中心极限定理
中心极限定理
中心极限定理中心极限定理（Central Limit Theorems）什么是中心极限定理大数定律揭示了大量随机变量的平均结果，但没有涉及到随机变量的分布的问题。
而中心极限定理说明的是在一定条件下，大量独立随机变量的平均数是以正态分布为极限的。
中心极限定理是概率论中最著名的结果之一。
它提出，大量的独立随机变量之和具有近似于正态的分布。
因此，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么有很多自然群体的经验频率呈现出钟形(即正态)曲线这一事实，因此中心极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具有很重要的地位，也使正态分布有了广泛的应用。
中心极限定理的表现形式中心极限定理也有若干个表现形式，这里仅介绍其中四个常用定理：（一）辛钦中心极限定理设随机变量相互独立，服从同一分布且有有限的数学期望a和方差σ2，则随机变量，在n无限增大时，服从参数为a和的正态分布即n→∞时，将该定理应用到抽样调查，就有这样一个结论：如果抽样总体的数学期望a和方差σ2是有限的，无论总体服从什么分布，从中抽取容量为n的样本时，只要n足够大，其样本平均数的分布就趋于数学期望为a，方差为σ2 / n的正态分布。
（二）德莫佛——拉普拉斯中心极限定理设μn是n次独立试验中事件A发生的次数，事件A在每次试验中发生的概率为P，则当n无限大时，频率设μn / n趋于服从参数为的正态分布。
即：该定理是辛钦中心极限定理的特例。
在抽样调查中，不论总体服从什么分布，只要n充分大，那么频率就近似服从正态分布。
（三）李亚普洛夫中心极限定理设是一个相互独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方差：。
记，如果能选择这一个正数δ>0，使当n→∞时，，则对任意的x有：该定理的含义是：如果一个量是由大量相互独立的随机因素影响所造成的，而每一个别因素在总影响中所起的作用不很大，则这个量服从或近似服从正态分布。
（四）林德贝尔格定理设是一个相对独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方差满足林德贝尔格条件，则当n→∞时，对任意的x，有。
中心极限定理
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O 1
x 2 3 4 5 6 7 8
记 则
Xk
1, 小球碰第 1, 小球碰第
k 1
( k 1, 2, ,15) n 15 k 层钉后向左落下 0, 2 1 近似 15 2 15 n 2 X N 0 1n 5 N( n , , ) ) 大数定律和中心极限定理 k
即至少要抽查147件产品才能保证拒绝这批产品的概率达到0.9．
大数定律和中心极限定理
例2．一批种子, 其中良种占1/6, 在其中任选6000粒, 试问在这
些种子中, 良种所占的比例与1/6之差的绝对值小于1%的概率. 解：设X表示取6000粒种子中的良种粒数, 则X~B(6000, 1/6), E(X)=6000×(1/6)=1000, D(X)=6000×(1/6)×(5/6).
Y20~N(10, 20/12)
P{Y20≤9.1} = P{Y20-10≤9.1-10}
Y20 10 Y20 10 9.1 10 P 0.7 P 20 /12 20 /12 20 /12
(0.7) 0.2420.
n X k n t2 x 1 2 k 1 lim Fn ( x ) lim P x e dt . n n n 2
大数定律和中心极限定理
n
中心极限定理的意义
对于均值为 ,方差 2 0 的独立同分布的 r.v. 列 有
2
证: 由于服从二项分布的随机变量和n 可看作n个相互独立服从 参数为p的(0-1)分布的随机变量X1,X2,…,Xn之和，即
n X i , 其中E( X k ) p, D( X k ) pq, k 1, 2,, n, q 1 p.
