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=8，结合椭圆的定义分析可得动点P的轨迹为椭圆，焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），a=4，由椭圆的性质可得b的值，代入椭圆的方程即可得答案．【解答】解：根据题意，两点F1（﹣2，0），F2（2，0），则|F1F2|=4，|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，即|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=8，则动点P的轨迹为椭圆，焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），且a=4，则有c=2，又由a=4，有b2=a2﹣c2=12；故椭圆的方程为+=1；故选：B．【点评】本题考查椭圆的定义，关键是利用椭圆的定义分析得到动点P的轨迹是椭圆．5．（5分）（2016秋•临沂期末）关于x的不等式ax﹣b＜0的解集是（1，+∞），则关于x的不等式（ax+b）（x﹣3）＞0的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）B．（1，3） C．（﹣1，3）D．（﹣∞，1）∪（3，+∞）【分析】根据不等式ax﹣b＜0的解集得出a=b＜0，再化简不等式（ax+b）（x﹣3）＞0，求出它的解集即可．【解答】解：关于x的不等式ax﹣b＜0的解集是（1，+∞），即不等式ax＜b的解集是（1，+∞），∴a=b＜0；∴不等式（ax+b）（x﹣3）＞0可化为（x+1）（x﹣3）＜0，解得﹣1＜x＜3，∴该不等式的解集是（﹣1，3）．故选：C．【点评】本题考查了一元一次不等式与一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目．6．（5分）（2016秋•临沂期末）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc．若sin B•sin C=sin2A，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【分析】b2+c2=a2+bc，利用余弦定理可得cosA=，可得．由sin B•sin C=sin2A，利正弦定理可得：bc=a2，代入b2+c2=a2+bc，可得b=c．【解答】解：在△ABC中，∵b2+c2=a2+bc，∴cosA===，∵A∈（0，π），∴．∵sin B•sin C=sin2A，∴bc=a2，代入b2+c2=a2+bc，∴（b﹣c）2=0，解得b=c．∴△ABC的形状是等边三角形．故选：C．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、等边三角形的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．（5分）（2016秋•临沂期末）已知不等式组表示的平面区域为D，若∀（x，y）∈D，|x|+2y≤a为真命题，则实数a的取值范围是（）A．[10，+∞）B．[11，+∞）C．[13，+∞）D．[14，+∞）【分析】画出约束条件的可行域，求出|x|+2y的最大值，即可得到∀（x，y）∈D，|x|+2y ≤a为真命题，实数a的取值范围．【解答】解：不等式组表示的平面区域为D，如图：当x≥0时，z=|x|+2y=x+2y，z=x+2y经过B时取得最大值，由可得B（1，5），此时z的最大值为：11．当x＜0时，z=|x|+2y=﹣x+2y，z=﹣x+2y经过A时取得最大值，由，可得A（﹣4，5），此时z的最大值为：14．若∀（x，y）∈D，|x|+2y≤a为真命题，则实数a的取值范围：[14，+∞）．故选：D．【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，线性规划的简单应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用．8．（5分）（2016•河南模拟）已知正项等比数列{a n}满足：a3=a2+2a1，若存在两项a m，a n，使得，则的最小值为（）A．B．C．D．不存在【分析】由正项等比数列{a n}满足：a3=a2+2a1，知q=2，由存在两项a m，a n，使得，知m+n=6，由此能求出的最小值．【解答】解：∵正项等比数列{a n}满足：a3=a2+2a1，∴，即：q2=q+2，解得q=﹣1（舍），或q=2，∵存在两项a m，a n，使得，∴，∴，∴，所以，m+n=6，∴=（）[（m+n）]=（5++）≥（5+2）=，所以，的最小值是．【点评】本题考查等比数列的通项公式的应用，解题时要认真审题，仔细解答．注意不等式也是高考的热点，尤其是均值不等式和一元二次不等式的考查，两者都兼顾到了．9．（5分）（2010•绍兴县校级模拟）“双曲线C的方程为（a＞0，b＞0）”是“双曲线C的渐近线方程为y=”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【分析】判断充分与必要的条件关系，关键是看题设与条件能否互推，此题双曲线C的渐近线方程为的双曲线是不唯一的，从而进行求解．【解答】解：∵双曲线C的方程为（a＞0，b＞0）”根据双曲线C的渐近线的定义可得：y=；∴双曲线C的方程为（a＞0，b＞0）⇒“双曲线C的渐近线方程为y=”；若双曲线C的渐近线方程为y==±x；∴双曲线C的方程还可以为：，∴“双曲线C的渐近线方程为y=”推不出双曲线C的方程为；∴双曲线C的方程为（a＞0，b＞0）”是“双曲线C的渐近线方程为y=”的充分不必要条件；故选A．【点评】此题是一道基础题，主要考查充分条件和必要条件的定义，不过这类基础题也是高考中经常考的．10．（5分）（2016•衡水模拟）若正数a，b满足，的最小值为（）A．1 B．6 C．9 D．16【分析】正数a，b满足，可得a＞1，且b＞1；即a﹣1＞0，且b﹣1＞0；由变形为a﹣1=；化为+9（a﹣1）应用基本不等式可求最小值．【解答】解：∵正数a，b满足，∴a＞1，且b＞1；变形为=1，∴ab=a+b，∴ab﹣a﹣b=0，∴（a﹣1）（b﹣1）=1，∴a﹣1=；∴a﹣1＞0，∴=+9（a﹣1）≥2=6，当且仅当=9（a﹣1），即a=1±时取“=”（由于a＞1，故取a=），∴的最小值为6；故选：B．【点评】本题考查了基本不等式的灵活应用问题，应用基本不等式a+b≥2时，要注意条件a＞0，且b＞0，在a=b时取“=”．11．（5分）（2016秋•临沂期末）如图，多面体ABCDPE的底面ABCD是平行四边形，AD=AB=2，•=0，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=2EC=2，则二面角A﹣PB﹣E的大小为（）A． B．C．D．【分析】由题意可知PD⊥DA，PD⊥DC，AD⊥DC，分别以DA、DC、DP所在直线为x、y、z 轴建立空间直角坐标系，然后分别求出平面PAB与平面PEB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值求得二面角A﹣PB﹣E的大小．【解答】解：由•=0，PD⊥平面ABCD，可得：PD⊥DA，PD⊥DC，AD⊥DC，分别以DA、DC、DP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，∵AD=AB=2，PD=2EC=2，∴A（2，0，0），B（2，2，0），P（0，0，2），E（0，2，1），，，．设平面PAB的一个法向量为=（x，y，z），由，取z=1，得；设平面PEB的一个法向量为=（a，b，c），由，取c=2，得．∴cos＜＞==．∴二面角A﹣PB﹣E的大小为．故选：D．【点评】本题考查二面角的平面角的求法，训练了利用空间向量求二面角的大小，是中档题．12．（5分）（2016秋•临沂期末）双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F1作曲线C2：x2+y2=a2的切线，设切点为M，延长F1M交曲线C3：y2=2px（p＞0）于点P，其中C1与C3有一个共同的焦点，若M为F1P的中点，则双曲线C1的离心率为（）A．B．C．D．【分析】作出简图，由图中可得线段的长，从而得到b=2a，进而求双曲线的离心率．【解答】解：如图|OF1|=c，|OM|=a，|F1G|=2c；∴|F1M|=b，又∵M为PF1的中点，|PG|=2|OM|=2a，|PF1|=2b，∴|PF1|﹣|PG|=2b﹣2a=2a；∴b=2a，∴c=a，∴e==．故选B．【点评】本题考查了学生的作图能力及分析转化的能力，考查了学生数形结合的思想应用，同时考查了双曲线的定义，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）（2016秋•临沂期末）在△ABC中，边a，b，c分别是角A，B，C的对边，cosA=，b=2，△ABC的面积S=3，则边a的值为．【分析】由内角的范围和平方关系求出sinA，由题意和三角形的面积公式求出c，由余弦定理求出a的值．【解答】解：由cosA=和0＜A＜π得，sinA=，∵b=2，△ABC的面积S=3，∴，则c=5，由余弦定理得，a2=b2+c2﹣2bccosA=4+25﹣=13，∴a=，故答案为：．