矩阵与数值分析学习指导和典型例题分析
矩阵与数值分析学习指导和典型例题分析
第一章 误差分析与向量与矩阵的范数一、内容提要本章要求掌握 绝对误差、相对误差、有效数字、误差限 的定义及其相互关系；掌握 数 值稳定性 的概念、设计函数计算时的一些基本原则和误差分析 ；熟练掌握向量和矩阵范数 的 定义及其性质。
1 .误差的基本概念和有效数字 1) .绝对误差和相对误差 的基本概念设实数x 为某个精确值，a 为它的一个近似值，则 称x a 为近似值a 的绝对误差，简称x a为误差.当x 0时，=称为a 的相对误差.在实际运算中，精确值 x 往往是未知的，所x a以常把—匚作为a 的相对误差.2) .绝对误差界和相对误差界 的基本概念设实数x 为某个精确值，a 为它的一个近似值，如果有常数 e a ，使得此例计算中不难发现，绝对误差界和相对误差界并不是唯一的， 但是它们越小，说明a近似x 的程度越好，即a 的精度越好.3) .有效数字设实数x 为某个精确值，a 为它的一个近似值，写成ka 10 O.a i a 2 a n其中a i (i 1,2,)是0,1, ,9中的一个数字，q 0,k 为整数.如果x a - 10kn2则称a为x的具有n位有效数字的近似值.4) .函数计算的误差估计 如果yf(x 1,x 2, ,x n )为n 元函数，自变量*,X 2, ,X n 的近似值分别为a 1,a 2, ,a n ,称e a为a的绝对误差界或简称为误差界.称a是a的相对误差界它可以是有限或无限小数的形式, 如果a 有n 位有效数字，则a 的相对误差界满足:x a l a l1 2a 1101其中 丄_f(a 1,a 2, ,a n ),所以可以估计到函数值的误差界，近似地有Xk aXknf(X i ,X 2, ,X n ) f(a i ,a 2, ,a n ) e a取y f(x,x 2)为X i , X 2之间的四则运算，则它们的误差估计为,数相加或减时，其运算结果的精度不会比原始数据的任何一个精度高.如果x i 和X 2是两个十分接近的数，即 a i 和a 2两个数十分接近，上式表明计算的相对误差会很大，导致计算值 a i a 2的有效数字的位数将会很少。
(整理)数值分析课件典型例题与习题2.ppt
0.4
1
0.8
x2
2
0.4 0.8 1 x3 3
(B) 1.0928203 1
20/51
例6.设A对称正定矩阵, 证明 x xT Ax是向量范数。 A
思路 : 对称正定矩阵的Cholesky分解A LLT。
x 2 xT Ax=xT LLT x= LT x 2
A
2
x+y LT ( x y) LT x LT y x y
➢中止准则
| x(k ) x* | L | x(k) x(k1) | 1 L
|| X (k ) X * || || B || || X (k) X (k1) || 1 || B ||
➢加速(松弛思想)
Aitken加速方法
超松弛加速方法
8/51
现代迭代方法 (Top 10 Algorithms)
Hilbert矩阵条件数: for i=1:10 c(i)=cond(hilb(i),2);%%vander(1:i) end,plot(1:10,c')
13/51
范数的威力和魅力: 范数(全局)
问题的好与坏
算法的快与慢
|| x || (|| A || || A1 ||) || b ||
|| x ||
7/51
➢迭代格式构造
x (x)
➢收敛条件(局部vs全局)
x*为( x)的不动点,( x) 对任意的f 和任意的初始
在x*的某邻域N (x* )连续
且 | ( x* ) | 1, 则迭代法
对任意x(0) N (x* )收敛
向量X(0)迭代法收敛的充
分必要条件是(B) 1和
充分条件是||B|| 1
A
2
数值分析课后习题与解答
课后习题解答第一章绪论习题一1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。
解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式()有已知x*的相对误差满足，而，故即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。
解：直接根据定义和式()(1.2.3)则得有5位有效数字，其误差限，相对误差限有2位有效数字，有5位有效数字，3.下列公式如何才比较准确？〔1〕〔2〕解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。
〔1〕〔2〕4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。
5.计算取，利用：式计算误差最小。
