拉普拉斯中心极限定理公式
中心极限定理
N −120 −120 N −120 ≈Φ −Φ ≈Φ 48 48 48
N −120 由 Φ : ≥ 0.999, 48
N−120 − 查正态分布函数表得: Φ 查正态分布函数表得 (3.1) = 0.999, 故 , ： ≥ 3.1
: ,由 而 X = ∑Xk ,由 理可 随 变 : 定 , 知 机 量
k=1 近 地 似
400
概率论
X
400
~ N(400×1.1,400×0.19)
k
∑X
有 即 :
k=1
−400×1.1
400 0.19
X −400×0.8近似地 01 ) = ~ N（ ， 400 0.19
X −400×0.8 450−400×0.8 是 于 :P{X > 450 = P } > 400 0.19 400 0.19 X −400×0.8 =1− P ≤1.147 400 0.19
一 学 无 长 1名 长 2名 长 参 会 的 率 别 : 设 个 生 家 、 家 、 家 来 加 议 概 分 为 0.05、 、 若 校 有 名 生 0.8 0.15. 学 共 400 学 , 各 生 加 议 家 数 互 立 服 同 分 . 设 学 参 会 的 长 相 独 ,且 从 一 布
1 ） 参 会 的 长 X 过 的 率 （ 求 加 议 家 数 超 450 概 ； （ 求 1 家 来 加 议 学 数 多 的 率 2 ） 有 名 长 参 会 的 生 不 340 概 .
2) 独 同 布 心 限 理 另 种 式 写 : 立 分 中 极 定 的 一 形 可 为
似 近 地 似 σ2 X −µ 近 地 1 n 中 ~ N(0,1); X ~ Nµ, n , 其 X = n∑Xk . σ n k=1
拉普拉斯中心极限定理公式
拉普拉斯中心极限定理公式拉普拉斯中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它探讨了随机变量和正态分布之间的关系。
该定理为计算概率提供了一个有效的途径，下面将对拉普拉斯中心极限定理的公式及相关参考内容进行介绍。
拉普拉斯中心极限定理的公式是：P(a ≤ X ≤ b) ≈ Φ((b-μ)/σ) - Φ((a-μ)/σ)其中，Φ代表标准正态分布的累积分布函数，X代表随机变量，a和b分别是随机变量X的上下界，μ是X的期望值，σ是X的标准差。
这个公式的含义是，随机变量X的取值在区间[a, b]内的概率约等于标准正态分布在区间[(a-μ)/σ, (b-μ)/σ]内的概率。
为了更好地理解和应用拉普拉斯中心极限定理，可以参考以下内容：1. 概率论教材：概率论教材是学习拉普拉斯中心极限定理的基础，其中会详细介绍该定理的证明过程和相关概念。
例如，《概率论与数理统计》（吴喜之、徐锡麟著）等教材可以提供相关内容的学习参考。
2. 概率论相关论文：在概率论领域的学术论文中，通常会对拉普拉斯中心极限定理进行更深入的研究和探讨。
阅读这些论文可以了解到该定理的应用场景、证明方法以及相关的数学推导。
如《Central limit theorem for dependent variables》（BuldyginV.V., Goncharov V.M.）等论文可以提供更深入的学术理解。
3. 统计学课程材料：拉普拉斯中心极限定理在统计学中的应用十分广泛，学习相关统计学知识能够更好地理解和应用该定理。
例如，学习相关统计学课程中的教材和课件，如《数理统计学教程》（吕士杰、房建华著）等，可以提供详细的解释和案例。
4. 数学论坛和社区：在数学论坛和社区中，有很多热心的数学爱好者和专家可以与您分享关于拉普拉斯中心极限定理的知识和经验。
通过与他们的交流和讨论，可以加深对该定理的理解和应用。
例如，在数学交流平台Math Stack Exchange中，可以搜索相关问题并阅读专家的回答。
中心极限定理
概率论与数理统计第四章正态分布§13 中心极限定理暨南大学电气信息学院苏保河主讲第四章正态分布§13 中心极限定理主要内容一、林德伯格—莱维中心极限定理二、棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理三、李雅普诺夫中心极限定理暨南大学电气信息学院苏保河主讲例1炮火轰击敌方防御工事100 次, 每次轰击命中的炮弹数服从同一分布, 其数学期望为2, 均方差为1.5. 若各次轰击命中的炮弹数是相互独立的, 求100 次轰击(1)至少命中180发炮弹的概率;(2)命中的炮弹数不到200发的概率.