第六章 大定律与中心极限定理习题
大数定律及中心极限定理应用题
大数定律与中心极限定理 应用题1． 设各零件质量都是随机变量，且独立同分布，其数学期望为0.5kg ，标准差为 0.1kg, 问（ 1）5000 只零件的总质量超过 2510kg 的概率是多少？ (2)如果用一辆载重汽车运输这 5000 只零件，至少载重量是多少才能使不超重的概率大于 0.975？解 设第 i 只零件重为 X i ， i1,2,...,500 ，则 EX i 0.5 ， DX i 0.125 0 0设XX i ，则 X 是这些零件的总重量i1EX0.5 50002500 ， DX0.125000 50a由中心极限定理X 2500~ N (0, 1)50（1） P(X2510) = P( X 2500 2510 2500 )50501 0 (1 0.9213=0.0787 2 ) =(2) 设 汽车载重量为 a 吨P( Xa) = P(X2500 a 2500 )0 (a 2500) 0.95505050查表得a2500 1.6450计算得 a 2511.59因此汽车载重量不能低于 2512 公斤 2． 有一批建筑房屋用的木柱，其中 80%的长度不小于 3m ，先从这批木柱中随机的取 100 根，求其中至少有 30 根短于 3m 的概率？ 解设 X 是长度小于 3m 的木柱根数，则 X ~ b(100, 0.2)a由中心极限定理X ~ N (20, 16)P( X30) =P(X20 30 20)161610 (2.5) =1 0.9938 =0.00623． 一个食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一种蛋糕的价格是随机变量，它取 1 元， 1.2 元， 1.5 元的概率分别为 0.3， 0.2，0.5.若售出 300 只蛋糕，（1）求收入至少 400 元的概率 （2）售价为 1.2 元蛋糕售出多于 60 只的概率。
解 设第 i 只蛋糕的价格为 X i ， i 1,2,...,300 ，则 X i 有分布律：X i1 1.2 1.5P0.30.20．5由此得E( X i ) 1.29E( X i 2 ) 1.713故 D( X i )EX i 2( EX i )20.0489300（ 1） 设 X 是这一天的总收入，则 XX ii 1300EXEX i300 1.29i 1300DXDX i300 0.0489i 1a由中心极限定理X ~ N(300 1.29, 300 0.0489)P( X400) = P(X300 1.29 400 300 1.29)300 0.0489300 0.04891 0 (3.39) =1 0.9997 =0.0003（ 2） 以 Y 记 300 只蛋糕中售价为 1.2 元的蛋糕只数，于是 Y ~ b(300,0.2)Y 300 0.2 a~ N ( 0,1)300 0.2 0.8P(Y 60) = PY 300 0.2 60 6010 (0) 0.53000.2 0.8484.设某种商品第 n 天的价格为 Yn ，令 Xn=Yn+1-Yn ，Xn 独立同分布， 且 Xn 期望是 0，方差是 2，若该商品第一天价格是 100，则第 19 天价格在 96 到 104 之间的概率是多少？解：X 1 Y 2 Y 1， X 2 Y 3 Y 2，X 3 Y 4 Y 3，X n Y n 1 Yn18所以X n Y19Y1Y19100n1181818E X n0 ， D X n DX n36n 1n 1n 1由中心极限定理，P 96Y19104P Y19100418181818X n E X n4= P X n E X n4P n1n 166n 1n 1221=0.497235.（ 10）一枚均匀硬币至少要抛多少次，才能使正面出现的频率与概率之间的差的绝对值不小于 0.05 的概率不超过 0.01？请分别用（1）切比雪夫不等式，与（2）中心极限定理给出估计。
第六大数定律与中心极限定理演示文稿
100
（2）在100次抽取中, 数码“0”出现次数为 Xk k 1 由中心极限定理,
100
100
Xk E(Xk )
k 1
k 1
100
D( Xk )
k 1
近似地
~
