4.2.3换底公式与 自然对数
对数的运算及换底公式2012.10.27
关系： １．关系： a b = N
指数式
b = log a N
对数式
a
指数式 a b = N 对数式 log a N = b 底数 对数的底数
N
幂 真数
b
指数 对数
2.特殊对数：1）常用对数 — 以10为底的对数；lg N 特殊对数： ） 为底的对数； 特殊对数 为底的对数 2）自然对数— 以 e 为底的对数；ln N ）自然对数 为底的对数； 3.重要结论：1）log a a = 1；2）log a 1 = 0 重要结论： ） 重要结论 ； ） 4.对数恒等式：a log a N = N 对数恒等式： 对数恒等式
n N = log a N m
n
(a, c ∈ (0,1) U (1,+∞), N > 0) a, b ∈ (0,1) U (1,+∞)
1、计算： (1) log 5 35 －2log 5 、计算：
7 + log 5 7 －log 5 1. 8 3
(2) lg 2 5 + lg 2 lg 5 + lg 2
解法一： 解法一： 解法二： 解法二：
7 7 lg 14 − 2 lg + lg 7 − lg 18 lg 14 − 2 lg + lg 7 − lg 18 3 3 7 7 2 = lg 14 − lg( ) + lg 7 − lg 18 = lg(2 × 7) − 2 lg 3 3 2 + lg 7 − lg(2 × 3 ) 14 × 7 = lg 7 2 = lg 2 + lg 7 − 2(lg 7 − lg 3) ( ) × 18 3 + lg 7 − (lg 2 + 2 lg 3) = lg 1 = 0 =0
换底公式
(3)
loga
M N
log a M log a N;
例3：科学家以里氏震级来度量地震的强度。若设 I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震 级r可定义为r=0.6lgI，试比较6.9级和7.8级地震 的相对能量程度。
解：设6.9级和7.8级地震的相对能量程度
分别为I1和I2，由题意得
6.9 0.6 lg I1 ,
loga b logb c logc a 1.(a 0, b 0,c 0,a 1, b 1,c 1)
证明：
loga b logb c logc a
lg b lg c lg a 1 lg a lg b lg c
2.利用换底公式求值。
(1) log2 25 log3 4 log5 9 ___8____
5
3 (1)log6 216 2
(2) log0.5 1 log0.5 4 2
3.用lgx,lgy,lgz表示下列各式。
(1) lg(x2 yz 3) 2 lg x lg y 3 lg z
(2) lg
x y3z
1 lg x 3 lg y lg z 2
问题1: 使用对数的运算法则运算的前提条件是“同底”， 如果底不同怎么办？ 问题2: 我们知道科学计算器通常只能对常用对数或自然 对数进行计算，要计算log215，必须将它换成常用对数 或自然对数，如何转换？
2.三个结论：
(1)负数和零没有对数
(2) loga 1 0, loga a 1
(3)aloga N N
复习旧知
积、商、幂对数的运算法则
如果a>0,a≠1,M>0,N>0 ,则：
(1) log a (MN) log a M log a N;
对数的转换公式
对数的转换公式在我们的数学世界里，对数的转换公式就像是一把神奇的钥匙，能打开很多复杂问题的大门。
先来说说什么是对数。
假如有一个等式 a^b = N（其中 a 大于 0 且不等于 1），那么 b 就叫做以 a 为底 N 的对数，记作logₐN 。
这听起来可能有点绕，别着急，咱们慢慢捋清楚。
对数的转换公式有不少，其中最基本也最重要的就是换底公式：logₐb = logₑb / logₑa 。
这个公式可太有用啦！比如说，让我们来计算log₂8 。
如果直接算，可能有点头疼，但用换底公式，把它换成以 10为底，那就是 log₁₀8 / log₁₀2 。
通过查常用对数表或者用计算器，就能轻松得出结果。