一、林德伯格—莱维中心极限定理解设X k 表示第k 次轰击命中的炮弹数,2()2,() 1.5,1,,100,k k E X D X k ==="相互独立,12100,,,X X X "苏保河主讲设X 表示100 次轰击命中的炮弹数, 由独立同分布的中心极限定理, 例1 解(续1)2()2,() 1.5,k k E X D X ==苏保河主讲1001,k k X X ==∑则2()200,()15,E X D X ==~(200,225).X N 近似地有{180}P X ≥1((180200)/15)Φ≈−−(1.33)Φ=(1)至少命中180发炮弹的概率;1( 1.33)Φ=−−0.9082.=1{180}P X =−<设X 表示100 次轰击命中的炮弹数, 由独立同分布的中心极限定理,例1 解(续2)2()2,() 1.5,k k E X D X ==苏保河主讲1001,k k X X ==∑则()200,()225,E X D X ==2~(200,15).X N 近似地有(2)命中的炮弹数不到200发的概率.{0200}P X ≤<((200200)/15)((0200)/15)ΦΦ≈−−−(0)(13.33)ΦΦ=−−0.5000.=例2检验员逐个检查某产品, 每查一个需用10秒钟. 但有的产品需重复检查一次,再用去10 秒钟. 若产品需重复检查的概率为0.5, 求检验员在8 小时内检查的产品多于1900 个的概率.解在8 小时内检查的产品多于1900 个,即检查1900 个产品所用时间小于8 小时.设X为检查1900 个产品所用的时间(秒),设Xk 为检查第k个产品所用的时间(单位为秒), k= 1, 2, …, 1900.苏保河主讲例3某车间有200 台车床独立地工作,开工率为0.6, 开工时每台耗电为r 千瓦.问供电所至少要供给这个车间多少电力,才能以99.9% 的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产？解设至少要供给该车间a千瓦的电力, X为开工的车床台数, 则X~ B(200, 0.6),由棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理,X~ N(120, 48) (近似),欲求a, 使{0}99.9%.P rX a≤≤=苏保河主讲李雅普诺夫中心极限定理的意义如果随机变量X 可以看成许多相的总和,互独立的起微小作用的因素Xk则X 服从或近似服从正态分布.苏保河主讲苏保河主讲1. 离散型随机变量的数学期望第三章内容小结定义1设X 是离散型随机变量, 其分布律是P {X = x k } = p k (k = 1, 2, …),如果收敛, 定义X 的数学期望1||k k k x p ∞=∑1()k k k E X x p ∞==∑一、数学期望2. 连续型随机变量的数学期望定义2设X 是连续型随机变量,()()d E X x f x x∞−∞=∫收敛, 定义X 的数学期望||()d x f x x ∞−∞∫其密度函数为f (x ), 如果苏保河主讲4. 数学期望的性质1.设C 是常数, 则E (C ) = C .4.设X , Y 独立, 则E (XY ) = E (X )E (Y ).2.若k 是常数, 则E (kX ) = kE (X ).3.E (X 1 + X 2) =E (X 1) + E (X 2).条件: X 1,X 2, …, X n 相互独立.11()().n n i i i i i i E C X C E X ===∑∑推广:11()().n n i i i i E X E X ===∏∏推广:苏保河主讲3. 方差的性质1)设a 是常数, 则D (a ) = 0.2)若a 是常数, 则D (aX ) = a 2D (X ).4)若X 1 与X 2相互独立, 则D (X 1±X 2) = D (X 1) + D (X 2).推广：若X 1, X 2, …, X n 相互独立, 则11[](),n ni i i i D X D X ===∑∑211[]().n n i i i i i i D C X C D X ===∑∑3)若a , b 是常数, 则D (aX + b ) = a 2D (X ).苏保河主讲4. 协方差的定义定义对于二维随机变量(X, Y),称E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} 为X与Y 的协方差, 记为Cov(X, Y), 即Cov(X, Y) = E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}.5. 