数值分析计算方法复习(典型例题)解析
数值分析习题解答
解：(1) 由Lagrange 插值公式00112233()()()()()L x f l x f l x f l x f l x =⋅+⋅+⋅+⋅其中()()()()()()()()()()123001020311112233122x x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭===----⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭()()()()()()()()()()()()02311012131111221112112x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x ⎛⎫+-- ⎪---⎛⎫⎝⎭===+-- ⎪---⎛⎫⎝⎭⋅-⋅- ⎪⎝⎭()()()()()()()()()()()0132202123118113113222x x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ---+-+-===----⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭可得()231()12L x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭(2)同理，利用Lagrange 插值公式可得231()2L x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭方法二：由于题设有4 个条件（4个点），故只能确定一个至多3次的多项式，所以不妨设()()312L x x x Ax B ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ （又120f f ==⇒1x 和2x 为()3L x 的根）又由()()33312112L L ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ⇒()()()3312211122A B A B ⎧⎛⎫---+=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩⇒10A B =⎧⎨=⎩ 所以()231122L x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭证明：(1)由于(),i jij l xδ=，故()()0nkn ii i L x x l x ==∑，当j x x =时，有(),0,1,,kn j j L x x j n ==，()n L x 即为kx 的插值多项式.由唯一性，可得()0nk ki i i x l x x ==∑，0,1,,k n =.(2)利用Newton 插值多项式()()[]()[]()()0010001,,,n n n N x f x f x x x x f x x x x x x -=+-++--，()*()()()()()()10010n n x x x x f x l x x x x x --==--差商表()f x一阶 二阶N 阶0x11x011x x-2x()()01011x x x x --n x0 0 0()()()010101n x x x x x x ---代入()*，有()()()()()()()01001010101n n n x x x x x x x x N x x x x x x x x x ----=+++---- ()0l x 为n 次代数多项式，由插值多项式的唯一性，得()()0n l x N x =解：作()f x 以,,a a b ε+为节点的Lagrange 插值多项式，有()()22()f x L x R x =+其中：()()()()()()()()()()()()()()()()()()2x a x b x a x a x a x b L x fa f a fb a b a b b a b a εεεεεεε-+---+--=+++--+---+()()()()()()23!f R x x a x a x b ξε'''=--+- a b ξ<<令0ξ→()()()()()226f R x R x x a x b ξ'''→=--又()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()22222x a x a x a x a L x b x f a f a f a f a b a b a b a b a x a x a f b b a b a b x x b a b x x a x a f a f a f b P x b a b a b a εεεεεεεεεεε⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎣⎦-+---=-+-+-+--+-+-+--++--+-+----'→++=---故当0→ε时，公式()()()x R x P x f +=成立. 2.4解：设()f x 的插值多项式为： ()00n n p x a a x a x =+++则20010200210112212012n