非齐次线性微分方程通解的证明
二阶常系数非齐次线性微分方程讲解
y1 *
y2 *
1 2 x cos x Rm x sinx y* x k e x Rm
1 2 x , Rm x 都是 m 次多项式， m = max{ l , n }，且 其中Rm
0
λ±iω不是特征根 λ±iω是特征根
9
k=
1
例 3 求方程 y' ' y x cos 2 x 的通解。 解 对应齐次方程的特征方程为 r 2 1 0 r1, 2 i 于是齐次方程的通解为 Y C1 cos x C 2 sinx 由于 f ( x ) x cos 2 x, ( 0, 2, Pl ( x ) x, Pn ( x ) 0即m 1) λ±iω=±2i不是特征方程的根，取 k 0, 故原方程特解设为： y* (ax b) cos2 x (cx d ) sin2 x 代入所给方程，得 y py qy e x [ pl ( x) cos x pn ( x) sin x]
第十节 二阶常系数非齐次线性微分方程
二阶常系数非齐次线性微ຫໍສະໝຸດ 方程一般式是y" py' qy f x
(1)
其中p、q是常数。 由定理3，只要求出(1)的一个特解 y*及(1)对应的齐次方程
y" py' qy 0
* y Y y . 的通解Y， 即可求得(1)的通解 :
对 f(x) 的下面两种最常见形式， 采用待定系数法来求出 y*。
Q x Qm ( x) b0 x m b1 x m1 bm1 x bm
代入(3)式，比较两端同次幂的系数即可确定bi i 0,1,2 , m,
x y * Q ( x ) e . 进而得(1)的特解
线性常微分方程的解法
线性常微分方程的解法一、引言线性常微分方程是数学中非常重要和常见的一类方程，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
本文将介绍线性常微分方程的解法。
二、一阶线性常微分方程的解法1. 齐次线性微分方程的解法对于形如dy/dx + P(x)y = 0的齐次线性微分方程，可以使用特征方程的解法。
其中特征方程为dλ/dx + P(x)λ = 0，解得特征方程的解λ(x)，则齐次线性微分方程的通解为y = Cλ(x)，其中C为常数。
2. 非齐次线性微分方程的解法对于形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的非齐次线性微分方程，可以使用常数变易法来求解。
假设齐次线性微分方程的解为y_1(x)，则通过常数变易法，可以得到非齐次线性微分方程的通解为y = y_1(x) *∫(Q(x)/y_1(x))dx + C，其中C为常数。
三、高阶线性常微分方程的解法1. 齐次线性微分方程的解法对于形如d^n(y)/dx^n + a_{n-1}(x)d^{n-1}(y)/dx^{n-1} + ... +a_1(x)dy/dx + a_0(x)y = 0的齐次线性微分方程，可以通过假设y = e^(rx)为方程的解，带入得到特征方程a_n(r) = 0。
解得特征方程的根r_1,r_2, ..., r_k，则齐次线性微分方程的通解为y = C_1e^(r_1x) +C_2e^(r_2x) + ... + C_ke^(r_kx)，其中C_1, C_2, ..., C_k为常数。
2. 非齐次线性微分方程的解法对于形如d^n(y)/dx^n + a_{n-1}(x)d^{n-1}(y)/dx^{n-1} + ... +a_1(x)dy/dx + a_0(x)y = F(x)的非齐次线性微分方程，可以使用待定系数法来求解。
设非齐次线性微分方程的特解为y_p(x)，通过将特解带入原方程，解得特解的形式。
然后将特解与齐次方程的通解相加，即可得到非齐次线性微分方程的通解。
§4.6 非齐次线性方程组有解的条件及解的结构
1 2 增 广 矩 阵 A = ( A, β ) = 1 4
1 1 1 1 2 3 1 1 −3 a 0 2 2 6 6 5 3 3 −1 b
1 0 ∼ 0 0
1 −1 −1 −5 a-4 0 0 0 0 a 0 0 0 0 a-b+4 1 1 1 1 2
r +1
有唯一解；
ɶ 当d r +1 = 0时R( A) = R( A) = r < n, AX = β 有无求多解.