【点评】本题考查余弦定理，三角形的面积公式，以及平方关系的应用，注意内角的范围，属于中档题．14．（5分）（2016•安徽模拟）已知等差数列{a n}的前n项和S n满足S3=0，S5=﹣5，数列{}的前2016项的和为﹣．【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由S3=0，S5=﹣5，可得，解得：a1，d，可得a n．再利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S3=0，S5=﹣5，∴，解得：a1=1，d=﹣1．∴a n=1﹣（n﹣1）=2﹣n．∴==，数列{}的前2016项的和=+…+==﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．（5分）（2016秋•临沂期末）已知命题p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0；命题q：∃x0∈R，使得+（a﹣1）x0+1＜0．若“p或q”为真，“p且q”为假，则实数a的取值范围﹣1≤a≤1或a＞3．【分析】先求出命题p，q为真命题时，a的范围，据复合函数的真值表得到p，q中必有一个为真，另一个为假，分两类求出a的范围．【解答】解：p真，则a≤1．q真，则△=（a﹣1）2﹣4＞0即a＞3或a＜﹣1由复合命题真值表，“p或q”为真，“p且q”为假时，命题p，q一个为真，另一个为假，当p真q假时，有⇒得﹣1≤a≤1，当p假q真时，有⇒a＞3．综上：实数a的取值范围为﹣1≤a≤1或a＞3故答案为：﹣1≤a≤1或a＞3．【点评】本题考查复合函数的真假与构成其简单命题的真假的关系，解决此类问题应该先求出简单命题为真时参数的范围．16．（5分）（2016秋•临沂期末）已知m，n，s，t∈R+，m+n=2，+=9，其中m，n是常数，当s+t取最小值时，m，n对应的点（m，n）是椭圆+=1的一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为x+2y﹣3=0．【分析】：由题设知（+）（s+t）=n+m++≥m+n+2=m+n+2 ，满足=时取最小值，由此得到m=n=1．设以（1，1）为中点的弦交椭圆+=1于A（x1，y1），B （x2，y2），由中点从坐标公式知x1+x2=2，y1+y2=2，把A（x1，y1），B（x2，y2）分别代入x2+2y2=4，得2（x1﹣x2）+4（y1﹣y2）=0，k==﹣，由此能求出此弦所在的直线方程．【解答】解：∵sm、n、s、t为正数，m+n=2，+=9，s+t最小值是，∴（+）（s+t）的最小值为4．∴（+）（s+t）=n+m++≥m+n+2=m+n+2 ，满足时取最小值，此时最小值为m+n+2=2+2=4，得：mn=1，又：m+n=2，所以，m=n=1．设以（1，1）为中点的弦交椭圆+=1于A（x1，y1），B（x2，y2），由中点从坐标公式知x1+x2=2，y1+y2=2，把A（x1，y1），B（x2，y2）分别代入x2+2y2=4，得，①﹣②，得2（x1﹣x2）+4（y1﹣y2）=0，∴k==﹣，∴此弦所在的直线方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即x+2y﹣3=0．故答案为：x+2y﹣3=0．【点评】本题考查椭圆的性质和应用，解题时要认真审题，注意均值不等式和点差法的合理运用．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）（2016秋•临沂期末）已知命题p：实数x满足x2﹣5ax+4a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（Ⅰ）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【分析】（I）命题p：实数x满足x2﹣5ax+4a2＜0，解集A=（a，4a）．命题q：实数x满足，解集B=（2，4]．a=1，且p∧q为真，求A∩B即可得出．（Ⅱ）￢p：（﹣∞，a]∪[4a，+∞）．￢q：（﹣∞，2]∪（4，+∞）．利用￢p是￢q的充分不必要条件，即可得出．【解答】解：（I）命题p：实数x满足x2﹣5ax+4a2＜0，其中a＞0，a＜x＜4a，解集A=（a，4a）．命题q：实数x满足，解得2＜x≤4．解集B=（2，4]．a=1，且p∧q为真，则A∩B=（1，4）∩（2，4]=（2，4）．∴实数x的取值范围是（2，4）．（Ⅱ）￢p：（﹣∞，a]∪[4a，+∞）．￢q：（﹣∞，2]∪（4，+∞）．若￢p是￢q的充分不必要条件，则，解得1≤a≤2．∴实数a的取值范围是[1，2]．【点评】本题考查了不等式的解法、充要条件的判定、集合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（10分）（2016秋•临沂期末）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinAsinB+bcos2A=a．（1）求；（2）若c2=a2+b2，求角C．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知的等式，整理后利用同角三角函数间的基本关系化简，得到sinB=2sinA，再利用正弦定理化简，即可得到所求式子的值；（2）由余弦定理可求cosC的值，结合C的范围即可得解．【解答】解：（1）△ABC中，asinAsinB+bcos2A=a，由正弦定理化简得：sin2AsinB+sinBcos2A=sinA，即sinB（sin2A+cos2A）=sinA，∴sinB=sinA，再由正弦定理得：b=a，则=；（2）由（1）可得b=a，c2=a2+b2=a2+×a2=a2，由余弦定理可得：cosC===，由C为三角形内角，可得∠C=．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及余弦函数的单调性，熟练掌握定理是解本题的关键，是综合性题目．19．（12分）（2016秋•临沂期末）已知在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，M，N分别是BC，AE，D1C的中点，AD=AA1，AB=2AD．（Ⅰ）证明：MN∥平面ADD1A1；（Ⅱ）求直线AD与平面DMN所成角θ的正弦值．【分析】（I）建立空间直角坐标系，设AD=1，求出和平面ADD1A1的法向量的坐标，直线利用数量积证明AB⊥MN即可；（II）求出平面DMN的法向量和的坐标，则sinθ=|cos＜＞|．【解答】解：（I）以D为原点，以DA，DC，DD1为坐标轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，设AD=1，则A（1，0，0），B（1，2，0），E（，2，0），C（0，2，0），D1（0，0，1），∵M，N分别是AE，CD1的中点，∴M（，1，0），N（0，1，），∴=（﹣，0，），=（0，2，0）．∵AB⊥平面ADD1A1，∴是平面ADD1A1的一个法向量，∵=0，MN⊄平面ADD1A1，∴MN∥平面ADD1A1．（II）=（，1，0），=（1，0，0），设平面DMN的法向量为=（x，y，z），则，即，令z=1得=（，﹣，1），∴=，∴cos＜＞==．∴sinθ=．【点评】本题考查了线面平行的判定，线面角的计算，空间向量的应用，属于中档题．20．（12分）（2016秋•临沂期末）北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入万作为技改费用，投入（50+2x）万元作为宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．【分析】（1）设每件定价为t元，则（8﹣（t﹣25）×0.2）•t≥25×8，由二次不等式的解法即可得到；（2）由题得当x＞25时：有解，由分离参数和基本不等式，可得最值，即可得到a的范围．【解答】解：（1）设每件定价为t元，则（8﹣（t﹣25）×0.2）•t≥25×8，整理得t2﹣65t+1000≤0⇔25≤t≤40，∴要满足条件，每件定价最多为40元；（2）由题得当x＞25时：有解，即：有解．又，当且仅当x=30＞25时取等号，∴a≥12．即改革后销售量至少达到12万件，才满足条件，此时定价为30元/件．【点评】本题考查二次不等式的解法和不等式有解的条件，主要考查基本不等式的运用：求最值，属于中档题．21．（13分）（2016秋•临沂期末）在数列{a n}，{b n}中，已知a1=2，b1=4，且﹣a n，b n，a n+1成等差数列，﹣b n，a n，b n+1也成等差数列．（Ⅰ）求证：数列{a n+b n}和{a n﹣b n}都是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若c n=（a n﹣3n）log3[a n﹣（﹣1）n]，求数列{c n}的前n项和T n．【分析】（I）﹣a n，b n，a n+1成等差数列，﹣b n，a n，b n+1也成等差数列．可得b n=，a n=，a n+b n=[（a n+1+b n+1）﹣（a n+b n）]，即a n+1+b n+1=3（a n+b n），即可证明数列{a n+b n}是首项、公比均为3的等比数列．同理可得：数列{b n﹣a n}是首项为1、公比均为﹣1的等比数列．