n n n nnn n n f a a x a x a x f a a x a x a x f a a x a x ax ⎧=++++⎪=++++⎪⎨⎪⎪=++++⎩ 添加一个方程后，得：00001001011101()n n n n nn nn n n p x a a x a x f a a x a x f a a x a x f a a x ax ⎧=+++⎪=+++⎪⎪=+++⎨⎪⎪⎪=+++⎩线性方程组有非零解()01,,,Tn a a - ，因而行列式000()1101nn n nnnp x xx f x x f x x =或者001100010111()011n nnn n n nnn nnx x xx x x f x x p x x x f x x ⋅+=记01()j i i j nC x x ≤<≤-=-∏ ，得0011()1nn n nx f x p x Cfx = .2.5略 2.6解：73()1f x x x =++ ，有(7)()17!f ξ= ， (8)017017()[3,3,,3][2,2,,2]08!f f f η===2.7证明：1.1()f x a x=- .利用数学归纳法证明： （1） 当1n = 时，有001[]f x a x =-显然成立； （2） 假设n k = 时，有01011[,,,]()()()k k f x x x a x a x a x =--- 成立，则当1n k =+ 时，有：11010111011011001011101001110[,,,][,,,][,,,,]11()()()()()()()()()()()()()()()()()k k k k k k k k k k k k k k k k k k f x x x f x x x f x x x x x x a x a x a x a x a x a x x x a x a x a x a x a x a x x x x x a x a x a x a x x x +++++++++++-=--------=--------=------=-0111()()()()k k a x a x a x a x +=----也成立 综上（1）（2），故原等式成立 所以01011[,,,]()()()n n f x x x a x a x a x =---2.由01011[,,,]()()()n n f x x x a x a x a x =---可得：01011[,,,,]()()()()n n f x x x x a x a x a x a x =----因为()()[]()[]()()()()001000100,,,[,,,]n n n n f x f x f x x x x f x x xx x x f x x x x x x x -=+-++--+--故有0000101()()11()()()()()n x x x x x x a x a x a x a x a x a x a x ---=+++-------2.8 2.9 证明：（1）0n = 时，结论显然成立. 假设结论对0n ≥ 成立，即0(1)nnk ki n n i k k f C f +-=∆=-∑ 下面考虑 1n i f +∆()111001111101111111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)()n n n n i i i innkkk knn i k n n i kk k nn kkk k nn i k n n i kk k n n kk k k n i nn i k n n i k k k k k k n i n n n i f f f f C f C f C f C f f C f C f f C C f ++++-+-==+--++-++-==+-++++-++-==-++++∆=∆∆=∆-∆=---=---=+-+-=+-+∑∑∑∑∑∑111111111110(1)(1)(1)(1)nn nk n ik nk k n n i n n i k i k n k k n n i k k C f f C f f C f +-=++++++-=++++-=+-=+-+-=-∑∑∑即结论对也成立.由数学归纳法可得原等式成立. （2）。
数值分析例题和知识点总结
数值分析例题和知识点总结数值分析是一门研究如何用计算机求解数学问题数值解的学科，它在科学计算、工程技术、金融经济等领域都有着广泛的应用。
为了更好地理解和掌握数值分析的知识，下面将通过一些例题来对常见的知识点进行总结。
一、误差分析误差是数值分析中一个非常重要的概念。
误差分为绝对误差、相对误差和有效数字。
绝对误差：设某量的准确值为$x$，近似值为$x^＄，则绝对误差为$｜x x^｜＄。
相对误差：相对误差是绝对误差与准确值的比值，即$＼frac{｜xx^｜｝｛｜x|｝＄。
有效数字：若近似值$x^＄的绝对误差限是某一位的半个单位，该位到$x^＄的第一位非零数字共有$n$位，则称$x^＄有$n$位有效数字。
例如，＄＼pi$的近似值为 314，准确值约为 31415926，绝对误差为$｜31415926 314| ＝ 00015926$，相对误差为$＼frac{00015926}｛31415926} ＼approx 0000507$，314 有 3 位有效数字。
