高考数学复习第五章 数列 第一节数列的概念与简单表示方法

和
2.数列的表示方法 (1)表示方法：
列表法
图象法
an 列表格表达n与__的对应关系
(n,an) 把点______画在平面直角坐标系中
公式 把数列的通项使用_____表达的方法
通项
公 式 法 公式
递推
公式
使用初始值a1和an+1=f(an)或a1,a2和
an+1=f(an,an-1)等表达数列的方法
an=_________.
【思路点拨】(1)即an+1-an=2n，采用叠加的方法.
(2)即 a n 1 2 n ，采用叠乘的方法.
an
(3)采用两端凑常数的方法转化为等比数列.
【规范解答】(1)由于an+1-an=2n，故a2-a1=2×1,a3-a2=2×2,
„，an-an-1=2×(n-1),将这n-1个等式叠加得an-a1=
2 4 8 16 32 64
【思路点拨】(1)正负相间可以使用(-1)n进行控制，只要再找
出数列1，7，13，19，„的项的规律即可. (2)小数点后数字的位数可以使用 1 n 控制，只要找出数列
10
8,88,888，„的组成规律即可. (3)分别找出分子分母的组成规律.
【规范解答】(1)符号可通过(-1)n表示，后面的数的绝对值
1.已知数列
3 5 7 9 a b ， ， ， , , „，根据前三项给出 2 4 6 a b 10
的规律，则实数对(a,b)可能是( (A)(19,3) (C)(19 , 3 )
2 2
)
(B)(19,-3) (D) (19 , 3 )
2
2 【解析】选C.由a-b=8,a+b=11解得 a = 19 ,b = 3 . 2 2
【变式训练】根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公 式： (1)3,5,7,9，„. (2) 1 , 3 , 7 ,15 , 31 ， „.
2 4 8 16 32 2 3 4
(3) 1, 3 , 1 , 3 , 1 , 3 ,„.
5 6
【解析】(1)各项减去1后为正偶数,∴an=2n+1.
n 个a
9
方法二： = a×10 aa …a
n个a
n 个9 n -1
9
+ a×10n -2 + … + a×10 + a， 根据等
9
比数列的求和公式即得结果为 a (10n - 1).
(2)0.a,0.aa,0.aaa,0.aaa a,„，其中1≤a≤9,a∈N*.
解决方法同(1)，
n个a 实际上 0.aa … a = aa … a = a (1 - 1 ). 9 10 n 10 n n个a
【解析】(1)错误.不是所有的数列的第n项都能使用公式表达. (2)正确.根据数列的前几项归纳出的数列通项公式可以有多个. (3)错误.如已知an+2=an+1+2an，则只要知道任意连续两项都可 以确定这个数列.
(4)正确.根据数列的前n项和的定义可知.
答案:(1)× (2)√ (3)× (4)√
(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21，22，23，
24，„.
2n - 1 ∴ an = . n 2
(3)各项负正相间，故通项公式中含有因式(-1)n，各项绝对值
的分母组成数列{n},分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项
为3，即奇数项为2-1，偶数项为2+1.
2 + (-1)n ∴ an = (-1) . n
2
1 3 22 24 原数列化为 - 2 - 3 ， - 3 ， 2 - 3 ， - 3 ， „， 1 2 3 4
2 2n - 3 ∴ a = (-1)n . n n 2
2
2
2
【拓展提升】部分特殊数列的通项公式 (1)a,aa,aaa,a aaa,„，其中1≤a≤9,a∈N*. 方法一：aa … a = a ×99 … 9 = a (10 n - 1)；
2.已知数列{an}的通项公式为an=log2(n2+7),则5是该数列的
(
(A)第3项 (B)第4项
)
(C)第5项
(D)第6项
【解析】选C.令log2(n2+7)=5，则n2+7=25=32, ∴n2=25，由n∈N*得n=5.
