中心极限定理的发展
概率论中的极限理论发展
概率论中的极限理论发展概率论是数学中的一个重要分支，研究的是随机事件的发生概率及其规律。
而在概率论的发展历程中，极限理论是其中的一块核心内容。
本文将系统地介绍概率论中的极限理论的发展。
一、大数定律的提出与发展大数定律是概率论中的基础定理之一，它揭示了随机事件的频率稳定性。
其中最早的大数定律要追溯到17世纪，由法国数学家雅各布·伯努利提出。
他证明了当事件重复进行时，事件发生的频率将会稳定在一个固定的概率上。
这个定律对概率论的发展起到了重要的推动作用。
随着时间的推移，不同的数学家对大数定律进行了深入研究，并提出了多个版本的大数定律。
例如，俄国数学家切比雪夫于1867年提出了切比雪夫大数定律，它是大数定律的一个重要推广。
切比雪夫大数定律给出了依概率收敛的条件，并且包含了伯努利大数定律作为特例。
二、中心极限定理的发现与演变中心极限定理是概率论中另一个重要的理论成果，它描述了随机变量序列和近似正态分布之间的关系。
最早的中心极限定理要追溯到18世纪，由法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯提出。
他证明了一类随机变量序列的和服从正态分布，这个发现对于统计学的发展产生了深远的影响。
随着时间的推移，中心极限定理得到了广泛的发展和推广。
20世纪初，列维首次给出了广义中心极限定理，将其推广到了独立非同分布变量的和的情况。
此后，众多学者对中心极限定理进行了进一步的研究，提出了不同的版本和推论，从而丰富了概率论的理论体系。
三、大数定律与中心极限定理的关系大数定律和中心极限定理是概率论中两个相互关联的理论。
从某种程度上来说，大数定律是中心极限定理的一个重要推论。
大数定律表明，当事件重复进行时，随着事件次数的增加，事件发生的频率将会稳定在其概率上。
而中心极限定理则说明，当随机变量序列的个数足够多时，这些随机变量的和近似服从正态分布。
大数定律和中心极限定理的发展为统计学和概率论的相互应用提供了基础。
通过这些理论，我们可以更好地理解和分析复杂的随机现象，为实际问题的解决提供了有效的方法和工具。
第四章 大数定律与中心极限定理
第四章大数定律与中心极限定理第一节大数定律一、历史简介概率论历史上第一个极限定理属于贝努里,后人称之为“大数定律”.1733年,德莫佛——拉普拉斯在分布的极限定理方面走出了根本性的一步,证明了时二项分布的极限分布是正态分布.拉普拉斯改进了他的证明并把二项分布推广为更一般的分布.1900年,李雅普诺夫进一步推广了他们的结论,并创立了特征函数法.这类分布极限问题是当时概率论研究的中心问题,卜里耶为之命名“中心极限定理”.20世纪初,主要探讨使中心极限定理成立的最广泛的条件,二三十年代的林德贝尔格条件和费勒条件是独立随机变量序列情形下的显著进展.在第一章已经指出,随机事件在大量重复试验中呈现明显的统计规律性,即一个事件在大量重复试验中出现的频率具有稳定性.这种稳定性的提法应该说是什么形式? 贝努里是第一个研究这一问题的数学家.他于是1713年首先提出后人称之为“大数定律”的极限定理.二、大数定律定理1(贝努里大数定律) 设是重贝努里试验中事件出现的次数,是事件在每次试验中出现的概率,则对任意的,有证明:令表示在第次试验中出现的次数.若第次试验中出现,则令;若若第次试验中不出现,则令.由贝努里试验定义,是个相互独立的随机变量,且而于是由契比晓夫不等式有又由独立性知道有从而有这就证明了定理1.若是随机变量序列,如果存在常数列,使得对任意的,有成立,则称随机变量序列服从大数定律.定理2(契比晓夫大数定律) 设是一列两两不相关的随机变量,又设它们的方差有界,即存在常数,使有则对于任意的,有证明:利用契比晓夫不等式,有因为是一列两两不相关的随机变量,它们的方差有界,即可得到从而有从而定理2得证.