还记得我曾经给学生们讲这个知识点的时候，有个特别有趣的事儿。
当时我在黑板上写下了一道题：log₃5 等于多少？同学们都皱着眉头苦思冥想。
我就引导他们用换底公式来试试。
有个调皮的小家伙嘀咕着：“这能行吗？”结果当大家按照公式一步步算出答案的时候，他那眼睛瞪得圆圆的，满是惊喜和兴奋，大声说道：“哇，原来这么简单！”那一刻，教室里充满了恍然大悟的笑声和讨论声。
再来说说对数的倒数转换公式：logₐ(1/b) = -logₐb 。
这个公式也不难理解，就好比是数学世界里的一个小魔术。
比如说，log₂(1/8) ，那就是 -log₂8 ，答案一下子就出来啦，是不是很神奇？还有一个常用的是对数的幂转换公式：logₐb^c = clogₐb 。
这就像是给对数穿上了一件“魔法外衣”，让它变得更强大。
比如计算 log₅25²，那就是 2log₅25 ，结果很快就能算出来。
在实际应用中，对数的转换公式用处可大了。
比如在物理学中，研究声音的强度、地震的震级；在化学中，计算溶液的酸碱度；在计算机科学里，分析算法的复杂度等等，都离不开对数的转换公式。
总之，对数的转换公式虽然看起来有点复杂，但只要我们多练习、多思考，就能熟练掌握，让它们成为我们解决数学问题的有力武器。
高一数学【换底公式与自然对数】课堂学案
高一数学课堂学案
班级小组姓名________ 使用时间______年______月______日编号必修1-28
问题3.自然对数： N e log 可简写为 ；，其中=e ；
练习2：=e ln ；e
1
ln = ；πln e = ；
自学检测：
1.计算：
(1) 5log 4log 85⋅ (2) 81
1log 27 (3)22
ln ln 55
e - （4）91log 81log 251log 532
•• 2.求
的值.
问题反馈：提出并讨论本节中的疑惑，先两人合作再小组合作.
【微课助学】
自学 反思
第 2 页
训 练 展 示 学 案
第 3 页
学 案 内 容
学生笔记
知 识 点
识记 理解 应用 对数式的化简计算 例1 例1 换底公式的应用 例2 4 综合应用
2、3
拓展
学生笔记（教师点拨） 学 案 内 容
思考：注意等式左右底数的变化
典例剖析
例1：求证：.
拓展：设21
3436,a b a b
==+求的值
例2：求证：
变式：求证：
.
课堂训练:
1． 计算(1) (2)
2． 已知
4．已知16log log 8log 4log 4843=⋅⋅m ，求m 的值.
5．已知b a ==4log 3log 55，
，用b a ,表示21log 52
自我反思：
1、你觉得你本节课的效率怎样（给自己画个分数，写出需改进的地方）？
2、本节课你从知识，方法方面学到了什么？
第 4 页。
对数的运算换底公式
回归分析
在统计学中，对数经常用于回归分析，特别是逻辑回归 和泊松回归。通过使用对数函数，我们可以将非线性关 系转换为线性关系，从而更容易地进行分析。
在计算机科学中的应用
数据压缩
在计算机科学中，对数被广泛用于数据压缩技术。例如，音 频和视频信号经常被转换为对数形式，以节省存储空间并减 少数据传输的带宽需求。
04
对数的换底公式证明
利用对数的定义证明换底公式
总结词
利用对数的定义，我们可以证明换底公式。
详细描述
根据对数的定义，我们知道，对于任意两个正数a和b，当且仅当a=1时， log_a(b)=0。因此，我们可以根据对数的定义推导出换底公式。
利用对数的性质证明换底公式
总结词
利用对数的性质，我们可以证明换底公式。
对数的换底公式的应用
简化不同底的对数运算
使用换底公式可以将不同底的对数转换为同底的对数，从而简化计算。
解决实际问题
例如在计算机科学、物理学、经济学等领域中，经常需要使用对数来解决实际问题。使用换底公式可以方便地 计算对数，从而提高解决问题的效率。
03
对数的运算
对数的加法运算
总结词
对数的加法运算规则是将两个对数相加，底数不变，指数相加。
总结词
对数的减法运算规则是将两个对数相减，底数不变， 指数相减。
详细描述