协方差的计算公式Cov(X,Y)=E(XY)–E(X)E(Y)推论: 若X 与Y 独立, 则Cov(X,Y) = 0.苏保河主讲6. 协方差的性质(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X)(2)Cov(aX,bY)=ab Cov(X,Y), a,b是常数(3)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)苏保河主讲若X 1, X 2, …, X n 两两独立, 则D (X +Y ) = D (X )+D (Y )+2Cov(X , Y )7. 随机变量和的方差与协方差的关系11()().n ni i i i D X D X ===∑∑11()()2Cov(,)n ni i i j i i i j D X D X X X ==<=+∑∑∑苏保河主讲9. 相关系数的性质2)|| 1.XY ρ≤0,XY ρ=1) X 和Y 独立时但其逆不真.定义对于随机变量X , 如果E (X k )( k = 1, 2, …) 存在, 则称它为X 的k 阶原点矩或k 阶矩.10. 矩和中心矩如果E {[X -E (X )]k } ( k = 1, 2, …) 存在, 则称它为X 的k 阶中心矩.苏保河主讲三、切比雪夫不等式与大数定理1. 马尔科夫不等式2. 切比雪夫不等式3. 切比雪夫大数定理4. 独立同分布下的大数定理5. 伯努利大数定理苏保河主讲用X 表示n 重伯努利试验中事件A 出现(成功)的次数, 其分布律称r.v. X 服从参数为n 和p 的二项分布, 注当n = 1 时, 称X 服从参数为p 的伯努利分布，或0-1 分布.1. 二项分布{}(1),k k n k n P X k C p p −==−0,1,,k n ="记作X ~ B (n , p ).苏保河主讲四、几个重要的随机变量苏保河主讲(),()(1).E X np D X np p ==−如果X ~ B (n , p ),结论：{}(1),k k n k n P X k C p p −==−0,1,,,k n ="2. 超几何分布定义将N个元素分为2 类, M个属于第一类, N－M个属于第二类, 从中按不放回抽样随机取n个元素. 令X表示这n 个元素中第一类元素的个数, 则称X服从超几何分布, 记为X h n N M~(,,)苏保河主讲。
拉普拉斯中心极限定理公式(一)
拉普拉斯中心极限定理公式(一)拉普拉斯中心极限定理公式什么是拉普拉斯中心极限定理拉普拉斯中心极限定理（Laplace’s Central Limit Theorem）是概率论中的一个重要定理，它表明当独立随机变量的数量趋向于无穷大时，它们的和近似服从一个高斯分布（即正态分布）。
这个定理在统计学和概率论的应用非常广泛，它的公式可以用于研究和解释各种随机现象。
拉普拉斯中心极限定理公式根据拉普拉斯中心极限定理，当独立随机变量的数量趋向于无穷大时，这些独立随机变量的和的分布可以用以下公式来近似表示：[公式](这里，[公式]( 是标准正态分布的累积概率函数。
示例解释假设有一个硬币，抛掷一次正面的概率为，反面的概率也为。
我们现在抛掷这个硬币1000次，正面出现的次数记作随机变量X。
根据二项分布的性质，我们知道当n足够大时，X近似服从一个均值为n p，方差为n p*(1-p) 的正态分布。
根据拉普拉斯中心极限定理，当n足够大时，X也近似服从一个均值为n p，方差为n p*(1-p) 的正态分布。
我们可以利用这个定理来计算在这1000次抛掷中正面出现的次数在一个特定区间的概率。
假设我们想要计算正面出现次数在480到520之间的概率。
根据拉普拉斯中心极限定理的公式，我们可以将问题转化为计算正态分布的累积概率。
具体计算步骤如下：1.计算标准差（方差的平方根）：[公式](2.将上下限值转化为标准差单位的形式：[公式]( 和 [公式](3.利用正态分布的累积概率函数计算区间概率：[公式](所以，在1000次抛掷中，正面出现次数在480到520之间的概率约为。
通过以上的示例，我们可以看到拉普拉斯中心极限定理对于大量独立随机变量和的分布近似为正态分布的重要性，以及其在实际问题中的应用。
中心极限定理
= Φ (1.83) = 0.966
练习：237页1、2
3、李雅普诺夫（独立不同分布） 、
设随机变量 X 1 , X 2 ,L, X n ,L相互独立 , 它 们具有数学期望 和方差： 和方差： E ( X k ) = µ k , D( X k ) = σ k ≠ 0 ( k = 1,2,L),
2 n