可得a n=．（II）c n=（2a n﹣3n）log3[2a n﹣（﹣1）n]=（﹣1）n•n，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】（I）证明：∵﹣a n，b n，a n+1成等差数列，﹣b n，a n，b n+1也成等差数列．∴b n=，a n=，∴a n+b n=[（a n+1+b n+1）﹣（a n+b n）]，即a n+1+b n+1=3（a n+b n），又∵a1+b1=1+2=3，∴数列{a n+b n}是首项、公比均为3的等比数列；同理可得：﹣a n+b n=[（a n+1﹣b n+1）+（﹣a n+b n）]，即a n+1﹣b n+1=﹣（a n﹣b n），又∵﹣a1+b1=﹣1+2=1，∴数列{b n﹣a n}是首项为1、公比均为﹣1的等比数列，∴b n﹣a n=（﹣1）n+1，又∵b n+a n=3n，∴a n==[3n﹣（﹣1）n+1]；（II）解：∵c n=（2a n﹣3n）log3[2a n﹣（﹣1）n]=[3n﹣（﹣1）n+1﹣3n]log3[3n﹣（﹣1）n+1﹣（﹣1）n]=（﹣1）n•n，∴T n=﹣1+2﹣3+4﹣…+（﹣1）n•n，﹣T n=1﹣2+3﹣4+…+（﹣1）n•（n﹣1）+（﹣1）n+1•n，两式相减得：2T n=﹣1+1﹣1+1﹣…﹣1﹣（﹣1）n+1•n，∴T n={+（﹣1）n•n}．【点评】本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22．（13分）（2016秋•临沂期末）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，左，右焦点分别是F1，F2，以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）线段PQ是椭圆C过点F2的弦，且=λ．（i）求△PF1Q的周长；（ii）求△PF1Q内切圆面积的最大值，并求取得最大值时实数λ的值．【分析】（Ⅰ）由题意可知，|PF1|+|PF2|=2a=4，可得a=2，又=，a2﹣c2=b2，解出即可得出．（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知：a=2．线段PQ是椭圆C过点F2的弦，则△PF1Q的周长=4a．（ii）因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2倍，且△F1PQ的周长是定值8，所以只需求出△F1PQ面积的最大值．设直线l方程为x=my+1，与椭圆方程联立得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），|y1﹣y2|=，于是F2|•|y1﹣y2|，进而得出．=|F【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，|PF1|+|PF2|=2a=3+1=4，可得a=2，又=，a2﹣c2=b2，可得c=1，b=，即有椭圆C的方程为+=1．（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知：a=2．线段PQ是椭圆C过点F2的弦，则△PF1Q的周长=4a=8．（ii）因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2倍，且△F1PQ的周长是定值8，所以只需求出△F1PQ面积的最大值．设直线l方程为x=my+1，与椭圆方程联立得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1+y2=﹣，y1y2=﹣，|y1﹣y2|===12．F2|•|y1﹣y2|=12，设m2+1=t≥1．于是=|F∵==≤，≤3，∴S△F1PQ所以内切圆半径r=≤，此时m=0，λ=1．因此其面积最大值是π．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程根与系数的关系、弦长公式、三角形内切圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
山东省临沂市高二上学期期末数学试题(学生版)
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.直线 的倾斜角 为（ ）
A. B. C. D.
2.若 ， ，则 （）
A B. C.5D.10
3.过 ， 两点的直线与直线 垂直，则 （）
A. B. 2C. D. -2
9.下列求导运算正确的是（）
A. B.
C. D.
10.已知等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，且 ，则（）
A. B. C. D.
11.双曲线 ，点 在双曲线 一条渐近线上， 为坐标原点， 为双曲线的右焦点，则（）
A.双曲线 的离心率为2
B.双曲线 的渐近线方程为
C. 的最小值为2
D.过 的直线交双曲线 于 两点，
（2）求数列 的前n项和 .
21.如图, 四棱锥 中,底面ABCD满足 , , 底面ABCD且 , .
（1）若E是SD的中点,求直线AE到平面SBC的距离;
（2）求平面SDC与平面SBC的夹角的余弦值.
22.已知动直线l垂直于x轴，与椭圆 交于 两点，点 在直线l上，且满足 .
（1）求动点 的轨迹 的方程；
4.抛物线 上与焦点的距离等于9的点的横坐标是（）
A. 3B. 6C. 9D. 12
5.直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量是（ ）
A.（2，﹣3）B.（2，3）C.（﹣3，2）D.（3，2）
6.地球轨道是以太阳为一个焦点的椭圆，设太阳半径为R，轨道近日点､远日点离太阳表面的距离分别为 ， ，则地球轨道的离心率为（）
（2）过点 作直线交曲线 于 两点，若点 ，求证：直线 的斜率之和为定值
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
山东省临沂一中11-12学年高二数学上学期期末考前训练试题新人教A版【会员独享】
）
4
A.(1,0)
B.
1 ,0
16
C.(0,1)
D.
1 0,
16
5. 方程 2 x2 5 x 2 0 的两个根可分别作为（
）的离心率。
A．椭圆和双曲线 B ．两条抛物线 C ．椭圆和抛物线 D ．两个椭圆
6. 若双曲线的顶点为椭圆 x 2
为 1，则双曲线的方程是（
y 2 1 长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积 2
n
n
n
6000
( 2 15n
400) A 1000A （元）
n
当且仅当 15n
6000
,
n =20（层）时，总费用
y 最少．
n
答：当这幢宿舍楼的楼高层数为 20 时 , 最少总费用为 1000A 元．
22. 1 ， x2
y2
x2
1或
y2 1
2 12 9
9 12
sin 135
在 Rt △ ABC中，∠ ACB＝ 60°，
AB BC tan 60 15 2 3 15 6 （米）
答：塔 AB的高为 15 6 米． …………………………… 10 分
18.
解：由
2
x
mx 1
0 有两个不相等的负根
m2
,则
4
0，, 解之得 m
2.
m0
即命题 p : m 2.
由 4x2 4(m 2) 1 0无实根 , 则 16(m 2)2 16 0 , 解之得 1 m 3 .
是
．
15. 已知点 A 0,2 及椭圆 x 2 y 2 1上任意一点 P ，则 PA 最大值为
。
4
16. 直线 y kx 2 交抛物线 y 2 8x 于 A，B 两点，若 AB中点的横坐标是 2, 则 AB =_______.[
山东省临沂第一中学2025届高二上数学期末预测试题含解析
4、A
【解析】在 Rt△PF1F2 中结合已知条件，用焦距 2c 表示 | PF1 | 、| PF2 |，再利用椭圆定义计算作答.
【详解】令椭圆 C
:
x2 a2
y2 b2
1 的半焦距为 c，因 P 是 C 上一点， PF2 x
轴， PF1F2 30 ，
在
Rt△PF1F2
中， |
PF2
||
F1F2
D.
2
2
10．已知 F 是抛物线 x2＝y 的焦点，A、B 是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段 AB 的中点到 x 轴的距离为（）
7
5
A.
B.
4
4
3
C.1
D.
4
11．已知 f (x) 为定义在 R 上的偶函数函数，且在 0， 单调递减.若关于 x 的不等式
f 2mx ln x 3 2 f 3 f 2mx ln x 3 在 x1，4 上恒成立，则实数 m 的取值范围是（）
山东省临沂第一中学 2025 届高二上数学期末预测试题
注意事项 1．考生要认真填写考场号和座位序号。 2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用 2B 铅笔作答；第二部分必须用黑 色字迹的签字笔作答。 3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
5: 7 :12 :10 : 6 ，则抽取的这 400 名高一学生中视力在3.95, 4.25 范围内的学生有______人.
