高二数学期末复习(必修3)

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高二数学必修3知识点整理：古典概型

【导语】以下是⽆忧考为⼤家推荐的有关⾼⼆数学必修3知识点整理：古典概型，如果觉得很不错，欢迎点评和分享～感谢你的阅读与⽀持！古典概型的基本概念 1.基本事件：在⼀次试验中可能出现的每⼀个基本结果称为基本事件; 2.等可能基本事件：若在⼀次试验中，每个基本事件发⽣的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件; 3.古典概型：满⾜以下两个条件的随机试验的概率模型称为古典概型①所有可能出现的基本事件只有有限个;②每个基本事件出现的可能性相等; 4.古典概型的概率：如果⼀次试验的等可能基本事件共有n个，那么每⼀个等可能基本事件发⽣的概率都是 1，如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发⽣的概率为nP(A)?m.n 知识点⼀：古典概型的基本概念 *例1：从字母a,b,c,d中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件?思路分析：题意分析：本试题考查⼀次试验中⽤列举法列出所有基本事件的结果，⽽画树状图是列举法的基本⽅法. 解题思路：为了了解基本事件，我们可以按照字典排序的顺序，把所有可能的结果都列出来.或者利⽤树状图将它们之间的关系列出来.解答过程：解法⼀：所求的基本事件共有6个： A?{a,b},B?{a,c},C?{a,d}D?{b,c},E?{b,d},F?{c,d} 解法⼆：树状图解题后的思考：⽤树状图求解⼀次试验中的基本事件数⽐较直观、形象，可做到不重不漏.掌握列举法，学会⽤数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题. **例2：(1)向⼀个圆⾯内随机地投射⼀个点，如该点落在圆内任意⼀点都是等可能的，你认为这是古典概型吗?为什么? (2)如图，某同学随机地向⼀靶⼼射击，这⼀试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环??命中5环和不中环.你认为这是古典概型吗?为什么? 思路分析：题意分析：本题考查古典概型的概念.应明确什么是古典概型及其应具备什么样的条件.解题思路：结合古典概型的两个基本特征可进⾏判定解决.解答过程：答：(1)不是古典概型，因为试验的所有可能结果是圆⾯内所有的点，试验的所有可能结果数是⽆限的，虽然每⼀个试验结果出现的“可能性相同”，但这个试验不满⾜古典概型的第⼀个条件. (2)不是古典概型，因为试验的所有可能结果只有7个，⽽命中10环、命中9环??命中5环和不中环的出现不是等可能的，即不满⾜古典概型的第⼆个条件. 解题后的思考：判定是不是古典概型，主要看两个⽅⾯，⼀是实验结果是不是有限的;另⼀个就是每个事件是不是等可能的. ***例3：单选题是标准化考试中常⽤的题型，⼀般是从A，B，C，D四个选项中选择⼀个正确答案.如果考⽣掌握了考查的内容，他可以选择正确的答案.假设考⽣不会做，他随机的选择⼀个答案，问他答对的概率是多少?思路分析：题意分析：本题考查古典概型概率的求解运算. 解题思路：解本题的关键，即讨论这个问题什么情况下可以看成古典概型.如果考⽣掌握了全部或部分考查内容，这都不满⾜古典概型的第2个条件——等可能性，因此，只有在假定考⽣不会做，随机地选择了⼀个答案的情况下，才可将此问题看作古典概型. 解答过程：这是⼀个古典概型，因为试验的可能结果只有4个：选择A、选择B、选择C、选择D，即基本事件共有4个，考⽣随机地选择⼀个答案是选择A，B，C，D的可能性是相等的.从⽽由古典概型的概率计算公式得： P(答对\答对所包含的基本事件的个数1==0.25 基本事件的总数4解题后的思考：运⽤古典概型的概率公式求概率时，⼀定要先判定该试题是不是古典概型，然后明确试验的总的基本事件数，和事件A发⽣的基本事件数，再借助于概率公式运算.⼩结：本知识点的例题主要考查对古典概型及其概率概念的基本理解.把握古典概型的两个特征是解决概率问题的第⼀个关键点;理解⼀次试验中的所有基本事件数，和事件A发⽣的基本事件数，是解决概率问题的第⼆个关键点. 知识点⼆：古典概型的运⽤ *例4：同时掷两个骰⼦，计算：(1)⼀共有多少种不同的结果? (2)其中向上的点数之和是5的结果有多少种?(3)向上的点数之和是5的概率是多少? (4)为什么要把两个骰⼦标上记号?如果不标记号会出现什么情况?你能解释其中的原因吗?思路分析：题意分析：本题考查了古典概型的基本运算问题. 解题思路：先分析“同时掷两个骰⼦的所有事件数”，然后分析事件A：向上的点数之和为5的基本事件数，最后结合概率公式运算.同时可以运⽤举⼀反三的思想⾃⾏设问、解答. 解答过程：解：(1)掷⼀个骰⼦的结果有6种，我们把两个骰⼦标上记号1，2以便区分，由于1号骰⼦的结果都可与2号骰⼦的任意⼀个结果配对，我们⽤⼀个“有序实数对”来表⽰组成同时掷两个骰⼦的⼀个结果(如表)，其中第⼀个数表⽰掷1号骰⼦的结果，第⼆个数表⽰掷2号骰⼦的结果.(可由列表法得到)1号骰⼦2号骰⼦1(1，1)(2，1)(3，1)(4，1)(5，1)(6，1)2(1，2)(2，2)(3，2) (4，2)(5，2)(6，2)3(1，3)(2，3)(3，3)(4，3)(5，3)(6，3)4(1，4)(2，4)(3，4)(4，4)(5，4)(6，4)5(1，5)(2，5)(3，5)(4，5) (5，5)(6，5)6(1，6)(2，6)(3，6)(4，6)(5，6)(6，6)123456由表中可知同时掷两个骰⼦的结果共有36种.(2)在上⾯的结果中，向上的点数之和为5的结果有4种，分别为：(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1) (3)由于所有36种结果是等可能的，其中向上点数之和为5的结果(记为事件A)有4种，因此，由古典概型的概率计算公式可得 P(A)=A所包含的基本事件的个数41== 基本事件的总数369(4)如果不标上记号，类似于(1，2)和(2，1)的结果将没有区别.这时，所有可能的结果将是： (1，1)(1，2)(1，3)(1，4)(1，5)(1，6)(2，2)(2，3)(2，4)(2，5)(2，6)(3，3)(3，4)(3，5)(3，6)(4，4)(4，5)(4，6)(5，5) (5，6)(6，6)共有21种，和是5的结果有2个，它们是(1，4)(2，3)，则所求的概率为 P(A)=A所包含的基本事件的个数2= 基本事件的总数21这就需要我们考察两种解法是否满⾜古典概型的要求了.可以通过展⽰两个不同的骰⼦所抛掷出来的点，感受第⼆种⽅法构造的基本事件不是等可能事件. 解题后的思考：考查同学们运⽤古典概型的概率计算公式时应注意验证所构造的基本事件是否满⾜古典概型的第⼆个条件. 对于同时抛掷的问题，我们要将骰⼦编号，因为这样就能反映出所有的情况，不⾄于把(1，2)和(2，1)看作相同的情况，保证基本事件的等可能性.我们也可将此试验通过先后抛掷来解决，这样就有顺序了，则基本事件的出现也是等可能的. **例5：从含有两件正品a1，a2和⼀件次品b1的三件产品中，每次任取⼀件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有⼀件次品的概率.思路分析：题意分析：本题考查的是不放回抽样的古典概型概率的运⽤解题思路：⾸先注意到该题中取出的过程是有顺序的.同时明⽩⼀次试验指的是“不放回的，连续的取两次”. 先列举出试验中的所有基本事件数，然后求事件A的基本事件数，利⽤概率公式求解.解答过程：解法1：每次取出⼀个，取后不放回地连续取两次，其⼀切可能的结果组成的基本事件有6个，即(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2).其中⼩括号内左边的字母表⽰第1次取出的产品，右边的字母表⽰第2次取出的产品. ⽤A表⽰“取出的两件中，恰好有⼀件次品”这⼀事件，则A=[(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)]事件A由4个基本事件组成，因⽽P(A)= 42=63解法2：可以看作不放回3次⽆顺序抽样，先按抽取顺序(x，y)记录结果，则x有3种可能，y有2种可能，但(x，y)，(y，x)是相同的，所以试验的所有结果有3×2÷2=3种，按同样的⽅法，事件B包含的基本事件个数为2×1÷1=2，因此P(B)= 23解题后的思考：关于不放回抽样，计算基本事件的个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是⽆顺序的，其结果是⼀样的，但⽆论选择哪⼀种⽅式，观察的⾓度必须⼀致，否则会导致错误. ***例6：从含有两件正品a1，a2和⼀件次品b1的三件产品中，每次任取⼀件，每次取出后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有⼀件次品的概率.思路分析：题意分析：本题考查放回抽样的概率问题. 解题思路：⾸先注意到该题中取出的过程是有顺序的.同时明⽩⼀次试验指的是“有放回的，连续的取两次”. 解答过程：每次取出⼀个后放回，连续取两次，其⼀切可能的结果组成的基本事件有9个，即 (a1，a1)，(a1，a2)和(a1，b1)(a2，a1)，(a2，b1)和(a2，a2)(b1，a1)，(b1，a2)和(b1，b1) 其中⼩括号内左边的字母表⽰第1次取出的产品，右边的字母表⽰第2次取出的产品.⽤A表⽰“取出的两件中，恰好有⼀件次品”这⼀事件，则A=[(b1，a1)，(b1，a2)，(a2，b1)，(a1，b1)]事件A由4个基本事件组成，因此P(A)= 4.9解题后的思考：对于有放回抽样的概率问题我们要理解每次取的时候，总数是不变的，且同⼀个体可被重复抽取，同时，在求基本事件数时，要做到不重不漏.⼩结： (1)古典概型概率的计算公式是⾮常重要的⼀个公式，要深刻体会古典概型的概念及其概率公式的运⽤，为我们学好概率奠定基础. (2)体会求解不放回和有放回概率的题型. 知识点三：随机数产⽣的⽅法及随机模拟试验的步骤 **例7：某篮球爱好者，做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是40%，那么在连续三次投篮中，恰有两次投中的概率是多少?思路分析：题意分析：本题考查的是近似计算⾮古典概型的概率. 解题思路：其投篮的可能结果有有限个，但是每个结果的出现不是等可能的，所以不能⽤古典概型的概率公式计算，我们⽤计算机或计算器做模拟试验可以模拟投篮命中的概率为40%.解答过程：我们通过设计模拟试验的⽅法来解决问题，利⽤计算机或计算器可以⽣产0到9之间的取整数值的随机数. 我们⽤1，2，3，4表⽰投中，⽤5，6，7，8，9，0表⽰未投中，这样可以体现投中的概率是40%.因为是投篮三次，所以每三个随机数作为⼀组. 例如：产⽣20组随机数： 812，932，569，683，271，989，730，537，925，488907，113，966，191，431，257，393，027，556，458 这就相当于做了20次试验，在这组数中，如果恰有两个数在1，2，3，4中，则表⽰恰有两次投中，它们分别是812，932，271，191，393，即共有5个数，我们得到了三次投篮中恰有两次投中的概率近似为解题后的思考： (1)利⽤计算机或计算器做随机模拟试验，可以解决⾮古典概型的概率的求解问题.(2)对于上述试验，如果亲⼿做⼤量重复试验的话，花费的时间太多，因此利⽤计算机或计算器做随机模拟试验可以⼤⼤节省时间. (3)随机函数(RANDBETWEEN)(a，b)产⽣从整数a到整数b的取整数值的随机数. ⼩结：能够简单的体会模拟试验求解⾮古典概型概率的⽅法和步骤.⾼考对这部分内容不作更多的要求，了解即可.5=25%.20 【同步练习题】 1.(2014•惠州调研)⼀个袋中装有2个红球和2个⽩球，现从袋中取出1个球，然后放回袋中再取出1个球，则取出的2个球同⾊的概率为()A.12；B.13；C.14；D.25 答案：A[把红球标记为红1、红2，⽩球标记为⽩1、⽩2，本试验的基本事件共有16个，其中2个球同⾊的事件有8个：红1，红1，红1、红2，红2、红1，红2、红2，⽩1、⽩1，⽩1、⽩2，⽩2、⽩1，⽩2、⽩2，故所求概率为P=816=12.] 2.(2013•江西⾼考)集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各任意取⼀个数，则这两数之和等于4的概率是 ()A.23B.12C.13D.16 答案：C[从A，B中各任取⼀个数有(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，共6种情况，其中两个数之和为4的有(2，2)，(3，1)，故所求概率为26=13.故选C.] 3.(2014•宿州质检)⼀颗质地均匀的正⽅体骰⼦，其六个⾯上的点数分别为1、2、3、4、5、6，将这⼀颗骰⼦连续抛掷三次，观察向上的点数，则三次点数依次构成等差数列的概率为()A.112B.118C.136D.7108 答案：A[基本事件总数为6×6×6，事件“三次点数依次成等差数列”包含的基本事件有(1，1，1)，(1，2，3)，(3，2，1)，(2，2，2)，(1，3，5)，(5，3，1)，(2，3，4)，(4，3，2)，(3，3，3)，(2，4，6)，(6，4，2)，(3，4，5)，(5，4，3)，(4，4，4)，(4，5，6)，(6，5，4)，(5，5，5)，(6，6，6)共18个，所求事件的概率P=186×6×6=112.] 4.(2013•安徽⾼考)若某公司从五位⼤学毕业⽣甲、⼄、丙、丁、戊中录⽤三⼈，这五⼈被录⽤的机会均等，则甲或⼄被录⽤的概率为 ()A.23B.25C.35D.910 答案：D[五⼈录⽤三⼈共有10种不同⽅式，分别为：{丙，丁，戊}，{⼄，丁，戊}，{⼄，丙，戊}，{⼄，丙，丁}，{甲，丁，戊}，{甲，丙，戊}，{甲，丙，丁}，{甲，⼄，戊}，{甲，⼄，丁}，{甲，⼄，丙}. 其中含甲或⼄的情况有9种，故选D.] 5.(理)(2014•安徽⽰范⾼中联考)在棱长分别为1，2，3的长⽅体上随机选取两个相异顶点，若每个顶点被选取的概率相同，则选到两个顶点的距离⼤于3的概率为()A.47B.37C.27D.314 答案：B[从8个顶点中任取两点有C28=28种取法，其线段长分别为1，2，3，5，10，13，14.①其中12条棱长度都⼩于等于3;②其中4条，棱长为1，2的⾯对⾓线长度为5<3;故长度⼤于3的有28-12-4=12，故两点距离⼤于3的概率为12C28=37，故选B.]。

