常用分布的数学期望及方差
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常见分布的数学期望和方差
E( X
2)
n k0
k 2Ckn
pkqnk
n
np
k 1
k
(k
(n 1)! 1)!(n
k )!
p k 1q n k
n np (k
k 1
1) (k
(n 1)! 1)!(n
k )!
pk1q nk
n k 1
(k
(n 1)! 1)!(n
k )!
pk1q nk
np[(n 1) p 1]，
EX 2 4 ，试求 a 和 b（ a b ）．
解 DX EX 2 (EX )2 3 ；
ab 2
(b a)2 12
EX 1， DX 3
；
a b 2， b a 6 ；
a 2， b 4 .
因此 X 在区间[2,4] 上均匀分布．
21
第21页
例3 假设随机变量 X 和 Y 相互独立，且都在区间(0,1) 上 均匀分布，试求随机变量 Z X Y 的数学期望．
0.90 .
12
第12页
二、常见持续型分布旳数学盼望和方差
1. 均匀分布 X ~ U (a, b) .
1
f
(
x)
b
a
,
a xb
0 , 其它
b1
E( X ) xf ( x)dx x dx
a ba
1 b2 a2 a b .
ba 2
2
13
第13页
二、常见持续型分布旳数学盼望和方差
望 与
指数 分布
f
(
x)
e x
0,
,
x0 else
( 0)
p
npab 2 1源自pqnpq(b a)2 12 1
常用分布的数学期望及方差
( x − µ )2 2σ 2
−
t2 2
dt , (
x−µ
σ
= t)
=
σ
2π
∫ te
t2 − 2
dt +
∞
µ 2π
∫e
t2 − 2
dt = µ
−
DX = E ( X − µ ) =
2
=
σ2 =− te 2π
σ t 2π −∞
∞
∫
2 2
t2 − e 2
t2 − 2
−∞
∫ (x − µ)
σ
2 ∞
2
1 2π σ
且 X 1 ,L , X n 独立，令 X = X 1 + L + X n ，则 X 的可能 取值为 0,1,…n，
P{ X = k } = C nk p k q n − k , k = 0 , L , n
EX = ∑ EX i = np ， DX = ∑ DX i = npq,
i =1 i =1 n n
n
= n ( n − 1) p 2 ∑
n! n! = p ( k − 1) p k −1 q n − k + p p k −1 q n − k ( k − 1)! ( n − k )! ( k − 1)! ( n − k )! k =1 k =1
∑
∑
n
( n − 2)! p k − 2 q n − 2 − ( k − 2 ) + np k = 2 ( k − 2)!( n − 2 − ( k − 2))!
泊 分 3． 松 布
设 X 服从参数为λ泊松分布， 其分布律为 P{ X = k} =
EX =
λk
∑
−
t2 2
dt , (
x−µ
σ
= t)
=
σ
2π
∫ te
t2 − 2
dt +
∞
µ 2π
∫e
t2 − 2
dt = µ
−
DX = E ( X − µ ) =
2
=
σ2 =− te 2π
σ t 2π −∞
∞
∫
2 2
t2 − e 2
t2 − 2
−∞
∫ (x − µ)
σ
2 ∞
2
1 2π σ
且 X 1 ,L , X n 独立，令 X = X 1 + L + X n ，则 X 的可能 取值为 0,1,…n，
P{ X = k } = C nk p k q n − k , k = 0 , L , n
EX = ∑ EX i = np ， DX = ∑ DX i = npq,
i =1 i =1 n n
n
= n ( n − 1) p 2 ∑
n! n! = p ( k − 1) p k −1 q n − k + p p k −1 q n − k ( k − 1)! ( n − k )! ( k − 1)! ( n − k )! k =1 k =1
∑
∑
n
( n − 2)! p k − 2 q n − 2 − ( k − 2 ) + np k = 2 ( k − 2)!( n − 2 − ( k − 2))!