16．已知曲线 y ex1 与曲线 y ex 1有相同的切线 y kx b ，则 b ________
山东省临沂市高二上学期期末数学试卷(理科)
山东省临沂市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2018·衡阳模拟) 下列说法正确的是（）A . 命题“若，则.”的否命题是“若，则.”B . 是函数在定义域上单调递增的充分不必要条件C .D . 若命题，则2. （2分） (2016高一下·辽源期中) 在等差数列{an}中，a3 ， a15是方程x2﹣6x+8=0的两个根，则a7+a8+a9+a10+a11为（）A . 12B . 13C . 14D . 153. （2分）有下列说法：（1）“”为真是“”为真的充分不必要条件；（2）“”为假是“”为真的充分不必要条件；（3）“”为真是“”为假的必要不充分条件；（4）“”为真是“”为假的必要不充分条件。
其中正确的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 44. （2分）设函数，若从区间内随机选取一个实数,则所选取的实数满足的概率为（）A . 0.2B . 0.3C . 0.4D . 0.55. （2分） (2017高一下·湖北期中) 已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C所对的边，且3a2+3b2﹣c2=4ab，则△ABC（）A . 可能为锐角三角形B . 一定不是锐角三角形C . 一定为钝角三角形D . 不可能为钝角三角形6. （2分）(2017·淄博模拟) 已知 x，y 满足不等式组，当3≤m≤5 时，目标函数 z=3x+2y 的最大值的变化范围是（）A . [7，8]B . [7，15]C . [6，8]D . [6，15]7. （2分） (2018高二下·邱县期末) 已知抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（）A .B .C .D .8. （2分）命题“， x2＋x＋m＜0”的否定是（）A . x∈Z使x2＋x＋m≥0B . 不存在使x2＋x＋m≥0C . ， x2＋x＋m≤0D . ， x2＋x＋m≥09. （2分） (2020高二上·青铜峡期末) 已知数列是等比数列，为其前n项和，若，a4＋a5＋a6＝6，则S12等于（）A . 45B . 60C . 35D . 5010. （2分）已知α是第二象限角，且sinα=，则tanα=（）A . -B .C .D . -11. （2分） (2018高三上·河北月考) 已知双曲线与抛物线的交点为点A,B，且直线AB过双曲线与抛物线的公共焦点F，则双曲线的实轴长为（）A .B .C .D .12. （2分） (2017高一下·龙海期中) 在锐角△ABC中，a=2 ，b=2 ，B=45°，则A等于（）A . 30°B . 60°C . 60°或120°D . 30°或150°二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·上高模拟) 已知双曲线的左右焦点分别关于两条渐近线的对称点重合，则双曲线的离心率为________．14. （1分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成的角的余弦值为________ ．15. （1分）不等式：≤1的解集是________16. （1分） (2016高一下·黄石期中) 已知数列{an}满足：a1=1，an=2an﹣1+1（n≥2），则a4=________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （5分） (2017高二下·濮阳期末) △ABC中，内角A，B，C成等差数列，其对边a，b，c满足2b2=3ac，求A．18. （10分）(2020·晋城模拟) 已知等差数列{an}的前n项和为Sn ，且Sn＝2n2＋kn＋k，（1）求{an}的通项公式；（2）若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.19. （10分） (2016高二上·黑龙江期中) 椭圆C： =1（a＞b＞0）的左，右焦点分别是F1 ， F2 ，且离心率为，点P为椭圆上一动点，△F1PF2内切圆面积的最大值是．（1）求椭圆C的方程；（2） A是椭圆C的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交C于A．M两点，点N在C上，MA⊥NA，且|AM|=|AN|．求△AMN的面积．20. （5分） (2016高二上·温州期中) 如图，已知矩形ABCD所在平面与等腰直角三角形BEC所在平面互相垂直，BE⊥EC，AB=BE，M为线段AE的中点．（Ⅰ）证明：BM⊥平面AEC；（Ⅱ）求MC与平面DEC所成的角的余弦值．21. （15分） (2015高二上·常州期末) 如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，底面ABCD，SA=2，M为SA的中点．（1）求异面直线AB与MD所成角的大小；（2）求直线AS与平面SCD所成角的正弦值；（3）求平面SAB与平面SCD所成锐二面角的余弦值．22. （10分）(2018·益阳模拟) 已知抛物线的方程为，过点（为常数）作抛物线的两条切线，切点分别为， .（1）过焦点且在轴上截距为的直线与抛物线交于，两点，，两点在轴上的射影分别为，，且，求抛物线的方程；（2）设直线，的斜率分别为， .求证：为定值.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1、答案：略2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、。
2023-2024学年山东省临沂市临沂(北)高二上册期末数学模拟试题(含解析)
2023-2024学年山东省临沂市临沂（北）高二上册期末数学模拟试题一、单选题1．直线3x π=的倾斜角为A ．0B ．2πC ．3πD ．23π【正确答案】B 分析出直线3x π=与x 轴垂直，据此可得出该直线的倾斜角.【详解】由题意可知，直线3x π=与x 轴垂直，该直线的倾斜角为2π.故选：B.本题考查直线的倾斜角，关键是掌握直线倾斜角的定义，属于基础题．2．在等比数列{}n a 中，且3944a a a =，则8a =（）A ．16B ．8C ．4D ．2【正确答案】C【分析】利用等比数列性质，若m n p q +=+，则m n p q a a a a =，即可计算出8a 的值.【详解】由题意可知，根据等比数列性质，若m n p q +=+，则m n p q a a a a =；所以483944a a a a a ==，因为40a ≠，所以84a =.故选：C.3．如图，在四面体O ABC -中，OA a →= ，OB b →=，OC c →= ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE 可用向量a →，b →，c →表示为（）A ．111222a b c→→→++B ．111244a b c→→→++C ．111424a b c→→→++D ．111442a b c→→→++【正确答案】B【分析】利用空间向量的基本定理，用a ，b ，c表示向量OE ．【详解】因为D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，1()2OD OB OC =+ ，111111()()224244OE OA OD OA OB OC a b c =+=++=++．故选：B4．如图，直线l 是曲线()y f x =在4x =处的切线，则(4)f '=A ．12B ．3C ．4D ．5【正确答案】A【详解】由图可知()45f =又直线过()()0345，，，，531402l k -∴==-即()142f '=故选A5．在等比数列{}n a 中，24a =，1016a =，则2a 和10a 的等比中项为（）A ．10B ．8C ．8±D ．10±【正确答案】C【分析】根据等比中项的定义可得结果.【详解】根据等比中项的定义可得2a 和10a 的等比中项为8==±.故选：C6．已知平面α的一个法向量()1,2,2n =--，点()1,3,0A -在α内，则平面外一点()2,1,4P -到α的距离为（）A ．10B ．3C ．53D ．103【正确答案】C【分析】首先求出AP，再根据点P 到α的距离n AP d n⋅= 计算可得.【详解】解：因为()1,3,0A -、()2,1,4P -，所以()1,2,4AP =--，又平面α的一个法向量()1,2,2n =--，所以点P 到α的距离53n AP d n ⋅== .故选：C7．已知椭圆22:14x C y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是C 上的动点，则下列结论错误的是（）A ．离心率e=B ．2PF的最大值为2C ．12PF F △的面积的最大值为D ．12PF PF +的最小值为2【正确答案】C【分析】根据椭圆方程求出a 、b 、c，即可求出离心率，从而判断A ，根据椭圆的性质判断B ，设(),P x y ，则12PF F S=，根据y 的有界性求出12PF F △面积的最大值，即可判断C ，根据向量模的坐标表示及二次函数的性质判断D.【详解】解：椭圆22:14x C y+=，则2a =，1b =，所以c ==则离心率e =故A正确；由椭圆性质：到椭圆右焦点距离最大的点是左顶点，可得2PF的最大值为2a c +=故B正确；由()1F ，)2F ，设(),P x y ，则121212PF F SF F y=⋅=，因为11y -≤≤，所以()12maxPF F S =当且仅当P 在上、下顶点时取最大值，故C 错误；因为)2,=- PF x y ，()1,PF x y =--，所以()122,2PF PF x y +=--，所以122P P F F +=，即12PF PF + 的最小值为2，当且仅当P 在上、下顶点时取最小值，故D 正确；故选：C8．