4-2 Central Limit Theorem-中心极限定理
中心极限定理两个公式
中心极限定理两个公式中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它描述了独立同分布随机变量的和服从正态分布的近似情况。
在统计学中，中心极限定理是数据分析和推论中非常重要的基本原理，它为我们提供了进行参数估计和假设检验的理论基础。
1.李雅普诺夫定理：设X1、X2、..、Xn是独立同分布的随机变量，具有相同的均值μ和方差σ^2（标准差σ），并且其生成函数M(t)存在，则对于任意ε>0，有lim [n->∞] P(∣(X1+X2+...+Xn)/n -μ∣<ε√n)=1/√(2π) ∫（-∞到∞） exp(-t^2/2)dt该定理表明当n足够大时，随机变量的和(X1+X2+...+Xn)/n的概率分布可近似地看作一个均值为μ，标准差为σ/√n的正态分布。
也就是说，当样本容量增加时，样本均值的分布趋向于正态分布。
这一结果对于大样本条件下的统计推断非常重要，它使我们得以在很多场景中应用正态分布进行推论，而不受具体分布函数的限制。
2.林德伯格定理（也称为林德伯格-列维定理）：设X1、X2、..、Xn是独立同分布的随机变量，具有相同的均值μ和方差σ^2（标准差σ），并且其矩生成函数存在，则对于任意ε>0，有lim [n->∞] P(∣(X1+X2+...+Xn)/n -μ∣<ε√n)=1/√(2πσ^2)∫（-∞到∞） exp(-(t-μ)^2/2σ^2)dt这个定理在独立同分布的随机变量的和的极限分布建立了正态分布的形式。
与李雅普诺夫定理不同的是，林德伯格定理对矩生成函数的存在有一定的要求。
矩生成函数是随机变量的一个重要特征，它能够唯一地确定随机变量的分布。
因此，林德伯格定理对于具有矩生成函数的随机变量的和能够提供更为精确的正态分布近似。
1.样本均值的分布近似：当样本容量很大时，根据中心极限定理，样本均值的分布近似为正态分布，这为统计推断提供了数理依据。
例如，我们可以根据样本均值的正态分布性质进行参数估计和假设检验。
中心极限定理
N −120 −120 N −120 ≈Φ −Φ ≈Φ 48 48 48
N −120 由 Φ : ≥ 0.999, 48
N−120 − 查正态分布函数表得: Φ 查正态分布函数表得 (3.1) = 0.999, 故 , ： ≥ 3.1
: ,由 而 X = ∑Xk ,由 理可 随 变 : 定 , 知 机 量
k=1 近 地 似
400
概率论
X
400
~ N(400×1.1,400×0.19)
k
∑X
有 即 :
k=1
−400×1.1
400 0.19
X −400×0.8近似地 01 ) = ~ N（ ， 400 0.19
X −400×0.8 450−400×0.8 是 于 :P{X > 450 = P } > 400 0.19 400 0.19 X −400×0.8 =1− P ≤1.147 400 0.19
一 学 无 长 1名 长 2名 长 参 会 的 率 别 : 设 个 生 家 、 家 、 家 来 加 议 概 分 为 0.05、 、 若 校 有 名 生 0.8 0.15. 学 共 400 学 , 各 生 加 议 家 数 互 立 服 同 分 . 设 学 参 会 的 长 相 独 ,且 从 一 布
1 ） 参 会 的 长 X 过 的 率 （ 求 加 议 家 数 超 450 概 ； （ 求 1 家 来 加 议 学 数 多 的 率 2 ） 有 名 长 参 会 的 生 不 340 概 .