其中E(Xk)=0.1, D(Xk)=0.09
100
X k 10 近似地
即 k1 3
n
Xk n
的分布函数FnY(xn )对k于1 任n意 x满足
1 x
t2
lim
n
Fn
(
x
)
e 2 dt ( x)
2
第14页，共33页。
n
Xk n
k 1
~ N (0,1)
n 近似
n
X
k
~
近似
N
(n
,
n
2
)
k 1
1
n
n
Xk
k 1
/ n
~ N (0,1)
近似
X
1 n
n k 1
Xk
~ N(, 2
例1 设电站供电网有10000盏灯，夜晚每一盏灯开灯的概
率是0.7，假定开、关时间彼此独立，估计夜晚同时开着
的灯数在6800与7200之间的概率
解 设X表示在夜晚同时开着的灯的数目，它服从参数 为n=10000,p=0.7的二项分布，则有
7199
P(6800 X 7200)
Ck 10000
0.7k
lim
n
P{|
Yn
a
|
}
1
则称随机变量序列Y1,Y2 ,, Yn, , 依概率收敛于a．
定义2 设X1，X2，，Xn， 是一随机变量序列
大数定律和中心极限定理例题与解析
在大量随机选取的人群中测量身高, 这些身高的平均值将接近正 态分布, 这也是中心极限定理的一个应用实例。
中心极限定理的应用
概率论与统计学
中心极限定理是概率论和统计学中的基本原理 之一, 用于研究随机变量的分布和统计推断。
金融领域
中心极限定理在金融领域中也有广泛应用, 例如在资 产定价、风险管理和投资组合优化等方面。
例题一解析
要点一
题目
一个班级有30名学生, 每个学生随机选择一个1-100之间的整 数。求这30个随机数的平均数大于50的概率。
要点二
解析
首先, 根据大数定律, 当试验次数足够多时, 随机数的算术平 均值趋近于期望值。在本题中, 每个随机数的期望值是50, 因 此30个随机数的平均数期望值是50。其次, 根据中心极限定 理, 当试验次数足够多时, 随机变量的算术平均值的分布趋近 于正态分布。因此, 这30个随机数的平均数大于50的概率可 以通过正态分布的概率密度函数计算得出。
大数定律的实例
抛硬币实验
如果我们抛硬币1000次，虽然单次抛 硬币的结果是随机的，但当我们计算 正面朝上的频率时，会发现这个频Βιβλιοθήκη 会逐渐趋近于50%。生日悖论
在一个有30人的房间里，存在一定概 率两个人生日相同，这个概率随着人 数的增加而趋近于100%。
大数定律的应用
概率论与统计学
大数定律是概率论和统计学中的 基本原理, 用于估计概率和预测未 来的随机事件。
例题三解析
题目
一个彩票公司发行了100万张彩票, 每张彩票都有一个独立 的随机数生成器生成的一个随机数。求至少有1张彩票的随 机数小于1的概率。
解析
首先, 根据大数定律, 当试验次数足够多时, 随机数的频率趋 近于概率。在本题中, 每张彩票的随机数小于1的概率是 1/100（即每张彩票生成的随机数小于1的概率是固定的）。 其次, 根据中心极限定理, 当试验次数足够多时, 随机变量的 独立同分布的随机变量和的分布趋近于正态分布。因此, 这 100万张彩票中至少有1张彩票的随机数小于1的概率可以 通过正态分布的概率密度函数计算得出。
概率论-大数定律和中心极限定理习题和例题
有关大数定律习题选讲
5.5 设{ X n }是独立同分布的随机变量序列，且假设E[ X n ] 2, Var[ X n ] 6, 证明：
解： 依题意，显然有， {X n }是一个独立同分布的随机变量序列，只要存在 有限的公共数学期望，则{X n }的算术平均值依概率收敛于其公共数学期 望，由于X i 服从[5,53]上的均匀分布，所以E[ X i ] (53 5) / 2 29, i 1, 2, , n
1 n 所以，当n 时，n 次服务时间的算术平均值 X i以概率1收敛于29 （分钟）. n i 1
P k1 n k2 P k1 0.5 n k2 0.5
k2 0.5 np k1 0.5 np np(1 p) np(1 p)
我们这门课对修正不做要求
中心极限定理的应用例题补充
二、给定 n 和概率，求 x
补充例4
有200台独立工作(工作的概率为0.7)的机床， 每台机床工作时需15kw电力. 问共需多少电力, 才可 有95%的可能性保证供电充足?