泊 分 3． 松 布
设 X 服从参数为λ泊松分布， 其分布律为 P{ X = k} =
EX =
λk
∑
常用分布的数学期望及方差
方差的性质
方差具有可加性
对于两个独立的随机变量X和Y，有Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)。
方差具有对称性
对于一个常数a和随机变量X，有Var(aX) = |a|^2 * Var(X)。
方差具有非负性
对于随机变量X，有Var(X) >= 0，其中 Var(X) = 0当且仅当X是一个常数。
05 数学期望与方差的应用
在统计学中的应用
描述性统计
数学期望和方差用于描述一组数据的中心趋势和 离散程度，帮助我们了解数据的基本特征。
参数估计
通过样本数据的数学期望和方差，可以对总体参 数进行估计，如均值和方差的无偏估计。
假设检验
在假设检验中，数学期望和方差用于构建检验统 计量，判断原假设是否成立。
常见分布的数学期望
均匀分布的数学期望为
$E(X) = frac{a+b}{2}$，其中a和b是均匀分布的下限和上 限。
柯西分布的数学期望为
$E(X) = frac{pi}{beta} sinh(frac{1}{beta})$，其中β是柯西 分布的参数。
拉普拉斯分布的数学期望为
$E(X) = frac{beta}{pi} tan(frac{pi}{beta})$，其中β是拉普 拉斯分布的参数。
03
泊松分布
正态分布是一种常见的连续型随机变量 分布，其方差记作σ²。正态分布的方差 描述了随机变量取值的分散程度。
二项分布是一种离散型随机变量分布， 用于描述在n次独立重复的伯努利试验 中成功的次数。其方差记作σ²，且σ² = np(1-p)，其中n是试验次数，p是单次 试验成功的概率。
泊松分布是一种离散型随机变量分布， 用于描述在一段时间内随机事件发生的 次数。其方差记作σ²，且σ² = λ，其中 λ是随机事件发生的平均速率。
常用分布函数及特征函数
数学期望
1 q peit ，方差 2 ，特征函数 p p 1 qeit
k nk CM CN M ， k 1, 2, , min M , N , M N n CN k nk
超几何分布
P X k
nM nM ，方差 数学期望 N N
帕斯卡分布
M 1 N
f x1 , , xn 2
帕累托（Pareto）分布
C
k k k 2 k k 1 , x ,k 2 f x x , k 1 ，方差 ， 0 ，数学期望 2 k 1 k 1 k 2 0, x
X
i 1
n
i
~ n, 。
若 X ~ ,1 ，则 Y
X
~ , 。
若 X 1 , X 2 , , X n 相互独立，且 X i ~ N 0,1 ，则
X
i 1
n
2 i
n 1 ~ , 2 n 。 2 2
n
P X k
数学期望 ，方差 ，特征函数 e e 几何分布
it
k
k!
e ， k 0,1, 2, ， 0
1
P X k q k 1 p ， k 1, 2, ， 0 p 1, p q 1
2
威布尔分布
2 x 1e x , x 0 1/ 2 / 2 / 1 1/ 1 f x ，数学期望 1/ 1 ，方差 x0 0,
伽马（Gamma）分布 , ，形状参数 ，尺度参数
1 q peit ，方差 2 ，特征函数 p p 1 qeit
k nk CM CN M ， k 1, 2, , min M , N , M N n CN k nk
超几何分布
P X k
nM nM ，方差 数学期望 N N
帕斯卡分布
M 1 N
f x1 , , xn 2
帕累托（Pareto）分布
C
k k k 2 k k 1 , x ,k 2 f x x , k 1 ，方差 ， 0 ，数学期望 2 k 1 k 1 k 2 0, x
X
i 1
n
i
~ n, 。
若 X ~ ,1 ，则 Y
X
~ , 。
若 X 1 , X 2 , , X n 相互独立，且 X i ~ N 0,1 ，则
X
i 1
n
2 i
n 1 ~ , 2 n 。 2 2
n
P X k
数学期望 ，方差 ，特征函数 e e 几何分布
it
k
k!