二、插值法插值法是数值分析中的一种基本方法，用于通过已知的数据点来构造一个函数。
1、拉格朗日插值已知$n ＋ 1$个互异节点$（x_0, y_0)，（x_1, y_1)，＼cdots, （x_n, y_n)＄，拉格朗日插值多项式为：＄L_n(x) ＝＼sum_{i ＝ 0}＾n y_i l_i(x)＄其中，＄l_i(x) ＝＼frac{＼prod_{j ＝ 0, j ＼neq i}＾n （x x_j)｝｛＼prod_{j ＝ 0, j ＼neq i}＾n （x_i x_j)｝＄例如，已知点$（1, 2)＄，＄（2, 3)＄，＄（3, 5)＄，求插值多项式。
设$L_2(x) ＝ y_0 l_0(x) ＋ y_1 l_1(x) ＋ y_2 l_2(x)＄＄l_0(x) ＝＼frac{（x 2)（x 3)｝｛（1 2)（1 3)｝＝＼frac{1}｛2}（x 2)（x 3)＄＄l_1(x) ＝＼frac{（x 1)（x 3)｝｛（2 1)（2 3)｝＝（x 1)（x 3)＄＄l_2(x) ＝＼frac{（x 1)（x 2)｝｛（3 1)（3 2)｝＝＼frac{1}｛2}（x 1)（x 2)＄则$L_2(x) ＝ 2 ＼times ＼frac{1}｛2}（x 2)（x 3) ＋ 3 ＼times （x1)（x 3) ＋ 5 ＼times ＼frac{1}｛2}（x 1)（x 2)＄2、牛顿插值牛顿插值多项式为：＄N_n(x) ＝ fx_0 ＋ fx_0, x_1(x x_0) ＋ fx_0, x_1, x_2(x x_0)（xx_1) ＋＼cdots ＋ fx_0, x_1, ＼cdots, x_n(x x_0)（x x_1) ＼cdots （xx_{n 1}）＄其中，均差$fx_0, x_1, ＼cdots, x_k ＝＼frac{fx_1, x_2, ＼cdots, x_k fx_0, x_1, ＼cdots, x_{k 1}｝｛x_k x_0}＄三、数值积分数值积分用于计算定积分的近似值。
数值分析习题与解析
习 题 一 解 答1．取3.14，3.15，227，355113作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。
分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。
求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。
注意，不应先求相对误差再求绝对误差。
有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。
有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。
根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。
解：（1）绝对误差:e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。
相对误差：3()0.0016()0.51103.14r e x e x x -==≈⨯ 有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。
而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2＝21311101022--⨯=⨯ 所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。
（2）绝对误差:e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。
相对误差：2()0.0085()0.27103.15r e x e x x --==≈-⨯ 有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.315×10，m=1。
而π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1＝11211101022--⨯=⨯ 所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。
（3）绝对误差:22() 3.14159265 3.1428571430.0012644930.00137e x π=-=-=-≈- 相对误差：3()0.0013()0.4110227r e x e x x--==≈-⨯ 有效数字： 因为π＝3.14159265...=0.314159265 (10)22 3.1428571430.3142857143107==⨯，m=1。
典型例题与习题
a
2
b f ( x)dx (b a) f ( a b ) f () (b a)3
a
2
24
9/16
Ex2.复合左矩形求积公式旳求积误差
b a
n1
f ( x)dx h
j0
f (a
h2 jh)
2
n j1
f ( j )
设被积函数在积分区间上旳一阶导数连续,由连续函数
介值定理
1
n
n j 1
N 1
[
n0
f
(
xn
)
4
f
(
xn1/
2
)
f ( xn1 )]
其中, h = (b – a )/N, xn= a + n h ( n = 0,1,2,···, N)