四个选项：第二、三章插值与函数逼近习题二、三1. 给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1与n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计〔5.8〕。
线性插值时，用0.5与0.6两点，用Newton插值误差限，因，故二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值误差限，故2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h 应取多少?解：用误差估计式〔5.8〕，令因得3. 若，求和.解：由均差与导数关系于是4. 若互异，求的值，这里p≤n+1.解：，由均差对称性可知当有而当P＝n＋1时于是得5. 求证.解：解：只要按差分定义直接展开得6. 已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得由于7. 给定f(x)=cosx的函数表用Newton等距插值公式计算cos 0.048与cos 0.566的近似值并估计误差解：先构造差分表计算，用n=4得Newton前插公式误差估计由公式〔5.17〕得其中计算时用Newton后插公式〔 5.18)误差估计由公式〔5.19〕得这里仍为0.5658．求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。
大连理工大学《矩阵与数值分析》学习指导与课后参考答案第三章、逐次逼近法
第三章 逐次逼近法1.1内容提要1、一元迭代法x n+1=φ(x n )收敛条件为：1）映内性x ∈[a,b]，φ(x) ∈[a,b] 2）压缩性∣φ(x) -φ(y)∣≤L ∣x-y ∣其中L ＜1，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。
由微分中值定理，如果∣φ’∣≤L ＜1，显然它一定满足压缩性条件。
2、多元迭代法x n+1=φ(x n )收敛条件为：1）映内性x n ∈Ω，φ(x n ) ∈Ω 2）压缩性ρ（▽φ）＜1，其中▽φ为x n 处的梯度矩阵，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。
3、当φ(x )= Bx+f 时，收敛条件为，ρ（B ）＜1，此时x n+1= Bx n +f ，在不断的迭代中，就可以得到线性方程组的解。
4、线性方程组的迭代解法，先作矩阵变换 U L D A --= Jacobi 迭代公式的矩阵形式 f Bx b D x U L D x n n n +=++=--+111)(Gauss-Seidel 迭代公式的矩阵形式 f Bx b L D Ux L D x n n n +=-+-=--+111)()( 超松弛迭代法公式的矩阵形式f Bx b L D x U D L D x k k k +=-++--=--+ωωωωω111)(])1[()(三种迭代方法当1)(<B ρ时都收敛。
5、线性方程组的迭代解法，如果A 严格对角占优，则Jacob 法和Gauss-Seidel 法都收敛。
6、线性方程组的迭代解法，如果A 不可约对角占优，则Gauss-Seidel 法收敛。
7、Newton 迭代法，单根为二阶收敛 2211'''21lim)(2)(lim---∞→+∞→--=-==--k k k k k k k k x x x x f f c x x ξξαα8、Newton 法迭代时，遇到重根，迭代变成线性收敛，如果知道重数m ， )()('1k k k k x f x f m x x -=+仍为二阶收敛 9、弦割法)()())((111--+---=k k k k k k k x f x f x x x f x x 的收敛阶为1.618，分半法的收敛速度为（b-a ）/2n-110、Aitken 加速公式11211112)(),(),(+----+-+--+---+---===k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x ϕϕ1.2 典型例题分析1、证明如果A 严格对角占优，则Jacob 法和Gauss-Seidel 法都收敛。
第三章-矩阵及其运算-典型例题及求解