中心极限定理 n趋近无穷 标准正态
中心极限定理是概率论中一个非常重要的定理，它告诉我们在一定条件下，当样本容量足够大时，样本均值的分布将近似于正态分布。
这个定理对于统计推断和假设检验有着重要的意义，因此被广泛应用于各个领域。
1. 中心极限定理的概念中心极限定理是指在一定条件下，当样本容量足够大时，样本均值的分布将近似于正态分布。
无论总体的分布是什么样子，只要样本容量足够大，样本均值的分布都会接近正态分布。
这个定理对于统计学来说非常重要，因为它告诉我们在很多情况下，我们可以使用正态分布来近似描述样本均值的分布。
2. 为什么中心极限定理成立中心极限定理之所以成立，是因为当样本容量足够大时，样本均值的分布受到多个随机因素的影响，而这些随机因素的总和近似呈现出正态分布的特征。
这也是为什么无论总体的分布是什么样子，只要样本容量足够大，样本均值的分布都会近似于正态分布的原因。
3. 中心极限定理的应用中心极限定理在统计学中有着广泛的应用。
在假设检验中，我们经常需要根据样本均值对总体均值做出推断。
而根据中心极限定理，我们可以知道当样本容量足够大时，样本均值的分布近似于正态分布，这样我们就可以使用正态分布的性质来进行推断和计算。
4. n趋近无穷的意义在中心极限定理中，n代表样本容量，当n趋近无穷时，样本均值的分布就会趋近于正态分布。
这也说明了中心极限定理的一个重要特点，即样本容量越大，样本均值的分布越接近正态分布。
当我们需要进行统计推断时，可以通过增大样本容量来让样本均值的分布更接近于正态分布，从而使得推断结果更加可靠。
5. 标准正态分布的意义标准正态分布是统计学中一个非常重要的分布，它的概率密度函数是一个钟形曲线，均值为0，标准差为1。
在实际的统计推断和假设检验中，很多情况下都需要使用标准正态分布来进行计算和推断。
而根据中心极限定理，当样本容量足够大时，样本均值的分布近似于正态分布，因此我们可以使用标准正态分布的性质来进行推断和计算，这对于统计学的应用具有重要的意义。
统计学中的中心极限定理简介
统计学中的中心极限定理简介统计学是研究数据收集、分析、解释和展示的科学。
在统计学中，有一个非常重要的概念被称为中心极限定理。
中心极限定理不仅为统计推断提供了理论基础，而且在实际应用中也起到了极其重要的作用。
无论是在自然科学、社会科学，还是在工程技术等多个领域，中心极限定理的应用无处不在。
本文将对中心极限定理进行详细介绍，探讨其含义、重要性、应用及相关实例。
中心极限定理的基本概念中心极限定理（Central Limit Theorem, CLT）是指在一定条件下，当样本容量足够大时，不论原始总体分布的形状如何，样本均值的分布趋近于正态分布。
这一定理为我们理解大量独立随机变量之和或者平均值提供了理论依据。
定义及数学表述若(X_1, X_2, , X_n)是来自同一总体的独立同分布随机变量，且它们的期望为()和方差为(^2)，则当样本容量(n)趋近于无穷时，样本均值({X} = _{i=1}^{n} X_i)的标准化形式：[ Z = ]将趋向于标准正态分布，即(N(0, 1))。
换句话说，对于大样本而言，样本均值的分布近似于正态分布，而这正是中心极限定理所要表达的核心内容。
中心极限定理的重要性中心极限定理的重要性体现在以下几个方面。
1. 理论基础作为统计推断的一部分，许多统计方法（如假设检验、置信区间等）都依赖于样本均值的正态性假设。
中心极限定理提供了在什么条件下可以使用正态分布的方法，使得这些统计方法具有更广泛的适用性。
2. 实际应用在实际工作中，我们通常会处理来自不同类型总体的数据。
中心极限定理使得即使底层数据不服从正态分布，我们依然可以使用基于正态分布的方法进行分析，这大大提高了数据分析过程的便利性。
3. 数据分析工具的发展许多现代数据分析工具和软件包都使用了中心极限定理作为其基础，帮助用户进行更精确的数据分析。
例如，在执行回归分析时，许多测试统计量依赖于中心极限定理，使得结果更具可信度。
中心极限定理的条件虽然中心极限定理适用于许多情况，但其成立需要满足一定条件：独立性：样本观测值必须是独立的。
中心极限定理
