第06章 弯曲应力
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第6章弯曲应力
Iz
200 303 12
200 30 (170 15 139)2
301703 30170 (139 170)2
12
2
z y1
85 30 85 y
40.3106 (mm)4 40.3106 m4
(2) 画弯矩图
q =10kN/m
A
B
2m
3m
20kNm
P=20kN D
C 1m
+ 10kNm
(3) 求最大拉应力与最大压应力
F2 2 bh / 3 2 106 100 150 10 6 / 3 10000 N 10kN
4.按胶合面强度条件计算许可载荷
g
FQ
S
* Z
IZb
F3b
h 3
2
bh3 b
4F3 3bh
g
12
F334 106 4
3825N 3.825kN
h3 9
h3 1125106 9 h 3 91125106 0.216m 取 : h 216 (mm) b 2 h 144 (mm)
3
例
FQ
F l
悬臂梁由三块木板粘
50 接而成。跨度为1m。胶 z50 合面的许可剪应力为 50 0.34MPa，木材的〔σ〕
100
= 10 MPa，[τ]=1MPa，
分析B、C两截面（最大正负弯矩所在面）
B截面
| Lmax || C max |
C截面
| Lmax || C max |
显然
| C max B || C maxc |
20kNm
C
B
+ 10kNm
+
–
–
+
第六章 弯曲应力(FS)
(Normal stresses of the beam in transverse bending)
横力弯曲时，梁的横截面上既有正应力又有切应力 ,平面假 设和单向受力假设都不成立 。
横力弯曲正应力
横力弯曲最大正应力
M ( x) y Iz
max
M max ymax Iz
引用记号
则公式改写为
neutral axis of the beam to the fibers)
( Stresses in Beams)
讨论
中性轴的确定：
1、对于对称纯弯曲（平面弯曲）
中性轴过横截面的形心，并且与横截面的对称轴 垂直。
2、对于非对称纯弯曲 中性轴是横截面的形心主惯性轴（本课程不研究）
( Stresses in Beams) 例 计算截面对中性轴的惯性矩。
FS
( Stresses in Beams)
m
m
M
m
FS
m
只有与切应力有关的切向内力元素 才能合成剪力 只有与正应力有关的法向内力元素 才能合成弯矩 所以，在梁的横截面上一般既有 正应力(normal stresses )，又有 切应力(shear Stresses)
( Stresses in Beams)
2、强度条件的应用(application of strength condition)
M max (1) 强度校核 [ ] W M max (2)设计截面 W [ ] (3)确定许可核载 M max W [ ]
( Stresses in Beams) 对于铸铁等 脆性材料 (brittle materials)制成的梁，由于材料的
建立公式
( Stresses in Beams)
横力弯曲时，梁的横截面上既有正应力又有切应力 ,平面假 设和单向受力假设都不成立 。
横力弯曲正应力
横力弯曲最大正应力
M ( x) y Iz
max
M max ymax Iz
引用记号
则公式改写为
neutral axis of the beam to the fibers)
( Stresses in Beams)
讨论
中性轴的确定：
1、对于对称纯弯曲（平面弯曲）
中性轴过横截面的形心，并且与横截面的对称轴 垂直。
2、对于非对称纯弯曲 中性轴是横截面的形心主惯性轴（本课程不研究）
( Stresses in Beams) 例 计算截面对中性轴的惯性矩。
FS
( Stresses in Beams)
m
m
M
m
FS
m
只有与切应力有关的切向内力元素 才能合成剪力 只有与正应力有关的法向内力元素 才能合成弯矩 所以，在梁的横截面上一般既有 正应力(normal stresses )，又有 切应力(shear Stresses)
( Stresses in Beams)
2、强度条件的应用(application of strength condition)
M max (1) 强度校核 [ ] W M max (2)设计截面 W [ ] (3)确定许可核载 M max W [ ]
( Stresses in Beams) 对于铸铁等 脆性材料 (brittle materials)制成的梁，由于材料的
建立公式
( Stresses in Beams)
第六章 弯曲应力
近似公式:
Q
hb
47
腹板切应力的近似公式
因为: (1)腹板切应力近似为均匀分布;
(2)腹板负担了绝大部分剪力。
近似公式:
Q
hb
翼缘的切应力
特点
(1) 除了有平行于剪力Q的切应力 分量外，还有与剪力Q垂直的 切应力分量；
(2) 切应力数值与腹板的切应力相比较小。 48
箱形薄壁梁
假设 : t //
My
Iz
总结
假设 平面假设，单向受力假设
综合考虑三方面
( y) y
结论
( y) E ( y)