2) 独 同 布 心 限 理 另 种 式 写 : 立 分 中 极 定 的 一 形 可 为
似 近 地 似 σ2 X −µ 近 地 1 n 中 ~ N(0,1); X ~ Nµ, n , 其 X = n∑Xk . σ n k=1
中心极限定理 大数定律
中心极限定理与大数定律介绍中心极限定理（Central Limit Theorem）和大数定律（Law of Large Numbers）是概率论中两个重要而基础的定理。
它们在统计学和各个领域的实际应用中起着至关重要的作用。
本文将深入探讨这两个定理的概念、应用和相关证明。
中心极限定理定义中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它说明了在特定条件下，一组随机变量的均值的分布会趋近于正态分布。
具体来说，对于任意独立同分布的随机变量的和，当样本容量足够大时，其均值的分布将会接近于正态分布。
证明中心极限定理的证明可以通过多种方法进行推导，其中最为经典的方法是使用特征函数的技巧。
通过对特征函数的逐步展开和极限取证，可以得出中心极限定理的结论。
应用中心极限定理在实际应用中有着广泛的应用。
以下是中心极限定理的几个重要应用：1.抽样分布的近似计算：通过中心极限定理，可以对抽样分布进行近似计算，从而推断总体参数。
2.假设检验：在统计学中，中心极限定理广泛应用于假设检验问题中。
通过对样本均值进行正态分布近似，可以进行对总体均值的假设检验。
3.建立置信区间：中心极限定理可用于建立置信区间。
通过计算样本均值的区间估计，确定总体均值的信心水平。
大数定律定义大数定律是概率论中的另一个重要定理，它说明了当独立同分布的随机变量重复进行实验时，其平均值会收敛于数学期望。
换句话说，随着实验次数的增加，样本均值会趋近于总体均值。
证明大数定律的证明有多种方法，其中最为著名的是切比雪夫不等式和辛钦大数定律。
不同的证明方法都有其特点和适用范围，但最终都能得出大数定律的结论。
应用大数定律在实际应用中也有着广泛的应用。
以下是大数定律的几个重要应用：1.统计估计：大数定律可用于建立统计估计方法，如最大似然估计和矩估计。
2.贝叶斯推断：大数定律在贝叶斯推断中起着重要的作用。
通过重复实验，可以逐渐更新对参数的先验分布，得到后验分布。
3.经济学和金融学：大数定律在经济学和金融学中有广泛的应用。
中心极限定理
中心极限定理（central limit theorem/CLT）是概率论（probability theory）一个非常重要的结论，它指出在一定条件下，独立（independent）随机变量的标准化的（normalized）和随样本量（sample size）变大会趋向正态分布（normal distribution），即它的累积分布函数（cumulative distribution function/CDF）会收敛于标准正态分布（standard normal distribution）的CDF N(x)=∫−∞x12πe−x2/2 dx。
中心极限定理不要求随机变量本身是正态分布的，所以它带来一个非常重要的结果：在一定条件下，我们可以使用对正态分布成立的方法去应对非正态分布。
比如，对于样本量n足够大时，二项分布（binomial distribution）Bin(n,p)可以用正态分布N(np,np(1−p))来近似。
4-2中心极限定理
其中 p + q = 1
意义: 棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理说明当 n 充分大时,
二项分布B( n, p ) 可用正态分布 N ( np, npq ) 近似代替.
应用1: 二项分布的概率计算
若ξ ~ B ( n, p ) , 则当 n 较大时, 有
b − np a − np P {a ≤ ξ ≤ b} ≈ Φ −Φ npq npq
【例1】某厂有 400 台同类机器, 每台机器发生故障的概率 都是 0.02 , 假设各台机器工作是相互独立的, 试分别用二项分 布, 近似的 Poisson 分布和近似的正态分布计算最多有 2 台机器 发生故障的概率. 【解】 】设发生故障的机器台数为 ξ , 则 ξ ~ B ( n, p ) , 所求 概率为 P {0 ≤ ξ ≤ 2} . (1)用精确的二项分布公式计算: n = 400, p = 0.02, q = 0.98 P {0 ≤ ξ ≤ 2} = P {ξ = 0} + P {ξ = 1} + P {ξ = 2}
7 35 1 2 3 4 5 6 Eξ i = , Dξ i = 2 12 1 1 1 1 1 1 P i =1, 2, … , 10 6 6 6 6 6 6 由林德贝格－勒维中心极限定理可得:
30 − 10 × 7 40 − 10 × 7 10 2 − Φ 2 P 30 ≤ ∑ ξ i ≤ 40 ≈ Φ i =1 35 35 10 × 10 × 12 12 6 = 2Φ 7 − 1 ≈ 2Φ (0.93) − 1 = 0.6476