e ， k 0,1, 2, ， 0
1
P X k q k 1 p ， k 1, 2, ， 0 p 1, p q 1
2
威布尔分布
2 x 1e x , x 0 1/ 2 / 2 / 1 1/ 1 f x ，数学期望 1/ 1 ，方差 x0 0,
伽马（Gamma）分布 , ，形状参数 ，尺度参数
六个常用分布的数学期望和方差
即
12
若随机变量X~U( a , b ),则
ab
(b a)2
E(X)
, D( X )
2
12
五.指数分布
随机变量X服从参数为λ的指数分布，其概率密度为：
f
(
x)
1
θ
e
x θ
0
x0 x0
E(X )
xf ( x)dx
x
1
e
x θ
dx
x
（ x）de θ
0
θ
0
（
x）e
x
x
e dx
X X1 X2 Xn
E( X ) E( X1 ) E( X 2 ) E( X n ) np
D( X ) D( X1 ) D( X 2 ) D( X n ) np(1 p)
即： 若随机变量X~B( n , p ),则
E( X ) np，D( X ) np(1 p)
E[3( X 2 1)] 3E( X 2 ) 3
3{D( X ) [E( X )]2 } 3 33
例2.已知X和Y相互独立，且X在区间(1，5)上服从
均匀分布， Y ~ N (1,求9)(1, ) (X,Y)的联合概率密度;(2)
E(3X 4Y 2) , D(3X 4Y 2)
E( X ) xf ( x)dx
b
x
1
dx
a ba
1 x2 b
ba 2 a
ab 2
E( X 2 ) b x 2
1
b3 a3 dx
a 2 ab b2
a ba
3(b a)
3
D( X )
E( X 2 ) [E( X )]2
某些常用分布的数学期望与方差
H (n ,M
, N ) (n , M , N为正整数;
n N ,M N)
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
分布名称 及记号
泊松分布
P()
概率函数或概率密度
p(x) x e
x!
x 0 ,1,2, ( 0)
数学 期望
几何分布
p(x) pqx1 ,
M CnN
n1 k 0
k
CkM
Cn1k
1 N M
n1 k 0
CkM
Cn1k
1 N M
.
第二个和式等于
Cn1 N 1
,
与前面计算过程完全类似，
可知第一个和式等于
(M
1)
Cn2 N 2
:
E
(
X
2
)
M CnN
(M
1)
Cn2 N 2
Cn1 N 1
.
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ab 2
方差
(b a)2 12
指数分布
ex , x 0 ;
f (x)
e()
0 , x0
1
1
2
( 0)
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
分布名称 及记号
概率函数或概率密度
数学 期望
正态分布
f (x)
1
e , (
x )2 2 2
m1
Cnm N M
数学期望和方差
第四章
数学期望和方差
第四章 数学期望和方差
分布函数能够完整地描述随机变量的统计特 性，但在实际问题中，随机变量的分布函数较 难确定，而它的一些数字特征较易确定．并且 在很多实际问题中，只需知道随机变量的某些 数字特征也就够了.
另一方面，对于一些常用的重要分布，如二 项分布、泊松分布、指数分布、正态分布等， 只要知道了它们的某些数字特征，就能完全确 定其具体的分布.
8 8
9 10 11 12 7 15 10 10 50
则这 50 个零件的平均直径为
8 8 9 7 1015 1110 1210 50 10.14cm
第四章
数学期望和方差
换个角度看,从这50个零件中任取一个,它 的尺寸为随机变量X , 则X 的概率分布为 X P 8
x
| x| 但 | x | f ( x ) dx dx 发散. 2 (1 x )
它的数学期望不存在.
注：虽然f(x)是偶函数，但不能用定理1.1.
第四章
数学期望和方差
§4.2 数学期望的性质
设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不 是X的数学期望， 而是X的某个函数的数学期望， 比如说g(X)的数学期望. 那么应该如何计算呢？ 更一般的，已知随机向量(X1 , X2 …,Xn ) 的联合分布， Y= g(X1, X2 …,Xn ) 是 (X1 , X2 …,Xn ) 的函数, 需要计算Y 的数学期 望，应该如何计算呢？ 我们下面就来处理这个 问题.
8 50
12
9
7 50
10
15 50
12
11
10 50
12
10 50
则这 50 个零件的平均直径为
数学期望和方差
第四章 数学期望和方差
分布函数能够完整地描述随机变量的统计特 性，但在实际问题中，随机变量的分布函数较 难确定，而它的一些数字特征较易确定．并且 在很多实际问题中，只需知道随机变量的某些 数字特征也就够了.
另一方面，对于一些常用的重要分布，如二 项分布、泊松分布、指数分布、正态分布等， 只要知道了它们的某些数字特征，就能完全确 定其具体的分布.
8 8
9 10 11 12 7 15 10 10 50
则这 50 个零件的平均直径为
8 8 9 7 1015 1110 1210 50 10.14cm
第四章
数学期望和方差
换个角度看,从这50个零件中任取一个,它 的尺寸为随机变量X , 则X 的概率分布为 X P 8
x
| x| 但 | x | f ( x ) dx dx 发散. 2 (1 x )
它的数学期望不存在.
注：虽然f(x)是偶函数，但不能用定理1.1.