高中数学选择性必修三 6 3 二项式定理(精讲)(含答案)

6.3 二项式定理（精讲）考法一二项式定理展开式【例1】(1)求4的展开式为．（2）（2020·江苏省太湖高级中学高二期中）已知012233444(1)4729n n nn n n n n C C C C C -+-++-=，则n的值为【答案】（1）1x 2＋12x＋54＋108x ＋81x 2【解析】（1）方法一 ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝(3x )4＋C 14(3x )3·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋C 24(3x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋C 34(3x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x2.方法二 ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝1x 2(1＋3x )4＝1x 2·[1＋C 14·3x ＋C 24(3x )2＋C 34(3x )3＋C 44(3x )4]＝1x 2(1＋12x ＋54x 2＋108x 3＋81x 4)＝1x2＋12x＋54＋108x ＋81x 2.（2）由012233444(1)4729n n nn n n n n C C C C C -+-++-=得()()()()()0120312312301414141414729nn n n n n nn n n n C C C C C ---⋅⋅-+⋅⋅-⋅⋅-+⋅⋅-⋅-+++=⋅则()12479n-=，即()()672933n =-=-，解得6n =.【一隅三反】1．（2021·全国课时练习）化简多项式(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1的结果是( ) A ．(2x+2)5 B ．2x 5 C ．(2x-1)5 D ．32x 5【答案】D【解析】依题意可知，多项式的每一项都可看作()()55211rrrC x -+-，故为()5211x ⎡⎤+-⎣⎦的展开式，化简()()555211232x x x ⎡⎤+-==⎣⎦.故选D. 2．（2020·江苏宿迁市·宿迁中学高二期中）化简：2012222412333...3n n n n n n n n C C C C ---⋅+⋅+⋅++⋅=_________.【答案】101n -【解析】()()()()112021211212(31)3131 (3)131n n n n n n n n nnnC C CC ----+=⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯则2012222412233331(31)10n n n n n n n n n n C C C C ---⋅+⋅+⋅++⋅+=+=所以2012222412333...3101nn n n n n n n n C C C C ---⋅+⋅+⋅++⋅=-故答案为：101n -.考法二二项式指定项的系数与二项式系数【例2】（1）（2020·全国高二单元测试）在(x 10的展开式中，x 6的系数是（2）（2020·广东佛山市·高二期末）二项式81x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是______（用数字作答）（3）（2020·安徽省蚌埠第三中学高二月考）30的有理项共有项【答案】（1）9410C （2）70（3）6【解析】（1）由T k +1=10kC x 10-k (k ，令10-k =6，解得k =4，∴系数为(4410C =9410C（2）二项式81x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式8821881r r r rr r T C x C x x --+==，令820r -=，得4r =,则常数项为4588765==704321T C ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，故答案为：70（3）30的通项公式为：53010613030rrrrr r T C C x --+==，061051730300,,6,r T x r T x C C ====， 12180513********,,18,r T x r T x C C -====，243010152531303024,,30,r T x r T x C C --====，所以有理项共有6项，故选：C 【一隅三反】1．（2020·北京市鲁迅中学高二月考）二项式261(2)x x-的展开式中的常数项是_______.（用数字作答）【答案】60【解析】有题意可得，二项式展开式的通项为：()62612316612(1)2rrr r r r rr T Cx C xx ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令1230r -=可得4r = ，此时2456260T C ==.2.（2021·上海青浦区）在6212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭二项展开式中，常数项是_______. 【答案】60【解析】展开式的通项公式是()626123166122rrrr rr r T C xC x x ---+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，当1230r -=时，4r = 24416260T C +=⋅=.故答案为603.．（2020·青海西宁市）若8x ⎛+ ⎝的展开式中4x 的系数为7，则实数a =______. 【答案】12【解析】根据二项展开式的通项公式可得：4888331888=rr r r r r r r r r r T C x C a x C a x ----+==，令4843r -=，可得3r =，3388==7r r C a C a ，解得：12a =，故答案为：124．（2020·梁河县）已知31(2)n x x+的展开式的常数项是第7项，则n =________.【答案】8【解析】根据题意，可知第7项为()666366324122n n n n n C xC x x ---⎛⎫⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，而常数项是第7项，则 3240n -=，故8n =.故答案为：8.考法三多项式系数或二项式系数【例3】（1）（2020·福建三明市·高二期末）52212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项是（） A ．-252B ．-220C ．220D ．252（2）．（2021·四川成都市）若5(2)a x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为80-，则a =（）A ．2B ．1C ．2-D ．1-【答案】（1）A （2）C 【解析】(1）由2510211(2)()x x x x+-=-，可得二项式101()x x-的展开式通项为10102110101()(1)rrr r r r r T C xC x x--+=-=-，令1020r -=，解得=5r ，所以展开式的常数项为5510(1)252C -=-.故选：A.（2）5a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为：55251(1)r r r r r T C a x--+=⋅⋅⋅-，显然，25r -为奇数，若求5(2)a x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式的常数项，251r ∴-=-，解得2r故5(2)a x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式的常数项等于：23580C a ⋅=-2a ∴=-故选：C.【一隅三反】1．（2020·全国高三专题练习）4211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中常数项为（）.A ．11B ．11-C ．8D ．7-【答案】B 【解析】将21x x +看成一个整体，展开得到：41421()(1)r r rr T C x x-+=+- 421()r x x-+的展开式为：4243144m r m m m r mm r r T C x x C x -----+--=⋅=取430r m --=当0m =时，4r = 系数为：40440(1)1C C ⨯⨯-= 当1m =时，1r = 系数为：11143(1)12C C ⨯⨯-=-常数项为11211-=- 故答案选B2．（2020·全国高三专题练习）52431x xx ⎛⎛⎫-+- ⎪ ⎝⎭⎝的展开式中常数项为( )A ．30-B ．30C ．25-D ．25【答案】C【解析】51⎛- ⎝ 的通项为15(1)r r r r T C +=-， 55224311x x x x ⎛⎛⎛⎫-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎝ 554311xx ⎛⎛--+ ⎝⎝，根据式子可知当4r = 或2r时有常数项，令4r =41455(1)T C ⇒=- ; 令232352(1)r T C =⇒=-;故所求常数项为13553C C -⨯53025=-=- ，故选C.3．（2020·河南商丘市）()64111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式的常数项为（）A ．6B ．10C ．15D ．16【答案】D【解析】由题意得611x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为()160,1,2,,6r r r T C x r -+=⋅=⋅⋅⋅，令4r =，则4615C =，所以()64111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式的常数项为11516+=.故选：D. 4．（2020·枣庄市第三中学高二月考）在1020201(1)x x++的展开式中，x 2项的系数为（） A ．30 B ．45C ．60D ．90【答案】B【解析】在1020201(1)x x ++的展开式中，通项公式为T r +110rC =•20201rx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.对于20201rx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，通项公式为T k +1kr C =•x r ﹣2021k ，k ≤r ，r 、k ∈N ，r ≤10.令r ﹣2021k ＝2，可得r ＝2+2021k ，故k ＝0，r ＝2，故x 2项的系数为210C •02C =45，故选：B .5．（2020·全国高二专题练习）若()1021x a x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中6x 的系数为30，则a 等于（） A ．13B ．12C ．1D ．2【答案】D【解析】将题中所给式子可化为()10101022111x a x x x a x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=+-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭根据二项式定理展开式通项为1C rn rrr nT a b -+=,101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的通项为10102110101rr r r r r T C xC x x --+⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭令1024r-= 解得3r =所以6x 的项为234610120x C xx ⋅=令1026r -=解得2r所以6x 的项为2661045a C x ax -⋅=-综上可知, 6x 的系数为1204530a -= 解得2a = 故选:D考法四二项式定理的性质【例2】（1）（多选）（2020·全国高二单元测试）111x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数最大的项是（）A ．第5项B ．第6项C ．第7项D ．第8项（2）（2020·山东省桓台第一中学高二期中）（多选）二项式1121x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，系数最大的项为（）.A ．第五项B ．第六项C ．第七项D ．第八项（3）（2020·绵阳市·四川省绵阳江油中学高二开学考试）若1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含2x 项的系数是A ．462-B ．462C ．792D ．792-【答案】（1）BC （2）BC （3）D【解析】(1）因为n ＝11为奇数，所以展开式中第1112+项和第11112++项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大.故选：BC（2）二项式1121x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，每项的系数与二项式系数相等，共有12项所以系数最大的项为第六项和第七项故选：BC（3）∵1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第7项的二项式系数最大，∴n 为偶数，展开式共有13项，则12n =. 121x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()1212211C r r r r T x -+=-，令1222r -=，得5r =. ∴展开式中含2x 项的系数是()12551C 792-=-，故选D ．【一隅三反】1．（2020·辽宁沈阳市·高二期中）在()()1nx n N +-∈的二项展开式中，若只有第5项的二项式系数最大，则n⎛⎝的二项展开式中的常数项为（）A ．960B ．1120C ．-560D ．-960【答案】B【解析】在（x ﹣1）n （n ∈N +）的二项展开式中，若只有第5项的二项式系数最大，则n=8，则n=8⎛ ⎝的二项展开式的通项公式为T r+1=8r C •28﹣r•（﹣1）r •x 4﹣r ，令4﹣r=0，求得r=4，可得展开式中的常数项为48C •24•（﹣1）4=1120，故选B ．2．（2021·湖南常德市）(ax +1x )(2x −1)5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为（）A ．B ．C ．10D ．20【答案】C【解析】由已知，当x =1时，(a +11)(2−1)5=2,即a =1，所以(x +1x )(2x −1)5展开式中常数项为1x ×C 542x ×(−1)4=10，故选C . 3．（多选）（2020·三亚华侨学校高二开学考试）已知()na b +的展开式中第5项的二项式系数最大，则n 的值可以为（） A ．7 B ．8C ．9D ．10【答案】ABC【解析】∵已知()na b +的展开式中第5项的二项式系数4n C 最大,则7n =或n ＝8或n ＝9故选：ABC .4．（2020·全国高二课时练习）已知6(31)x +展开式中各项系数的和为m ，且2log n m =，求2nx ⎫⎪⎭展开式中二项式系数最大的项的系数 . 【答案】59136【解析】设6260126(31)x a a x a x a x +=++++，令1x =，得6612(31)42m =+==，所以2log 12n m ==，则122x ⎫⎪⎭展开式中有13项，且中间一项（第7项）的二项式系数最大，该项为6666633712122(2)59136T C C x x x --⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭.故所求的系数为59136.5．（2020·重庆市第七中学校高二月考）二项式()*122nx n N x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ 的展开式中，二项式系数最大的项是第4项，则其展开式中的常数项是_________．【答案】-20【解析】由题意知，展开式中有7项，6n =．因为()661122rrrTr C x x -⎛⎫+=- ⎪⎝⎭()6262612r r r rC x --=- 令620r -=，得3r =，所以常数项为()336120C -=-．考法五二项式系数或系数和【例5】（2020·安徽省泗县）若2701277()(12)f x x a a x a x a x =+=++++.求：（1）017a a a ++⋯+；（2）1357a a a a +++；（3）0127a a a a ++++.【答案】（1）27；（2）14；（3）27.【解析】（1）令1x =，可得301235674()3271f a a a a a a a a ==+++++++=，∴4012356727a a a a a a a a ++++++=+．①（2）令1x =-可得301235674(1)(1)f a a a a a a a a -=-=-+-+-+-，∴401235671a a a a a a a a +-+-+-=--．② 由①-②得13572()28a a a a +++=， ∴135714a a a a +++=．（3）由题意得二项式7(12)x +展开式的通项为177(2)2r r r r r r T C x C x +==，∴每项的系数0(0,1,2,,7)i a i >=，∴01235017647227a a a a a a a a a a a a ++++=++++++=+．【一隅三反】1．（2020·北京朝阳区·高二期末）在5(21)x +的二项展开式中，二项式系数之和为___________；所有项的系数之和为_______. 【答案】32 243【解析】根据二项展开式的性质，展开式的二项式系数之和为52232n ==，令1x =可得所有项的系数之和为55(211)3243==⨯+，故答案为：32，2432．（2020·全国高二单元测试）若－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝【答案】1【解析】令1x =，得)1001101a a a +++=，令1x =-，得)100123101a a a a a -+-++=，()()220210139a a a a a a +++-+++()()0110012310a a a a a a a a =+++-+-++))1010111==.故选：A.3．（2020·福建厦门市·厦门双十中学高二期中）已知()1121011012101112x a a x a x a x a x +=+++++ ，则12101121011a a a a -+-+=_____.【答案】22【解析】对等式112012(12)x a a x a x +=++10111011a x a x +++两边求导，得101222(12)2x a a x+=+91010111011a x a x +++，令1x =-，则1210112101122a a a a -+-+=.4．（2020·宁县第二中学高二期中）设2012(21)n n n x a a x a x a x -=++++展开式中只有第1010项的二项式系数最大．（1）求n ；（2）求012n a a a a ++++; （3）求.312232222n na a a a ++++. 【答案】（1）2018；（2）20183；（3）-1.【解析】（1）由二项式系数的对称性，1101020182n n +=∴= （2）201801220180122018=3a a a a a a a a ++++-+++= （3）令0x = ，得20180(10)1a =-=，令12x =，得21232018232018(11)02222a a a a ++++=-=，故3201812023201812222a a a a a +++=-=-.考法六二项式定理运用【例6】（1）（2020·上海市七宝中学高二期中）7271除以100的余数是________（2）（2020·全国高二单元测试）6(1.05)的计算结果精确到0.01的近似值是_________【答案】（1）41（2）1.34【解析】（1）()727217172727270727127270170177070C C C C +==++++21072701()m m N =+⨯+∈2105041m =+ 即7271除以100的余数为41．故答案为：41．（2）()()66122661.0510.051+0.05+0.05+1+0.3+0.0375=1.3375 1.34C C =+=⋅⋅≈≈故答案为：1.34【一隅三反】1．（2020·四川棠湖中学高二月考）已知202074a +能够被15整除，则a =________.【答案】14【解析】由题可知，()0202020275714=-()()()()0120192020020201201920191202002020202020202020751751751751C C C C =-+-++-+- 0202012019201912020202020207575751C C C =-+-+所以0202012019201912020202022020200775754751C C C a a =-++-++，而75能被15整除，要使202074a +能够被15整除，只需1a +能被15整除即可，所以115a +=，解得：14a =.故答案为：14.2．（2020·江苏泰州市·泰州中学高二期中）83被5除所得的余数是_____________．【答案】1【解析】因为883(52)=-0817262778088888855(2)5(2)5(2)5(2)C C C C C =⋅+⋅⨯-+⋅⨯-++⋅⨯-+⋅⨯- 071625277808888885(55(2)5(2)(2))5(2)C C C C C =⋅+⋅⨯-+⋅⨯-++-+⋅⨯-，所以转化为求80885(2)256C ⋅⨯-=被5除所得的余数，因为2565151=⨯+，所以83被5除所得的余数是1，故答案为：13．（2021·河北保定市）60.99的计算结果精确到0.001的近似值是【答案】0.941【解析】()()()()6620126666330.9910.0110.010.010.01...C C C C =-=⨯-⨯+⨯-⨯ 10.060.00150.00002...=-+- 0.941≈故选B。