[例1] 设为独立同分布的随机变量,均服从参数为的普哇松分布.由以往的讨论知道,,因而满足定理2的要求,则由定理2 的结论可知定理3(马尔科夫大数定律) 对于随机变量序列,若有则有证明:利用契比晓夫不等式,有由假设知,右端趋于1,于是于是定理3得证.一般称条件为马尔科夫条件.定理4(辛钦大数定律) 设是独立同分布的随机变量序列,且有有限的数学期望,则对于任意的,有上式也可表示为或,并且称依概率收敛于.三、大数定律的应用[例2] 抛掷一枚均匀的骰子,为了至少有0.95的把握使出现六点的概率与之差不超过0.01,问需要抛掷多少次?解:由契比晓夫不等式,有令,其中,则.即至少需要抛掷27778次才能至少有0.95的把握使出现六点的概率与之差不超过0.01[例3] (蒙特卡洛方法求积分) 计算.解:任取一列相互独立的都具有上均匀分布的随机变量,则也是一列相互独立且具有相同分布的随机变量,而因此,.为求,自然想到大数定律:这样一来,只要能生成随机变量序列,就能计算积分.现在借助计算机,产生上的随机数,然后通过大数定律,算出,最后由算出.这就是一种新的计算方法:概率计算方法,也称蒙特卡洛方法.[例4] 设随机变量序列的方差一致有界,即,且当时, 与的相关系数,证明服从大数定律.证明:因为由题设知,任给,存在当时,.这表明,在共有个中,绝对值超过的元素不多于个,其余的个元素的绝对值不超过,故有由于可任意小,故马尔科夫条件成立,所以服从大数定律.[例5] 设相互独立且,.证明服从大数定律.证明:因为,故故马尔科夫条件成立,所以服从大数定律.[例6] 设相互独立且分别具有以下分布,试确定是否满足马尔科夫条件.(1)(2)(3)解:(1)易知.由于故不满足马尔科夫条件.(2) 易知.由于故不满足马尔科夫条件.(3) 易知.由于注意到,故满足马尔科夫条件. [例7] 设相互独立且分别具有以下分布:(1)的分布函数为(2)(3) 的密度函数为(4)问是否满足大数定律.解:(1)因为,这是柯西分布,它的数学期望不存在,因此,不满足大数定律.(2)因为,由辛钦大数定律,知满足大数定律.(3)因为是奇函数,故.由辛钦大数定律,知满足大数定律.(4)而,故级数收敛,满足大数定律.作业:P221 EX 19,24,25,26。
中心极限定理的原著
中心极限定理并没有一个单一的原著，因为它是由多位数学家在不同的时期提出和证明的。
中心极限定理的基本思想是，对于任意分布的独立随机变量，它们的和趋近于正态分布。
这个理论是统计学中非常重要的一部分，广泛应用于概率论和统计学中。
有两个主要的中心极限定理：林德贝格-列维中心极限定理（Lyapunov Central Limit Theorem）和杰拉德-布朗中心极限定理（Lindeberg-Levy Central Limit Theorem）。
这两个定理都为不同的随机变量集合提供了极限分布的性质。
1. 林德贝格-列维中心极限定理：提出者是俄国数学家切比雪夫（Chebyshev），后来由俄国数学家林德贝格（Lyapunov）和法国数学家列维（Levy）独立地发展和证明。
它基本上表述了对于独立同分布的随机变量序列，它们的和在适当的条件下趋近于正态分布。
2. 杰拉德-布朗中心极限定理：这个定理是根据瑞士数学家杰拉德（Lindeberg）和法国数学家布朗（Levy）的工作而得名。
该定理更为弱化，它指出只要序列中的随机变量具有有限的均值和方差，并且序列中的方差趋于零，那么和的分布趋近于正态分布。
这些中心极限定理对于理解随机现象的规律以及在统计学和概率论中的应用非常重要。
中心极限定理
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中心极限定理课件
期值来检验总体的假设。