又记Y=X1+X2+…+X200，则 E[Y]=140，Var[Y]=42. 设供电量为x, 供电充足即为15Y≤x，则从
解：用 Xi=1表示第i台机床正常工作, 反之记为Xi=0.
2 2 2 Y X X X X X X X k 1 2 3 4 5 6 3 n 2 X 3 n 1 X 3 n k 1 n
中心极限定理例题
中心极限定理例题引言中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它描述了在一定条件下，大量独立同分布随机变量的和的分布会趋近于高斯分布，即正态分布。
这个定理在统计学中有着广泛的应用。
本文将通过几个例题来说明中心极限定理的应用和推导过程。
例题1假设有一个质量为1 kg的物体，在连续3次抛掷中，每次都以同样的力量抛出，求这3次抛掷的总共落地位置与平均落地位置之间的差距。
解：设第一次、第二次和第三次抛掷的落地位置分别为X1, X2和X3，平均落地位置为X。
由题意可知，X1, X2和X3是独立同分布的随机变量，且服从均值为0，方差为1的标准正态分布。
根据中心极限定理，当独立随机变量的数量足够大时，他们的和呈现出正态分布的特点。
因此，3次抛掷的总共落地位置可以表示为：Sum = X1 + X2 + X3根据中心极限定理，我们可以得到：Sum ～ N(0, 3)所以，总共落地位置与平均落地位置之间的差距可以表示为：Difference = Sum - 3 * X根据正态分布的性质，我们知道均值为0的正态分布减去均值为μ的正态分布的期望值为0，即：E[Difference] = E[Sum - 3 * X] = E[Sum] - E[3 * X] = 0 - 0 = 0所以，总共落地位置与平均落地位置之间的差距的期望值为0。
这意味着平均而言，总共落地位置与平均落地位置没有偏移。
例题2某超市每天出售的可乐数量服从均值为1000，标准差为10的正态分布。
今天超市售出的可乐数量为2000瓶，求今天超市售出的可乐数量与平均值之间的差距。
解：设今天超市售出的可乐数量为X，平均值为X。
由题意可知，X服从均值为1000，标准差为10的正态分布。
根据中心极限定理，当独立随机变量的数量足够大时，他们的和呈现出正态分布的特点。
我们知道，每天超市售出的可乐数量与平均值之间的差距可以表示为：Difference = X - X根据正态分布的性质，我们知道均值为μ的正态分布减去均值为μ的正态分布的期望值为0，即：E[Difference] = E[X - X] = 0所以，今天超市售出的可乐数量与平均值之间的差距的期望值为0。
大数定律与中心极限定理习题
第六章 大数定律与中心极限定理习题一、 填空题1．设n ξ是n 次独立试验中事件A 出现的次数，P 为A 在每次试验中出现的概率，则对任意的0>ε,有=≥-)(εξp n P n。
2．设随机变量ξ，E ξ＝μ,D ξ＝2σ，则≥<-)2(σμξP 。
3．设随机变量ξ的方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计≤≥-)2(ξξE P 。
4．在概率论里，把研究在什么条件下，大量独立随机变量和的分布以 为极限这一类定理称为中心极限定理.5．将一枚硬币连掷100次，则出现正面的次数大于60的概率约为 。
6．在天平上重复称量一重为a 的物体,假设各次称重结果相互独立且同服从正态分布)2.0,(2a N ，若以n X 表示n 次称重结果的算术平均值，则为使95.0)1.0(≥<-a X P n ,n 的最小值应不小于自然数 。
二、选择题1．设随机变量ξ服从参数为n ，p 的二项分布,则当∞→n 时，≈<<)(b a P ξ（ )。
(A ）)()(a b Φ+Φ （B ）)()(00a b Φ+Φ （C))()(a b Φ-Φ （D ）1)(20-Φb2．设ξ为服从参数为n ，p 的二项分布的随机变量，则当∞→n 时，npq np-ξ一定服从（ ）。
(A)正态分布。
( B)标准正态分布。
（C ）普哇松分布。
( D ）二项分布。
三、计算题1.对敌人的防御地段进行100次射击，每次射击中，炮弹命中数的数学期望为2，而命中数的均方差为1。
5，求当射击100次时，有180颗到220颗炮弹命中目标的概率。