第四章
数学期望和方差
§4.2 数学期望的性质
设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不 是X的数学期望， 而是X的某个函数的数学期望， 比如说g(X)的数学期望. 那么应该如何计算呢？ 更一般的，已知随机向量(X1 , X2 …,Xn ) 的联合分布， Y= g(X1, X2 …,Xn ) 是 (X1 , X2 …,Xn ) 的函数, 需要计算Y 的数学期 望，应该如何计算呢？ 我们下面就来处理这个 问题.
8 50
12
9
7 50
10
15 50
12
11
10 50
12
10 50
则这 50 个零件的平均直径为
正态分布的期望和方差公式
正态分布的期望和方差公式
期望：Eξ=x1p1+x2p2+……+xnpn
方差公式：s=1/n{（x1-x）+（x2-x）+……+（xn-x）}。
正态分布又名高斯分布，是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力
扩展资料：当数据分布比较分散（即数据在平均数附近波动较大）时，各个数据与平均数的差的平方和较大，方差就较大；当数据分布比较集中时，各个数据与平均数的差的平方和较小。
因此方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动就越小。
样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数为样本方差；样本方差的算术平方根为样本标准差。
样本方差和样本标准差都是衡量一个样本波动大小的量，样本方差或样本标准差越大，样本数据的波动就越大。
方差和标准差为测算离散趋势最重要、最常用的指标，它是测算数值型数据离散程度的最重要的方法。
标准差为方差的算术平方根，用S表示。
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k 0
n
k
n!
pk qnk
k 0 k!(n k)!
n
np
(n 1)!
p k 1q n1(k 1)
k1 (k 1)!(n 1 (k 1))!
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第十三章 随机变量的数字特征
n
n1 §3 几种期望与
EX np Cnk11 p k 1q n1(k 1) np Cni方1差p i q n1i
x
b
。
b
EX xf (x)dx x 1 dx a b
ba
2
a
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第十三章 随机变量的数字特征
§3 几种期望与
b
DX EX 2 (EX )2 x2
1
dx ( a b)2 方(b差 a)2
a ba
2
12
5．正态分布 X ~ N(, 2)
EX x
1
(x)2
e 2 2 dx
k 1
i0
np( p q)n1 np
EX 2
n
k 2 Cnk pk qnk
k 0
n
k2
n!
pk qnk
k 0
k!(n k)!
n
p
k
1
k
(k
n! 1)!(n
k)!
pk
1q n k
n
p (k 1)
n!
n
pk1qnk p
n!
p k 1q nk
k 1
n(n 1)
p2
(k
n
1)!(n
EX n EXi np ， DX n DX i npq,
i 1
i 1
3．泊松分布
设 X 服从参数为泊松分布，
其分布律为P{X k} k e ，k=0,1,...
k!
EX k k e e k1 e e
k 0 k!
k1 (k 1)!
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第十三章 随机变量的数字特征
e2
dt
2
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第十三章 随机变量的数字特征
§3 几种期望与
P{| X | } P{ X } 方差
( ) ( ) (1) (1) 2(1) 1 0.6826
P{| X | 2} P{ 2 X 2}
2(2) 1 0.9544
2
1
(t
t2
)e 2
dt,
(
x
t)
2
t2
te 2 dt
t2
e 2 dt
2
2
DX E( X )2 (x )2
1
( x )2
e
2 2
dx, ( x t)
2
2t2
t2
e2
dt
2
t
2
e
t2 2
dt
2
t2
tde 2
2
2
2
2 2
t2
te 2
|
2 2
t2
第十三章 随机变量的数字特征
方法2：
§3 几种期望与
Xi
服从（0-1）分布， P{ X i
0}
q, P{Xi
方差
1}
p,i
1,2,
,n
且 X1, , X n 独立，令 X X1 X n ，则 X 的可能
取值为 0,1,…n，
P{X k} Cnk pk qnk , k 0, , n
P{| X | 3} P{ 3 X 3}
2(3) 1 0.9974 因此，对于正态随机变量来说，它的值落在区间 [ 3 , 3 ] 内几乎是肯定的。
在上一节用切比晓夫不等式估计概率有：
P{| X | 3} 0.8889
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k )!
(n
2)!
k np
k2 (k 2)!(n 2 (k 2))!
n(n 1) p 2 ( p q) n2 np n 2 p 2 np 2 np
DX EX 2 (EX )2 n2 p2 n p2 np n2 p2 np(1 p) npq
EX 2 k 2 k e k k e
k 0
k!
k 1 (k 1)!