对数的减法运算可以通过简单的代数运算来实现，假 设有两个对数log(base A)B和log(base A)C，那么它 们的差为log(base A)(B-C)。例如，log(base 2)3log(base 2)4=log(base 2)(3-4)=log(base 2)-1。
什么是对数单位
对数单位是一种用于表示对数值的单位，通常用“log”表示。例如，对于一个 正数a，其常用对数的值为log10(a)，其自然对数的值为loge(a)。
对数换底公式及其应用
对数换底公式及其应用logₐ(b) = logₓ(b) / logₓ(a)其中，logₐ(b) 表示以 a 为底数的 b 的对数，logₓ(b) 表示以 x 为底数的 b 的对数，logₓ(a) 表示以 x 为底数的 a 的对数。
1.计算不同底数的对数之间的关系使用对数换底公式，可以将一个底数为 a 的对数转化为底数为 x 的对数，以便计算或进行比较。
例如，要计算 log₃(2) 的值，可以使用对数换底公式将其转化为以 10 为底数的对数：log₃(2) = log₁₀(2) / log₁₀(3)2.化简复杂的对数表达式有时候，对数表达式可能比较复杂，难以计算或分析。
在这种情况下，对数换底公式可以帮助我们将其转化为更简单的形式，以便进行进一步的计算。
例如，对于表达式 log₉(27)，我们可以使用对数换底公式将其转化为以 10 为底数的对数：log₉(27) = log₁₀(27) / log₁₀(9)= log₁₀(3³) / log₁₀(3²)= 3 * log₁₀(3) / 2 * log₁₀(3)=3/23.解决指数方程x = log₂(16) = log₁₀(16) / log₁₀(2) = 4 / log₁₀(2)4.求解连续复利问题连续复利是一种常见的复利计算方法，其中利息不断累积，而不是离散计算。
对数换底公式可以用于求解连续复利问题的相关计算。
例如，如果我们正在计算以年利率为8%的连续复利的总金额，我们可以使用对数换底公式将其转化为以自然对数e为底数的对数：F = P * (1 + r/n)^(nt)=P*(1+8%/1)^(1*1)=P*(1+0.08)^1= P * e^(ln(1 + 0.08))5.编程中的应用综上所述，对数换底公式是一种非常有用的数学工具，可以应用于许多不同的场景，包括计算不同底数的对数之间的关系、化简复杂的对数表达式、解决指数方程、求解连续复利问题以及在编程中的应用。
对数的所有公式
对数的所有公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：对数是数学中的一个重要概念，常常出现在各种数学问题中。
它是指某个数（底数）以什么次方等于另一个数（真数）。
对数在数学中有许多重要的应用，尤其在解决指数增长问题和测定数据变动幅度等方面起到重要的作用。
以下是一些关于对数的所有公式。
1.对数的定义：设a和b是正数，且a≠1，b>0，则称b是以a为底数的对数。
a 称为对数的底数，b称为真数。
用符号表示为loga b。
（1）对数的底数不等于1，底数大于1时对数为正数，底数小于1时对数为负数。
（2）loga(mn) = loga m + loga n3.常见对数公式：（1）以10为底数的对数是常用的对数，称为常用对数，表示为lg b。
（2）以e为底的对数称为自然对数，表示为ln b。
其中e≈2.71828。
（3）若a>0且a≠1，则有loga a = 1（5）loga a^k = k4.对数函数的性质：对数函数也是一种常见的数学函数，具有以下性质：（1）对数函数y = loga x的图像位于第一象限，且必过点(1,0)（2）对数函数的图像在a>1时递增，在0<a<1时递减（3）对数函数的反函数是指数函数，其图像为y = a^x对数在数学和科学中有着广泛的应用，主要体现在以下几个方面：（1）解决指数增长问题：当一个指数增长问题中自变量是指数时，我们通常会使用对数函数来解决问题，以便更清晰地理解问题背后的增长规律。
（2）数据变动幅度测定：对数也常用于数据的变动幅度测定，例如在生态学中对种群数量的变动进行分析，以及在金融学中对资金的增长进行评估等。