在金融数学中的应用
1 2
资产收益率分估投资组合的风险。
风险评估
中心极限定理可以用来评估投资组合的风险，通 过计算资产收益率的方差和相关性。
3
资本资产定价模型（CAPM）
中心极限定理是资本资产定价模型的基础，用于 评估资产的预期收益率和风险。
详细描述
当独立同分布的随机变量数量趋于无 穷时，这些随机变量的平均值的分布 趋近于正态分布，不论这些随机变量 的分布本身是什么。
弱收敛和依概率收敛
总结词
这是中心极限定理的两种收敛方式，弱收敛强调的是分布函数之间的收敛，而依概率收敛则关注事件发生的概率 。
详细描述
弱收敛是指当独立同分布的随机变量数量趋于无穷时，这些随机变量的平均值的分布函数趋近于正态分布函数。 依概率收敛则是指当独立同分布的随机变量数量趋于无穷时，这些随机变量的平均值以概率1趋近于某个常数。
05 中心极限定理的扩展和展 望
中心极限定理的推广和改进
推广到多元分布
将中心极限定理从一元分布推广到多元分布，研究多维随机变量 的分布性质。
考虑非独立随机变量
研究非独立随机变量的中心极限定理，探索它们之间的依赖关系对 极限分布的影响。
考虑不同收敛速度
研究不同收敛速度下的中心极限定理，以更准确地描述随机变量的 分布特性。
资产配置。
人口统计学
中心极限定理用于研究人口增长、 人口普查数据的分布等，帮助科学 家了解人口变化的规律。
生物学和医学
中心极限定理用于研究生物变异、 遗传基因频率的变化以及医学中的 临床试验和流行病学调查等。
02 中心极限定理的数学表述
独立同分布的中心极限定理
总结词
中心极限定理含义及背景
中心极限定理含义及背景
中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它描述了当独立随机变量之和趋向于无穷大时，其分布将逐渐接近于正态分布的现象。
背景：
中心极限定理最早由法国数学家拉普拉斯在1810年左右提出，但其概念和思想始于18世纪的
普遍研究。
在此之前，人们普遍认为大数定律只适用于确切发生概率大于0的事件，而对于连
续的随机变量分布则不能套用大数定律进行研究。
然而中心极限定理的出现打破了这种思维定式。
它告诉我们，即使随机变量之间没有严格的关联，它们的和的分布趋于正态分布。
这个定理极大地推动了概率论的发展，为统计学提供了强大的工具。
含义：
中心极限定理的含义是，对于独立同分布的随机变量，它们的和的分布（或均值的分布）将近似服从正态分布，尤其是当样本容量足够大时。
换句话说，当我们把多个随机变量进行求和，其结果的分布逐渐趋近于正态分布。
中心极限定理的重要性在于，正态分布具有许多重要的性质。
具体来说，正态分布对称且钟形，可以用数学上的公式来精确描述，这使得我们可以通过正态分布来近似描述和计算其他复杂的随机现象。
因此，中心极限定理被广泛应用于统计推断、假设检验和置信区间等统计学的领域。
它使得我们能够通过样本数据来了解总体分布，并做出相应的推断和决策。
中心极限定理历史演变过程
中心极限定理历史演变过程
中心极限定理是概率论中的一项重要成果，它指出，在一定条件下，大量独立同分布的随机变量的算术平均值的分布会逼近于正态分布。
中心极限定理的演变过程如下：
1. 1713年：雅各布·贝努利提出贝努利大数定律，该定律指出，独立重复试验的结果平均值会趋近于其期望值。
2. 1733年：亚伯拉罕·德·摩瓦尔扩展了贝努利大数定律，提出
了中心极限定理的初步形式，他认为大量独立的随机变量之和将近似于正态分布。
3. 1810年：皮埃尔·西蒙·拉普拉斯对中心极限定理进行了深入
研究，并提出了一个更加精确的定理，即拉普拉斯中心极限定理。
他通过将连续函数近似为多项式，推导出了正态分布的密度函数。
4. 1860年：阿希尔·约翰·林德勒夫证明了中心极限定理的另一
种形式，即林德勒夫中心极限定理。