§3 几种期望与 方差
(k 1)
k
e
k e
k 1
(k 1)!
k 1 (k 1)!
2e
k 2 ee 2
k 2 (k 2)!
DX EX 2 (EX )2 2 2
4.均匀分布
f
(x)
1/(b a), a 0, 其它
第十三章 随机变量的数字特征
§3.几种重要随机变量的数学期望及方差 1.两点分布
X 01
pk 1 p p
EX=p， DX EX 2 (EX )2 p p2 pq 。
2. 二项分布
方法1：
P{X k} Cnk pk qnk , k 0,1, , n 。
EX
n
k Cnk pk qnk
n
k
n!
pk qnk
k 0 k!(n k)!
n
np
(n 1)!
p k 1q n1(k 1)
k1 (k 1)!(n 1 (k 1))!
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第十三章 随机变量的数字特征
n
n1 §3 几种期望与
EX np Cnk11 p k 1q n1(k 1) np Cni方1差p i q n1i
x
b
。
b
EX xf (x)dx x 1 dx a b
ba
2
a
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第十三章 随机变量的数字特征
§3 几种期望与
b
DX EX 2 (EX )2 x2
1
dx ( a b)2 方(b差 a)2
a ba
2
12
5．正态分布 X ~ N(, 2)
EX x
1
(x)2
e 2 2 dx
k 1
i0
np( p q)n1 np
EX 2
n
k 2 Cnk pk qnk
k 0
n
k2
n!
pk qnk
k 0
k!(n k)!
n
p
k
1
k
(k
n! 1)!(n
k)!
pk
1q n k
n
p (k 1)
n!
n
pk1qnk p
n!
p k 1q nk
k 1
n(n 1)
p2
(k
n
1)!(n
EX n EXi np ， DX n DX i npq,
i 1
i 1
3．泊松分布
设 X 服从参数为泊松分布，
其分布律为P{X k} k e ，k=0,1,...
k!
EX k k e e k1 e e
k 0 k!
k1 (k 1)!
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第十三章 随机变量的数字特征
e2
dt
2
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第十三章 随机变量的数字特征
§3 几种期望与
P{| X | } P{ X } 方差
( ) ( ) (1) (1) 2(1) 1 0.6826
P{| X | 2} P{ 2 X 2}
2(2) 1 0.9544
2
1
(t
t2
)e 2
dt,
(
x
t)
2
t2
te 2 dt
t2
e 2 dt
2
2
DX E( X )2 (x )2
1
( x )2
e
2 2
dx, ( x t)
2
2t2
t2
e2
dt
2
t
2
e
t2 2
dt
2
t2
tde 2
2
2
2
2 2
t2
te 2
|
2 2
t2
第十三章 随机变量的数字特征
方法2：
§3 几种期望与
Xi
服从（0-1）分布， P{ X i
0}
q, P{Xi
方差
1}
p,i
1,2,
,n
且 X1, , X n 独立，令 X X1 X n ，则 X 的可能
取值为 0,1,…n，
P{X k} Cnk pk qnk , k 0, , n
P{| X | 3} P{ 3 X 3}
2(3) 1 0.9974 因此，对于正态随机变量来说，它的值落在区间 [ 3 , 3 ] 内几乎是肯定的。
在上一节用切比晓夫不等式估计概率有：
P{| X | 3} 0.8889
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k )!
(n
2)!
k np
k2 (k 2)!(n 2 (k 2))!
n(n 1) p 2 ( p q) n2 np n 2 p 2 np 2 np
DX EX 2 (EX )2 n2 p2 n p2 np n2 p2 np(1 p) npq
EX 2 k 2 k e k k e
k 0
k!
k 1 (k 1)!
§3 几种期望与 方差
(k 1)
k
e
k e
k 1
(k 1)!
k 1 (k 1)!
2e
k 2 ee 2
k 2 (k 2)!
DX EX 2 (EX )2 2 2
4.均匀分布
f
(x)
1/(b a), a 0, 其它
第十三章 随机变量的数字特征
§3.几种重要随机变量的数学期望及方差 1.两点分布
X 01
pk 1 p p
EX=p， DX EX 2 (EX )2 p p2 pq 。
2. 二项分布
方法1：
P{X k} Cnk pk qnk , k 0,1, , n 。
EX
n
k Cnk pk qnk