必修3统计知识点复习

必修3统计知识点复习一、本章知识结构二、知识点复习1、统计的的基本思想是：用样本的某个量去估计总体的某个量总体：在统计中，所有考察对象的全体。

个体：总体中的每一个考察对象。

样本：从总体中抽取的一部分个体叫做这个总体的一个样本。

样本容量：样本中个体的数目。

2、抽样方法：要求：总体中每个个体被抽取的机会相等（1）简单随机抽样：抽签法和随机数表法简单随机抽样的特点是：不放回、等可能．抽签法步骤（1）先将总体中的所有个体（共有N个）编号（号码可从1到N）（2）把号码写在形状、大小相同的号签上，号签可用小球、卡片、纸条等制作（3）将这些号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌（4）抽签时，每次从中抽出一个号签，连续抽取n次（5）抽出样本随机数表法步骤（1）将总体中的个体编号(编号时位数要统一)；（2）选定开始的数字；（3）按照一定的规则读取号码；（4）取出样本（2）系统抽样系统抽样特点：容量大、等距、等可能．步骤:1.编号,随机剔除多余个体,重新编号2.分段 (段数等于样本容量),确定间隔长度 k=N/n3.抽取第一个个体编号为i4.依预定的规则抽取余下的个体编号为i+k, i+2k, …（3）分层抽样分层抽样特点：总体差异明显、按所占比例抽取、等可能．步骤：1.将总体按一定标准分层;2.计算各层的个体数与总体的个体数的比;3.按比例确定各层应抽取的样本数目4.在每一层进行抽样 (可用简单随机抽样或系统抽样)三种抽样方法的比较：3、用样本估计总体1）用样本的频率分布估计总体的分布作样本频率分布直方图的步骤：（1）求极差；（2）决定组距与组数; (组数＝极差/组距)（3）将数据分组；（4）列频率分布表（分组，频数，频率）；（5）画频率分布直方图。

茎叶图作图步骤:1.将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分.2.将最小茎和最大茎之间的数按大小顺序排成一列,写在左(右)侧;3.将各个数据的叶按大小次序写在其右(左)侧. 直方图的优点是：任何情况都能用；直方图的缺点是：有信息丢失．茎叶图的优点是：一是从统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示。