概率论与数理统计第四章正态分布§13 中心极限定理暨南大学电气信息学院苏保河主讲第四章正态分布§13 中心极限定理主要内容一、林德伯格—莱维中心极限定理二、棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理三、李雅普诺夫中心极限定理暨南大学电气信息学院苏保河主讲例1炮火轰击敌方防御工事100 次, 每次轰击命中的炮弹数服从同一分布, 其数学期望为2, 均方差为1.5. 若各次轰击命中的炮弹数是相互独立的, 求100 次轰击(1)至少命中180发炮弹的概率;(2)命中的炮弹数不到200发的概率.一、林德伯格—莱维中心极限定理解设X k 表示第k 次轰击命中的炮弹数,2()2,() 1.5,1,,100,k k E X D X k ==="相互独立,12100,,,X X X "苏保河主讲设X 表示100 次轰击命中的炮弹数, 由独立同分布的中心极限定理, 例1 解(续1)2()2,() 1.5,k k E X D X ==苏保河主讲1001,k k X X ==∑则2()200,()15,E X D X ==~(200,225).X N 近似地有{180}P X ≥1((180200)/15)Φ≈−−(1.33)Φ=(1)至少命中180发炮弹的概率;1( 1.33)Φ=−−0.9082.=1{180}P X =−<设X 表示100 次轰击命中的炮弹数, 由独立同分布的中心极限定理,例1 解(续2)2()2,() 1.5,k k E X D X ==苏保河主讲1001,k k X X ==∑则()200,()225,E X D X ==2~(200,15).X N 近似地有(2)命中的炮弹数不到200发的概率.{0200}P X ≤<((200200)/15)((0200)/15)ΦΦ≈−−−(0)(13.33)ΦΦ=−−0.5000.=例2检验员逐个检查某产品, 每查一个需用10秒钟. 但有的产品需重复检查一次,再用去10 秒钟. 若产品需重复检查的概率为0.5, 求检验员在8 小时内检查的产品多于1900 个的概率.解在8 小时内检查的产品多于1900 个,即检查1900 个产品所用时间小于8 小时.设X为检查1900 个产品所用的时间(秒),设Xk 为检查第k个产品所用的时间(单位为秒), k= 1, 2, …, 1900.苏保河主讲例3某车间有200 台车床独立地工作,开工率为0.6, 开工时每台耗电为r 千瓦.问供电所至少要供给这个车间多少电力,才能以99.9% 的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产？解设至少要供给该车间a千瓦的电力, X为开工的车床台数, 则X~ B(200, 0.6),由棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理,X~ N(120, 48) (近似),欲求a, 使{0}99.9%.P rX a≤≤=苏保河主讲李雅普诺夫中心极限定理的意义如果随机变量X 可以看成许多相的总和,互独立的起微小作用的因素Xk则X 服从或近似服从正态分布.苏保河主讲苏保河主讲1. 离散型随机变量的数学期望第三章内容小结定义1设X 是离散型随机变量, 其分布律是P {X = x k } = p k (k = 1, 2, …),如果收敛, 定义X 的数学期望1||k k k x p ∞=∑1()k k k E X x p ∞==∑一、数学期望2. 连续型随机变量的数学期望定义2设X 是连续型随机变量,()()d E X x f x x∞−∞=∫收敛, 定义X 的数学期望||()d x f x x ∞−∞∫其密度函数为f (x ), 如果苏保河主讲4. 数学期望的性质1.设C 是常数, 则E (C ) = C .4.设X , Y 独立, 则E (XY ) = E (X )E (Y ).2.若k 是常数, 则E (kX ) = kE (X ).3.E (X 1 + X 2) =E (X 1) + E (X 2).条件: X 1,X 2, …, X n 相互独立.11()().n n i i i i i i E C X C E X ===∑∑推广:11()().n n i i i i E X E X ===∏∏推广:苏保河主讲3. 方差的性质1)设a 是常数, 则D (a ) = 0.2)若a 是常数, 则D (aX ) = a 2D (X ).4)若X 1 与X 2相互独立, 则D (X 1±X 2) = D (X 1) + D (X 2).