13/16
Ex8.将线性常系数非齐次高阶常微分方程初值问题:
y(n) + a1 y(n-1) + a2 y(n-2) +·······+ an y = f( x, y, ····, y(n-1))
Gm
(h)
4m
Gm
1
(
h 2
)
Gm
1
(h)
4m 1
f ( x) Gm (h) O(h2(m1) )
练习：二阶中心差商旳外推公式？
6/16
常微分方程初值问题 1. Euler措施
y f ( x, y) x x0
y(
x0
)
y0
y0 yn1
y( x0 ), yn
xn1 xn h hf ( xn , yn ),(n
16/16
N 1
试证明用Euler公式计算成果为 y(b) f (tn )h
数值计算典型例题与习题2
Ex5. 设A=(aij)n×n 为可逆下三角矩阵，证明 A-1 仍为下三角矩阵。
证明: 设
a 11 a 21 A a n1 a 22 an2 a nn
当i > j 时, aij 的代数余子式 Aij = 0,故A 的伴随矩阵
A11 A * 12 A A1 n A21 A22 A2 n An 1 An 2 Ann
( I AX 0 ) 1
k
时
1
lim X k A
证明：由Xk+1=Xk(2I – A Xk )，得 I – AXk+1 = I – A Xk(2I – A Xk )= (I – A Xk )2 于是 I – AXk =(I – A Xk -1)2 =(I – A Xk -2)2×2 = ···· ··· ···
的特征值
2 h2 1 A
1 1 2h 1
2
1 2 2h
15/16
ex16:设A是n阶可逆矩阵,有A的一个近似逆B,令 R=I –AB如果 || R ||≤ q <1 ，试证明 (1) A–1 = B ( I + R + R2 + …… )； (2)任意给定n阶矩阵X0,由迭代格式 Xk+1 = Xk R + B ( k = 0，1，2，…… ) 产生的矩阵序列{ Xk }收敛到矩阵A-1；
1 a 11
所以,
A2 = A2T
5/16
Ex3.设 n 阶矩阵 A 的各阶顺序主子式不为零,记各
阶顺序主子式对应的矩阵为Ak,(k = 1,2,·,n)。设 · · Ak 1 Lk 1U k 1 (k > 1 ) L1=1,U1 = a11
数值分析复习题参考答案
x1 )
h
2
x 0 x x1 6
4
所以， R x
h 10
2
8
解得， h 0 . 000383
4. 习题(第二章) 7
5. 习题(第二章) 9
6. 习题(第二章) 11
7. 习题(第二章) 13
8. 习题(第二章) 14
9. 习题(第二章) 20
10. 习题(第四章) 1
2
, k 0 ,1, 2 2 3 2a 3x
3
此时， ( x )
2x a 3x
, '( x) 2a
所以， ' ( 3 a )
2 3
3(
3
a)
3
0 1, 所以该迭代公式收敛。
21. 习题(第七章) 13
本题没有给出精度要求， 但x3与x2之间的差为 已经很小了，足以满足 精度。
[ f ( x n , y n ) f ( x n 1 , y n 1 )]
( 3 ) 基于 Taylor 展开法：
y ( x n 1 ) y ( x n h ) y ( x n ) y ' ( x n ) h
h
2
2
y ''( xn )
取 y ( x n 1 ) y ( x n ) y ' ( x n ) h ，即 y n 1 y n hf ( x n , y n )
k 个点的值
求解隐式：先用欧拉公 求解多步法：单步法开
式求得一个初步的近似 表头，然后预报
修正 校正 修正。
( 其实只要给出公式会用
就行！！ )
数值分析例题1-9
)
1.675 0.3271y 0.03125y 2 0.01302y3
于是有
例2-4 x0 , x1 ,
x* f 1 (0) L3 (0) 1.675
5
证明 (xi x)2 li(x) 0,其中li(x)是关于点 i0
, x5 的插值基函数。
证明
5
5
(xi x)2li(x) (xi2 2xi x x2 )li(x)
设待求插值函数为
H3 ( x) N2 ( x) k( x 0)( x 1)( x 2)
令
H
3
(1)
f (1) 3, 即 4 k 3, 求得 k 1。进而有
H3 ( x) N2 ( x) ( x 0)( x 1)( x 2)
x3 1
例如 设 f(x) 为定义在 [ 27.7，30] 上的函数，在节点 xi(i 1,2,3 ) 上的值如下
En nEn1
(n 1,2,),易得 En （1）n n!E0 ,这说明
I 0 有误差 E0 , I n 就是 E0 的 n! 倍误差。它表明计算公式（A）是数
值不稳定的。
当初值取为I9 0.0684 I 9 （计算方法见书式（3.2））时
法二： （B）
I9
0.0684
I
n1
1 n
(1
xdx 88 135
解：设s1(x) a0 a1x,，0 (x) =1,1(x) =x,故
4
(0 (x),0 (x) ) = i 8 i0
4
(0 (x),1(x) ) =(1(x),0 (x) ) = i xi =22 i0
4
(1(x),1(x) ) = i xi2 =74 i0
4
数值分析计算方法试题集及答案