第三章 矩阵及其运算 扩展例题及求解[例1] 计算101nλ⎡⎤⎢⎥⎣⎦[分析]计算方阵A 的幂，一般有如下方法：(1) 归纳法 先求出A 2,A 3,…,在此基础上归纳出A n 的一般表达式, 并证明其正确性. (2) 对角化法 找一个可逆矩阵P , 使P -1AP 为对角阵Λ, 则A =P ΛP -1, 从而有A n =PΛn P -1. (参见第五章)(3) 二项式展开法 若A 的主对角线上元素相同, 设为λ, 则A =λE +B , 则A n =(λE +B )n , 当B k 容易计算时, 可用二项式展开计算A n .(4) 递推法 通过建立A n 的递推公式, 如A 2=k A , 则A n =k A n -1, 从而计算出A n . (5) 其它方法 例如, 若A 能表示为一个列向量α和一个行向量β的乘积, 即A =αβ, 则利用矩阵简洁的结合律, 有A n =k n -1A , 其中k =βα是一个数. [解] 设200,010⎡⎤==⎢⎥⎣⎦A A ,则 ()()()()001010C =C +C 1nnn k k n n n k =⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦∑λλλλλE A A A A 即1010001010101nn n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦λλλ[例2] 设11000110,00110001⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 求23,A A 和n A [分析]本题矩阵阶数较大，可以使用数学归纳法和二项式展开法。
(1) 归纳法：求出A 2,A 3,…,在此基础上归纳出A n 的一般表达式, 并证明其正确性。
（2） 二项式展开法：A 的主对角线上元素相同, 设为λ, 则A =λE +B , 则A n =(λE +B )n , 当B k 容易计算时, 可用二项式展开计算A n 。
[解] 设2301000100010010********,,,000100000000000000000000⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦B B B 40=B ,且 ()0C nnnk kn k ==+=∑A B E B从而222012100121C 200120001nk k k =⎡⎤⎢⎥⎢⎥==++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑A B E B B 33233013310133C 33001301k kk =⎡⎤⎢⎥⎢⎥==+++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑A B E B B B 123121223310101C C C C 0010001n n n nn k k nn n n n n k n C C C C C C =⎡⎤⎢⎥⎢⎥==+++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑A B E B B B[例3]设α是三维列向量，T α是α的转置，若T 111111111-⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦αα，则T ____=αα。
矩阵与数值分析部分习题解答
其具有6位有效数字。 故
*
而
y y* zz ， 于是， y
*
1 4 1 1 k n 26 10 y y 10 10 2 2 2
y y* y z
* *
z z* z
*
0.5 104 0.5 106 59.9833 4.09407
可见，用公式 f ( x) ln x
k
k 2 k A A ( I A ) 5．证明ρ(A)＜1时，
1 注意，绝对收敛的函数幂级数 f t t 1 t , t 1，则 证明(1)： k 0 1 t k 1 k s t f t t f t kt kt 令 2 1 t 1 t 2 k 1 k 0
3 。 节点为: x1 h , x2 2h , x3 3h 4 8 8
相应的方程组为：
2 1 h 2 0 1 h 2 0 u1 h u2 1 2 2 u 3
2 先令 y x x 1 ，由于开方用六位函数表，则 y 的误差为已
知， 故应看成 z g ( y) ln( y) , 由 y的误差限
* ln( y ) ln( y )。 误差限
y y * 求g(y)的
解：当x=30时，求 y 30 302 1 , 用六位开方表得
xi a ih,
h 称为步长。
i 0,1,
,N, h
ba N
于是我们得区间 I=[a, b]的一个网格剖分。 xi称为网格节点,
h
a x0 x1
矩阵论与数值分析理论及其工程应用课程设计 (2)
矩阵论与数值分析理论及其工程应用课程设计背景与意义近年来，计算机科学技术的迅速发展给各个领域的科学研究和工程实践带来了巨大的影响。
数学和计算科学作为计算机学科的重要分支，在计算机科学技术的推动下得到了飞速的发展。
其中，矩阵论和数值分析理论是计算科学研究和工程应用中不可或缺的数学基础。
矩阵论研究矩阵的性质和运算规律，是线性代数的一部分。
数值分析理论研究数学问题的数值解法，是数学计算的一个重要研究领域。
它们在计算机科学、物理学、经济学、自然科学等众多领域都有着广泛的应用。