中心极限定理
林德贝格—勒维（独立同分布定理） 棣莫弗—拉普拉斯（二项分布的正态近似） 李雅普诺夫（独立不同分布）
一.依分布收敛
为随机变量序列， 为随机变量， 设{Xn}为随机变量序列，X为随机变量，其 对应的分布函数分别为F 若在F(x) 对应的分布函数分别为Fn(x), F(x). 若在F(x) 的连续点， 的连续点，有 则称{F (x)}弱收敛于 弱收敛于F(x). 则称{Fn(x)}弱收敛于F(x). 可记为
由中心极限定理, 由中心极限定理,结论得证
记
2 2 Bn = ∑ σ k , k =1
若存在正数 δ , 使得当 n → ∞ 时, 1
2 Bn +δ
E {| X k − µ k |2+δ } → 0, ∑
k =1
n
则随机变量之和的标准化变量 n n n n ∑ X k − E ∑ X k ∑ X k − ∑ µk k =1 = k =1 k =1 Z n = k =1 Bn n D ∑ X k k =1 的分布函数 Fn ( x ) 对于任意 x 满足 n n ∑ X k − ∑ µk k =1 k =1 lim Fn ( x ) = lim P ≤ x n→ ∞ n→ ∞ Bn 2 t x 1 −2 e dt = Φ ( x ). =∫ −∞ 2π
第二节 中心极限定理
1
t2
e 2 dt Φ( x) .
n np(1 p)
2
该定理表明,当 n 时,二项分布以正态分布
为极限分布.
实际应用中,若随机变量X ~ B(n, p) ,只要 n 充
分大,即有
~ X 近似地 N(np, npq)，或
即有近似计算公式
~ X np 近似地 N(0,1)， npq
观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随 机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中 所起的作用不大. 则这种量一般都服从或近似服从 正态分布.
4
中心极限定理，正是从理论上证明，对于大 量的独立随机变量来说，只要每个随机变量在总 和中所占比重很小，那么不论其中各个随机变量 的分布函数是什么形状，也不论它们是已知还是 未知，而它们的和的分布函数必然和正态分布函 数很近似。这就是为什么实际中遇到的随机变量 很多都服从正态分布的原因，也正因如此，正态 分布在概率论和数理统计中占有极其重要的地位。
[1 Φ(1.34)] 2 0.1802．
12
~ Sn
12 /
n
近
似
地
N
(0,
1)
,
(2) 数据个数n应满足条件：
P{| Sn | 10 } P
| Sn | n / 12
10
0.90
,
n / 12
即 2Φ( 10 ) 1 0.90 , Φ( 10 ) 0.95 ,
P{40 X 60} Φ( 60 50) Φ( 40 50)
47.5
47.5
2Φ(1.45) 1 0.853 .
注 由切比雪夫不等式,
5-2中心极限定理
ab EX i 0 2
(b a) 2 1 DX i 12 3
1．设 X 1 , X 2 ,, X n 独立同分布，且 X i (i 1, 2,, n) 服从参数为 的指数分布， 则下列各式成立的是（ ）
n Xi n lim P i 1 x ( x) n n
一、问题的引入
• 例如对某物的长度进行测量, 在测量时有许 多随机因素影响测量的结果.如温度和湿度等
因素对测量仪器的影响, 使测量产生误差X1;
测量者观察时视线所产生的误差X2; 测量者心
理和生理上的变化产生的测量误差X3; …显然
这些误差是微小的、随机的, 而且相互没有影 响. 测量的总误差是上述各个因素产生的误差 之和, 即∑Xi .
n Xi n x ( x) ( A ) lim P i 1 n n n Xi i 1 x ( x) (D) lim P n n
(B)
依分布收敛
林德伯格-列维 中心极限定理
辛钦大数定律
德莫佛-拉普拉斯 中心极限定理
n
的分布函数 Fn ( x ) 对于任意 x 满足
n t2 X k n k 1 x 1 e 2 dt ( x ). lim Fn ( x ) lim P x 2π n n n 上述定理表明:
1 (8.78) 0
2. 棣莫佛－拉普拉斯中心极限定理
二项分布的正态近似
设 X ~ B n, p (0 p 1)的, 则 对于任意 x, 恒有 X np x 1 lim P x e dt ( x). n np(1 p) 2π
5-2中心极限定理
故近似地有
查表得
6000 6000 1 / 6 5 / 6
2.58,
0.0124 .