他证明了随机变量的平均值，经过适当的标准化，收敛到标准正态分布。
5. 1920年代：哈罗德·霍普金斯扩展了中心极限定理的应用范围，提出了多元中心极限定理，适用于多维随机变量的和的情况。
中心极限定理的历史演变过程，经过了数百年的研究与发展。
从最初的贝努利大数定律到拉普拉斯和林德勒夫提出的更加精
确的定理，中心极限定理不断得到完善和扩展，成为现代概率论中的重要基石之一。
中心极限定理公式
中心极限定理公式
中心极限定理，又被称为中央极限定理，它是数学统计的基本原
理之一。
它指出，当样本量大到一定程度时，任何总体随机变量的抽
样分布极其接近于正态分布。
也就是说，无论任何一个总体变量本身
的分布，有足够多的形状和类型，通过大量（抽样）的实践，这些总
体变量的抽样分布的形状都会收敛到正态分布。
说白了就是，随机变
量的平均分布是正态分布，即数量多少用正态分布表示。
中心极限定理为所有类型的统计学分析提供了支撑，使我们能够
对变量的抽样分布作出正确的判断，让统计学研究更加准确、靠谱。
中心极限定理有时也可以用来解决不佳的实验设计和数据分析所造成
的偏差，从最基本的假设出发，采取中心极限定理来处理不理想的数据，以减少准确性的偏差。
中心极限定理的研究和应用已有很多年了，其研究历史从古希腊
数学家尼古拉斯凯撒开始，发展到现代，中心极限定理已经成为支撑
和推动大量实验设计和统计分析研究工作的重要理论。
中心极限定理是统计推断和定理的基础，其理论引用范围极广，
经常会在各种统计学考试中出现。
因此，如何好好掌握中心极限定理，熟练运用它以正确求解考试中的问题，是通过统计学的资格考试的必
要条件之一。
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中心极限定理的创立和发展
1141010113 万帅
关键词：中心极限定理，创立，严格证明，新的发展，三阶段。
引言：这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量近似服从正态分布的条件。
该定理为人们用正态分布来描述和解决大量的概率问题提供了坚实的理论基础。
中心极限定理，是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理。
这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量近似服从正态分布的条件。
该定理为人们用正态分布来描述和解决大量的概率问题提供了坚实的理论基础。
“中心极限定理”这一名称的来源有两种说法。
波利亚认为这个定理十分重要，在概率论中具有中心地位，所以他加上了“中心”这一名称，于1920年引入这一术语。
另一种说法是，现代法国概率论学派认为极限定理描述了分布函数中心的情况，而不是尾部的情况。
历史上有不少数学家对中心极限定理的研究做出了贡献。
中心极限定理的发展主要分为三个阶段。
创立阶段：1733-----1853年
人们通常认为，法国数学家隶莫弗在1733年首次证明了，二项发布近似正态分布。
然而，当时正态发布的概念，隶莫弗并不知道自己本质上证明了“中心极限定理”
法国数学家拉普拉斯写了很多论文，想推广棣莫弗的工作。
他意识到需要一种新的数学技巧，并在1785年成功地发明了这个技巧：特征函数的简单形式和反演公式。
拉普拉斯把他的两个主要研究方向结合起来得到了这个方法-----母函数和积分的监禁展开。
通过把母函数中的t换成it e ，就得到了特征函数。
然而，直到1810年他才发表了特征函数与反演公示的一般理论，并证明了中心极限定理。
他之所以推迟到1810年，有一种解释是，从1786年开始，他就专注于《天体力学》的写作，这本书1805年才完成。