因此，本课程设计旨在通过对矩阵论和数值分析理论的学习和实践，帮助学生掌握和应用这两个重要的数学理论，并将其运用到具体的工程问题中，提高其解决实际问题的能力和实践操作能力。
课程设计内容理论学习本课程设计将针对矩阵论和数值分析理论两部分内容进行理论学习，包括以下内容：矩阵论1.矩阵的定义和基本运算2.线性方程组和矩阵求逆3.矩阵特征值和特征向量4.矩阵的奇异值分解（SVD）5.矩阵的正交化和QR分解数值分析理论1.数值积分和数值微分2.插值方法和拟合方法3.常微分方程数值解法4.线性方程组数值解法5.非线性方程数值解法应用实践除了理论学习外，本课程设计还将结合具体的工程应用问题进行应用实践，以加深对理论知识的理解和应用能力。
主要应用实践包括以下内容：1.基于矩阵的人脸识别算法实现2.基于最小二乘法的数据拟合实现3.基于数值微分的图像特征提取和图像处理实现4.基于数值解法的工程问题解决实现以上实践内容主要涉及到矩阵论和数值分析理论的一些具体应用案例，通过实际操作，帮助学生掌握和应用课程理论知识。
课程设计要求本课程设计对学生提出了如下要求：1.在理论学习方面，学生需要掌握矩阵论和数值分析理论的基本知识，理解其原理和运用方法；2.在应用实践方面，学生需要能够熟练掌握相关工具和编程技能，具备基本的编程思维能力；3.在课程实践过程中，学生需要积极参与课程学习和实践，完成相关任务和作业，展现自己的课程能力和实践水平。
数值分析计算方法复习(典型例题)解析
6
626
复化 Simpson 公式
h
ba 2n
,
xj
a
jh
( j 0,1,,2n)
x2 j2
x2 j1
x2 j
I( f )
n j 1
h 3
[
f
(
x2
j2
)
4
f
(
x2
) j 1
f (x2 j )]
Sn( f )
n j 1
h 3
[
f
(
x2
j
2
)
4
f
(
x2
j 1
)
f ( x2 j )]
b a
则迭代格式为
xk 1
2
x3 k
1
取初值 x0 0
x1
2
x3 0
1
1
x2
2
x3 1
1
3
x3
2
x3 2
1
55
由此可见，这种迭代格式是发散的
(2) 如果将原方程化为等价方程 x 3 x 1 2
仍取初值
x0 0 x1 3
x0 1 3 2
1 0.7937 2
x2 3
x1 1 3 1.7937 0.9644
h(1 f (xn1, y(xn1)) f (xn , y(xn )) 1 f (xn1, y(xn1)))
y(xn1) ( y(xn ) y(xn1))
h(1 y(xn1) y(xn ) 1 y(xn1))
y(xn ) hy(xn )
h2 2
y(xn )
h3 6
y(xn )
计算方法复习
Final Exam Review
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第一章 误差分析与向量与矩阵的范数一、内容提要本章要求掌握绝对误差、相对误差、有效数字、误差限的定义及其相互关系；掌握数值稳定性的概念、设计函数计算时的一些基本原则和误差分析；熟练掌握向量和矩阵范数的定义及其性质。
1．误差的基本概念和有效数字 1）．绝对误差和相对误差的基本概念设实数x 为某个精确值，a 为它的一个近似值，则称a x -为近似值a 的绝对误差，简称为误差． 当0≠x 时，x ax -称为a 的相对误差．在实际运算中，精确值x 往往是未知的，所以常把a ax -作为a 的相对误差．2）．绝对误差界和相对误差界的基本概念设实数x 为某个精确值，a 为它的一个近似值，如果有常数a e ，使得 a e a x ≤-称a e 为a 的绝对误差界，或简称为误差界．称ae a是a 的相对误差界．此例计算中不难发现，绝对误差界和相对误差界并不是唯一的，但是它们越小，说明a 近似x 的程度越好，即a 的精度越好．3）．有效数字设实数x 为某个精确值，a 为它的一个近似值，写成ΛΛn ka a a a 21.010⨯±=它可以是有限或无限小数的形式，其中),2,1(Λ=i a i 是9,,1,0Λ中的一个数字，k a ,01≠为整数．如果n k a x -⨯≤-1021则称a 为x 的具有n 位有效数字的近似值．如果a 有n 位有效数字，则a 的相对误差界满足：n a a a x -⨯≤-111021。