已知方程22kx k +-有两个不同的解，则实数k 的取值范围是（）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【正确答案】B【分析】设()22f x kx k =+-，()g x =()f x ，()g x 有两个不同的交点，()f x 恒过定点(2,2)A ，()g x 是圆心为(0,0)，半径为2的圆的上半部分，画出它们的图像，利用数形结合法即可求出k 的取值范围．【详解】解：设()22(2)2f x kx k k x =+-=-+，()g x =，即()f x ，()g x 有两个不同的交点，()f x 恒过定点(2,2)A ，()g x 是圆心为(0,0)，半径为2的圆的上半部分，它们的图像如图所示：当()f x 过点(2,0)B -时，它们有两个交点，此时2012(2)2k -==--，当()f x 与上半部分圆相切时，有一个交点，此时0k =，由图形可知，若()f x ，()g x 有两个不同的交点，则102k <≤，即实数k 的取值范围是为10,2⎛⎤⎝⎦.故选：B ．二、多选题9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a >，4110a a +>，780a a ⋅<，则（）A ．数列{}n a 是递增数列B ．96S S >C ．当7n =时，n S 最大D ．当0n S >时，n 的最大值为14【正确答案】BCD【分析】利用等差数列的性质可知41817a a a a =++，进而得出0d <，780,0a a ><，依次判断各选项即可得出结果.【详解】等差数列{}n a 中，4110a a +>，41817a a a a =++，10a >，780a a ⋅<∴780,0a a ><，∴公差0d <，数列{}n a 是递减数列，A 错误96789830S S a a a a -=++=<，∴96S S >，B 正确.780,0a a ><，数列{}n a 是递减数列，∴当7n =时，n S 最大,C 正确.4110a a +>,780,0a a ><()()144111141414022a a a a S =++=>,()15181515152022a a a S +⨯==<.当0n S >时，n 的最大值为14,D 正确.故选:BCD.10．下列求导运算正确的是（）A ．若()()sin 23f x x =+，则()()2cos 23f x x '=+B ．若()21e xf x -+=，则()21ex f x -+'=C ．若()e xx f x =，则()1e x xf x -'=D ．若()ln f x x x =，则()ln 1f x x ='+【正确答案】ACD【分析】利用导数的运算求解判断.【详解】A.因为()()sin 23f x x =+，所以()()2cos 23f x x '=+，故正确；B.因为()21e xf x -+=，所以()212e x f x -+=-'，故错误；C.因为()e xx f x =，所以()1e x xf x -'=，故正确；D.因为()ln f x x x =，所以()ln 1f x x ='+，故正确.故选：ACD11．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（）A ．两条不重合直线12,l l 的方向向量分别是(2,3,1)a =-，(2,3,1)b =-- ，则12//l l B ．直线l 的方向向量(1,1,2)a =-r ，平面α的法向量是(6,4,1)u =-，则l α⊥C ．两个不同的平面,αβ的法向量分别是()2,2,1u =- ，(3,4,2)v =-，则αβ⊥D ．直线l 的方向向量(0,3,0)a = ，平面α的法向量是(0,5,0)u =-，则//l α【正确答案】AC【分析】根据条件结合空间向量的平行和垂直，对各选项逐项判断即可．【详解】对于A ，两条不重合直线l 1，l 2的方向向量分别是(2,3,1),(2,3,1)a b =-=--，则b a =-，所以//a b ，即12l l //，故A 正确；对于B ，直线l 的方向向量(1,1,2)a =-r，平面α的法向量是(6,4,1)u =- ，则16142(1)0a u ⋅=⨯-⨯+⨯-= ，所以a u ⊥，即//l α或l ⊂α，故B 错误；对于C ，两个不同的平面,αβ的法向量分别是()()2,2,1,3,4,2u v =-=-，则0u v ⋅=，所以αβ⊥，故C 正确；对于D ，直线l 的方向向量(0,3,0)a =，平面a 的法向量是(0,5,0)u =- ，则53u a =- ，所以//u a，即l α⊥，故D 错误．故选：AC12．已知O 为坐标原点，P ，Q 是抛物线2:2(0)C y px p =>上的两点，F 为其焦点，()2,2M ．若F 到抛物线C 的准线的距离为4，则下列说法正确的是（）A ．若直线PQ 过点F ，则直线OP ，OQ 的斜率之积恒为4-B ．PMF △的周长的最小值为6C ．若POF 的外接圆与抛物线C 的准线相切，则该圆的面积为94πD ．若2PF FQ =，则直线PQ 的斜率为±【正确答案】ABD【分析】根据F 到准线的距离为4，求出4p =，可得焦点和准线方程，设出直线PQ 的方程，与抛物线方程联立，根据韦达定理和斜率公式，即可判断A ；利用抛物线的定义可求出PMF △周长的最小值，即可判断B ；利用POF 外接圆与抛物线C 的准线相切，求出圆心的横坐标和圆的半径，可得圆的面积，即可判断C ；由2PF FQ =，可知直线PQ 过焦点，设出直线PQ 的方程，与抛物线方程联立，根据韦达定理和向量的线性关系，求出Q 点坐标，可求得直线PQ 斜率，从而判断D ．【详解】解：抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线为2p x =-，因为F 到准线的距离为4，所以4p =，所以抛物线2:8C y x =，所以()2,0F ，准线为2x =-，对于A ，若直线PQ 过点F ，设直线:2PQ x my =+，联立228x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得28160y my --=，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则128y y m +=，1216y y =-，所以1212128864416OP OQ y y k k x x y y ⋅=⋅=⋅==--，故A 正确；对于B ，过P 作PN l ⊥，垂足为N ，则||||||||||224PF PM PN PM MN +=+≥=+=，所以PMF △周长的最小值为6，故B 正确；对于C ，因为OF 为外接圆的弦，所以圆心的横坐标为1．因为POF 外接圆与抛物线C 的准线相切，所以圆的半径为123+=，所以圆的面积为2π39π⨯=，故C 错误；对于D ，由2PF FQ =，可知直线PQ 过焦点，设直线:2PQ x my =+，联立228x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得28160y my --=，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则128y y m +=，1216y y =-，①又2PF FQ =，可得122y y =-，②①②联立，解得222y =±，所以(1,22Q ±，所以直线PQ 的斜率为22±，故D 正确；故选：ABD ．三、填空题13．一动圆P 过定点()7,0M -，且与已知圆N ：22(7)36x y -+=相内切，则动圆圆心P 的轨迹方程是______．【正确答案】()2210940x y x -=>【分析】根据题意结合两圆的位置关系分析可得6PM PN -=，再结合双曲线的定义求方程.【详解】圆N ：22(7)36x y -+=的圆心()7,0N ，半径6r =，∵22(77)04936--+=>，∴点()7,0M -在圆N 外，则圆P 包含圆N ，设圆P 的半径为R ，由题意可得：,6PM R PN R ==-，即6PN PM =-，可得6PM PN -=，故动圆圆心P 的轨迹是以,M N 为焦点的双曲线的右半支，可得3,7a c ==，则22240b c a =-=，故动圆圆心P 的轨迹方程是()2210940x y x -=>.故答案为.()2210940x y x -=>14．如图所示，二面角l αβ--为30 ，A α∈，D β∈，过点A 作AB l ⊥，垂足为B ，过点D 作CD l ⊥，垂足为C ，若AB =1BC =，1CD =，则AD 的长度为___________.【分析】根据向量线性运算可知AD AB BC CD =++uuu r uu u r uu u r uu u r ，结合向量数量积的运算律可求得2AD ，由此可得AD 长.【详解】AB BC ⊥ ，BC C D ⊥ ，AD AB BC CD =++uuur uu u r uu u r uu u r ，2222231121cos1502AD AB BC CD AB CD =+++⋅=+++⋅=∴，AD ∴=故答案为15．已知函数()3f x x =，过点2,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭作曲线()f x 的切线，则其切线方程为______．【正确答案】0y =或320x y --=【分析】根据导数的几何意义可求出结果.【详解】设切点为300(,)x x ，因为()3f x x =，所以2()3f x x '=，所以切线的斜率为203x ，所以切线方程为320003()y x x x x -=-，因为切线过2,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以3200023()3x x x -=-，解得00x =或01x =，所以切线方程为0y =或320x y --=.故0y =或320x y --=四、双空题16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且13a =，若点()()*1,n n P a a n +∈N 在直线x －y ＋2＝0上，则n S =______；12111nS S S +++=______．