【沪科版】高中数学必修三期末试题附答案

一、选择题1．在区间11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上随机取一个数x，则cos xπ的值介于22与32之间的概率为（）A．13B．14C．15D．162．算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一.算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠.例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65.若在个､十､百位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字为奇数的概率为（）A．13B．49C．59D．233．已知三个村庄,,A B C所处的位置恰好位于三角形的三个顶点处，且6,8,10AB km BC km AC km===.现在ABC∆内任取一点M建一大型的超市，则M点到三个村庄,,A B C的距离都不小于2km的概率为（）A 33+B．12πC213-D．1212π-4．质地均匀的正四面体的四个面上分别写有数字0,1,2,3,把两个这样的四面体抛在桌面上,露在外面的6个数字为2,0,1,3,0,3的概率为( )A．19B．164C．18D．1165．给出一个算法的程序框图如图所示，该程序框图的功能是（）A ．求出,,a b c 三数中的最小数B ．求出,,a b c 三数中的最大数C ．将,,a b c 从小到大排列D ．将,,a b c 从大到小排列6．在如图所示的程序框图中，若函数12log (),?0()2,?0x x x f x x -<⎧⎪=⎨⎪≥⎩，则输出的结果是（）A ．16B ．8C ．162D ．827．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（）A ．511B ．512C ．1022D ．10248．如图的程序框图，当输出15y =后，程序结束，则判断框内应该填（）A ．1x ≤B ．2x ≤C ．3x ≤D ．4x ≤9．一组数据的平均数为x ，方差为2s ，将这组数据的每个数都乘以()0a a >得到一组新数据，则下列说法正确的是（） A ．这组新数据的平均数为x B ．这组新数据的平均数为a x + C ．这组新数据的方差为2as D ．这组新数据的标准差为2a s10．某同学10次测评成绩的数据如茎叶图所示，总体的中位数为12，若要使该总体的标准差最小，则42x y +的值是（）A ．12B ．14C ．16D ．1811．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油12．为了了解某社区居民是否准备收看电视台直播的“龙舟大赛”，某记者分别从社区60～70岁，40～50岁，20～30岁的三个年龄段中的128，192，x人中，采用分层抽样的方法共抽出了30人进行调查，若60～70岁这个年龄段中抽查了8人，那么x为（）A．64 B．96 C．144 D．160二、填空题13．某班共有4个小组，每个小组有2人报名参加志愿者活动．现从这8人中随机选出4人作为正式志愿者，则选出的4人中至少有2人来自同一小组的概率为________．14．马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布列如表请小牛同学计算的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案_______ ．15．某公司的班车在8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是__________16．执行如下图所示的程序框图，则输出的结果n __________．17．根据如图所示的算法流程图，可知输出的结果S为______．n=，则输出S的值为_____.18．运行如图所示的程序框图，若输入419．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：月份x1234用水量y 4.543 2.5由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是=-+，则a等于___0.7y x a20．为了了解2100名学生早晨到校时间，计划采用系统抽样的方法从全体学生中抽取容量为100栋样本，则分段间隔为__________．三、解答题21．某校从高三年级期末考试的学生中抽出60名学生，其成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示：（1）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；（2）按分层抽样从成绩是80分以上（包括80分）的学生中选取6人，再从这6人中选取两人作为代表参加交流活动，求他们在不同分数段的概率.22．为了弘扬中华民族传统文化，某中学高二年级举行了“爱我中华，传诵经典”的考试，并从中随机抽取了60名学生的成绩（满分100分）作为样本，其中成绩不低于80分的学生被评为优秀生，得到成绩分布的频率分布直方图如图所示.（1）若该年级共有1000名学生，试利用样本估计该年级这次考试中优秀生人数；（2）试估计这次参加考试的学生的平均成绩（同一组数据用该组区间中点值作代表）；（3）若在样本中，利用分层抽样从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从中抽取2人赠送一套国学经典典籍，试求恰好抽中2名优秀生的概率.23．下面给出了一个问题的算法：第一步，输入x.第二步，若x≥4，则执行第三步，否则执行第四步．第三步，y＝2x－1，输出y.第四步，y＝x2－2x＋3，输出y.问题：(1)这个算法解决的问题是什么？(2)当输入的x 值为多大时，输出的数值最小？24．已知华氏温度与摄氏温度的转换公式是(华氏温度532)9-⨯=摄氏温度．编写一个程序，输入一个华氏温度，输出其相应的摄氏温度．25．学生甲在一次试验中用显微镜观察某种环境下细菌的个数，发现时间x （分钟）时刻的细菌个数为y 个，统计结果如下：x 1 2 3 4 5 y23445（Ⅰ）在给出的坐标系中画出x ，y 的散点图，说明细菌个数和时间是正相关还是负相关.（Ⅱ）根据表格中的5组数据，求y 关于x 的回归直线方程ˆˆˆybx a =+，并根据回归直线方程估计从实验开始，什么时刻细菌个数为12.参考公式：（1221ˆˆˆ,ni ii ni i x y nx yx n axby bx ====---∑∑） 26．某城市200户居民的月平均用电量（单位：度），以[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,280，[)280,300分组的频率分布直方图如图：（1）求直方图中x 的值；（2）在月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280的三组用户中，用分层抽样的方法抽取20户居民，则月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取多少户？（3）求月平均用电量的中位数和平均数.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据余弦函数的图象和性质，求出cos x π的值介于2之间时，自变量x 的取值范围，代入几何概型概率计算公式，可得答案. 【详解】cos 22x π≤≤，11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 则：1164x ≤≤或1146x -≤≤- 在区间11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上随机取一个数，cos x π的值介于211214611622P ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==+ 故选：D. 【点睛】本题主要考查了余弦函数的图象与性质，几何概型，考查了分析问题的能力，属于中档题.2．C解析：C 【分析】列举法列举出所有可能的情况，利用古典概型的计算方法计算即可. 【详解】解：依题意得所拨数字可能为610，601，511，160，151，115，106，61，16，共9个，其中有5个是奇数，则所拨数字为奇数的概率为59，故选：C.【点睛】本题考查概率的实际应用问题，考查古典概型的计算方法，同时考查了学生的阅读能力和文化素养，属于中档题.3．D解析：D 【分析】采用数形结合，计算ABC S ∆，以及“M 点到三个村庄,,A B C 的距离都不小于2km ”这部分区域的面积S ，然后结合几何概型，可得结果. 【详解】由题可知：222AB BC AC += 所以该三角形为直角三角形分别以,,A B C 作为圆心，作半径为2的圆如图所以则 “M 点到三个村庄,,A B C 的距离都不小于2km ” 该部分即上图阴影部分，记该部分面积为S11682422ABC S AB BC ∆=⨯⨯=⨯⨯=又三角形内角和为π，所以2122422ABC S S ππ∆=-⨯=- 设M 点到三个村庄,,A B C 的距离都不小于2km 的概率为P所以242122412ABCS P S ππ∆--=== 故选：D 【点睛】本题考查面积型几何概型问题，重点在于计算面积，难点在于计算阴影部分面积，考验理解能力，属基础题.4．C解析：C 【分析】露在外面的6个数字为2,0,1,3,0,3，则向下的数分别为1和2，求出所有的基本事件个数和向下数字为1和2的基本事件个数，代入概率公式即可. 【详解】抛两个正四面体，共有4416⨯=个基本事件，向下数字为1和2的基本事件共有2个，分别是1,2和()2,1，所以向下数字为1和2的概率21168P ==, 故选：C 【点睛】本题主要考查随机事件概率的计算，难度较低.5．A解析：A 【分析】对a 、b 、c 赋三个不等的值，并根据程序框图写出输出的结果，可得知该程序的功能．【详解】令2a =，3b =，1c =，则23>不成立，21>成立，则1a =，输出的a 的值为1，因此，该程序的功能是求出a 、b 、c 三数中的最小数，故选A ．【点睛】本题考查程序框图的功能，解题的关键就是根据题意将每个步骤表示出来，考查分析问题的能力，属于中等题．6．A解析：A 【解析】模拟执行程序框图，可得160a =-≤，执行循环体，12log 1640b ==-<，12log 420a ==-<，不满足条件4a >，执行循环体，12log 210b ==-<，12log 10a ==，不满足条件4a >，执行循环体，0210b ==>，1220a ==>，不满足条件4a >，执行循环体，2240b ==>，4216a ==，满足条件4a >，退出循环，输出a 的值为16．选A.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.7．C解析：C 【分析】直接根据程序框图计算得到答案. 【详解】根据程序框图知：92391012222 (2222102212)S -=++++==-=-.故选：C. 【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力，确定程序框图表示的意义是解题的关键.8．C解析：C 【分析】计算出输出15y =时，3x =；继续运行程序可知继续赋值得：4x =，此时不满足判断框条件，结束程序，从而可得判断框条件. 【详解】解析当x ＝－3时，y ＝3；当x ＝－2时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－1；当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝3；当x ＝2时，y ＝8；当x ＝3时，y ＝15，x ＝4，结束．所以y 的最大值为15，可知x ≤3符合题意．判断框应填：3x ≤ 故选C 【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.9．D解析：D 【分析】根据平均数及方差的定义可知，一组数据的每个数都乘以a 得到一组新数据，平均值变为原来a 倍，方差变为原来2a 倍. 【详解】设一组数据1234,,,,,n x x x x x ⋯的平均数为x ，方差为2s , 则平均值为()12341n ax ax ax ax ax ax n++++⋯+=， ()()()()()22222212341n s x xxxxxxxx x n ⎡⎤=-+-+-+-+⋯+-⎢⎥⎣⎦，()()()()()222222212341n ax axaxaxaxaxaxaxax ax a s n ⎡⎤∴-+-+-+-+⋯+-=⋅⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查了方差，平均数的概念，灵活运用公式计算是解题关键，属于中档题.10．A解析：A 【分析】由题，中位数为12，求得4x y +=，再求得平均数，利用总体标准差最小和基本不等式求得x ，y 的值，即可求得答案. 【详解】由题，因为中位数为12，所以242x yx y +=∴+= 数据的平均数为：1(22342019192021)11.410x y ++++++++++= 要使该总体的标准最小，即方差最小，所以222222.8(1011.4)(1011.4)( 1.4)( 1.4)2()0.722x y x y x y +-+-++-=-+-≥= 当且紧当 1.4 1.4x y -=-，取等号，即2x y ==时，总体标准差最小此时4212x y += 故选A 【点睛】本题考查了茎叶图，熟悉茎叶图，清楚中位数、标准差的求法是解题的关键，属于中档题型.11．D解析：D 【详解】解：对于A ，由图象可知当速度大于40km /h 时，乙车的燃油效率大于5km /L ， ∴当速度大于40km /h 时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km ，故A 错误；对于B ，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B 错误；对于C ，由图象可知当速度为80km /h 时，甲车的燃油效率为10km /L ，即甲车行驶10km 时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km ，燃油为8升，故C 错误；对于D ，由图象可知当速度小于80km /h 时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率， ∴用丙车比用乙车更省油，故D 正确故选D ．