3.数列{an}中，a1=1，对所有的n∈N*，都有a1a2a3„an=n2，
第五章
数 列
第一节 数列的概念与简单表示法
1.数列的有关概念 概念 数列 数列的项 每一个数 数列中的_________ 含义 一定顺序 按照_________排列的一列数
数列的通项 数列{an}的第n项an叫做数列的通项
通项公式
前n项和
数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式 an=f(n) _______表达，这个公式叫做数列的通项公式 a1+a2+„+an 数列{an}中，Sn= ___________叫做数列的前n项
(3)a,b,a,b，„，其中a≠b. 解决的方法是使用均值进行调整，a + b + a - b = a,
2 2 a+b a- b 故a,b,a,b,„，即 a + b + a - b , = b， 2 2 2 2 a + b a - b a + b a - b a + b a - b „， , + , , 2 2 2 2 2 2 所以数列的通项为 a = a + b - (-1)n a - b . n 2 2
an+1>a ∀n∈N*，______n
an+1<a ∀n∈N*，______n an+1=a ∀n∈N*，______n 从第2项起，有些项大于它的前一项， 有些项小于它的前一项的数列 ∀n∈N*，存在正整数常数k，an+k＝an
4.an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn，
S1 __，n=1， 则a n = S -S n n-1 _______，n 2.
∴an=2an-2an-1, ∴an=2an-1, ∴ an = 2,
an-1
∴{an}是首项为1，公比为2的等比数列， 可得an=2n-1,n∈N*. 答案:2n-1，n∈N*
考向 1
由数列的前几项归纳数列的通项公式
【典例1】根据数列的前几项，写出下列各数列的一个 通项公式： (1)-1,7,-13,19,„. (2)0.8,0.88,0.888,„. (3) 1 , 1 , 5 ,13 , 29 , 61 , „.
(2)数列的函数特征：上面数列的三种表示方法也是函数的表 示方法，数列可以看作是定义域为正整数集(或它的有限子集
{1，2，„，n})的函数an=f(n),当自变量由小到大依次取值时
函数值 所对应的一列_______. 有穷 无穷 (3)按照项数对数列分类：_____数列、_____数列.
3.数列的性质 递增数列 递减数列 单调性 常数列 摆动数列 周期性
(C) ( 2 )n 1
3
【思路点拨】(1)直接根据a8=S8-S7求出即可.
(2)根据∀n∈N*，都有an+1=Sn+1-Sn，把Sn=2an+1化为Sn+1,Sn之间 的关系，求出数列{Sn}的通项.
【规范解答】(1)选A.a8=S8-S7=64-49=15.
(2)选B.因为an+1=Sn+1-Sn,所以由Sn=2an+1得，Sn=2(Sn+1-Sn)，整 理得3Sn=2Sn+1，所以 Sn +1 = 3 ， 所以数列{Sn}是以S1=a1=1为首 项，q = 3 为公比的等比数列，所以 S = ( 3 )n -1， 故选B. n
则a3+a5=(
(A) 25
9
)
(B) 25
16
(C)
31 15
(D) 61
16
【解析】选D.当n≥2时，可得a1a2a3„an-1=(n-1)2，再由
a1a2a3„an
a3 a5
=n2可得，
n2 将n=3和n=5代入， an ， 2 (n 1)
9 25 61 . 4 16 16
4.已知数列{an}的前n项和Sn=2n-3，则数列{an}的通项公式是 ________. 【解析】当n=1时，a1=S1=-1；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-1.故数 列{an}的通项公式是 an = 答案: an = -1,n = 1, n -1
2 -1,n = 1,
总比前面的数的绝对值大6，故通项公式为an=(-1)n(6n-5).
(2)数列变为 8 (1-0.1), 8 (1-0.01), 8 (1-0.001),„,
9 ∴an= 8 (1 - 1 ). 9 10n 9 9
(3)各项的分母分别为21，22，23，24，„，易看出第2，3，4
项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为 - 2 - 3 .
2[1+2+„+(n-1)]=n(n-1)，故an=n2-n+2.
(2)由于 a n 1 2 n ， 故 a2 = 21 , a3 = 22 ,… , an = 2n -1， 将这n-1个
2 2
Sn 2
【互动探究】(1)若典例2题(1)中，结论改为求an，如何求解？ (2)若典例2题(2)中，结论改为求an，如何求解？ 【解析】(1)当n=1时，a1=S1=1；当n≥2时，an=Sn-Sn-1= n2-(n-1)2=2n-1，n=1时适合这个公式.所以an=2n-1.
(2)根据原题的结果 S = ( 3 )n -1 . 当n=1时，a1=1；当n≥2时， n