【正确答案】22n n+32342(1)(2)n n n +-++【分析】根据题意得12n n a a +-=，再根据等差数列的求和公式可得n S ，利用1111()22n S n n =-+裂项可求出12111nS S S +++.【详解】因为点()()*1,n n P a a n +∈N 在直线x －y ＋2＝0上，所以120n n a a +-+=，即12n n a a +-=，所以数列{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，所以2(1)3222n n n S n n n -=+⨯=+.由211111()222nS n n n n ==-++，得12111n S S S +++=11111111(1)2324352n n -+-+-++-+1111(1)2212n n =+--++32342(1)(2)n n n +=-++.故22n n +；32342(1)(2)n n n +-++.五、解答题17．已知函数()ln a x f x b x =+在1x =处的切线方程为220x y --=.(1)求()f x 的解析式；(2)求函数()f x 图象上的点到直线230x y -+=的距离的最小值.【正确答案】(1)()2ln x f x x=；【分析】（1）由题可得()()21ln a x f x x -'=，然后利用导数的几何意义即求；（2）由题可得切点()1,0到直线230x y -+=的距离最小，即得.【详解】（1）∵函数()ln a x f x b x =+，∴()f x 的定义域为()0,∞+，()()21ln a x f x x -'=，∴()f x 在1x =处切线的斜率为()12k f a '===，由切线方程可知切点为()1,0，而切点也在函数()f x 图象上，解得0b =，∴()f x 的解析式为()2ln x f x x=；（2）由于直线220x y --=与直线230x y -+=平行，直线220x y --=与函数()2ln xf x x =在()1,0处相切，所以切点()1,0到直线230x y -+=的距离最小，最小值为d ==故函数()f x 图象上的点到直线230x y -+=18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()1*21N n n a S n +=+∈，数列{}n b 是公差不为0的等差数列，满足24b =，且1b ，2b ，4b 成等比数列．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【正确答案】(1)13n n a -=，2n b n=(2)211322n n n T -=⨯+【分析】（1）根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，作差得到{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列，即可求出{}n a 的通项公式，设等差数列{}n b 的公差为d ，根据等比中项的性质得到方程，求出d ，即可得到{}n b 的通项公式；（2）由（1）可得123n n c n -=⨯，利用错位相减法计算可得.【详解】（1）解：因为11a =，()1*21N n n a S n +=+∈，当1n =时，21213a S =+=，当2n ≥时，121n n a S -=+，所以()112121n n n n a a S S +--=+-+，即13n n a a +=，又213a a =，所以{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列，所以13n n a -=，设等差数列{}n b 的公差为d ，因为1b ，2b ，4b 成等比数列则2214b b b =，又24b =，所以()()24442d d =-+，解得2d =或0d =（舍去），所以()4222n b n n =+-⨯=.（2）解：由（1）可得123n n n n c a b n -==⨯，所以012123436323n n T n -=⨯+⨯+⨯++⨯，所以123323436323n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯，所以012122323232323n nn T n --=⨯+⨯+⨯++⨯-⨯()13231231132nn n n n --⨯=-⨯-⨯-=，所以211322n n n T -=⨯+.19．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点与双曲线()222:103x y E b b-=>的右焦点重合，双曲线E 的渐近线方程为0x =．(1)求抛物线C 的标准方程和双曲线E 的标准方程；(2)若O 是坐标原点，直线:2l y x =-与抛物线C 交于A ，B 两点，求AOB 的面积．【正确答案】(1)28y x =；2213x y -=(2)【分析】（1）由双曲线的渐近线方程为0x ±=，可得1b =，继而得到双曲线的右焦点为()2,0，即为抛物线的焦点坐标，可得4p =，即得解；（2）联立直线与抛物线，可得1212x x +=，再由直线过抛物线的焦点，故1216AB p x x =++=，三角形的高为O 到直线l 的距离，利用点到直线公式，求解即可【详解】（1）由题意，双曲线渐近线方程为：y =，=1b =所以双曲线E 的标准方程为：2213x y -=．故双曲线222223,1,4a b c a b ===+=故双曲线的右焦点为()2,0，所以22p =，4p =，所以28y x =．（2）由题意282y x y x ⎧=⎨=-⎩联立，得21240x x -+=，又212440∆=-⨯>所以1212x x +=．因为直线l 过抛物线的焦点(2,0)，所以1216AB p x x =++=．O 到直线l 的距离d =1162OAB S ==．20．四棱锥P ABCD -的底面是矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，E 是PD 的中点，2PA =，1AB =，2AD =．(1)求证：//PB 平面ACE ；(2)求直线CP 与平面ACE 所成角的正弦值．【正确答案】(1)证明见解析【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】（1）证明：四棱锥P ABCD -的底面是矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，因此以A 为原点，以AB 为x 轴，以AD 为y 轴，建立空间直角坐标系．所以()002P ,,，()1,2,0C ，()0,2,0D ，()0,1,1E ，()1,0,0B ，设平面ACE 的一个法向量为(,,)n a b c = ，00n AE n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即2201(2,1,1)01a a b b n b c c =-⎧+=⎧⎪⇒=⇒=--⎨⎨+=⎩⎪=-⎩，因为(1,0,2)PB =- ，所以2020PB n ⋅=-++= ，又因为PB ⊄平面ACE ，所以//PB 平面ACE ．（2）解：设直线CP 与平面ACE 所成角为θ，因为(1,2,2)PC =- ，平面ACE 的一个法向量为(2,1,1)n =-- ，所以6sin cos ,936PC n PC n PC n θ⋅===⋅ 即直线CP 与平面ACE 所成角的正弦值为69．21．已知圆E 的圆心在直线21y x =-上，且过点()1,3A ，()2,2B ．(1)求圆E 的方程；(2)过点()1,1P 作圆E 的切线，求切线的方程；(3)过点()1,1P 作圆E 的割线，交圆E 于C ，D 两点，当2CD =CD 的直线方程．【正确答案】(1)()()22231x y -+-=(2)1x =或3410x y -+=(3)0x y -=或760x y --=【分析】（1）依题意设圆心坐标为(),21E a a -，半径为r ，则圆的方程为()()22221x a y a r -+-+=，即可得到方程组，解得a 、r ，即可得到圆的方程；（2）分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，当切线的斜率存在时，设直线方程1(x 1)y k -=-，利用圆心到直线的距离等于半径，得到方程，求出k 的值，即可得解；（3）依题意可得直线的斜率存在，设斜率为1k ，则直线方程为11(1)y k x -=-，圆心到直线的距离2d =，即可得到方程，解得即可.【详解】（1）解：依题意设圆心坐标为(),21E a a -，半径为r ，则圆的方程为()()22221x a y a r -+-+=，所以()()()()22222213212221a a r a a r ⎧-+-+=⎪⎨-+-+=⎪⎩，解得21a r =⎧⎨=⎩，所以()()22231x y -+-=.（2）解：当切线的斜率不存在时，直线方程为1x =，此时圆心()2,3E 到直线的距离等于半径，符合题意；当切线的斜率存在时，设直线方程1(x 1)y k -=-，即10kx y k -+-=．1=，解得34k =．∴切线方程为31(1)4y x -=-，即3410x y -+=．综上可得切线方程为：1x =或3410x y -+=．（3）解：依题意可得直线的斜率存在，设斜率为1k ，则直线方程为11(1)y k x -=-，即1110k x y k -+-=，因为CD =2d =，即2d ==，解得11k =或17k =，所以直线CD 的方程为0x y -=或760x y --=.22．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率2e =，短轴长为2．(1)求椭圆C 标准方程；(2)设直线l 不经过椭圆C 上顶点P 且与椭圆C 相交于A ，B 两点．若直线PA 与直线PB 的斜率和为－1．证明：直线l 过定点．