考点：1、数学建模能力；2、阅读能力及化归思想.12．D解析：D【分析】根据60～70岁这个年龄段中128人中抽查了8人，可知分层抽样的抽样比为81= 12816，因为共抽出30人，所以总人数为3016=480⨯人，即可求出20～30岁年龄段的人数.【详解】根据60～70岁这个年龄段中128人中抽查了8人，可知分层抽样的抽样比为81= 12816,因为共抽出30人，所以总人数为3016=480⨯人,所以，20～30岁龄段的人有480128192160--=，故选D.【点睛】本题主要考查了分层抽样，抽样，样本容量，属于中档题二、填空题13．【分析】先求出从这8人中随机选出4人的选法总数再求出选出的4人中至少有2人来自同一小组的不同选法总数再求概率【详解】从这8人中随机选出4人作为正式志愿者有种不同的选法选出的4人中至少有2人来自同一小解析：27 35【分析】先求出从这8人中随机选出4人的选法总数，再求出选出的4人中至少有2人来自同一小组的不同选法总数，再求概率.【详解】从这8人中随机选出4人作为正式志愿者有4870C=种不同的选法.选出的4人中至少有2人来自同一小组分为下列情况：(1)恰好有2人来自同一小组,有1211432248C C C C=种（2）4个人来自2个不同的小组（每个小组2个人）有246C=所以选出的4人中至少有2人来自同一小组有48654+=种选法.则选出的4人中至少有2人来自同一小组的概率为54277035 P==故选项为：27 35.【点睛】本题考查组合问题，求古典概率的问题，属于中档题.14．2【解析】试题分析：令？的数字是x则！的数值是1-2x所以考点：数学期望点评：数学期望就是平均值要得到随机变量的数学期望则需先写出分布列解析：2试题分析：令？的数字是x ，则！的数值是1-2x ，所以考点：数学期望点评：数学期望就是平均值，要得到随机变量的数学期望，则需先写出分布列．15．【分析】求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度代入几何概型概率计算公式可得答案【详解】设小明到达时间为当在7：50至8：00或8：20至8：30时小明等车时间不超过10分钟故故答案为【点睛】本题考解析：12【分析】求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案．【详解】设小明到达时间为y ，当y 在7：50至8：00，或8：20至8：30时，小明等车时间不超过10分钟，故201402P ==．故答案为12．【点睛】本题考查的知识点是几何概型，难度不大，属于基础题．16．9【解析】模拟程序的运行可得第一次执行循环不满足则返回继续循环；不满足则返回继续循环；不满足则返回继续循环；当时则最小值为此时故答案为点睛：识别运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图解析：9 【解析】模拟程序的运行，可得0S =，1n =，第一次执行循环，20log 21S =+=，12n n =+=，不满足3S >，则返回继续循环；231log 2S =+，13n n =+=，不满足3S >，则返回继续循环；22341log log 11223S =++=+=，14n n =+=，不满足3S >，则返回继续循环；⋅⋅⋅当n k =时，222234111log log log 1log 232k k S k ++=+++⋅⋅⋅+=+，1n k =+则211log 32k S +=+>，8k ≥，k 最小值为8，此时19n k =+=.故答案为9.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路： (1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构；(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题；(3)按照题目的要求完成解答并验证．17．【解析】执行循环为点睛：算法与流程图的考查侧重于对流程图循环结构的考查先明晰算法及流程图的相关概念包括选择结构循环结构伪代码其次要重视循环起点条件循环次数循环终止条件更要通过循环规律明确流程图研究的解析：3 4【解析】执行循环为1111111131122334223344 S=++=-+-+-=⨯⨯⨯点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.18．11【解析】试题分析：根据程序框图可知该程序执行的是所以输出的值为11考点：本题考查程序框图容易题点评：程序框图的题目离不开循环结构和条件结构要仔细辨别循环条件弄清楚循环次数避免多执行或少执行一次解析：11【解析】试题分析：根据程序框图可知该程序执行的是1123411S=++++=，所以输出的值为11.考点：本题考查程序框图，容易题.点评：程序框图的题目离不开循环结构和条件结构，要仔细辨别循环条件，弄清楚循环次数，避免多执行或少执行一次.19．【分析】首先求出xy的平均数根据样本中心点满足线性回归方程把样本中心点代入得到关于a的一元一次方程解方程即可【详解】：（1+2+3+4）＝25（45+4+3+25）＝35将（2535）代入线性回归直解析：21 4【分析】首先求出x，y的平均数，根据样本中心点满足线性回归方程，把样本中心点代入，得到关于a的一元一次方程，解方程即可．【详解】：14x=（1+2+3+4）＝2.5，14y=（4.5+4+3+2.5）＝3.5，将（2.5，3.5）代入线性回归直线方程是ˆy=-0.7x+a，可得3.5＝﹣1.75+a，故a＝214．故答案为214【点睛】本题考查回归分析，考查样本中心点满足回归直线的方程，考查求一组数据的平均数，是基础题20．【解析】【分析】根据系统抽样的特征求出分段间隔即可【详解】根据系统抽样的特征得：从2100名学生中抽取100个学生分段间隔为故答案是21【点睛】该题所考查的是有关系统抽样的组距问题应用总体除以样本容解析：21【解析】【分析】根据系统抽样的特征，求出分段间隔即可. 【详解】根据系统抽样的特征，得：从2100名学生中抽取100个学生，分段间隔为210021100=，故答案是21. 【点睛】该题所考查的是有关系统抽样的组距问题，应用总体除以样本容量等于组距，得到结果，属于简单题目.三、解答题21．（1）及格率是80%；平均分是72分（2）13【分析】（1）由频率分布直方图直接可计算得及格率以及平均分；（2）按分层抽样知[80,90)5人A ，B ，C ，D ，E ，[90,100]”1人F ，写出基本事件，事件“不同分数段”所包含的基本事件数5种，利用古典概型即可得到结论. 【详解】（1）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为(0.0200.0300.0250.005)100.80+++⨯=，所以抽样学生成绩的合格率是80%.-利用组中值估算抽样学生的平均分：123456455565758595f f f f f f ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅450.05550.15650.2750.3850.25950.05=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 72=.估计这次考试的平均分是72分（2）按分层抽样抽取[80,90)5人A ，B ，C ，D ，E ，[90,100]”1人F .，则基本事件(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共15种，事件“不同分数段”所包含的基本事件数5种，故所求概率为：51153p ==. 【点睛】本题考查利用频率分布直方图求平均数，考查分层抽样的定义，古典概型，属于基础题. 22．（1）300人；（2）72.5；（3）15. 【分析】（1）由直方图知，样本中数据落在[)80,100的频率为0.3，由此能估计全校这次考试中优秀生人数；（2）将每个矩形底边的中点值乘以矩形的面积，再将所得结果相加即可得出样本数据的平均数；（3）由分层抽样可知成绩在[)70,80、[)80,90、[]90,100间分别抽取了3、2、1人，记成绩在[)70,80的3人为a 、b 、c ，在[)80,90的2人为A 、B ，在[]90,100的1人记为C ，列出所有的基本事件，利用古典概型的概率公式可求出所求事件的概率. 【详解】（1）由直方图知，样本中数据落在[)80,100的频率为：0.20.10.3+=，则估计全校这次考试中优秀生人数为：10000.3300⨯=人；（2）该样本数据的平均数为：450.05550.15650.2750.3850.2950.172.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， ∴估计所有参加考试的学生的平均成绩为72.5；（3）由分层抽样可知成绩在[)70,80、[)80,90、[]90,100间分别抽取了3、2、1人，记成绩在[)70,80的3人为a 、b 、c ，在[)80,90的2人为A 、B ，在[]90,100的1人记为C ，则6人中抽取2人的所有情况有15种，分别为：{},a b 、{},a c 、{},b c 、{},a A 、{},a B 、{},a C 、{},b A 、{},b B 、{},b C 、{},c A 、{},c B 、{},c C 、{},A B 、{},A C 、{},B C ，记抽取2人为优秀生为事件E ，则事件E 包含的基本事件有：{},A B 、{},A C 、{},B C ，共3种，因此，恰好抽中2名优秀生的概率()31155P E ==. 【点睛】本题考查频数、平均数、概率的求法，考查频率分布直方图、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．23．（1）见解析（2）当输入的x 的值为1时，输出的数值最小．【解析】试题分析：本题考查了一个条件分支结构的算法，可分为4x ≥和4x <，执行不同的计算，即可得到结论. 试题(1)这个算法解决的问题是求分段函数()()221x 4y x 23x 4x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩的函数值的问题． (2)本问的实质是求分段函数最小值的问题．当x≥4时，y ＝2x －1≥7；当x<4时，y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2≥2． ∴函数最小值为2，当x ＝1时取到最小值． ∴当输入x 的值为1时，输出的数值最小．点睛：本题主要考查了一个条件分支结构的算法的应用问题，解答中涉及到分段函数的性质，其中程序填空是重点考查的题型，这种试题考试的重点：①分支条件；②循环的条件；③变量的赋值；④变量的输出，其中前两个是考试的重点，正确理解算法的流程，读懂题意是解答的关键. 24．见解析【解析】试题分析：输入“华氏温度F =”，计算()325/9C F =-*，输出“相应的摄氏温度C =”即可. 试题根据题意，所求的程序如下： INPUT “华氏温度F =”；F C =(F –32)*5/9PRINT “相应的摄氏温度C =”；C END25．（Ⅰ）图象见解析，正相关；（Ⅱ）ˆ0.7 1.5yx =+，当15x =时细菌个数为12个. 【分析】（Ⅰ）根据数据描点即得散点图，看图即判断结果；（Ⅱ）利用公式代入数据计算即可. 【详解】解：（Ⅰ）图形如下，观察图像可知细菌个数和时间是正相关.（Ⅱ）由数据计算得，()11234535x =⨯++++=，()123445 3.65y =⨯++++=，1122334445561ni ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，22222211234555n i i x ==++++=∑122216153 3.67ˆ0.7555310ni ii ni i x y nx yxbx n ==-⨯⨯====-⨯--∑∑，ˆˆ 3.60.73 1.5a y bx =-=-⨯=，所以ˆ0.7 1.5yx =+，当0.7 1.512x +=时，解得15x =. 所以当15x =时细菌个数为12个. 【点睛】本题考查了散点图、线性回归方程及其应用，属于基础题. 26．（1）0.0075；（2）10户；（3）224a =，225.6x =. 【分析】（1）由频率和为1列出方程求解x ；（2）求出三组用户的月平均用电量的频率推出比例关系，用20乘以月平均用电量在[)220,240的用户所占比例即可得解；（3）根据中位数左边和右边的直方图面积相等列出等式估计中位数，平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和. 【详解】（1）由直方图的性质可得()0.0020.00950.0110.01250.0050.0025201x ++++++⨯=，解得0.0075x =，所以直方图中x 的值是0.0075.（2）因为月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280的三组用户的频率分别为0.25、0.15、0.1，所以这三组用户的月平均用电量比例为5:3:2，所以月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取5201010⨯=（户）. （3）因为()0.0020.00950.011200.450.5++⨯=<，所以月平均用电量的中位数在[)220,240内，设中位数为a ，则()()0.0020.00950.011200.01252200.5a ++⨯+⨯-=，解得224a =. 平均数1700.041900.192100.222300.252500.152700.12900.05x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯225.6=，所以月平均用电量的中位数为224，平均数为225.6. 【点睛】本题考查统计案例、分层抽样、根据频率分布直方图估计总体的数字特征，属于中档题.。