0 1 2 = C 400 × 0.02 0 × 0.98 400 + C 400 × 0.021 × 0.98 399 + C 400 × 0.02 2 × 0.98 398
大样本理论公式整理中心极限定理大数定律的推导与应用
大样本理论公式整理中心极限定理大数定律的推导与应用大样本理论公式整理：中心极限定理、大数定律的推导与应用在统计学中，大样本理论是一种基本的概念，它为我们提供了一些重要的工具来进行数据分析和推断。
其中，中心极限定理和大数定律是大样本理论中最为关键的两个定理。
本文将对这两个定理进行推导，并探讨它们在实际应用中的意义和应用方法。
一、中心极限定理的推导中心极限定理 (Central Limit Theorem, CLT) 是大样本理论的核心内容之一，它说明了在很多独立随机变量的和的情况下，当样本容量趋于无穷大时，该和的分布将近似服从正态分布。
设有n个独立随机变量X1, X2, ..., Xn，它们的期望值分别为μ，方差分别为σ^2。
令S_n = X1 + X2 + ... + Xn，则S_n的期望值为E(S_n)= μn，方差为Var(S_n) = σ^2n。
根据大样本理论，当n趋于无穷大时，S_n的分布将近似服从正态分布，即：S_n ～N(μn, σ^2n) (1)这意味着当我们对一个足够大的样本进行抽样和求和时，样本均值的分布将近似符合正态分布。
二、大数定律的推导大数定律 (Law of Large Numbers, LLN) 揭示了当样本容量趋于无穷大时，样本均值将收敛到总体均值。
设有n个独立同分布的随机变量X1, X2, ..., Xn，它们的期望值为μ，方差为σ^2。
令X = (X1 + X2 + ... + Xn)/n，表示样本的均值。
根据大数定律，当n趋于无穷大时，X将以概率1收敛到μ，即：lim(n→∞) P(|X - μ| ≥ ε) = 0 (2)其中ε为任意正数。
这表明当样本容量足够大时，样本均值将趋近于总体均值。
三、中心极限定理和大数定律的应用中心极限定理和大数定律作为统计学中重要的理论基础，广泛应用于实际数据分析和推断过程中。
1. 抽样分布的应用基于中心极限定理，我们可以利用样本均值的正态分布特性，进行抽样分布的推断。
中央极限定理
練習一
一家國立健康組織同意供給活性細菌病毒，如小兒麻痺 症和AIDS的病毒，給從事以實驗為目的之研究公司。其 過程是將平均數為9.00公撮，標準差為0.35公撮的細菌 病毒填入上百萬支的小試管裡。假如連續選取樣本為49 支小試管的多組隨機樣本，並計算其填料的平均數 x ， 試求所有樣本平均數中間99％部分所對應的兩個 x 值為 多少？
範例一
一家成衣廠的一部機器將裁剪一匹絲質布料呈平均長度μ ＝ 1000 mm，標準差為σ＝ 12 mm 的布塊若連續抽取多 組樣本大小 n ＝ 36 的隨機樣本則所有的樣本平均數會落 於 x = 995 mm 與 x =1005 mm之間的百分比為何？
(範例來源： 範例來源：統計學〈 統計學〈ELEMENTARY STATISTICS〉，原著 Gibson，編譯 林慧姿 張筱梅 黃春松 廖苹邁， 廖苹邁，高立出版社。 高立出版社。)
( )
1. 分配的平均數等於母體平均數μ。 2. 分配的標準差，稱為 σ x ，等於母體標準差（σ）除以樣本 大小（n）的平方根，亦即 σ x = σ n
中央極限定理（continue）
原常態族群N（μ, σ2），與樣本的平均數 (x ′s ) 所構成的常態族群之比較 原族群常態分布 樣本平均值分布
Z= Y −µ , Y → N (µ , σ 2 ) 曲線上的一點
大数定律与中心极限定理知识点整理
大数定律与中心极限定理知识点整理大数定律和中心极限定理是概率论与数理统计中两个重要的概念，它们在统计学和经济学等领域中具有广泛的应用。
下面将对它们的主要知识点进行整理。
一、大数定律（Law of Large Numbers）大数定律是关于随机变量序列均值的收敛性的一个法则。
它表明，当独立同分布的随机变量不断增加时，其均值将会趋近于理论期望。
具体来说，大数定律包含以下几个重要概念：1. 弱大数定律（Weak Law of Large Numbers）弱大数定律指的是当随机变量序列无限增加时，其均值以概率1收敛于理论期望。
这个定律要求序列中的随机变量具有有限的方差和独立同分布的性质。
2. 强大数定律（Strong Law of Large Numbers）强大数定律指的是当随机变量序列无限增加时，其均值几乎处处收敛于理论期望。
与弱大数定律相比，强大数定律要求序列中的随机变量只需要具有独立性，而不需要具有方差的有限性。
二、中心极限定理（Central Limit Theorem）中心极限定理是关于随机变量和其样本均值之间关系的一个重要定理。
它表明，当样本量增加时，随机变量的分布将趋近于正态分布。
中心极限定理包含以下几个关键点：1. 独立同分布的随机变量之和的分布趋近于正态分布。
2. 标准化后的样本均值的分布趋近于标准正态分布。
3. 样本量越大，越接近正态分布。
总结：大数定律和中心极限定理是概率论与数理统计中非常重要的概念。