对数作为数学中的一个重要概念，不仅在学术领域具有重要意义，而且在实际生活中也有着广泛的应用价值。
熟练掌握对数的概念和运用对数的公式可以帮助我们更清晰地理解数学和科学中的各种问题，并为我们的计算和分析提供便利。
希望通过学习对数的相关知识，我们能够更好地解决实际问题，为我们的学习和工作带来更多的帮助。
对数 换底公式
对数换底公式摘要：1.对数的定义和性质2.换底公式的推导3.换底公式在实际问题中的应用4.总结与展望正文：1.对数的定义和性质对数是一种数学运算，用于表示一个数以某个基数为底，经过多少次方等于另一个数。
对数有自然对数、常用对数等多种表示形式，每种对数都有其适用范围和特殊性质。
例如，自然对数的底为自然常数e，常用对数的底为10。
对数具有以下基本性质：（1）对数的运算法则：loga(MN) = logaM + logaN，loga(M/N) = logaM - logaN（2）对数的换底公式：logab = logcb / logca（3）对数的性质：loga1 = 0，loga0 不存在，loga(a^b) = b2.换底公式换底公式是将对数从一种底数转换为另一种底数的工具。
设logab = x，那么可以得到换底公式：logcb = x * logca。
换底公式的推导过程如下：设y = logcb，那么有cb = e^y，同时有ab = e^x。
将cb 带入ab 中，得到ab = e^(x + y)。
根据对数的性质，有loga(ab) = x + y，而又因为loga(ab) = loga(e^(x + y)) = x + y，所以x = logcb / logca。
3.换底公式在实际问题中的应用换底公式在实际问题中有很多应用，例如在计算机科学中，换底公式可以用于计算以不同进制表示的数值之间的转换；在物理学中，换底公式可以用于计算能量、速率等物理量在不同单位制之间的转换。
4.总结与展望对数换底公式是数学中一个重要的工具，它可以帮助我们将对数从一种底数转换为另一种底数。
通过掌握对数的性质和换底公式，我们可以更好地理解和解决实际问题。
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1. 换底公式： log b N ＝
log a N
log a b
2. 自然对数 ln N ＝ log e N （其中 e＝2.718 28…）.
必做题： 教材P112，练习 A 组第 2 题， 练习 B 组第 3 题 ； 选做题： 教材P112，练习 B 组第1、2 题．
探究：利用换底公式如何得到自然对数和
常用对数的关系？ ln N ≈ 2.302 6 lg N
练习 1 1 ．将下列对数换成以 10 为底的常用对数： （1）log 2 6 ； （2）ln 10
．
2 ．求下列格式的值： （1）e ln x ； （2）ln e 2 ．
练习 2
1 ．求值： （1）log 8 9 × log 27 32 ； （2）log 5 4 × log 8 5 ． 2 ．化简：log 5 3 × log 27 125 ． 3 ．求证：log x y log y z ＝ log x z ．
lg 4096 即 x＝ ＝ 12． lg 2
1. 换底公式： log b N ＝ log a N
log a b
注意 （1）成立前提：b＞0 且 b ≠1，a＞0，且 a ≠1 ；
（2）公式应用：换底公式的作用是“换底”，
这是对数恒等变形中常用的工具， 一般常换成以 10 为底．
2. 自然对数： 在科学技术中常常使用无理数 e＝2.718 28… 为底的对数，以 e 为底的对数叫做自然对数． log e N 通常记作 ln N．
指数 指 数
对数
对数
4.2.3 换底公式与自然对数 换底公式与自然对数
细胞分裂过程 分裂次数 细胞的总数 2＝21 4＝22 8＝23
第1次
第2次问题：若分裂得到的细胞个数 y＝4 096，
则分裂次数 x 为多少？
分析： 即 log 2 4 096 ＝ x ， 4 096＝2 x ， 两边取常用对数，得 lg 4 096＝ lg 2 x ， 即 lg 4 096＝ x lg 2，