高中数学选择性必修三专题33 二项分布与超几何分布(含答案)

专题33 二项分布与超几何分布一、单选题1．（2020·山西应县一中高二期中（理））盒中有10个螺丝钉,其中有3个是坏的,现从盒中随机地抽取4个,那么概率是310的事件为()A．恰有1个是坏的B．4个全是好的C．恰有2个是好的D．至多有2个是坏的【答案】C【解析】对于选项A，概率为133741012C CC=.对于选项B，概率为4741016CC=.对于选项C，概率为2237410310C CC=.对于选项D，包括没有坏的，有1个坏的和2个坏的三种情况.根据A选项，恰好有一个坏的概率已经是13210>，故D选项不正确.综上所述，本小题选C.2．（2020·天山新疆实验高二期末）有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P(X<2)等于（）A．715B．815C．1415D．1【答案】C【解析】由题意，知X取0，1，2，X服从超几何分布，它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式，即P(X＝0)＝27210715CC=，P(X＝1)＝1173210715C CC=⋅，P(X＝2)＝23210115CC=，于是P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝7714 151515 +=故选C3．（2020·江苏鼓楼南京师大附中高二期末）某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，下列事件中概率等于67的是（） A ．至少有1个深度贫困村 B ．有1个或2个深度贫困村 C ．有2个或3个深度贫困村 D ．恰有2个深度贫困村【答案】B 【解析】用X 表示这3个村庄中深度贫困村数，X 服从超几何分布，故()33437k kC C P X k C -==，所以()3043374035C C P X C ===， ()21433718135C C P X C ===，()12433712235C C P X C ===，()0343371335C C P X C ===， ()()6127P X P X =+==. 故选：B4．（2020·辉县市第二高级中学高二月考（理））在10个排球中有6个正品，4个次品.从中抽取4个，则正品数比次品数少的概率为（） A ．542B ．435C ．1942D ．821【答案】A 【解析】分析：根据超几何分布，可知共有410C 种选择方法，符合正品数比次品数少的情况有两种，分别为0个正品4个次品，1个正品3个次品，分别求其概率即可。

(新教材人教A版)高二数学选择性必修第三册同步练习条件概率 -A基础练(原卷版)

7.1.1 条件概率---A基础练一、选择题1．（2021·湖南长沙长郡中学高二期末）把一枚骰子连续抛掷两次,记事件M为“两次所得点数均为奇数”,N为“至少有一次点数是5”,则()P N M等于（）A．23B．59C．12D．132．（2021·福建三明一中高二月考）一个盒子中装有6个完全相同的小球,将它们进行编号,号码分別为1、2、3、4、5、6,从中不放回地随机抽取2个小球,将其编号之和记为S.在已知S为偶数的情况下,S能被3整除的概率为（）A．14B．13C．512D．233．（2021·山东泰安实验中学高二月考）下图展现给我们的是唐代著名诗人杜牧写的《清明》,这首诗不仅意境极好,而且还准确地描述出了清明时节的天气状况,那就是“雨纷纷”,即天气多阴雨．某地区气象监测资料表明,清明节当天下雨的概率是0.9,连续两天下雨的概率是0.63,若该地某年清明节当天下雨,则随后一天也下雨的概率是（）A．0.63B．0.7C．0.9D．0.5674．（2021·山东滨州市高二期末）已知盒中装有3只螺口灯池与9只卡口灯泡,这些灯泡的外形都相同且灯口向下放若,现需要一只卡口灯泡,电工师傅每次从中任取一只且不放回,则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下,第2次抽到的是卡口灯泡的概率为（）A．14B．944C．911D．795．（2021·吉林长春市高二月考）学校从高一､高二､高三中各选派10名同学参加“建党100周年党史宣讲”系列报告会,其中三个年级参会同学中女生人数分别为5､6､7,学习后学校随机选取一名同学汇报学习心得,结果选出一名女同学,则该名女同学来自高三年级的概率为（）A．718B．730C．915D．136．（多选题）（2021·湖南衡阳市八中高二期末）甲罐中有4个红球,3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球,3个白球和2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以1A,2A和3A表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球,以M 表示由乙罐取出的球是红球的事件,下列的结论：其中正确结论的为（）A ．()12P M =B ．()1611P M A = C ．事件M 与事件1A 不相互独立D ．1A ,2A ,3A 是两两互斥的事件二、填空题 7．（2021·四川省泸县第一中学高二月考）若一个样本空间{}1,2,3,4,5,6Ω=,令事件{}2,3,5A =,{}1,2,4,5,6B =,则()P B A =___________ ．8．（2021·安徽宣城市高二月考）某盒中装有10只乒乓球,其中6只新球,4只旧球,不放回地依次摸出2个球使用,在第一次摸出新球的条件下,第二次也取到新球的概率为_______．9．（2021·全国高二单元测）近年来,新能源汽车技术不断推陈出新,新产品不断涌现,在汽车市场上影响力不断增大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术,它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上,车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%,充放电循环次数达到2500次的概率为35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电,那么他的车能够充电2500次的概率为______.10．（2021·浙江杭州市高二月考）电报发射台发出“·”和“–”的比例为5∶3,由于干扰,传送“·”时失真的概率为25,传送“–”时失真的概率为13,则接受台收到“·”时发出信号恰是“·”的概率为________. 三、解答题11．（2021·河南南阳市高二月考）某校从学生文艺部6名成员（4男2女）中,挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动.（1）求男生甲被选中的概率；（2）在已知男生甲被选中的条件下,女生乙被选中的概率；（3）在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下,求女生乙被选中的概率.12．（2021·福建莆田一中高二月考）袋子中放有大小、形状均相同的小球若干．其中标号为0的小球有1个,标号为1的小球有2个,标号为2的小球有n 个．从袋子中任取两个小球,取到的标号都是2的概率是110．（1）求n 的值；（2）从袋子中任取两个小球,若其中一个小球的标号是1,求另一个小球的标号也是1的概率．。