dA0 ydA M
A
A
中性轴位置：中性轴过截面形心
❖ 中性层曲率：1 M （Iz －惯性矩）
EI z （EIz －截面弯曲刚度）
正应力公式： ( y) My
Iz
max
M Wz
（Wz －抗弯截面系数）
y2)
8
24
则，距中性层 y处的切应力公式为:
Q
[
B
(H
2
h2 )
b
h2 (
y 2 )]
Izb 8
24
切应力分布如图。
45
距中性层 y处的切应力公式为:
Q [ B (H 2 h2) b (h2 y2)]
Izb 8
24
切应力分布如图。
最大切应力发生在中性轴处
max
Q[ Izb
BH 2 8
由切应力互等定理，得
QS
* z
Izb
计算Sz*
可用公式
S
* z
A1
y1
S
* z
b( h 2
y) [y
第6章 弯曲应力
∗ FQ Sz
(
)
6.3 弯曲切应力
工字形截面梁
FQ B 2 2 b h2 2 τ= H − h + − y Iz b 8 2 4
(
)
h 分别代入： 以y = 0和y = ± 分别代入： 2
τ max
FQ BH 2 b Bh 2 = − (1 − ) Iz b 8 B 8
τmin =
∗ FQmax Sz
dI z
40×103 ×85140.97 = = 31.6MPa 7 6.5×1.66×10
3 工字钢梁最大弯曲剪应力的近似计算。 工字钢梁最大弯曲剪应力的近似计算。 腹板上平均剪应力为： 腹板上平均剪应力为：
40×103 τ= = = 38.8MPa A (180 − 2×10.7)×6.5 1 FQ
τmax =
∗ F max Sz max Q
dIz
=
∗ d ⋅ I z / Sz max
F max Q
40×103 = = 40.0MPa 6.5×15.4×10
2 求腹板上最小剪应力 最小剪应力位于腹板与翼缘交界处。 最小剪应力位于腹板与翼缘交界处。
6.3 弯曲切应力
∗ Sz = (10.7×94)×(180 / 2 −10.7 / 2) = 85140.97mm3
A
6.2 弯曲正应力
纯梁弯曲
因 FQ =0 所以 τ = 0，σ ≠ 0 ，
纵线 横线
m b a m M a m
n b a n
一、变形特点 纵线： 纵线： 变为同心圆弧线； 变为同心圆弧线； 凹侧缩短，凸侧伸长。 凹侧缩短，凸侧伸长。 横线： 横线： 仍为直线，且垂直于纵线； 仍为直线，且垂直于纵线； 不同横截面相对转过一个角度。 不同横截面相对转过一个角度。
工程力学教学 第6章 弯曲应力
17
max
M Iz
ymax
令
Wz
Iz , ymax
上式可改写为
max
M Wz
Wz 称为抗弯截面模量，单位：m3。
上述分析是在平面假设下建立的，对于横力弯曲，由于
横截面上还有剪力，变形后截面会发生翘曲，平面假设不再
成立。当截面尺寸与梁的跨度相比很小时，翘曲很小，可按
平面假设分析吗?
整理课件
18
横力弯曲
整理课件
19
6-2
横力弯曲正应力公式
弯曲正应力
M (x) y
IZ
弹性力学精确分析表明， 当跨度 l 与横截面高度 h 之 比 l / h > 5 （细长梁）时， 纯弯曲正应力公式对于横力 弯曲近似成立。
横力弯曲最大正应力
max
Mmaxymax IZ
整理课件
M max
max
Wz
20
弯曲正应力公式适用范围 •纯弯曲或细长梁的横力弯曲
4 2
2 F
3 F
A
s max
A
s max
A
矩形截面 圆形截面 环形截面
根据强度条件可进行下述工程计算：
⑴强度校核；
⑵设计截面尺寸；
⑶确定容许荷载。
整理课件
38
利用强度条件进行工程计算时，需首先确定梁的危险截面。
⑴梁的最大正应力发生在弯矩最大、截面离中性轴最远
点处；变截面梁要综合考虑 M与IZ;脆性材料抗拉和抗压性能
一、矩形截面切应力
基本假设： ⑴截面上各点切应力与剪力同向；
12
M
M+dM
⑵距中性轴等距离各点的切应力相 等。
Fs m n Fs
材料力学第6章弯曲应力
图6.5
页 退出
材料力学
出版社 理工分社
例6.1如图6.6所示，矩形截面悬臂梁受集中力和集中力偶作用。试求Ⅰ—Ⅰ 截面和固定端Ⅱ—Ⅱ截面上A，B，C，D ４点处的正应力。
图6.6
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解矩形截面对中性轴的惯性矩为 对于Ⅰ—Ⅰ截面，弯矩MⅠ=20 kN·m，根据式(6.2)，各点正应力分别为
页 退出
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(1)变形几何关系 弯曲变形前和变形后的梁段分别表示于图6.4(a)和(b)。以梁横截面的对称 轴为y轴且向下为正(见图6.4(c))。以中性轴为z轴，但中性轴的位置尚待确 定。在中性轴尚未确定之前，x轴只能暂时认为是通过原点的横截面的法 线。根据弯曲平面假设，变形前相距为dx的两个横截面，变形后各自绕中性 轴相对旋转了一个角度dθ ，且仍然保持为平面。这就使得距中性层为y的纵 向纤维bb的长度变为
式中积分
是横截面对y轴和z轴的惯性积。由于y轴是横截面的对
称轴，必然有Iyz=0(见附录)。所以式(g)是自然满足的。 将式(b)代入式(e)，得
式中积分∫Ay2dA=Iz是横截面对z轴(中性轴)的惯性矩。于是式(h)改写为 式中 ——梁轴线变形后的曲率。