推广：若X 1, X 2, …, X n 相互独立, 则11[](),n ni i i i D X D X ===∑∑211[]().n n i i i i i i D C X C D X ===∑∑3)若a , b 是常数, 则D (aX + b ) = a 2D (X ).苏保河主讲4. 协方差的定义定义对于二维随机变量(X, Y),称E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} 为X与Y 的协方差, 记为Cov(X, Y), 即Cov(X, Y) = E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}.5. 协方差的计算公式Cov(X,Y)=E(XY)–E(X)E(Y)推论: 若X 与Y 独立, 则Cov(X,Y) = 0.苏保河主讲6. 协方差的性质(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X)(2)Cov(aX,bY)=ab Cov(X,Y), a,b是常数(3)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)苏保河主讲若X 1, X 2, …, X n 两两独立, 则D (X +Y ) = D (X )+D (Y )+2Cov(X , Y )7. 随机变量和的方差与协方差的关系11()().n ni i i i D X D X ===∑∑11()()2Cov(,)n ni i i j i i i j D X D X X X ==<=+∑∑∑苏保河主讲9. 相关系数的性质2)|| 1.XY ρ≤0,XY ρ=1) X 和Y 独立时但其逆不真.定义对于随机变量X , 如果E (X k )( k = 1, 2, …) 存在, 则称它为X 的k 阶原点矩或k 阶矩.10. 矩和中心矩如果E {[X -E (X )]k } ( k = 1, 2, …) 存在, 则称它为X 的k 阶中心矩.苏保河主讲三、切比雪夫不等式与大数定理1. 马尔科夫不等式2. 切比雪夫不等式3. 切比雪夫大数定理4. 独立同分布下的大数定理5. 伯努利大数定理苏保河主讲用X 表示n 重伯努利试验中事件A 出现(成功)的次数, 其分布律称r.v. X 服从参数为n 和p 的二项分布, 注当n = 1 时, 称X 服从参数为p 的伯努利分布，或0-1 分布.1. 二项分布{}(1),k k n k n P X k C p p −==−0,1,,k n ="记作X ~ B (n , p ).苏保河主讲四、几个重要的随机变量苏保河主讲(),()(1).E X np D X np p ==−如果X ~ B (n , p ),结论：{}(1),k k n k n P X k C p p −==−0,1,,,k n ="2. 超几何分布定义将N个元素分为2 类, M个属于第一类, N－M个属于第二类, 从中按不放回抽样随机取n个元素. 令X表示这n 个元素中第一类元素的个数, 则称X服从超几何分布, 记为X h n N M~(,,)苏保河主讲。
中心极限定理几个
中心极限定理几个
中心极限定理是概率论中非常重要的一个定理，它可以帮助我们
理解随机现象背后的规律性。
该定理表明，随机变量的和或均值在一
定条件下，随着随机变量个数的增多，其分布趋近于正态分布，从而
更容易进行概率推断。
其中，最为著名的包括以下几个中心极限定理：
1. 切比雪夫定理：当一个随机变量的期望和方差都存在时，任何
一个k倍于标准差的差异的概率都不会超过1/k^2。
这个定理可以帮助我们衡量随机变量的离散程度，从而更好地理解样本总体的性质。
2. 中心极限定理：对于任意独立随机变量的序列，它们的和在一
定条件下服从正态分布。
这个定理是概率论中最著名的定理之一，它
告诉我们，大多数随机现象都可以用正态分布来近似，这对于实际问
题的解决有着重要意义。
3. 林德伯格-列维定理：对于一组独立同分布的随机变量，均值
的标准化值（即均值与总体均值的差除以标准误差）在一定条件下会
趋向于标准正态分布。
这个定理可以帮助我们通过样本均值来推断总
体的性质，进而做出概率性的决策。
总之，中心极限定理是概率论中最为重要的一个定理之一，从中
我们可以看到随机现象的规律性，这对科学研究和决策的制定都有着
非常重要的意义。
中心极限定理三个公式简单
中心极限定理三个公式简单中心极限定理啊，这可是统计学里一个相当重要的概念。