4）．函数计算的误差估计如果),,,(21n x x x f y Λ=为n 元函数，自变量n x x x ,,,21Λ的近似值分别为n a a a ,,,21Λ，则)(),,,(),,,(12121k k nk akn n a x x fa a a f x x x f -⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂≈-∑=ΛΛ 其中),,,(21n kak a a a f x x f Λ∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂，所以可以估计到函数值的误差界，近似地有 k a n k aka n n e x fe a a af x x x f ∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂≈≤-12121),,,(),,,(ΛΛ 如果令2=n ，设21,x x 的近似值分别为21,a a ，其误差界为111a e a x ≤-和≤-22a x 2a e ，取),(21x x f y =为21,x x 之间的四则运算，则它们的误差估计为，1121a a a a e e e +≈±；112121a a a a e a e a e +≈⋅；22211121a e a e a e a a a a +≈，02≠a 。
数相加或减时，其运算结果的精度不会比原始数据的任何一个精度高． 对于两个数作相减运算时，由于其相对误差界：21212121a a e e a a e a a a a -+≈-±。
如果1x 和2x 是两个十分接近的数，即1a 和2a 两个数十分接近，上式表明计算的相对误差会很大，导致计算值21a a -的有效数字的位数将会很少。
对于两个数作相除运算时，由于其相对误差界：2211121a e a e a e a a a a +≈。
从关系式中可以看出，如果2x 很小，即2a 很小，计算值21a a 的误差可能很大。
5）．数值稳定性的概念、设计算法时的一些基本原则⑴ 算法的数值稳定性：一个算法在计算过程中其舍入误差不增长称为数值稳定。
反之，成为数值不稳定。
不稳定的算法是不能使用的。
⑵ 在实际计算中应尽量避免出现两个相近的数相减。
⑶ 在实际计算中应尽力避免绝对值很小数作除数。
⑷ 注意简化运算步骤，尽量减少运算次数。
⑸ 多个数相加，应把绝对值小的数相加后，再依次与绝对值大的数相加。
2．向量和矩阵范数把任何一个向量或矩阵与一个非负实数联系起来，在某种意义下，这个实数提供了向量和矩阵的大小的度量。
对于每一个范数，相应地有一类矩阵函数，其中每一个函数都可以看作矩阵大小的一种度量。
范数的主要的应用：一、研究这些矩阵和向量的误差估计。
二、研究矩阵和向量的序列以及级数的收敛准则。
1）向量范数定义 存在n R （n 维实向量空间）上的一个非负实值函数，记为x x f =)(，若该函数满足以下三个条件：即对任意向量x 和y 以及任意常数R ∈α（实数域）（1）非负性 0≥x ，并且0=x 的充分必要条件为0=x ; （2）齐次性x x αα=；（3）三角不等式y x y x +≤+． 则称函数⋅为nR 上的一个向量范数．常用三种的向量范数设任意ｎ维向量T n x x x ),,,(21Λ=x ，（Tx 为向量x 的转置），∑==ni i x 11x ， 向量的1-范数()21,21122x x x x x x =⋅=⎪⎭⎫⎝⎛=∑=T n i i ， 向量的2-范数i ni x x≤≤∞=1max ， 向量的∞-范数一般情况下，对给定的任意一种向量范数⋅，其加权的范数可以表为x x W W =，其中W 为对角矩阵，其对角元作为它的每一个分量的权系数。
向量范数的连续性定理 nR 上的任何向量范数x 均为x 的连续函数。
向量范数的等价性定理 设α⋅和β⋅为nR 上的任意两种向量范数，则存在两个与向量x 无关的正常数c 1和c 2，使得下面的不等式成立βαβx xx21c c ≤≤，其中n x R ∈∀.2). 矩阵范数 定义 存在nn ⨯R （n n ⨯维复矩阵集合）上的一个非负实值函数，记为A A f =)(，对任意的A,nn ⨯∈RB 均满足以下条件：（1）非负性：对任意矩阵A 均有0≥A ，并且0=A 的充分必要条件为O A =;（2）齐次性：A A αα=，α∈C ；（3）三角不等式：B A B A +≤+, nn ⨯∈R B A,；（4）相容性：B A AB ⋅≤, nn ⨯∈R B A,，则称⋅为n n ⨯R 上的矩阵范数。
我们可定义如下的矩阵范数：∑∑===m i nj ij m a 111A ，矩阵的1m -范数()21112⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑==mi nj ij F a A ，矩阵的F -范数（Frobenius ）范数。
（矩阵范数与向量范数相容性定义） 对于一种矩阵范数M⋅和一种向量范数V ⋅，如果对任意n ×n 矩阵A 和任意n 维向量x , 满足V M V x A Ax ≤，则称矩阵范数M⋅与向量范数V ⋅是相容的。
3）矩阵的算子范数定理 已知nR 上的向量范数V ⋅，A 为n ×n 矩阵，定义 V VV MVAx x Ax Axx 1max max=≠==则M A 是一种矩阵范数，且与已知的向量范数相容，称之为矩阵的算子范数。