2.计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为最接近于它的整数)，设所有的取整误差是相互独立的，且它们都在（－0.5，0。
5)上服从均匀分布。
（1）若将1500个数相加,问误差总和的绝对值超过15的概率是多少?(2）多少个数加在一起时的误差总和的绝对值小于10的概率为0.90？3。
已知某工厂生产一大批无线电元件，合格品占61，某商店从该厂任意选购6000个这种元件，问在这6000个元件中合格品的比例与61之差小于1％的概率是多少？ 4.一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重50千克,标准差为5千克，若用最大载重量为5吨的汽车承运，试用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0。
中心极限定理考试题及答案
中心极限定理考试题及答案# 中心极限定理考试题及答案## 一、选择题1. 中心极限定理描述的是：- A. 样本均值的分布- B. 样本方差的分布- C. 总体均值的分布- D. 总体方差的分布答案：A2. 在中心极限定理中，随着样本容量的增加，样本均值的分布将趋近于：- A. 正态分布- B. 均匀分布- C. 指数分布- D. 二项分布答案：A3. 中心极限定理适用于：- A. 任何总体分布- B. 正态分布的总体- C. 均匀分布的总体- D. 仅指数分布的总体答案：A## 二、简答题1. 简述中心极限定理的主要内容。
答案：中心极限定理是统计学中的一个重要定理，它指出，如果从总体中抽取足够大的随机样本，无论总体分布如何，样本均值的分布都将趋近于正态分布。
这一定理在实际应用中非常重要，因为它允许我们使用正态分布的性质来估计样本均值的分布，即使我们对总体的分布知之甚少。
2. 中心极限定理为什么在实际应用中非常有用？答案：中心极限定理在实际应用中非常有用，因为它允许我们对样本统计量进行推断，即使我们对总体的分布一无所知。
这在很多情况下是非常有用的，比如在质量控制、经济数据分析等领域，我们往往只能获得有限的样本数据，而无法获得总体数据。
通过中心极限定理，我们可以对样本均值进行估计，并计算其置信区间。
## 三、计算题1. 假设一个总体的均值为μ，标准差为σ，从这个总体中随机抽取了容量为n的样本。
如果样本均值的样本量足够大，样本均值的分布将趋近于什么分布？请给出其均值和标准差。
答案：如果样本容量足够大，样本均值的分布将趋近于正态分布。
其均值等于总体均值μ，标准差等于总体标准差σ除以样本容量n的平方根，即σ/√n。
2. 给定一个总体，其均值为100，标准差为15。
从这个总体中随机抽取了100个样本，计算样本均值的标准误差。
答案：样本均值的标准误差是总体标准差除以样本容量的平方根。
在这个例子中，样本均值的标准误差为15/√100 = 1.5。
大数定律与中心极限定理 定义与例题
三、典型例题
一加法器同时收到 例1 20 个噪声电压 Vk ( k 1 , 2 , 20 ), 设它们是相互独立的随 且都在区间 ( 0 ,10 ) 上服从均匀分布 机变量 , ,记 V
k 1
20
Vk ,
求 P { V 105 } 的近似值 .
解 E (V k ) 5 ,
解：对每台车床的观察作为一次试验，
每次试验观察该台车床在某时刻是否工作， 工作的概率为0.6，共进行200次试验. 用X表示在某时刻工作着的车床数， 依题意， X~B(200,0.6), 设应供应N千瓦电力,现在的问题是：求满足 P(X≤N)≥0.999 的最小的N.
由德莫佛-拉普拉斯极限定理
X np np(1 p)
i1
n
Xi
n
1
n
EX i
i1
0.
切比雪夫不等式
如 果 随 机 变 量 X的 数 学 期 望 EX 和 方 差 DX 存 在 , 则 对于任一正数, 都有 P
X EX
DX
2
证 明 ： 对 于 任 给 正 数 , 由 切 比 雪 夫 不 等 式 ,有 1 D n
i1
n
Xi
n
1
n
EX i
i1
0.
辛钦大数定律
设 随 机 变 量 X 1 , X 2 , , X n , 独 立 同 分 布 , 且 数 学 期 望 存 在 ,则 对 于 任 意 0, 有 1 li m P n n
i1
n
X i 0.