咱们今儿就来聊聊其中的三个公式，不过在这之前，我先跟您讲讲我之前遇到的一件小事儿。
有一次，我去参加一个集市。
那个集市上有个小游戏，就是扔飞镖扎气球。
摊主设定了一个规则，如果在连续十次投掷中，扎破气球的总数超过某个特定的值，就能得到一个大奖。
我在旁边观察了一会儿，发现参与的人不少，但大多数都没能达到那个标准。
这时候，我就开始琢磨了。
这不就和中心极限定理有点儿关系嘛！每个参与者每次扔飞镖扎破气球的概率其实都不太一样，有的准，有的不太准。
但是当参与的人数多起来，把每个人扎破的气球数加总起来，这个总数的分布就会呈现出一定的规律。
咱们先来说说中心极限定理的第一个公式。
它大致是说，如果从一个总体中抽取样本量为 n 的随机样本，并且当 n 足够大时，样本均值的抽样分布将近似服从正态分布。
这个公式就好像是在告诉我们，尽管单个样本的情况可能千差万别，但当我们把大量的样本平均一下，它们就会变得“听话”，乖乖地符合一定的规律。
比如说一个班级里学生的考试成绩。
每次考试的难度、每个学生的状态都不一样，但是如果我们抽取很多次考试的成绩，计算每次的平均成绩，你就会发现这些平均成绩的分布会接近正态分布。
再来说第二个公式。
它涉及到样本均值的标准差，也就是抽样分布的标准差。
这个公式告诉我们，抽样分布的标准差会随着样本量的增大而减小。
这意味着样本量越大，我们对总体均值的估计就越准确。
还是拿考试成绩来说事儿，如果我们只抽取几个学生的成绩来估计全班的平均成绩，可能误差会比较大。
但如果抽取一大半甚至全班学生的成绩，那估计的误差就会小很多。
最后是第三个公式。
它主要是用于计算样本均值与总体均值之间差异的概率。
通过这个公式，我们可以知道在给定的置信水平下，样本均值与总体均值之间的差距在多大范围内是合理的。
就好比我们要估计全校学生的平均身高，通过抽取一部分学生测量身高，然后利用这个公式，我们就能知道我们估计的全校平均身高有多大的把握是准确的。
中心极限定理及其应用
中心极限定理及其应用中心极限定理（Central Limit Theorem，CLT）是统计学中的一个重要定理，它描述了当随机变量具有一定的条件下，独立同分布的随机变量之和近似服从正态分布的现象。
具体来说，中心极限定理包括以下两个主要形式：1.林德伯格-列维中心极限定理（Lindeberg–Lévy CLT）：对于从任意分布中独立同分布抽取的n个随机变量的和，当n趋于无穷大时，这个和的标准化形式近似服从标准正态分布。
即使原始随机变量不是正态分布，这一定理仍然成立。
2.德梅勒-拉普拉斯中心极限定理（De Moivre–Laplace CLT）：对于二项分布或渐进服从二项分布的离散随机变量，经过适当的标准化处理，当抽样量n趋于无穷大时，其近似服从标准正态分布。
中心极限定理的应用广泛，以下是一些常见的应用场景：1.抽样分布的近似：当抽样量较大时，根据中心极限定理，我们可以使用正态分布来近似描述抽样分布，从而简化计算和推断统计。
2.参数估计与假设检验：中心极限定理可用于估计未知总体分布的参数，并进行统计推断。
例如，使用样本均值的抽样分布的近似可以进行置信区间估计和假设检验。
3.统计模型的诊断与推断：利用中心极限定理，我们可以对统计模型的残差进行正态性检验，以验证模型的合理性，并进行参数估计、模型比较和推断分析。
4.投资与金融分析：中心极限定理可以用于模拟股票价格、利率等金融变量的分布，从而帮助分析风险、定价衍生品等。
总之，中心极限定理是统计学中非常重要和有用的一个定理，它为我们提供了一种近似描述随机变量和抽样分布的方法，广泛应用于统计推断、参数估计、模型诊断和金融分析等领域。
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解：记 V V1 V2 V20 , EVk 5, DVk 100 /12, k 1, 2,, 20.
由中心极限定理， 所求概率为
P{ V
105 }
P
V -205
105-205
20 100 /12 20 100 /12
n
Vk - n
k 1
N (0,1)
n
1 (0.387) 0.348.
中心极限定理
3. 应用举例
例为21千车瓦间，有问2供00电台所车至床少，要它供们给独这立个地车工间P作{多a着少，X电开力b工}才率能为以0b.96n9,pn.开9qp%工的时概耗 率a电n保pn各qp
证这个车间正常生产.