数值分析复习试题第一章 绪论 一. 填空题 1.*x 为精确值x 的近似值;()**x f y =为一元函数()x f y =1的近似值；()**,*y x f y =为二元函数()y x f y ,2=的近似值，请写出下面的公式：**e x x =-:***r x xe x -=()()()*'1**y f x x εε≈⋅ ()()()()'***1**r r x f x y x f x εε≈⋅()()()()()**,**,*2**f x y f x y y x y x yεεε∂∂≈⋅+⋅∂∂()()()()()****,***,**222r f x y e x f x y e y y x y y y ε∂∂≈⋅+⋅∂∂ 2、 计算方法实际计算时，对数据只能取有限位表示，这时所产生的误差叫 舍入误差.3、 分别用2.718281，2.718282作数e 的近似值，则其有效数字分别有 6位和 7 1.73≈（三位有效数字）-211.73 10 2≤⨯。
4、 设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字,则12x x 的相对误差限为 0.0055 .5、 设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x +的误差限为 0。
01 。
6、 已知近似值 2.4560A x=是由真值T x 经四舍五入得到,则相对误差限为 0。
0000204 。
7、 递推公式,⎧⎪⎨⎪⎩0n n-1y =y =10y -1,n =1,2,如果取01.41y ≈作计算，则计算到10y 时，误差为8110 2⨯;这个计算公式数值稳定不稳定 不稳定 。
8、 精确值 14159265.3*=π，则近似值141.3*1=π和1415.3*2=π分别有 3 位和 4 位有效数字。
9、 若*2.71828x e x =≈=,则x 有 6 位有效数字，其绝对误差限为1/2＊10—5。
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6
626
复化 Simpson 公式
h
ba 2n
,
xj
a
jh
( j 0,1,,2n)
x2 j2
x2 j1
x2 j
I( f )
n j 1
h 3
[
f
(
x2
j2
)
4
f
(
x2
) j 1
f (x2 j )]
Sn( f )
n j 1
h 3
[
f
(
x2
j
2
)
4
f
(
x2
j 1
)
f ( x2 j )]
b a
则迭代格式为
xk 1
2
x3 k
1
取初值 x0 0
x1
2
x3 0
1
1
x2
2
x3 1
1
3
x3
2
x3 2
1
55
由此可见，这种迭代格式是发散的
(2) 如果将原方程化为等价方程 x 3 x 1 2
仍取初值
x0 0 x1 3
x0 1 3 2
1 0.7937 2
x2 3
x1 1 3 1.7937 0.9644
h(1 f (xn1, y(xn1)) f (xn , y(xn )) 1 f (xn1, y(xn1)))
y(xn1) ( y(xn ) y(xn1))
h(1 y(xn1) y(xn ) 1 y(xn1))
y(xn ) hy(xn )
h2 2
y(xn )
h3 6
y(xn )
计算方法复习
Final Exam Review
典型概念例题
零 绪论
误 差 及 算 法
误差 算法
分类 度量 传播
舍入 截断
绝对 相对 有效数字 一元函数
n元函数
一 插值与逼近
工具
插值法 多项式插值
分段多项式 插值
差商 差分 插值基函数 存在唯一性 误差估计 插值公式 Hermite插值 分段线性
分段三次Hermite插值
2/8 0.9896158
T8
h 2
f
(a)
2
7 k 1
f (xk )
f (b)
3/8 0.9767267 4/8 0.9588510
1 82
f
(0)
7
2 k 1
f k 8
f
(1)
5/8 0.9361556 6/8 0.9088516
=0.9456909
7/8 0.8771925 1 0.8414709
h4 24
y(4) (xn ) O(h5)
y(xn )
[ y(xn ) hy(xn )
h2 2
y(xn )
h3 6
y(xn )
h4 24
y(4) (xn ) O(h5)]
h1[ y(xn ) hy(xn )
h2 2
y(xn )
h3 6
>0,当x0∈[x*- , x*+ ]时, 迭代法产生的序列 {xk}[x*- , x*+ ]且收敛于x*.
例4 用一般迭代法求x3-x-1=0的正实根x*
解 将方程变形成等价形式：x 3 x 1
则迭代函数为: g( x) 3 x 1
g( x)
1
2
3( x 1) 3
容易得到: g’(x)在包含x*的某邻域U(x*) 内连续， 且|g’(x*)|<1
因此f(x)=0在(2, )内仅有一个根x*
将方程化为等价方程：x＝2＋lnx
g(x) 2 ln x | g( x) || 1 | 0.5 x ∈(2, 4) x
因此， x0(2, ), xk+1＝2＋lnxk产生的序列 xk 收敛于x*
取初值x0＝3.0,计算结果如下：
k xi 0 3.000000000 5 3.145702209 10 3.146191628
f (x)dx Af ( ) Bf (0) Cf () 2
代数精确度尽可能高，并确定上述公式的代数精 确度。是否为高斯型求积公式.