例1 判 断 下 列 说 法 的 对 错 , 并 简 述 理 由 : (1 ) 设 随 机 变 量 X 1 , X 2 , , X n , 独 立 同 具 有 密 度 f ( x ), 则 序 列 X 1 , X 2 , , X n , 满 足 辛 钦 大 数 定 律 . ( 2 ) 设 随 机 变 量 X 1 , X 2 , , X n , 独 立 同 服 从 参 数 为 的 泊 松 分 布 , 则 X 1 , 2 X 2 , , n X n , 满 足 切 比 雪 夫 大 数 定 律 .
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第六章 大数定律与中心极限定理习题
一、 填空题
1．设n ξ是n 次独立试验中事件A 出现的次数，P 为A 在每次试验中出现的概率，则对任意的0>ε，有=≥-)(εξp n P n。
2．设随机变量ξ，E ξ＝μ，D ξ＝2σ，则≥<-)2(σμξP 。
3．设随机变量ξ的方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计≤≥-)2(ξξE P 。
4．在概率论里，把研究在什么条件下，大量独立随机变量和的分布以 为极限这一类定理称为中心极限定理。
5．将一枚硬币连掷100次，则出现正面的次数大于60的概率约为 。
6．在天平上重复称量一重为a 的物体，假设各次称重结果相互独立且同服从正态分布)2.0,(2a N ，若以n X 表示n 次称重结果的算术平均值，则为使95.0)1.0(≥<-a X P n ，n 的最小值应不小于自然数 。
二、选择题
1．设随机变量ξ服从参数为n ，p 的二项分布，则当∞→n 时，≈<<)(b a P ξ（ ）。
(A))()(a b Φ+Φ (B))()(00a b Φ+Φ (C))()(a b Φ-Φ (D)1)(20-Φb
2．设ξ为服从参数为n ，p 的二项分布的随机变量，则当∞→n 时，npq np
-ξ一定服从
（ ）。
(A)正态分布。
( B)标准正态分布。
(C)普哇松分布。
( D)二项分布。
三、计算题
1.对敌人的防御地段进行100次射击，每次射击中，炮弹命中数的数学期望为2，而命中数的均方差为1.5，求当射击100次时，有180颗到220颗炮弹命中目标的概率。
2.计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为最接近于它的整数），设所有的取整误差是相互独立的，且它们都在（－0.5，0.5）上服从均匀分布。
（1）若将1500个数相加，问误
差总和的绝对值超过15的概率是多少？（2）多少个数加在一起时的误差总和的绝对值小于10的概率为0.90？
3.已知某工厂生产一大批无线电元件，合格品占
61，某商店从该厂任意选购6000个这种元件，问在这6000个元件中合格品的比例与6
1之差小于1％的概率是多少？ 4.一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重50千克，标准差为5千克，若用最大载重量为5吨的汽车承运，试用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.9770？
5.某工厂有400台同类机器，各台机器发生故障的概率都是0.02。
假设各台机器工作是相互独立的，试求机器出故障的台数不少于2的概率。
6.某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔占20％，以ξ表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数。
求被盗索赔户不少于14户切不多于30户的概率的近似值。
7.一个复杂的系统，由n 个相互独立的部件所组成每个部件的可靠性位0.90，且在整个运行期间，至少需要80％部件工作，才能使整个系统正常工作。
问n 至少为多大时才能使系统的可靠度（即系统正常工作的概率）为0.95。
8.设k ξ（k ＝1，2，…，50）是相互独立的随机变量，且都服从参数为λ＝0.03的普哇松分布，记∑==501k k ξ
η，试利用中心极限定理计算)3(≥ηP 。
9.设电路供电网中有10000盏灯，夜晚每一盏灯开着的概率都是0.7，假定各灯开、关事件彼此无关，计算同时开着的灯数在6800与7200之间的概率。
10.若某产品的不合格率为0.005，任取10000件，问不合格品不多于70件的概率等于多少？
11.某商店负责供应某地区10000人商品，某种商品在一段时间内每人需用一间的概率为0.6，假定在这一段时间内各人购买与否彼此无关，问商店应预备多少件这种商品，才能以99.7％的概率保证不会脱销（假定该商品在某一段时间内每人最多可以买一件）。