解：记某时刻工作着的车床数为 X，则 X ~ B( 200, 0.6 ).
设至少要供给这个车间 r 千瓦电才能以99.9%的概率保证正常生产.
由题意有 P{ 0 X r } 0.999, 由德莫佛-拉普拉斯定理有
P{0 X r } (r 120) (17.32) ( r 120) 0.999
48
48
查表得 (r 120) / 48 3.1, r 141.
k 1
y
若
lim
n
Fn
(
y)
1 et2 /2dt.
2即Yn N(来自0, 1 ), n .则称 { Xn } 满足中心极限定理.
{ Xn } 满足的条件？
中心极限定理
2. 中心极限定理
定理1 （独立同分布的中心极限定理）
设X1 , X2 , … , Xn , …相互独立且同分布，且 EXn , 2 DXn.
练习
1. 系统由100个相互独立起作用的部件组成，每个部件的损坏率为0.1. 系统要正常工作，至少有85个部件正常工作，求系统正常工作的概率。
答案：0.952 2. 今从良种率为1/6的种子中任取6000粒，问能以0.99的概率保证在这 6000粒种子中良种所占的比例与1/6的差的绝对值不超过多少？相应的 良种粒数在哪个范围内？ 答案： 1）0.0124；2）[925, 1075]
中心极限定理
引言
在概率论的早期研究中，学者们发现，正态分布广泛存在于自然界及工程 问题中, 这也是正态分布广泛受到应用工作者及理论研究者关注的原因.
许多测量量的概率分布都可以用正态分布来描述. 测量一个量时，由于在测量过程中，会受到许多微弱随机因素的影 响，这些因素的作用是微小的，时隐时现的，其综合作用的结果导 致观测量服从正态分布.
n
Xk - n
k 1
N (0,1)
n
则 { Xn } 满足中心极限定理， 所以定理结论成立.
中心极限定理
推论：设 X ~ B ( n, p )，则当 n 很大时，近似的有
X N( np, npq ) 1）二项分布的近似计算
X np N(0,1) npq
P(a X
b)
b
np npq
则 { Xn } 满足中心极限定理. 中心极限定理说明了正态分布的重要地位，
即 lim n
n
Xk - n
P k1
x
它也是统计学中处理大样本时的重要工具。 x 1 et2 /2dt (x).
n
2
n
注：当 n 很大时，近似的有
Xk - n
k 1
N (0,1) 或
n
X k N (n, n 2 )
休息，休息一下！
k 1
k 1
n
D(Xk )
k 1
~ N (0,1)
这就是中心极限定理所阐述的内容.
中心极限定理
1. 中心极限定理的定义
设随机变量序列X1 , X2 , … , Xn , … 相互独立，且 EXk，DXk 存在 , 记
n
n
Xk - E(Xk)
Yn
k 1 n
k 1
.
D(Xk )
Yn 的分布函数为 Fn ( y ).
中心极限定理
这里反映了什么样的客观统计规律呢？ 测量结果 X = μ + X1+ X2 + …+ Xn + …
μ : 待测量量的真实值， Xk : 第 k 个随机因素的影响.
前 n 个随机因素的综合影响: X1+ X2 + …+ Xn 近似服从正态分布. 即 n 很大时，近似的有
n
n
Xk - E(X k )
n
k 1
中心极限定理
2. 中心极限定理
定理2 （德莫佛-拉普拉斯定理）
设 X ~ B ( n, p ) ，则 lim P{ X np x } x 1 et2/2dt (x)
n
npq
2
n
证明： X Xi.
i 1
1, Xi 0.
A 发生， A 发生.
i 1, 2,, n.
显然 X1 , X2 , … , Xn 相互独立，都服从相同的两点分布.
a
np npq
2）频率估计概率的误差概率近似计算
记 nA = X
P
nA n
p
P
X
np
n
2
n pq
1
中心极限定理
3. 应用举例
例1 一加法器同时收到20个噪声电压，Vk (k 1, 2,, 20)，设它们是互相独 立的随机变量，且都在区间(0,10)上服从均匀分布，求噪声电压之和大于