解
f x 1
2
dx 4 A B C
2
令:
f x x
2
xdx 0 A C 2
f x x2
2 2
x2dx
16 3
A
2
C
2
f x x3 2 x3dx 0 A 3 C 3 2
因此迭代格式 xk1 3 xk 1 在x*附近收敛
例5 用一般迭代法求方程x-lnx＝2在区间(2, )内的根， 要求|xk-xk-1|/|xk|<=10-8
解 令f(x)=x-lnx-2 f(2)<0, f(4)>0,故方程在(2,4)内至少有一个根
又 f ( x) 1 1 0 x ∈(2, ) x
定理3 设线性方程组x=Bx+g有惟一解，那么逐次逼 近法对任意初始向量x０收敛的充分必要条件是
迭代矩阵B的谱半径 ( B ) <1
证明
x* Bx* g
xk1 Bxk g
xk1 x* B(xk x*) Bk1(x0 x*).
因此
lim(
k
xk
1
x* )
0
lim
k
Bk 1
0
同积分的准确值I(f)=0.9460831比较,复化梯形法 的结果T8=0.9456909只有两位有效数字, 而复化
Simpson法的结果S4=0.9460832却有六位有效数字.
三 线性方程组
直接法
Gauss消去法 矩阵三角分解法 追赶法 向量和矩阵范数 矩阵条件数
三 线性方程组
迭代法
基本概念 雅可比迭代
h2 2
y(xn )
h3 6
y(xn )
h4 24
y(4) (xn ) O(h5)
y(xn1) y(xn h)
y(xn ) hy(xn )
h2 2
y(xn )
h3 6
y(xn )
h4 24
y(4) (xn ) O(h5)
f (xn1, y(xn1)) y(xn1) y(xn h)
Jacobi 迭代
x1
k
1
x2k
1
a 2
x(k) 2
1 2
x(k) 3
b1 2
x1 k
2x3(k) b2
x3k
1
x1k ax2(k )
b3
(2) 线性方程组
2 a 1 2 0 0 0 a 1
1 1
1 a
2 1
1 1
1 a
0 1
0 0
0 0
2 0
Gauss-Seidel迭代矩阵:
2
三次样条插值
预备知识
范数 内积 正交多项式
函数逼近
最佳一致逼近 最佳平方逼近 最小二乘拟合
函数逼近方法 三角函数逼近
帕德逼近
例1 观测物体过原点的直线运动,得到所示数据, 求运动方程.
时间t/s 0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0
距离s/m 0 10 30 50 80 110
解 作直线模型: at+s=0
另一种迭代格式
xk 1
xk (1 lnxk ) xk 1
0 3.000000000 1 3.147918433
2 3.146193441 3 3.146193221
五 常微分方程数值解
重要概念
数值解法
重要构造方法 单步法
局部截断误差
方法精度 差分构造 积分构造 泰勒展式构造
线性多步法
方程组与高阶方程
所以代数精确度为5次.
因为代数精确度为2×3=5次,是高斯型求积公式.
标准Simpson公式:
1
1
4
1
I ( f ) f (t)dt S( f ) 2[ f (1) f (0) f (1)]
1
6
6
6
x abbat 22
b
I ( f ) a f (x)dx
S( f ) (b a)[(1 f (a) 4 f (b a) 1 f (b))]
1 3.098612289 6 3.146037143 11 3.146192714
2 3.130954362 7 3.146143611 12 3.146193060
3 3.141337866 8 3.146177452 13 3.146193169
4 3.144648781 9 3.146188209 14 3.146193204
牛顿迭代法 插值型迭代
弦截法 抛物线法
§2 单个方程的迭代法
一、不动点迭代
f (x) = 0 等价变换 x = g (x)
f (x) 的 根
g (x) 的不动点
f(x)=0化为等价方程x=g(x) 的方式是不唯一的,有的收 敛,有的发散 For example：2x3-x-1=0
(1) 如果将原方程化为等价方程 x 2x3 1
f (x)dx
h[ f (a) 4 n
3
j 1
n1
f ( x2 j1) 2
j 1
f ( x2 j )
f (b)]
例1 对于函数 f (x) sin x 试用数据表计算积分
x
I
(
f
)
1sin
0 x
x
dx
x f (x)
0
1
解 将区间[0,1]划分为8等分,应用复 1/8 0.9973978