大数定律研究随机变量序列均值的收敛性，而中心极限定理研究随机变量和其样本均值的分布趋近于正态分布的关系。
它们的应用广泛，对于统计学、经济学等领域的研究与实践具有重要意义。
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4.2-11
[例题 中心极限定理使用的例 例题] 例题
GB Training
重新启动你的 Minitab 对话窗 让我们产生一些模拟的数据来验证我们的理论。 让我们产生一些模拟的数据来验证我们的理论。 列各250个数据， 250个数据 使用以下对话窗命令来生成 9 列各250个数据，这些数据 来自一个平均值=70 的正态分布: 来自一个平均值=70 、标准偏差 = 9 的正态分布: C1代表白色纸单， 代表绿色纸单。 列 C1-C9 代表白色纸单，列 C10 代表绿色纸单。 MTB > SUBC> MTB > MTB > c1rand 250 c1-c9; normal 70 9. c1rmean c1-c9 c10 c1describe c1-c10
30 20
σ = 2.89
10
0 60 70 80
C9
C10
“ SDI Six Sigma = 成长引擎 “
4.2-19
GB Training
结果 _ 点装图比较
用点装图比较频度数能够更明确的了解。 用点装图比较频度数能够更明确的了解。
“ SDI Six Sigma = 成长引擎 “
4.2-20
中心极限定理
GB Training
结果
样本平均值分布的平均值和总体的平均值十分接 近。 样本平均值分布的标准偏差等于总体的标准偏差 除以样本数的平方根。 除以样本数的平方根。 样本平均值的分布十分接近正态分布。 样本平均值的分布十分接近正态分布。
让我们实实在在地推动我们的系统!! 让我们实实在在地推动我们的系统!!
在母集团中任意抽样测定标本的平均。 在母集团中任意抽样测定标本的平均。 - 母集团是正态分布时 : 标本的平均也有正态分布 - 母集团非正态分布时 : 样本大小充分的大时标本的平均 具备正态分布型。 具备正态分布型。
. 样本规格越大越接近正态分布。 样本规格越大越接近正态分布。 . 样本规格越大标准平均的分布散布越小。 样本规格越大标准平均的分布散布越小。
的标准偏差怎么样？它是什么? 我们期望列 C10 的标准偏差怎么样？它是什么?
“ SDI Six Sigma = 成长引擎 “
4.2-12
GB Training
用MINITAB找出标本 找出标本
“ SDI Six Sigma = 成长引擎 “
4.2-13
GB Training
标准平均数据制作
“ SDI Six Sigma = 成长引擎 “
大家肯定观察到母集团正态分布和非正态分布状态。 大家肯定观察到母集团正态分布和非正态分布状态。
“ SDI Six Sigma = 成长引擎 “
4.2-5
GB Training
Central Limit Theorem(中心极限定理 中心极限定理) 中心极限定理
推论统计学的根原 样式。 利用同样的数据观察两个不同的 SPC 样式。 CENLIMIT.MTW 打开 打开. Stat>Control Charts 打开 打开. 利用OUTPUT 分析两个 分析两个SPC : 利用 第一: 第一 Individuals chart 第二: 群大小利用 利用5人的 第二 群大小利用 人的 Xbar chart UCL 和 LCL调查。 调查。 调查 比较的方法 两个都是一样的数据，为什么有差异？ 两个都是一样的数据，为什么有差异？
Variable C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 N Mean Median TrMean StDev SEMean 8.876 8.614 8.272 8.814 8.637 8.670 8.817 8.766 8.362 2.887
4.2-17
250 70.069 70.651 70.172 250 70.253 70.149 70.322 250 70.170 70.286 70.155 250 70.525 70.196 70.524 250 69.123 68.492 69.215 250 71.380 72.159 71.515 250 69.409 69.523 69.347 250 69.698 69.753 69.648 250 69.472 69.439 69.625 250 70.011 70.143 70.042
LCL X = µ − 3σ
“ SDI Six Sigma = 成长引擎 “
4.2-8
平均值的标准差（Standard Error of the Mean）
平均值分布的标准偏差叫做 平均值的标准差
GB Training
，因
而定义为: 而定义为:
▇ ▇
σ
σx = σx = n =
x
=
σ
x
n
其中
平均值的标准差 个体值的标准偏差 平均值的样本数
σ MS ( mean ) =
σ MS
n