三种常用的矩阵的算子范数∑=≤≤=mi ij nj a 111max A ； (列范数)∑=≤≤∞=nj ij mi a 11max A． (行范数),)(max 2A A A T λ=（谱范数）其中)(max A A T λ表示矩阵A A T的最大特征值。
对任何算子范数⋅，单位矩阵nn RI ⨯∈的范数为1，即1=I 。
可以证明：① 任意给定的矩阵范数必然存在与之相容的向量范数；任意给定的向量范数必然存在与之相容的矩阵范数（如从属范数）．② 一个矩阵范数可以与多种向量范数相容（如矩阵1m 范数与向量p -范数相容）；多种矩阵范数可以与一个向量范数相容（如矩阵-F 范数和矩阵-2范数与向量-2范数相容）。
③ 从属范数一定与所定义的向量范数相容，但是矩阵范数与向量范数相容却未必有从属关系。
（如，F ⋅与向量2⋅、1m ⋅与向量1⋅相容，但无从属关系）。
④ 并非任意的矩阵范数与任意的向量范数相容。
4）矩阵范数的性质① 设⋅为n n ⨯R 矩阵空间的一种矩阵范数，则对任意的n 阶方阵A 均有 A A ≤)(ρ． 其中(){}0det max )(=-=A I A λλρ为方阵A 的谱半径。
注意：当TA A =时，()()())(max 2max max 2A A ρλλλ====A A A A T 。
② 对于任给的ε>0, 则存在nn ⨯R 上的一种算子范数M⋅（依赖矩阵A 和常数ε），使得ερ+≤)(A A M．③ 对于nn ⨯R上的一种算子矩阵范数⋅，如果nn ⨯∈R A 且A <1, 则AI ±n 可逆且()AA I -≤±-111n ． 二、典型例题分析例1．1：下列近似值的绝对误差限均为0.005，问它们各有几位有效数字？002.138=a ，0312.0-=b ，41086.0-⨯=c解： 现将近似值写成标准形式：310138002.0⨯=a , 110312.0-⨯-=b , 41086.0-⨯=c ,在直接根据有效数字定义得出，21021-⨯≤-a x ⇒=-n k 23-=-n ⇒5=n ，即a 有5 位有效数字；21021-⨯≤-b x ⇒=-n k 21-=--n ⇒1=n ，即b 有1位有效数字；21021-⨯≤-c x ⇒=-n k 24-=--n ⇒2-=n ，即c 无有效数字。
例1．2：已知x 的相对误差为003.0，求ma 的相对误差。
解：此题要利用函数计算的误差估计，即取()m x x f =，()1-⋅='m x m x f ，则由 ()()()()a x a f a f x f -'≈- ，可推出 ()a x am a x m mm-⋅⋅≈--1，故m a 的相对误差为m aax m a a x m m m 003.0=-⋅≈-。
例1．3：此为减少运算次数达到避免误差危害的例子利用3位算术运算求()5.12.31.623++-=x x x x f 在71.4=x 处的值。
表中给出了传统的方法的计算的中间结果。
在这里我们使用了两种取值法：截断法和舍入法。
x2x 3x 21.6x x 2.3精确值4.71 22.1841 104.487 111 135.323 01 15.0723位数值（截断法） 4.71 22.1 104 135 15.0 3位数值（舍入法） 4.71 22.110413515.1精确值：()5.1072.1501323.135111487.10471.4++-=f 899263.14-= 3位数值（截断法）：()()()5.135.10.1513410471.4-=++-=f 3位数值（舍入法）：()()()4.135.11.1513510571.4-=++-=f 上述3位数值方法的相对误差分别是05.0899263.145.13899263.14≈-+-，截断法 06.0899263.144.13899263.14≈-+-，舍入法作为另一种办法，用秦九韶方法（嵌套法）可将()x f 写为()5.12.31.623++-=x x x x f ()()5.12.31.6++-=x x x那么，3位数值（截断法）：()()()2.145.171.42.371.41.671.471.4-=++-=f()5.171.42.371.438.1+⨯+⨯-= ()5.171.42.354.6+⨯+-=5.171.434.3+⨯-=2.145.17.15-=+-=3位数值（舍入法）：()()()2.145.171.42.371.41.671.471.4-=++-=f()5.171.42.371.438.1+⨯+⨯-= ()5.171.42.355.6+⨯+-=5.171.435.3+⨯-=3.145.18.15-=+-=则相对误差分别是5004.0899263.142.14899263.14≈-+-，（截断法） 0025.0899263.143.14899263.14≈-+-，（舍入法） 可见使用秦九韶方法（嵌套法）已将截断近似计算的相对误差减少到原方法所得相对误差的%10之内。