高二数学选择性必修3知识点归纳

高二数学选择性必修3知识点归纳一、函数与导数1. 函数的概念函数是一种特殊的关系，它将一个元素从一个集合映射到另一个集合。

函数可以通过表格、图像或公式来表示。

2. 函数的性质函数可以是奇函数或偶函数，具有可加性、可乘性等性质。

在实际问题中，可以根据给定的条件确定函数的性质。

3. 函数的图像与性质函数的图像反映了函数的变化规律，可以通过绘制函数的图像来分析函数的性质。

4. 导数的概念与求导法则导数描述了函数在某一点的变化率。

常用的求导法则有基本导数法则、乘积法则、商法则等。

5. 导数的应用导数在物理学、经济学等领域有广泛的应用，可以用于求解最值问题、判断函数的增减性等。

二、不等式与线性规划1. 不等式的性质与解法不等式有加法性、减法性、乘法性等性质，可以通过解不等式来确定变量的取值范围。

2. 一元一次不等式组与二元一次不等式组一元一次不等式组和二元一次不等式组的解集可以通过图像、代入法、消元法等方法求解。

3. 线性规划问题的建立与求解线性规划问题通常涉及到最大化或最小化某一目标函数，同时满足一系列线性约束条件。

可以通过图像、单纯形法等来求解。

三、概率与统计1. 随机事件与概率随机事件是在一次试验中可能发生的结果，概率表示随机事件发生的可能性大小。

2. 条件概率与事件独立性条件概率描述了在已知一些条件下，某一随机事件发生的概率。

事件的独立性指的是事件之间的发生没有相互影响。

3. 排列与组合排列和组合是研究对象的顺序和选择的方式。

排列包含分布与不放回两种情况，组合只关注选择，不考虑顺序。

4. 统计学基本概念统计学研究收集、整理、分析数据的方法和技巧。

常用的统计学概念包括均值、方差、中位数等。

5. 统计图表统计图表可以直观地展示数据的分布、趋势和关系。

常见的统计图表有柱状图、折线图、饼图等。

以上是高二数学选择性必修3的知识点归纳，这些知识点是高二数学学习的基础，并为进一步学习提供了扎实的知识基础。

通过掌握这些知识，我们可以更好地理解和应用数学在实际问题中的作用，培养数学思维和解决问题的能力。

2022-2023学年高二数学下学期期末模拟试卷(选修+必修)(解析版)

绝密★考试结束前2022-2023学年高二下学期期末数学模拟试卷（试卷满分150分，考试用时120分钟）姓名___________ 班级_________ 考号_______________________注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．（2023春·湖南长沙·高二望城一中校考期末）已知集合{|27}A x x =−≤<，2{|1}B x x=≥，则()R A B 为（）A ．{|27}x x −≤<B ．{|20x x −≤<或27}x <<C ．{|20x x −≤≤或27}x <<D ．{|20x x −≤<或27}x ≤< 【答案】C【解析】因为2{|1}{|02}Bx x x x=≥=<≤，则{|0R B x x =≤ 或2}x >，所以(){}|27{|0R A B x x x ∩−≤<∩≤ 或2}x >，{|20x x =−≤≤或27}.x <<故选：C 2．（2023秋·湖北恩施·高二校联考期末）已知()sin ,1a α= ，()1,2cos b α= ，若a b ⊥ ，则πtan 4α−=（）A ．3−B ．13− C ．1− D ．3 【答案】D【解析】因为a b ⊥，所以有sin 2cos 0αα+=，即tan 2α ，所以πtan 13tan 341tan 1ααα−−−=== +−.故选：D 3．（2023秋·江西萍乡·高二统考期末）从某班包含甲､乙的5名班干部中选出3人参加学校的社会实践活动，在甲被选中的情况下，乙也被选中的概率为（） A ．12 B ．35C ．23 D ．25【答案】A【解析】令事件A 为甲被选中的情况，事件B 为乙被选中的情况，故()P A 2435C 3C 5=，()1335C 3C 10P AB ==，故()1(|)()2P AB P B A P A ==．故选：A ． 4．（2022春·山东德州·高二校考期末）已知某8个数的期望为5，方差为3，现又加入一个新数据5，此时这9个数的期望记为()E X ，方差记为()D X ，则A ．()5,()3E X D X => B ．()5,()3E X D X =< C ．()5,()3E X D X <> D ．()5,()3E X D X << 【答案】B【解析】根据题意可知，58559E X ×+==（），238(55)8()393D X ×+−==<，故选B. 5．（2023秋·山东滨州·高二统考期末）如图，二面角A EF C −−的大小为45 ，四边形ABFE 、CDEF 都是边长为1的正方形，则B 、D 两点间的距离是（）A【答案】B【解析】因为四边形ABFE 、CDEF 都是边长为1的正方形，则AE EF ⊥，DE EF ⊥，又因为二面角A EF C −−的大小为45，即45AED ∠=，则,45EA ED =，因为DB DE EA AB EA ED AB =++=−+ ，由图易知AB EA ⊥ ，AB ED ⊥，=故选：B.6．（2023秋·广东深圳·高二校考期末）已知定义域为R 的函数()f x 满足()31f x +是奇函数，()21f x −是偶函数，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的图象关于直线=1x −对称B ．()f x 的图象关于点(1,0)对称C ．()31f −=D ．()f x 的一个周期为8 【答案】C【解析】由题意知()31f x +是奇函数，即()()()()3131,11f x f x f x f x −+=−+∴−+=−+，即()()2f x f x −+=−，即()()20f x f x +−+=，故()f x 的图象关于点(1,0)对称，B 结论正确；又()21f x −是偶函数，故()()()()2121,11f x f x f x f x −−=−∴−−=−，即()()2f x f x −−=，故()f x 的图象关于直线=1x −对称，A 结论正确；由以上可知()()()22f x f x f x =−−=−−+，即()()22f xf x −=−+，所以()()4f x f x +=−，则()()4()8x x f f f x =−=++，故()f x 的一个周期为8，D 结论正确；由于()()3131f x f x −+=−+，令0x =，可得(1)(1),(1)0f f f =−∴=，而()f x 的图象关于直线=1x −对称，故()30f −=，C 结论错误，故选：C 7．（2023秋·陕西西安·高二长安一中校考期末）已知函数()f x 的定义域为ππ,22−，其导函数是()f x ′. 有()()cos sin 0f x x f x x ′+<，则关于x 的不等式()π2cos 3f x f x<的解集为（）A ．ππ,32B ．ππ,62C ．ππ,63−− D ．ππ,26 −−【答案】A【解析】构造函数()()cos f x g x x=，其中ππ,22x∈−，则()()()2cos sin 0cos f x x f x xg x x′+′=<，所以，函数()g x 在ππ,22−上单调递减，因为ππ,22x ∈− ，则cos 0x >，由()π2cos 3f x f x < 可得()π3πcos cos 3f f x x<，即()π3g x g < ，所以，π3ππ22x x >−<< ，解得ππ32x <<，因此，不等式()πcos 3f x x <的解集为ππ,32.故选：A.8．（2023春·山东济南·高二统考期末）双曲线C 的两个焦点为12,F F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作圆D 的切线与C 的两支分别交于M ，N 两点，且1245F NF ∠=°，则C 的离心率为（） AC【答案】D【解析】如图，设双曲线的方程为22221x y a b−=，则AD a =. 设切线MN 与圆D 相切于点A ，过点2F 作2F B MN ⊥，垂足为B ，则2//AD BF .所以，有121212AD DFBF F F ==，所以222BF AD a ==. 又1245F NF ∠=°，2F B MN ⊥，所以2F BN 为等腰直角三角形，所以22BN BF a ==，根据双曲线的定义可得，122NF NF a −=，所以12NF a =+.在12F NF △中，由余弦定理可得，222121212212cos F F NF NF NF NF F NF =+−⋅∠.所以，()()()2222422212ca a a =++−×+×，所以，223c a =，c =.所以，C 的离心率==c ea.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．（2022春·河北石家庄·高二统考期末）下列说法正确的是（）A ．甲､乙､丙､丁4人站成一排，甲不在最左端，则共有1333C A 种排法B ．3名男生和4名女生站成一排，则3名男生相邻的排法共有4343A A 种C ．3名男生和4名女生站成一排，则3名男生互不相邻的排法共有4345A A 种D ．3名男生和4名女生站成一排，3名男生互不相邻且女生甲不能排在最左端的排法共有1296种【答案】ACD【解析】对于A ：先排最左端，有13C 种排法，再排剩余3个位置，有33A 种排法，则共有1333C A 种排法，故A 正确；对于B ：3名男生相邻，有33A 种排法，和剩余4名女生排列，相当于5人作排列，有55A 种排法，所以共有5335A A 种排法，故B 错误；对于C ：先排4名女生，共有44A 种排法，且形成5个空位，再排3名男生，共有35A 4345A A 种排法，故C 正确；对于D ：由C 选项可得3名男生和4名女生站成一排，则3名男生互不相邻的排法共有4345A A 种排法，若女生甲在最左端，且男生互不相邻的排法有3334A A 种排法，所以3名男生互不相邻且女生甲不能排在最左端的排法共有4345A A -3334A A =1296种，故D 正确.故选：ACD10．（2022春·湖北孝感·高二统考期末）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*112,22n n a a S n N +==+∈，下列说法正确的有（）A ．数列{}n a 是等比数列B ．123n n a −=×C ．数列{}n a 是递减数列D ．数列{}n a 是递增数列【答案】ABD【解析】由122n n a S +=+，则()1222n n a S n −+≥ 两式相减可得12n n n a a a +=−，即()132n n a a n +=≥ 由题意21122226a S a =+=+=，满足213a a =所以()*13n n a a n N +=∈,所以数列{}n a 是等比数列，故选项A 正确. 则11123n n n a a q −−==×，故选项B 正确.又1112323430n n n n n a a −−+−=×−×=×>，所以数列{}n a 是递增数列故故选项C 不正确，故选项D 正确.故选：ABD11．（2022春·山东泰安·高二统考期末）对两个变量y 和x 进行回归分析，得到一组样本数据()()()1122,,,,,,i i x y x y x y 则下列结论正确的是（）A ．若求得的经验回归方程为0.60.3y x =−，则变量y 和x 之间具有正的线性相关关系 B ．若这组样本数据分别是()()()()1,1,2,1.5,4,3,5,4.5，则其经验回归方程ˆˆˆybx a =+必过点()3,2.25 C ．若同学甲根据这组数据得到的回归模型1的残差平方和为11E =.同学乙根据这组数据得到的回归模型2的残差平方和为1 2.1E =，则模型1的拟合效果更好D ．若用相关指数2R 来刻画回归效果，回归模型3的相关指数230.41R =，回归模型4的相关指数240.91R =，则模型4的拟合效果更好【答案】ACD【解析】对于A ：因为回归方程为0.60.3y x =−，0.60>，所以变量y 和x 之间具有正的线性相关关系，故A 正确；对于B ：样本数据()()()()1,1,2,1.5,4,3,5,4.5的样本中心点为()3,2.5，且经验回归方程ˆˆˆy bx a =+必过样本中心点，但()3,2.25不是样本中心点，故B 错误；对于C ：因为残差平方和越小的模型，其拟合效果越好，故C 正确；对于D ：相关指数2R 越接近1，说明关系越强，拟合效果越好，D 正确；故选：ACD12．（2023秋·湖南衡阳·高二衡阳市八中校考期末）已知函数()32142f x x x x =+−，则（） A ．1x =是()f x 的极小值点 B ．()f x 有两个极值点 C ．()f x 的极小值为1 D ．()f x 在[]0,2上的最大值为2 【答案】ABD【解析】因为()32142f x x x x =+−，所以()()()234134f x x x x x ′=+−=−+，当()4,1,3x ∈−∞−+∞时，()0f x >′；当4,13x∈− 时，()0f x <′，故()f x 的单调递增区间为4,3 −∞−和()1,+∞，单调递减区间为4,13−，则()f x 有两个极值点，B 正确；且当1x =时，()f x 取得极小值，A 正确；且极小值为()512f =−，C 错误；又()00f =，()22f =，所以()f x 在[]0,2上的最大值为2，D 正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（2023秋·河南南阳·高二统考期末）若232nx x−展开式的二项式系数和为32，则展开式中的常数项为______．（用数字作答）【答案】40【解析】因为二项式系数和232n =，因此5n =，又()()5521055132C C 2kkk kkk k T x x x −−+ =−=−，令2k =，常数项为()225C 240−=. 故答案为：40.14．（2022春·河北邯郸·高二大名县第一中学校考期末）已知π3sin()34x −=，且π06x <<，则π2πsin()cos()63x x +−+的值为___________.【解析】令πππ,363t x=−∈，则ππ2π,π623x t x t +=−+=− ∵π3sin()sin 34x t −==，则cos t =()π2ππsin cos sin cos π2cos 632x x t t t+−+=−−−==15．（2022春·湖北·高二统考期末）某地区调研考试数学成绩X 服从正态分布()295,N σ，且(70)0.15P X <=，从该地区参加调研考试的所有学生中随机抽取10名学生的数学成绩，记成绩在[]70,120的人数为随机变量ξ，则ξ的方差为________．【答案】2.1【解析】由正态分布知，均值95µ=，且(70)0.15P X <=，所以(120)0.15P X >= 每个人的数学成绩在[]70,120的概率为(70120)P X ≤≤=2(0.50.15)0.7×−=，所以10名学生的数学成绩在[]70,120的人数~(10,0.7)B ξ，所以()100.70.3 2.1D ξ=××=．故答案为：2.1．16．（2022春·山东临沂·高二统考期末）若对任意的()12,,x x m ∈+∞，且当12x x <时，都有121212ln ln 3x x x x x x −>−，则m 的最小值是________. 【答案】3【解析】由于当12x x <时，都有121212ln ln 3x x x x x x −>−，所以121212213()33ln ln x x x x x x x x −−<=−，即121233ln ln x x x x +<+，令3()ln f x x x=+，所以当任意的()12,,x x m ∈+∞，且当12x x <时，都有12()()f x f x <，所以()f x 在(),m +∞上递增，因为由22133()0x f x xx x−′=−=>，得3x >，所以()f x 在(3,)+∞上递增，所以3m ≥，所以m 的最小值是3，故答案为：3四．解答题：本小题共6小题，共70分。