【正确答案】(1)2214x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据椭圆的几何性质列式求出,a b ，可得椭圆C 标准方程；（2）当直线l 与x 轴垂直时，经计算不符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y kx m =+(1)m ≠，与椭圆方程联立，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，得到12x x +和12x x ，再根据斜率之和为1-，得到12m k +=-，代入y kx m =+可得直线l 所过定点.【详解】（1）依题意可得222222b c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，所以椭圆C 标准方程为2214x y +=.（2）设直线PA 与直线PB 的斜率的斜率分别为1k 和2k ，若直线l 与x 轴垂直，设:l x t =，则0t ≠且||2t <，则(A t，(,B t ，因为(0,1)P ，则12112200k k t t --+=+--2t -=1=-，解得2t =，不符合题意；所以直线l 的斜率存在，设直线l ：y kx m =+(1)m ≠，联立2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 并整理得222(41)8440k x kmx m +++-=，则2222644(41)(44)0k m k m ∆=-+->，得2241k m +>，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122841km x x k +=-+，21224441m x x k -=+，所以12121211y y k k x x --+=+121211kx m kx m x x +-+-=+122112(1)(1)kx m x kx m x x x +-++-=1212122(1)()kx x m x x x x +-+=12122(1)x x k m x x +=+-⋅2228412(1)4441kmk k m m k -+=+-⋅-+282(1)44km k m m -=+-⋅-221km k m =-+，所以2121km k m -=-+，得12m k +=-，代入2241k m +>，得1m >-，所以当1m >-时，直线l ：12m y kx m x m +=+=-+1(2)12m x +=---过定点(2,1)-.。
山东省临沂市立中学高二数学理上学期期末试题含解析
山东省临沂市立中学高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知三点P1（1，1，0），P2（0，1，1）和P3（1，0，1），O是坐标原点，则|++|=（）A．2 B．4 C．D．12参考答案：C【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】求出向量的和，然后求解向量的模即可．【解答】解：三点P1（1，1，0），P2（0，1，1）和P3（1，0，1），O是坐标原点，则++=（2，2，2）．则|++|==2．故选：C．2. 研究表明某地的山高y(km)与该山的年平均气温x(℃)具有相关关系，根据所采集的数据得到线性回归方程，则下列说法错误的是( )A. 年平均气温为0℃时该山高估计为60kmB. 该山高为72km处的年平均气温估计为60℃C. 该地的山高y与该山的年平均气温x的正负相关性与回归直线的斜率的估计值有关D. 该地的山高y与该山的年平均气温x成负相关关系参考答案：B【分析】由已知线性回归直线方程，可估计平均气温为时该地的山高，即可得到答案。
【详解】线性回归直线方程为，当时即年平均气温为时该山高估计为，故正确；当时解得即山高为处的年平均气温估计为，故错误；该地的山高y与该山的年平均气温x的正负相关性与回归直线的斜率的估计值有关，故正确；由，该地的山高y与该山的年平均气温x成负相关关系，故正确．故选：B 【点睛】本题考查线性回归直线方程的应用，考查相关的意义，判断能力，属于基础题．3. 定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f（a n）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”。
现有定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=x2；②f（x）=2x；③；④f（x）=ln|x |。
则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为（）A.①②B.③④C.①③D.②④参考答案：选C.,则对于A: ,可知A符合题意;对于B结果不能保证是定值;对于C,可知也符合题意.此时可知结果.4. 点P（x，y）是曲线是参数）上任意一点，则的最大值为（）A．1 B．2 C．D．参考答案：D略5. 已知为正整数，，实数满足，若的最大值为，则满足条件的数对的数目为（）。
临沂一中高二数学上学期期末考试试题
郯城一中高二上学期期末考试试题一、选择题:1．设R a ∈,则1a >是11a< 的（ ） A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知两点1(1,0)F -、2(1,0)F ,且12F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则动点P 的轨迹方程是( ）A ．221169y x += B ．2211612y x += C ．22143y x += D ．22134y x += 3．不等式022>++bx ax的解集是{}11|23x x -<<，则b a +的值为( ）A ．14B ．—14C ．10D ．—10 4．已知双曲线222212(,0)y x e y px e -==的离心率为，且抛物线的焦点坐标为，则p的值为( ） A ．－2B ．－4C ．2D ．45．公差不为0的等差数列}{,022,}{11273n n b a a a a 数列中=+-是等比数列，且==8677,b b a b 则（ ）A ．2B ．4C ．8D ．166．数列｛a n ｝前n 项和是n S ，如果32n n S a =+（n ∈N＊），则这个数列是（ )A ．等比数列B ．等差数列C ．除去第一项是等比数列D ．除去最后一项为等差数列7．下列函数中，最小值为2的是（ ）A ．y = B ．21x y x+=C ．),(0y x x x =<< D ．2y =8．在ABC △中，若2sin sin sin A B C =⋅且()()3b c a b c a bc +++-=,则该三角形的形状是（ )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形9．在0,0ab >>的条件下，四个结论： ①2()2≥a b ab +， ②22≤ab a b a b ++，③2222≤a b a b ++,④22≤b a a b a b++;其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10．有关命题的说法错误．．的是( ） A ．命题“若2320x x -+=则1=x "的逆否命题为：“若1≠x , 则0232≠+-x x ”B ．“1=x”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件C ．对于命题p ：0R x ∃∈，20010x x ++<. 则⌝p ：R x ∀∈， 210≥x x ++ D ．若q p ∧为假命题,则p 、q 均为假命题11．（理)若方程2210ax x ++=至少有一个负的实根，则a 的取值范围是( )A ．1≤aB ．1a <C ．01≤a <D ．01≤a < 或0a < (文）命题“ax 2－2ax + 3 〉 0恒成立"是假命题， 则实数a 的取值范围是（ ) A ．a 〈 0或3≥a B ．0≤a 或3≥a C ．a < 0或a >3 D ．0〈a 〈3 12．双曲线22221y x a b -=和椭圆)0,0(12222>>>=+b m a b y m x 的离心率互为倒数，那么以,,a b m 为边长的三角形是（ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形 二、填空题：13．在ABC ∆中，若B b A a cos cos =，则ABC ∆的形状是______________________。
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郯城一中高二上学期期末考试试题一、选择题： 1．设R a ∈，则1a>是11a< 的（ ）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知两点1(1,0)F -、2(1,0)F ，且12F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则动点P 的轨迹方程是( )A ．221169y x +=B ．2211612y x += C ．22143y x += D ．22134y x += 3．不等式022>++bx ax的解集是{}11|23x x -<<，则b a +的值为( )A ．14B ．-14C ．10D ．-10 4．已知双曲线222212(,0)y x e y px e -==的离心率为，且抛物线的焦点坐标为,则p 的值为（ ） A ．－2B ．－4C ．2D ．45．公差不为0的等差数列}{,022,}{11273n n b a a a a 数列中=+-是等比数列，且==8677,b b a b 则( )A ．2B ．4C ．8D ．16 6．数列{a n }前n 项和是n S ，如果32n n S a =+（n ∈N *），则这个数列是（）A ．等比数列B ．等差数列C ．除去第一项是等比数列D ．除去最后一项为等差数列7．下列函数中，最小值为2的是( )A ．y = B ．21x y x+=C ．),(0y x x x =<< D ．2y =8．