我们的测量系统的精密度自动增加， 我们的测量系统的精密度自动增加，增加因子是平均值 样本数的平方根. 样本数的平方根. 如果我们要想使测量系统的误差减 小一半，我们就要把4次测量值平均。 小一半，我们就要把4次测量值平均。
“ SDI Six Sigma = 成长引擎 “
80
GB Training
X-bar Chart for Output
1 3.0SL=80.70
Sample Mean
70 X=68.28
60 -3.0SL=55.86 30
Observation Number
Sample Number
个体数据
标准平均
两种情况的管理上下限相比较结论怎么样? 两种情况的管理上下限相比较结论怎么样
这个公式表明平均值比个体数据更稳定，稳定因子是 这个公式表明平均值比个体数据更稳定， 样本数的平方根。 样本数的平方根。
“ SDI Six Sigma = 成长引擎 “
4.2-9
ห้องสมุดไป่ตู้
实际应用
GB Training
我们经常依靠从测量系统中得到的一个数值来估计输 我们经常依靠从测量系统中得到的一个数值来估计输 输出变量的值 变量的值。 入或输出变量的值。减小测量系统误差的简易方法就 是把两个或更多的读数平均。 是把两个或更多的读数平均。
4.2-10
中心极限定理练习
1. 正态分布时
GB Training
假设你有一个大桶，桶里装有很大数量的白色纸单， 假设你有一个大桶，桶里装有很大数量的白色纸单，每张纸单 里填有数字， 里填有数字，这些数字来自一个具有特定平均值和标准偏差的 正态分布。 正态分布。 随机抽出9张白色纸单，把这9个数字平均 ， 然后把这个平均 随机抽出9张白色纸单，把这9 值写在一张绿色纸单上。把这9张白色纸单放回原来的桶里。 值写在一张绿色纸单上。把这9张白色纸单放回原来的桶里。 把这张绿色纸单放入另外一个桶里。 把这张绿色纸单放入另外一个桶里。 如此反复，直到盛有绿色纸单的桶放满为止。 如此反复，直到盛有绿色纸单的桶放满为止。 盛白色纸单的桶代表总体的数据。 盛白色纸单的桶代表总体的数据。盛有绿色纸单的桶代表平均 值的样本分布。 值的样本分布。 我们用统计再抽样的方法作这个练习。 我们用统计再抽样的方法作这个练习。
0.561 0.545 0.523 0.557 0.546 0.548 0.558 0.554 0.529 0.183
σ σ
x
= =
σ
x
n 9
x
9 = = 3 3 9
“ SDI Six Sigma = 成长引擎 “
GB Training
结果 _ 统计量比较
Variable C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 N Mean Median TrMean StDev SEMean 8.876 8.614 8.272 8.814 8.637 8.670 8.817 8.766 8.362 2.887
定义 中心极限应用 1. 正态分布的举例 2. Chi-Square的举例 Chi-Square的举例 标准误差及样本大小
GB Training
“ SDI Six Sigma = 成长引擎 “
4.2-4
Central Limit Theorem(中心极限定理）的定义 Training 中心极限定理） 中心极限定理 GB
0.561 0.545 0.523 0.557 0.546 0.548 0.558 0.554 0.529 0.183
什么意识? 什么意识
现在开始比较。 现在开始比较。
“ SDI Six Sigma = 成长引擎 “
GB Training
结果 _ 柱装图比较
标本的散步( 和标准平均的散步(C10)进行比较 进行比较。 标本的散步(C9) 和标准平均的散步(C10)进行比较。
“ SDI Six Sigma = 成长引擎 “
4.2-22
追加调查
GB Training
是标准平均的分布. 是标准平均的分布.
C11
C10
45
55
65
75
85
95
个别测定值分布. 个别测定值分布.
“ SDI Six Sigma = 成长引擎 “
GB Training
Improve
Control
“ SDI Six Sigma = 成长引擎 “
4.2-2
目 的
引入中心极限理论的概念 讨论在测量系统分析中的应用 用模拟的方法说明这一概念 讨论在推论统计中的应用
GB Training
“ SDI Six Sigma = 成长引擎 “
4.2-3
目 录
4.2-18
250 70.069 70.651 70.172 250 70.253 70.149 70.322 250 70.170 70.286 70.155 250 70.525 70.196 70.524 250 69.123 68.492 69.215 250 71.380 72.159 71.515 250 69.409 69.523 69.347 250 69.698 69.753 69.648 250 69.472 69.439 69.625 250 70.011 70.143 70.042