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s
for End i s s step to from i For s ）程序（ int Pr 31310
1+←←S
While End i i i S S While i S P rint 1
12 1-←*←←←高二数学期末复习（必修3）
一．填空题（共16小题，每题5分，共80分）
1、①教育局到某学校检查工作，打算在每个班各抽调2人参加座谈；②某班期中考试有15人在85分以上，40人在60～84分，1人不及格，欲从中抽出8人参与改进教和学研讨；③某班级举行元旦晚会，要产生两名“幸运者”，则合适的抽样方法分别为
系统抽样，分层抽样，简单随机抽样
2、下列语句中：①23x x m -← ②I T T ⨯← ③A ←32 ④ 22)1(2+*=+*←B B A ⑤2+←A A ⑥
1)5)37((+-+←x x x p 其中是赋值语句的个数为 4
3、从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列每两个事件是互斥但不对立的事件是 (4)
（1）、至少有一个红球，都是红球（2）至少有一个红球，都是白球（3）至少有一个红球，至少有一个白球（4）恰有一个红球，恰有两个红球
4．某暗盒中有大小相同的小球，一红两白，甲、乙依次从中各摸出一个（甲摸出后放回），则甲、乙摸到的球颜色不同的概率为 9
4
5．
程序（1）输出结果与程序（2）中当21=x 时的运行结果分别为35 ，64
6．从4名男生和n 名女生中任选2名学生参加数学竞赛，已知“2人中至少有1名女生”的概率为
6
5
，则n 等于 5
7．如果在左边程序中运行后输出的结果为132，那么在程序 While 后面的“条件”应为 11≥i
9．一只蚂蚁在三边长分别为3，4，5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为2
1
10．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比为2：3：5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 种型号的产品有16件，那么此样本的容量
n = 80
11．按照所给的流程图运行后，输出的结果为 110，10
12．从一条生产线上每隔30分钟取一件产品，共取了n 件，测得其尺寸后，画出其频率分布直方图，若尺寸在[15，45]内的频数为46，
则尺寸在[20，25]的产品个数为 10
P
if End x P Else x P then x If x
ad int Pr 7.01510 5 10 Re 2⨯-⨯←←≤）＋（　）程序（
第11题图
0.04
13．已知一组数据73737321+⋅⋅⋅++n x x x ，，，的平均数为22，标准差
为36，数据n x x x ，，，⋅⋅⋅21的平均数与方差分别为 5
，14．左边是分段函数⎪⎩
⎪⎨⎧<-=>=0 10 00 1
x x x y 号处应分别填写：① 0=x ② 0>x ③ -←y 15．向面积为S 的△ABC 内任投一点P ，则△PBC 的
面积小于
2
S
的概率为4
3
16．期中考试后，班长算出了40个人数学成绩的平均分M ，如果把M 当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起算出这41个分数的平均值为N ，那么
N
M 为 1
二、解答题：请写出必要的解题步骤与文字说明（共．．．．．．．．．．．．．．．．．80．．分）．． 17、（15分）一个盒中装有8只球，其中4红、3黑、1白，现从中取出2只球（无放回），求：（1）全是红球或
全是黑球的概率；（2）至少有一个红球的概率。

（1）记事件A 、B 分别表示取出的全是红球、全是黑球，A 、B 彼此互斥，则
P （A ）=143278234=÷⨯÷⨯，P （B ）=283
278223=÷⨯÷⨯
P （A+B ）=28
9
（2）P （C ）=14
11
2782341=÷⨯÷⨯-
18、（16分）对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下：
（1）列出频率分布表；（2）画出频率分布直方图；
（3）估计电子元件寿命在400h 以上的频率。

(3)估计电子元件寿命在400h 以上的频率为0.35.
19．（16分）．有一台机床可以按各种不同的速度运转，其加工的零件有一些是二级品，每小时生产的二级品零件的数量随机床运转的速度而变化．下面是实验的步骤：
（1）作出散点图；
（2）求出机床运转的速度x与每小时生产二级品数量y的回归直线方程；
（3）若实际生产中所允许的二级品不超过10个，那么机床的运转速度不得超过多少转／秒？
20（15分）把3个不同的球投入3个不同的盒子中（每个盒子中球数不限），计算：
（1）无空盒的概率；（2）恰有一个空盒的概率。

略解：一次试验的所有基本事件数为27333=⨯⨯=n
（1）记事件A 为无空盒，所包含的基本事件数为6123=⨯⨯=m ，则9
2=）
（A P （2）记事件B 为恰有一个空盒，所包含
的基本事件数18323=⨯⨯=m ，
32
=）（B P
或解：61231=⨯⨯=m ，32=m ，
则3
2
27361=+-=）
（B P
21（18分）把一个体积为364cm 的在正方体木块表面涂上红漆，然后锯成体积为3
1cm 的小正方体，从中任取一块，试求：（1）这一块没有涂红漆的概率（2）这一块恰有一面涂红漆的概率（3）这一块恰有两面涂红漆的概率（4）这一块恰有三面涂红漆的概率
1331
,,,8888。