在ABC △中，若2sin sin sin A B C =⋅且()()3b c a b c a bc +++-=，则该三角形的形状是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形9．在0,0ab >>的条件下，四个结论： ①2()2≥a b ab +， ②22≤ab a b a b ++，③2≤a b +22≤b a a b a b++；其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．410．有关命题的说法错误．．的是( ) A ．命题“若2320x x -+=则1=x ”的逆否命题为：“若1≠x , 则0232≠+-x x ” B ．“1=x”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件C ．对于命题p ：0R x ∃∈，20010x x ++<. 则⌝p ：R x ∀∈， 210≥x x ++ D ．若q p ∧为假命题，则p 、q 均为假命题11．(理)若方程2210ax x ++=至少有一个负的实根，则a 的取值范围是( )A ．1≤aB ．1a <C ．01≤a <D ．01≤a < 或0a < (文)命题“ax 2－2ax + 3 > 0恒成立”是假命题, 则实数a 的取值范围是( ) A ．a < 0或3≥a B ．0≤a 或3≥a C ．a < 0或a >3 D ．0<a <312．双曲线22221y x a b -=和椭圆)0,0(12222>>>=+b m a b y m x 的离心率互为倒数，那么以,,a b m 为边长的三角形是（ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形 二、填空题：13．在ABC ∆中，若B b A a cos cos =，则ABC ∆的形状是______________________.14．不等式组2510000x y x y -+>⎧⎪<⎨⎪>⎩表示的平面区域内的整点坐标是 .15．(理)若关于x 的不等式222321≤x x a a -+--在R 上的解集为∅,则a 的取值范围为_____________. (文)若命题2:,40p x R x cx c ∀∈++>对为真命题，则实数c 的取值范围是 .16．椭圆2214y x m+=的离心率e ∈，则m 的取值范围为_____________.三、解答题：17． a ，b ，c 为△ABC 的三边，其面积ABC S △＝123，bc ＝48，b -c ＝2，求a ．18．已知命题p ：关于x 的方程210xmx ++=有两个不相等的负根．．. 命题q ：关于x 的方程 244(2)10x m x +-+=无实根，若p q ∨为真，p q ∧为假，求m 的取值范围．19．设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n项和．已知37S =，且123334a a a ++，，构成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令21(1)n nb a n n =++，求数列{}n b 的前n 项和nT .20． 某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A 、B ，该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用、和预计产生收益来决定具体安排．通过调查，有关数据如下表：如何安排这两种产品的件数进行搭载,才能使总预计收益达到最大,最大收益是多少？21(理). 如图，棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AD=2，BD=22. （1）求证：BD ⊥平面P AC ；（2）求二面角P —CD —B 余弦值的大小；（3）求点C 到平面PBD 的距离.21(文).已知函数c bx ax x x f ++-=23)(的图象为曲线E .(1) 若曲线E 上存在点P ，使曲线E 在P 点处的切线与x 轴平行，求a ,b 的关系；(2) 说明函数)(x f 可以在1-=x 和3=x 时取得极值，并求此时a ,b 的值； (3) 在满足(2)的条件下，c x f 2)(<在]6,2[-∈x 恒成立，求c 的取值范围.22．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点与抛物线2y =的焦点F 重合，且椭圆短轴的两个端点与F 构成正三角形。
(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若过点(1,0)的直线l 与椭圆交于不同两点P Q 、，试问在x 轴上是否存在定点(,0)E m ，使PE QE ⋅恒为定值?若存在，求出E 的坐标及定值；若不存在，请说明理由。
数学试题参考答案三、解答题17．解：由1sin 2ABC S bc A =△， 得123＝148sin 2A ⨯,sin A ∴=∴A ＝60°或A ＝120°. 由bc ＝48，b -c ＝2得,8, 6.b c ==当A ＝60°时，22218628652,2a =+-⨯⨯⨯= a ∴=当A ＝120°时，222186286()148,2a =+-⨯⨯⨯-=a ∴=18. 解：由210x mx ++=有两个不相等的负根,则2400m m⎧->⎨-<⎩，, 解之得 2.m >即命题: 2.p m >由244(2)10x m +-+=无实根, 则216(2)160m --<, 解之得13m <<. 即命题q : 13m <<.p q ∧∵为假，p q ∨为真，则p 与q 一真一假.若p 真q 假, 则2,3,1,≥≤m m m >⎧⎨⎩或所以 3.≥m若p 假q 真, 则2,13,≤m m ⎧⎨<<⎩所以1 2.≤m <所以m 取值范围为{}123m m m <，或|≤≥.19．解：（1）由已知得1231327(3)(4)3.2a a a a a a ++=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，解得22a =．设数列{}n a 的公比为q ，由22a =，可得1322a a q q==，．又37S =，可知2227q q++=，即22520q q -+=，解得12122q q ==，．1 2.q q >∴= ， 11a ∴=．故数列{}n a 的通项为12n n a -=．212111(2)2,(1)1n n n b a n n n n -=+=-+++35212111111[(1)()()](2222)22312(14)1(1)114211.331n n n n T n n n n -+∴=-+-++-++++++-=-++-=+-+20．解：设搭载产品A x 件，产品B y 件， 则预计收益8060z x y =+．则20303001051100,0,x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≥≥作出可行域，如图；作出直线0:430l x y +=并平移.由图象得，当直线经过M 点时, z 能取得最大值，2330222x y x y +=⎧⎨+=⎩, 解得94x y =⎧⎨=⎩, 即(9,4)M . 所以z ＝80×9＋60×4＝960(万元).答：应搭载产品A 9件，产品B 4件，可使得利润最多达到960万元.21．(理12,答案略)（文,满分12分）解：(1)根据题意，023)(2=+-='b x a x x f 有解，∴01342≥-=∆b a 即b a 32≥. ……………………………2分 (2)若函数)(x f 可以在1-=x 和3=x 时取得极值，则023)(2=+-='b x a x x f 有两个解1-=x 和3=x ，且满足b a 32≥. 易得9,3-==b a . ……………………………………………5分 (3)由(2)，得c x x x x f +--=93)(23. ………………………6分 根据题意，x x x c 9323-->(]6,2[-∈x )恒成立. ……………8分 ∵函数x x x x g 93)(23--=（]6,2[-∈x ）在1-=x 时有极大值5（用求导的方法），且在端点6=x 处的值为54.∴函数x x x x g 93)(23--=（]6,2[-∈x ）的最大值为54. …………11分 所以54>c . ……………………………………………………12分22．解：(Ⅰ)由题意知抛物线的焦点Fc ∴=1分又 椭圆的短轴的两个端点与F 构成正三角形 1b ∴=∴椭圆的方程为2214x y += (3)分(Ⅱ)当直线l 的斜率存在时，设其斜率为k ，则l 的方程为：(1)y k x =-2214(1)x y y k x +==- 2222(41)8440k x k x k +-+-= 1122(,),(,)P x y Q x y221212228444141k k x x x x k k -∴+==++………………………………………5分则1122(,)(,)PE m x y QE m x y =--=--∴1212()()PE QE m x m x y y ⋅=--+2121212()m m x x x x y y =-+++22121212()(1)(1)m m x x x x k x x =-+++--2222222222844448(1)41414141k k k k m m k k k k k --=-++-+++++ 2222(481)(4)41m m k m k -++-=+……………………………………7分 2222211(481)()(4)(481)4441m m k m m m k -+++---+=+2217214(481)441m m m k -=-+++……………………………………9分 当17204m -= 即178m =时PE QE ⋅ 为定值3364…………………………10分当直线l的斜率不存在时，(1,P Q 由17(,0)8E 可得99(,(88PE QE ==8133364464PE QE ∴⋅=-=综上所述当17(,0)8E 时，PE QE ⋅ 为定值3364……………………………………12分。