1810年，拉普拉斯证明了中心极限定理，先是服从均匀发布的连续随机变量的情形，接着是服从任意分布的随机变量。
拉普拉斯的证明显然对独立有界的随机变量和成立，证明过程使用了现在所谓的特征函数，或傅里叶变换，即itXEe(t为实数）。
在1812年，他先后考虑了对称的、离散的均匀分布，对称的连续分布，任意分布情形。
最后，拉普拉斯在他的名著《概率的分析理论》中对任意的p证明了如下中心极限定理：【1】
泊松完善和推广了拉普拉斯关于中心极限定理的证明。
在所有考虑的情况里，都假设随机变量是独立的。
泊松证明了服从相同分布的随机变量的情况，还推广到服从不同分布的随机变量的情况。
1824年，泊松证明了连续随机变量的中心极限定理，并给出了三个反例，其中包括服从柯西分布的随机变量和，这时中心极限定理不成立。
受当时传统的影响，泊松没有明确阐明中心极限定理成立的条件。
但是，从他的证明和例子中，可以看到，他假设每个变量的方差都是有界的，且不等于零。
其他数学家也做了这方面工作，比如贝塞尔和柯西。
拉普拉斯等人给出证明的前提假设是，和的分布是有限的，因此所有的矩都存在。
他们把结果推广到无限情形，但没有给出证明，并隐含假定了矩的存在。
以现在的观点来看，只要沿着拉普拉斯的方向继续下去，法国数学家们是可以给出中心极限定理的严格证明的，比如柯西，他知道特征函数和稳定率。
从当时环境来看，大约1870年代，概率学家还处于心理上的劣势，苦于自己的研究领
域被其他数学家视为一门数学科学，他们的同行不能理解，为什么标准的数学术语还不够，为什么古老的概念被重新命名为“随机变量”和“期望”。
而且，概率书里充满了非数学的概念：骰子、赌场、甲乙等人。
另外，从下面博雷尔的一段话，也可以反观那时一些概率学家对中心极限定理的具体看法。
博雷尔是继庞加莱之后法国的领袖概率学家，他曾在1924年和1950年表达了这样的观点：通过拉普拉斯理论获得的结果，似乎对维持它们所需的分析而作出的努力没有什么意义.....它可能能证明某些定理，但是不会有什么价值，因为，事实上人们无法证明假设是否满足。
可以说，法国数学家的大部分研究被同代人所忽略，直到20世纪才被重新发现
严格证明阶段：1887---1910
俄国数学家切比雪夫受到布拉什曼的影响，对概率论产生了兴趣，后来接替布尼亚可夫斯基在圣彼得堡大学讲授概率论。
1866年切比雪夫发表了《论平均数》，讨论了作为大数定律极限值的平均数问题。
1884年，他的学生马尔可夫对矩方法所涉及的切比雪夫不等式给出了证明之后，切比雪夫于1887年发表了《概率论中的两个定理》，开始对随机变量和收敛到正态分布的条件即中心极限定理进行讨论，给出一般随机变量的切比雪夫定理。
这个定理的叙述是不完全正确，而且切比雪夫用“矩法”给出的证明也不完善，他只证明了随机变量的各阶原点矩的极限是标准正态随机变量的相应的原点矩，并未进而说明随机变量的分布函数确实以标准正态分布函数为极限。
不完善之处首先被马尔可夫注意到。
马尔可夫在
《的解》一文中，对切比雪夫提出的命题给出了精确的陈述与证明，文中所使用的改进后的矩方法后来被人成为“切比雪夫---马尔可夫矩方法”。
[2] 1900年前后，马尔可夫的校友李雅普诺夫引入了特征函数来考察中心极限定理，从而避免了矩方法要求高阶矩存在的苛刻条件，并为之一定理进一步精确化准备了条件。
1901年李雅普诺夫把马尔可夫定理的条件大为减弱，并证明了李雅普诺夫定理。
这个定理要求随机变量必须是独立的，但是不必有相同的分布，还要求随机变量（加绝对值）具有某阶的矩，矩的增长速度受李雅普诺夫条件的限制。
李雅普诺夫在证明中利用了特征函数。
从此之后，特征函数成为研究极限定理的强有力的工具
新的发展：1919年以后
【1】拉普拉斯.《概率的分析理论》【M】1995年版.人民教育出版社。
马尔可夫.《概率演算》[M]1993年版.机械工业出版社。