中心极限定理
§5.2 中心极限定理
李雅普诺夫定理 独立同分布的中心极限定理
德莫佛-拉普拉斯定理
1
中心极限定理
一、中心极限定理 李雅普诺夫(Liapunov)定理
设有独立的随机变量序列X1,X2，…,Xn…, 且有有限
的期望 E( X k ) k，D( X k ) k 0, (k 1,2,)，
V - 20 5 105 - 20 5 P{V 105} P 2 2 20 10 / 12 20 10 / 12 V - 100 P 0.387 1 (0.387) 0.348 20 (10 / 12 )
9
中心极限定理
r 120 ( ) 0.999, 48
r - 120 48 3. 1 ,
所以 r 141.
查表得
即供给141千瓦电就能以99.9%的概率保证这个车 间正常生产。
10
中心极限定理
例2 今从良种率为1/6的种子中任取6000粒，问能以0.99 的概率保证在这6000粒种子中良种所占的比例与1/6的 差的绝对值不超过多少？相应的良种粒数在哪个范围内？ 解 设良种数为X，则X~B(6000,1/6) 设不超过的界限为α，则有 德莫佛-拉普拉斯定理
2
二项分布即可以用帕松分布近似代替，也可用正态 说明 当p很小，n很大时用帕松分布近似代替，p不太 分布近似代替，如何选择？ 接近0或1，n又较大时用此推论计算有关二项分布的
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拉普拉斯中心极限定理公式
拉普拉斯中心极限定理是概率论中一个重要的定理，它在统计学、自然科学及工程学等众多领域有着广泛的应用。
在这篇文章中，我们
将详细介绍拉普拉斯中心极限定理的公式以及其意义。
拉普拉斯中心极限定理公式表达如下：
设X1、X2、…、Xn是独立同分布的随机变量，它们的和
Y=X1+X2+…+Xn符合特定的概率分布，若E(Xi)=μ，Var(Xi)=σ²，则
当n趋向于无穷时，标准化后的随机变量(Z_n)的分布趋近于标准正态
分布，即
lim(n→∞) P((Y-nμ)/σ√n ≤ z) = Φ(z)，其中Φ(z)表示标准正态分布的累积分布函数。
这个公式为什么如此重要呢？我们来看一个具体的实例。
假设我们有一个大班级，班级中有n=1000位学生。
我们对于每位
学生的身高进行测量，并且假设这些学生的身高是独立同分布的。
我
们想知道所有学生的平均身高在统计学上的分布情况。
根据拉普拉斯中心极限定理，我们可以将所有学生的身高求和，
并将其标准化后得到一组标准化分布。
通过该定理，我们可以判断这
个标准化的分布是接近于标准正态分布的。
因此，我们可以使用标准
正态分布的性质来计算出各种概率。
例如，我们可以得知在这个班级中，身高高于平均身高1个标准差的学生约占总人数的68%。
这个定理的意义在于，它告诉了我们在满足一定条件下，随机变
量的和的分布趋于正态分布。
这为我们在实际问题中的概率计算提供
了便利。
这也是为什么正态分布在统计学中的地位如此重要。
通过拉
普拉斯中心极限定理，我们可以将现实生活中各种复杂的问题转化为
标准正态分布的问题，从而得到精确的概率计算结果。
需要注意的是，在使用拉普拉斯中心极限定理时，要求满足一定
条件，例如独立同分布和随机变量的期望和方差等。
只有在这些条件下，才能保证定理的有效性。
总结起来，拉普拉斯中心极限定理为我们提供了一个重要的工具，能够将各种随机变量的和转化为标准正态分布的问题，从而使概率计
算变得更加简单。
通过理解并运用该定理，我们在实际问题的处理中
能够更加准确地进行概率分析，为决策提供科学依据。
相信通过不断
学习与实践，我们能够更好地利用这一定理为科学研究和社会发展做
出贡献。