例1 解 线 性 方 程 组 x1 + x 2 + x 3 − 2 x4 + x5 = 2 x1 + 3 x 2 + 2 x 3 + x 4 + 2 x 5 = 3 2 x + 4 x + 3 x − x + 3 x = 5 1 2 3 4 5 1 1 1 −2 1 2 ɶ = ( Aβ ) = 1 3 2 1 2 3 解 :A 2 4 3 −1 3 5
λ −λ 2 (1 + λ )
2
这时又分两种情形： 这时又分两种情形：
1) λ ≠ −2时, R( A) = R( B) = 3,方程组有唯一解 :
(λ +1) λ +1 1 x1 = − , x2 = , x3 = . λ +2 λ +2 λ +2
2
2) λ = −2时,
1 B ~ 0 0 1 − 3 0 − 2 3 0 4 − 6 3
§6 非齐次线性方程组有解的条 件及解的结构
定义1 齐次线性方程组AX=0称为非齐次线性方 程组AX=β的导出组(或对应的齐次线性方程组） .
高考数学中的一阶线性微分方程
高考数学中的一阶线性微分方程微积分是高中数学的一门重要的学科，其中涉及到微分及其应用。
在微分学中，微分方程是一类非常重要的数学工具，它可以帮助我们解决各种不同的问题。
在高考数学中，微分方程也是一个非常重要的考点，其中一阶线性微分方程更是高考数学的热点难点。
一阶线性微分方程是指形如：$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$的微分方程，其中$p(x)$和$q(x)$是已知的函数，$y$是未知函数，$\frac{dy}{dx}$表示$y$对$x$的导数。
这个方程的解决方法非常重要，因为一阶线性微分方程是众多微分方程中比较简单的一种。
下面我们将详细介绍一阶线性微分方程的解法。
一、非齐次线性微分方程的解法对于形如$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$的非齐次线性微分方程，我们可以使用变量分离法来解决。
1. 求出齐次线性微分方程的通解首先我们要求出非齐次线性微分方程对应的齐次线性微分方程的通解，即$\frac{dy}{dx}+p(x)y=0$的通解。
设齐次线性微分方程的通解为$y_0=Ce^{-\int p(x)dx}$，其中$C$是待定系数，$e$为自然对数的底数。
下面我们来证明这个解法的正确性。
将$y_0=Ce^{-\int p(x)dx}$代入到$\frac{dy}{dx}+p(x)y=0$中，即可得到：$\frac{d(Ce^{-\int p(x)dx})}{dx}+p(x)(Ce^{-\int p(x)dx})=0$$\Rightarrow -Cp(x)e^{-\int p(x)dx}+C(e^{-\intp(x)dx})\frac{d}{dx}(e^{-\int p(x)dx})+p(x)Ce^{-\int p(x)dx}=0$ $\Rightarrow \frac{d}{dx}(Ce^{-\int p(x)dx})=0$根据微积分基本定理可知，如果$\frac{d}{dx}(Ce^{-\intp(x)dx})=0$，那么$Ce^{-\int p(x)dx}$就是一个常数，不妨设为$C_1$。
解析微分方程的特解与通解求解
解析微分方程的特解与通解求解微分方程是数学中的重要概念，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
解析微分方程的特解与通解求解是微分方程求解的关键步骤。
本文将介绍解析微分方程的特解与通解求解的方法和步骤。
一、特解求解特解是指满足微分方程的特殊解，可以通过观察微分方程的形式和特点来求解。
下面以一阶线性常微分方程为例，介绍特解的求解方法。
1. 齐次方程的特解求解对于形如dy/dx + P(x)y = 0的一阶线性常微分方程，如果P(x)满足一定条件，可以通过分离变量的方法求解。
首先将方程改写为dy/y = -P(x)dx，然后对两边同时积分，得到ln|y| = -∫P(x)dx + C1，其中C1为常数。
进一步化简可得特解y =Ce^(-∫P(x)dx)，其中C为常数。
2. 非齐次方程的特解求解对于形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的一阶线性常微分方程，其中P(x)和Q(x)均为已知函数，可以通过常数变易法求解。
首先求齐次方程的通解y0，然后将原方程改写为dy/dx + P(x)y0 = Q(x)，令y = u(x)y0，其中u(x)为待定函数。
将y代入原方程可得到u(x)的微分方程，解出u(x)后再代入y = u(x)y0即可得到特解。
二、通解求解通解是指微分方程的所有解的集合，包括特解和齐次方程的通解。
下面以二阶常系数齐次线性微分方程为例，介绍通解的求解方法。
1. 齐次方程的通解求解对于形如d^2y/dx^2 + a1dy/dx + a0y = 0的二阶常系数齐次线性微分方程，可以通过特征方程的根来求解。
首先设y = e^(mx)，代入方程可得到特征方程m^2 +a1m + a0 = 0。