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式(6.1)表明，EIz越大，则曲率 越小，故EIz称为梁的抗弯刚度。从式 (6.1)和式(b)中消去 ，得
而对于变截面梁，虽然是等截面梁但中性轴不是横截面对称轴的梁，在计算 最大弯曲正应力时不能只注意弯矩数值最大的截面，应综合考虑My/Iz的值 (参看例6.5和例6.8)。
页 退出
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引用记号
第6章 弯曲应力
靠近底端的纵向线段伸长。 各横向线仍保持为直线， 横向线 相对转过了一个角度，
仍与变形后的纵向弧线垂直。
2、提出假设
§6-1 梁横截面上的正应力
(a) 平面假设 变形前为平面的横截面变形 后仍保持为平面且垂直于变形后的梁轴线。 (b) 单向受力假设 纵向纤维不相互挤压, 只受单向拉压。 推论：必有一层变形前后长度不变的纤维 ——中性层。
2 2
A
*
y
τmax τmax
o
τmin y
max min
FS bh
§6-2 梁横截面上的剪应力
式中
max
FS S
* z max
τmax
Izb
τ
z
max
o
S
* z max ——
中性轴任一边的半个横截面面
y d
积对中性轴的静矩。
τmin
三、圆截面梁
在截面边缘上各点的剪应力的方向与圆周相切。 z (a)沿宽度kk’上各点处的剪应力均 假设 汇交于o’ 点。 k (b)各点处切应力沿y方向的分量沿宽 度相等。
A
将应力表达式代入(2)式，得
M y zE dA 0
A
y
E
A
yzdA 0
I yz A yzdA 0
自然满足 将应力表达式代入(3)式，得
M z yE dA M
A
y
E
1
y dA M A
2
E
Iz M
M E Iz
§6-1 梁横截面上的正应力
M为梁横截面上的弯矩。
§6-1 梁横截面上的正应力
y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离。 Iz为梁横截面对中性轴的惯性矩。
仍与变形后的纵向弧线垂直。
2、提出假设
§6-1 梁横截面上的正应力
(a) 平面假设 变形前为平面的横截面变形 后仍保持为平面且垂直于变形后的梁轴线。 (b) 单向受力假设 纵向纤维不相互挤压, 只受单向拉压。 推论：必有一层变形前后长度不变的纤维 ——中性层。
2 2
A
*
y
τmax τmax
o
τmin y
max min
FS bh
§6-2 梁横截面上的剪应力
式中
max
FS S
* z max
τmax
Izb
τ
z
max
o
S
* z max ——
中性轴任一边的半个横截面面
y d
积对中性轴的静矩。
τmin
三、圆截面梁
在截面边缘上各点的剪应力的方向与圆周相切。 z (a)沿宽度kk’上各点处的剪应力均 假设 汇交于o’ 点。 k (b)各点处切应力沿y方向的分量沿宽 度相等。
A
将应力表达式代入(2)式，得
M y zE dA 0
A
y
E
A
yzdA 0
I yz A yzdA 0
自然满足 将应力表达式代入(3)式，得
M z yE dA M
A
y
E
1
y dA M A
2
E
Iz M
M E Iz
§6-1 梁横截面上的正应力
M为梁横截面上的弯矩。
§6-1 梁横截面上的正应力
y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离。 Iz为梁横截面对中性轴的惯性矩。
单辉祖材力-5(第六章_弯曲应力)
中性层
中性轴
中性轴
中性层与横截面的交线就是中性轴。
}
C
m n a a b b m n
d O1 dx O2 B
O1O2 d x d
AB ( y) d
A
B1
B1 B B1 B y AB1 O1O2
——中性层的曲率半径
物理方面——单向应力状态下的胡克定律
纯弯曲
横力弯曲
Fa
FS 0 M 常量
0 0
FS 0 M M ( x)
0 0
x
Ⅰ. 纯弯曲时梁横截面上的正应力
几何方面
表面变形情况
(1)纵线弯成弧线， 靠近顶面的纵 线缩短，而靠 近底面的纵线 则伸长； (2)横线仍为直线， 并与变形后的 纵线保持正交， 只是横线间相 对转动。
20
y 20
c,max
Fb/4
40 180
120
C 形心 86 z 134
Fb/2
考虑截面C：
t,max
M C y1 F / 4 2 103 mm 134 mm 30 MPa 4 4 Iz 5493 10 mm F 24.6 kN
[ F ] 19.2 kN
Fb/2
M ( x) y 注意到 Iz M max M max 而
20
y 20
y1 y2
因此压应力强度条件由B截面控制，拉应力强度条 件则B、C截面都要考虑。
Fb/4
40 180
120 C 形心 86 z 134
Fb/2 考虑截面B ：
t,max
M B y2 F / 2 2 103 mm 86 mm 30 MPa 3 4 Iz 5493 10 mm F 19.2 kN M B y1 F / 4 2 103 mm 134 mm 90 MPa 4 4 Iz 5493 10 mm F 73.8 kN