解出特征方程的根m1和m2后，齐次方程的通解为y = C1e^(m1x) + C2e^(m2x)，其中C1和C2为常数。
2. 非齐次方程的通解求解对于形如d^2y/dx^2 + a1dy/dx + a0y = f(x)的二阶常系数非齐次线性微分方程，其中f(x)为已知函数，可以通过待定系数法求解。
高数二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题详解
强迫振动问题例题
01
解题步骤
02 1. 将外力函数展开为傅里叶级数或三角级数。
03 2. 将展开后的级数代入原方程，得到一系列简单 的一阶或二阶常系数线性微分方程。
强迫振动问题例题
3. 分别求解这些简单方程，得到原方程的通解。
示例：考虑方程 $y'' + 4y = sin t$，首先将 $sin t$ 展开为三角级数，然后代入原方程进行求解，得到通解为 $y(t) = C_1 cos(2t) + C_2 sin(2t) + frac{1}{8} sin t$。
详细描述
自由振动问题通常可以通过求解特征方程得到，特征方程是一元二次方程，其根决定了 微分方程的解的形式。如果特征方程有两个不相等的实根，则微分方程的解为两个独立 的指数函数；如果特征方程有两个相等的实根，则微分方程的解为单一的指数函数；如
果特征方程有一对共轭复根，则微分方程的解为正弦和余弦函数。
强迫振动问题
方程形式与特点
01
02
03
04
05
二阶常系数非齐次线性 该方程具有以下特点 微分方程的一般形式为： $y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)$，其中$p(x)$、 $q(x)$和$f(x)$是已知函 数，$y$是未知函数。
未知函数$y$的最高阶导 系数是常数，不随$x$变 右边的函数$f(x)$是非齐
高数二阶常系数非齐次线 性微分方程解法及例题详 解
• 引言 • 二阶常系数非齐次线性微分方程的解
法 • 常见题型及解题技巧 • 例题详解 • 总结与思考
01
引言
背景介绍
二阶常系数非齐次线性微分方程在自 然科学、工程技术和社会科学等领域 有广泛应用，如物理学、化学、生物 学、经济学等。
高等数学12常系数非齐次线性微分方程
小 结: 对非齐次方程
ypyqy e x P l( x ) c o sx P n ( x ) s inx
(p, q为常数)
i为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 则可设特解:
y * x k e x R m cx o R ~ m s si x n
根据 f (x) 的特殊形式 , 给出特解y*的待定形式,
代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 .
2
一、 f(x)exP m (x)型
为实数 , Pm(x)为 m 次多项式 . 设特解为 y*exQ(x),其中 Q (x) 为待定多项式 ,
y * e x [Q (x ) Q (x )]
形式e为xPy m*( x)exQ m(x).
3
Q(x) (2 p )Q (x )(2pq)Q (x)Pm(x)
(2) 若 是特征方程的单根 , 即
2pq0, 2p0,
则Q(x)为m 次多项式, 故特解形式为 y*xQ m (x)ex
(3) 若 是特征方程的重根 , 即
xkexQ m (x)(co sx isinx) Q m (x )(c o sx isin x )
xke x [ ( Q m ( x ) Q m ( x ) ) c o sx ( Q m ( x ) Q m ( x ) ) i s i n x ]
令 RmQm(x)Qm(x)
Rm(Q m(x)Q m(x))i
x k e x Rmcos xR ~msi nx
其R 中 m,R ~m均为 m 次多项式 . 实际上Rm,Rm 均为 m 次实多项式
17
实际上Rm,Rm 均为 m 次实多项式 RmQm(x)Qm(x) Rm(Q m(x)Q m(x))i
高数第七章(8)
x
欧拉公式
ix ix ix ix e e e e e x [ Pl Pn ] 2 2i
Pl Pn ( i ) x ( )e ( Pl Pn )e ( i ) x 2 2i 2 2i
(1) ( 2) x k e x [ Rm ( x ) cos x Rm ( x ) sin x ]
k x
22
(1) ( 2) 其中 Rm ( x ), Rm ( x )是 m次多项式, m maxl , n
0 k 1
i不是根
±i 是单根
23
例 求方程 y y 4 sin x 的通解. 解 这是二阶常系数非齐次线性方程. 且
将点 (0,1)的坐标代入通解 ,得
1 C1 C2
11
1 C1 C2 x 2x x 将通解y C1e C2e 2 xe 求导 , 得 y ( 0 ) 1
y C1e x 2C2e 2 x 2e x 2 xe x
由题意,得 y(0) C1 2C 2 2 1 即
y Y y
Y 是对应齐次方程 y py qy 0 的通解
难点 如何求非齐次方程特解？ 方法 待定系数法.
2
y py qy Pm ( x)e x
设非齐方程特解为 y Q( x )e x 求导代入原方程
2 Q ( x ) ( 2 p)Q ( x ) ( p q )Q( x ) Pm ( x )
x Pl ( x) cosx Pn ( x f ( x)属于e0 4) sin 1 x型.
(其中 0, 1, Pl ( x ) 0, Pn ( x ) 4)
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值得指出的是，每一个n阶线性微分方程可化为n个一阶线性微分方程构成的方程组，反之却不成立。
本段讨论非齐次线性微分方程组
（5.14）
的解的结构问题，这里 是区间 上已知nxn连续矩阵， 是区间 上的已知的n维连续列向量，向量 通常称为强迫项，因为如果（5.14）描述一个力学系统， 就代表外力。
公式（5.29）称为（5.28）的常数变易公式。
我们指出，这时方程（5.28）的通解可以表示为
证明
考虑n阶线性微分方程的初值问题
（5.6）
其中 是区间 上的已知连续函数， ， 是已知常数，我们指出，它可以化为下列线性微分方程组的初值问题：
（5.7）
其中
事实上，令
这时
而且
现在假设 是在包含 的区间 上（5.6）的任一解，由此，我们得知 在 上存在、连续、满足方程（5.6）且 令
其中 那么，显然有 ，此外，我们还得到
这就表示这个特定的向量 是（5.7）的解，反之，假设向量u（t）是在包含 的区间 上（5.7）的解，令
并定义函数 ，由（5.7）的第一个方程，我们得到 ，由第二个方程得到 有第n-1个方程得到 由第n个方程得到
由此即得
同时，我们也得到
这就是说， 是（5.6）的一个解
从上一节我们知道，如果c是常数列向量，则 是（5.15）的解，它不可能是（5.14）的解，因此，我们将c变易为t的向量函数，而试图寻求（5.14）的形如
（5.24）
的解，这里 是待定的向量函数。
假设（5.14）存在形如（5.24）的解，这时，将（5.24）代入（5.14）得到
因为 是（5.15）的基解矩阵，所以 ，由此上式中含有 的项消去了，因而 必须满足关系式
（5.25）
因为在区间 上 是非奇异的，所以 存在，用 左乘（5.25）两边，然后积分之，得到
其中 =0，这样，（5.24）变为
（5.26）
因此，如果（5.14）有一个形如（5.24）的解 ，则 由公式（5.26）决定。
反之，用公式（5.26）决定的向量函数 必定是（5.14）的解，事实上，微分（5.26）得到
（5.23）
这里c是确定的常数列向量
证明由性质2我们知道 是（5.15）的解，再由5.2.1的定理1*，得到
这里c是确定的常数列向量，由此即得
定理证毕
定理7告诉我们，为了寻求（5.14）的任一解，只要知道（5.14）的一个解和它对应的齐次线性微分方程组（5.15）的基解矩阵，现在，我们要进一步指出，在已经知道（5.15）的基解矩阵 的情况下，有一个寻求（5.14）的解 的简单方法，这个方法就是常数变易法。
我们容易验证（5.14）的两个简单性质
性质1如果 是（5.14）的解， 是（5.14）对应的其次线性微分方程组（5.15）的解，则 是（5.14）的解
性质2如果 和 是（5.14）的两个解，则 是（5.15）的解
下面的定理7给出（5.14）的解的结构
定理7设 是（5.15）的基解矩阵， 是（5.14）的某一解，则（5.14）的任一解 都可表为
再利用公式（5.26），即得
显然，还有 =0，这样一来，我们就得到了下面的定理8
定理8如果 是（5.15）的基解矩阵，则向量函数
是（5.14）的解，且满足初值条件
由定理7和定理8容易看出，（5.14）的满足初值条件 的解 由下面公式给出
(7)
这里 是（5.15）的满足初值条件 的解，公式（5.26）或公式（5.27）称为非齐次线性微分方程组（5.14）的常数变易公式。
问题重述
如果 是区间 上的连续函数， 是区间 上齐次线性微分方程
（5.21）
的基本解组，那么，非齐次线性微分方程
(5.28)
的满足初值条件
的解由下面公式给出
（5.29）
这里 是 的朗斯基行列式， 是在 中的第k行代以 后得到的行列式，而且（5.28）的任一解u(t)都具有形式
，（5.30）
这里 是适当选取的常数。